ren luyen ky nang thuc hien cac thao tac tu duy cho hoc sinh trung hoc pho thong trong day hoc ai so va giai tich

BỘ GIÁO D ỤC VÀ
ĐÀO T ẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG

RÈN LUY ỆN KỸ NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC T
CHO

Ư DUY

HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GI ẢI TÍCH

Chuyên ngành: Lý luận và ph ương pháp giảng dạy bộ môn Toán
Mã s ố: 62 14 01 11

LUẬN ÁN TI ẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO D ỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS. TS. TRẦN KIỀU
2. TS. NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN - 2014


QUY ƯỚC VỀ CÁC CH Ữ VIẾT TẮT

SỬ DỤNG TRONG LUẬN
Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐC

: Đối chứng

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

NXB

: Nhà xu ất bản

SGK

: Sách giáo khoa

TN

: Thực nghiệm

tr.

: Trang

THCS

: Trung học cơ sở

THPT

: Trung học phổ thông


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU................................................................................................................................................. 1
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LU ẬN VÀ TH ỰC TIỄN............................................................... 9
1.1. Một số vấn đề khái quátềvtư duy và t ư duy toán học.................................................... 9
1.1.1. Khái niệm tư duy...................................................................................................................... 9
1.1.2. Đặc điểm của tư duy................................................................................................................ 9
1.1.3. Một số vấn đề về tư duy toán học.................................................................................... 11
1.2. Thao tác ưt duy........................................................................................................................... 12
1.2.1. Mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy.......................................... 12
1.2.2. Phân tích - T ổng hợp........................................................................................................... 15
1.2.3. So sánh.............................................. ........................................................................................ 22
1.2.4. Tương tự hóa........................................................................................................................... 24
1.2.5. Trừu tượng hóa - Khái quát hóa....................................................................................... 28
1.2.6. Đặc biệt hóa............................................................................................................................. 37
1.2.7. Mối liên hệ giữa các thao tácư tduy................................................................................ 39
1.3. Kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy................................................................................ 41
1.3.1. Kỹ năng..................................................................................................................................... 41
1.3.2. Kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy............................................................................ 44
1.3.3. Các cấp độ của kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy............................................. 44
1.4. Một số đặc điểm của học sinh Trung học phổ thông.................................................. 45
1.4.1.Đặc điểm hoạt động học tập................................................................................................ 45

1.4.2. Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ.................................................................................... 46
1.4.3. Một số đặc điểm nhân cách chủ yếu............................................................................... 46
1.5. Khảo sát thực trạng về việc thực hiện các thao tácư tduy trong dạy học ở
trường Trung học phổ thông........................................................................................................... 47
1.5.1. Mục đích................................................................................................................................... 47
1.5.2. Đối tượng khảo sát......................................................... ...................................................... 47
1.5.3. Hình thức khảo sát.......................................................... ...................................................... 47
1.5.4. Kết quả khảo sát thực trạng............................................................................................... 47
1.6. Kết luận chương 1..................................................................................................................... 58
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP S Ư PHẠM GÓP PH ẦN RÈN LUY ỆN KỸ
NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC T Ư DUY CHO HỌC SINH TRONG
DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GI ẢI TÍCH..................................................................................... 60
2.1. Định hướng xây d ựng và th ực hiện biện pháp..................................................... .......60


2.2. Một số biện pháp ưs phạm góp ph ần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácư t
duy cho học sinh trong dạy học Đại số và Gi ải tích............................................................ 60
2.2.1. Biện pháp 1:

Tập luyện cho học sinh phân tích n ội hàm và ngo ại diên ủca

khái niệm toán học, cũng như khả năng vận dụng các khái ệnim đó vào vi ệc giải
quyết các vấn đề toán học............................................................................................................... 60
2.2.2. Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh

làm rõ ý ngh ĩa của từng yếu tố được

cho trong giả thiết và tìm các khả năng vận dụng của định lý........................................ 69
2.2.3. Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh diễn đạt cácđịnh nghĩa, định lý và gi ải
các bài toán theo những cách khác nhau................................................................................... 80

2.2.4. Biện pháp 4: Hướng dẫn học sinh tìm ra dấu hiệu chung và b ản chất của các
yếu tố và quan h ệ trong một hoặc một lớp bài toán............................................................. 97
2.2.5. Biện pháp 5: Tạo cơ hội cho học sinh luyện tập kỹ năng tương tự hóa trong
quá trình giải toán....................................................... .................................................................... 111
2.2.6. Biện pháp 6: Khuyến khích học sinh đề xuất bài toán mới trên ơc sở khai thác
bài toánđã cho.................................................................................................................................... 117
2.2.7 Biện pháp 7: Xây dựng một số tình huống có ch ứa lời giải các bài toán ớvi
những sai lầm, hướng dẫn học sinh phân tích để giúp họ nhận ra các sai ầlm thường
gặp, qua đó tìm các biện pháp dạy học thích hợp để khắc phục.................................... 128
2.3. Kết luận chương 2................................................................................................................... 143
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM........................................................................... 145
3.1. Mục đích thực nghiệm........................................................................................................... 145
3.2. Tổ chức và n ội dung thực nghiệm................................................................................... 145
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm......................................................................................................... 145
3.2.2. Nội dung thực nghiệm....................................................................................................... 146
3.3. Đánh giáếkt quả thực nghiệm............................................................................................. 152
3.3.1. Đánh giáđịnh tính................................................................................................................ 152
3.3.2. Đánh giáđịnh lượng............................................................................................................ 154
3.4. Kết luận chương 3................................................................................................................... 160
KẾT LUẬN....................................................................................................................................... 161
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................................... 163
PHẦN PHỤ LỤC........................................................................................................................... 171


MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CH ỌN ĐỀ TÀI
Để tồn tại và phát triển, con người có nhu c ầu và yêu cầu phải nhận thức các
sự vật, hiện tượng và k ể cả chính mình. Nói cách khác, con người cần phải tư duy.
Mỗi sự vật và hi ện tượng đều có nh ững dấu hiệu, thuộc tính, cần phải biết phân
tích, so sánh và tổng hợp để tìm được các dấu hiệu, thuộc tính bản chất của các ựs

vật và hiện tượng hướng tới mục đích nhận thức. Quá trình nhận thức trên ũcng phải
tiến hành các thao tácưt duy khác như tương tự hóa, tr ừu tượng hóa, khái quát
hóa,đặc biệt hóa để có được các tri thức đầy đủ, chính xác về các ựs vật hay hiện
tượng ấy. Quá trình nhận thức nói trên là kết quả của tư duy.
Trong học tập nói chung, h ọc tập toán nói riêng,để hình thành m ột khái
niệm, người học phải suy nghĩ, phân tích để tìm ra các thuộc tính của khái niệm,
thuộc tính nào là thu ộc tính bản chất, thuộc tính nào là đặc trưng, phân chia khái
niệm thành các bộ phận theo các thuộc tính đó để hiểu khái niệm một cáchđầy đủ,
sâu s ắc hơn, ... Nhờ phân tích, con ng ười tách ra các thuộc tính của cácđối tượng,
còn nh ờ tổng hợp, con người hợp nhất các thuộc tính bản chất, tách chúng ra khỏi
các thuộc tính còn l ại, không b ản chất, đưa các thuộc tính bản chất này vào m ột thể
thống nhất, đó là khái niệm. Để tiếp thu một định lý, HS ph ải biết phân tích được giả
thiết và k ết luận của định lý, các cách chứng minh định lý và v ận dụng định lý vào
gi ải các bài tập cụ thể, ... Khi giải một bài t ập, HS phải biết phân tích c ấu trúc của
bài t ập đó, cái đã cho và cái phải tìm, huy động các kiến thức liên quanđể tìm cách
giải bài t ập, so sánh các cáchả igiđể tìm lời giải tối ưu, từ trường hợp đặc biệt có th ể
khái quát hóađể tìm bài toán tổng quát, ...
Từ đó có th ể thấy, quá trình học toánđòi h ỏi học sinh phải thường xuyên thực
hiện các thao tácư tduy như phân tích, t ổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát
hóa, ... Chính vì vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của việc giảng dạy
toán là dạy cách nghĩ, dạy tư duy, dạy cho học sinh biết các loại thao tác tư duy, ý ngh
ĩa và tác dụng của từng loại thao tác, mối quan hệ giữa các thao tác, cách thức phối
hợp các thao tác. ưTduy phải được phát triển trong quá trình học thông qua vi ệc được
thường xuyên rèn luyện, mà tr ước hết là rèn luyện các thao tác tư duy. Rèn luyện các
thao tácư tduy được quan niệm như thế nào là đầy đủ và đúng đắn, hoạt động đó ph ụ
thuộc những yếu tố nào, v ề mặt sư phạm nênđược tổ

1

chức ra sao ... là nh ững vấn đề quan trọng cần được nghiên ứcu. Đây là nh ững vấn
đề thuộc lĩnh vực phương pháp dạy học.
Vai trò quan tr ọng của các thao tácư tduy và yêu cầu phải rèn luyện các thao
tácđó c ần thiết như đã nêu ở trên, nhưng trong thực tiễn giảng dạy toánở trường phổ
thông ch ưa được chú ý thích đáng. Tác ảgiluận án do công việc phải đảm nhiệm đã
có nhi ều cơ hội tiếp cận thực tiễn dạy học toán thông qua dự giờ, trao đổi
ýki ến với giáo viên,ọhc sinh, qua nghiên ứcu các báo cáoề tìnhv hình giảng dạy học tập
của một số trường đã rút ra một số nhận xét chung, đó là: M ột số giáo viên nhận thức về
vai trò, ý ngh ĩa, tác dụng của tư duy, của các thao tácư tduy còn h ạn chế. Một số giáo
viên khácặ cmdù nhận thức đúng về vai trò, ý ngh ĩa, tác dụng của các thao tácư tduy
nhưng chưa thực hiện một cách có kết quả nhiệm vụ dạy cách ưt duy cho học sinh khi
học toán.Đặc biệt, một số giáo viên lúng túng trong quá trình dạy học khi thực hiện yêu
ầcu rèn luyện các thao tácư tduy cho học sinh.
Những vấn đề đặt ra về lý lu ận và t ừ thực tiễn nói trên cần được nghiên ứcu
trong lĩnh vực phương pháp dạy học toán học.
Phân môn toán nào c ũng đòi h ỏi phải rèn luyện cho HS thực hiện các thao
tác ưt duy, tuy nhiên trong luận án này, chúng tôi lựa chọn Đại số và Gi ải tích vì
những lý do chính sau đây:
-

Đại số, đặc biệt là Gi ải tích ở trường THPT có nhi ều khái niệm khó và quan

trọng gắn liền với phạm trù vô h ạn, với đại lượng vô cùng bé như khái niệm giới hạn
của dãy s ố, giới hạn của hàm s ố, đạo hàm, nguyên hàm, ... Để hiểu được các khái
niệm này và m ối quan hệ giữa chúng đòi h ỏi học sinh phải biết phân tích n ội hàm
và xác định rõ ngo ại diên ủca chúng. Điều này c ũng liên quan ớti việc phát hiện dấu
hiệu chung và b ản chất của khái niệm, nhận dạng khái niệm và hình thành mối quan
hệ của các khái ệnim trong cùng một hệ thống.
- Một số định lý c ủa Đại số và Gi ải tích có c ấu trúc phức tạp, có nhi ều ứng
dụng trong giải toán và trong thực tiễn, chẳng hạn định lý v ề dấu của tam thức bậc hai,

định lý v ề giá trị trung gian của hàm liên tục, cácđịnh lý v ề giới hạn hữu hạn của

dãy s ố, hàm s ố, ... Dạy học những nội dung này đòi h ỏi phải làm rõ ý ngh ĩa của
từng yếu tố được cho trong giả thiết, xácđịnh cấu trúc lôgic và kh ả năng vận dụng
của định lý.
-

Mạch toánứng dụng đã được tăng cường ở trường THPT, đặc biệt là m ột số

yếu tố về đại số tổ hợp, xác suất và th ống kê.Đối với HS, các khái ệnim thuộc chủ
đề này còn m ới và khó, các bài toán đếm đa dạng, phong phú trong đời sống

2


thực tiễn, có th ể giải theo nhiều cách khác nhau, HSặgp nhiều sai lầm. Do đó, d ạy
học chủ đề này thích h ợp với việc phát hiện dấu hiệu chung và b ản chất của bài
toán, nhìn bài toán ướdi nhiều góc độ, tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải và
cách khắc phục, ...
Nhìn bề ngoài, Đại số và Gi ải tích có v ẻ giống nhau, thực ra chúng khác
nhau về bản chất. Trong khi Đại số gắn liền với các bất biến, hữu hạn hoặc vô h ạn
-

đếm được thì Giải tích lại nghiên ứcu cácđại lượng biến thiên, liênụct và gián đoạn,
có l ực lượng vô h ạn không đếm được. Nếu GV không phân tích k ỹ, đầy đủ, sâu s
ắc, thì việc dạy Giải tích sẽ bị "Đại số hóa", h ạn chế rất nhiều đến khả năng tư duy
của HS ở độ tuổi trưởng thành - chuy ển từ việc nhìn thế giới theo quan điểm "tĩnh"
sang quan điểm "động".
Đã có nhi ều công trình nghiên cứu về tư duy, về kỹ năng học toán cho HS
trong đó có bàn đến các thao tácư tduy [6], [8], [36], [44], [50], [52], [61], [103], ...

nhưng chưa có công trình nào nghiên c ứu một cách ươtng đối hệ thống và đầy đủ về
việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy trong quá trình học toán,đặc biệt
là đối với Giải tích và Đại số và cách thức rèn luyện các thao tácđó. Vì nh ững lý do
trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: "Rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácưt duy cho
học sinh Trung học phổ thông trong d ạy học Đại số và Gi ải tích" với mong muốn
trình bày m ột cách có hệ thống về mặt lý lu ận và th ực tiễn vấn đề thao tác ưt duy
và nêu một số biện pháp rèn luyện các thao tácđó, góp ph ần nâng cao ch ất lượng
dạy học bộ môn Đại số và Gi ải tích ở trường THPT.
2. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN C ỨU THUỘC LĨNH VỰC ĐỀ TÀI
Vấn đề tư duy thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều ngành khoa h ọc và
nhiều nhà khoa h ọc trên thế giới. Tư duy không ch ỉ được nghiên ứcu ở phương
diện triết học mà còn được nghiên ứcu ở nhiều phương diện khác như Lôgic h ọc,
Xã h ội học, Sinh lý h ọc, Tâm lý h ọc, Lý lu ận dạy học, ...Triết học nghiên cứu tư
duy dưới góc độ lý lu ận nhận thức. Lôgic h ọc nghiên cứu tư duy dưới góc độ các
quy ắtc tư duy đúng. Xã hội học nghiên ứcu tư duy ở sự phát triển của quá trình
nhận thức trong các chế độ xã h ội khác nhau. Sinh lý học nghiên ứcu cơ chế hoạt
động thần kinh cao cấp với tư cách là nền tảng vật chất của các quá trìnhư tduy ở
con người. Điều khiển học nghiên ứcu tư duy để có th ể tạo ra “Trí tu ệ nhân t ạo”.
Tâm lý h ọc nghiên ứcu diễn biến của quá trình ưt duy, mối quan hệ qua lại cụ thể
của tư duy với các khía cạnh khác ủca nhận thức.

3


Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, nhà tâm lý h

ọc X. L. Rubinstein đã

viết: “N ội dung cảm tính bao giờ cũng có trong t ư duy trừu tượng, tựa hồ như làm
thành ch ỗ dựa cho tư duy”.

Tư duy là m ột quá trình tâm lý, nghĩa là t ư duy có n ảy sinh, diễn biến và k
ết thúc. Quá trìnhưt duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau được nhà tâm lý h ọc
K. K. Platônôp minh h ọa bởi sơ đồ [102, tr. 116]:
Nhận thức vấn đề

Xuất hiện cá liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và

hình thành

giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Khẳng định

Phủ định

Chính xá hóa

Tìm giả thuyết mới

Giải quyết vấn đề

Hành động tư duy mới

Tuy nhiên, tính giaiđoạn của quá trình ưt duy chỉ phản ánhđược mặt bên
ngoài, cấu trúc bên ngoài ủca tư duy, còn n ội dung bên trong mỗi giai đoạn của quá
trình ưt duy lại là m ột quá trình phức tạp, diễn ra trên ơc sở của những thao tác ưt

duy, còn g ọi là thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc [107, tr. 116].
2.1. Tình hình nghiên ứcu ở nước ngoài
Một số tác giả nước ngoài đề cập đến thao tác ưt duy, nêuđịnh nghĩa của một
số thao tác và mối quan hệ giữa chúng, chẳng hạn như:
G. Polya cho rằng thao tác ưt duy bao gồm phân tích, t ổng hợp, so sánh,
tương tự hóa, khái quát hóa,đặc biệt hóa [77]. Ông c ũng đã đưa ra một số ví dụ về
toán học minh họa cho các thao tácđó.
G. Polya trong [75] đã đưa ra quy trình 4 bước để giải bài toán, trong mỗi
bước tác giả đã đưa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên
tiếp, đan xen nhau để thực hiện được 4 bước của quá trình giải toán. Có thể thấy

4


trong giải toán, các thao tác phân tích vàổngt hợp thường gắn bó kh ăng khít với
nhau. Trong phân tích có t ổng hợp (tổng hợp thành ph ần) và trong quá trình tổng
hợp phải có phân tích ( đảm bảo tính lôgic và tính định hướng của quá trình ổtng
hợp).
M. N. Sácđacôp cho r ằng: tư duy được thực hiện và phát triển trong những
hình thức riêng ủca nó: phân tích, t ổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát hóa
và c ụ thể hóa; quy n ạp, diễn dịch và t ương tự; phát hiện những mối liên hệ và quan
hệ; hình thành nh ững khái niệm, phân lo ại và h ệ thống hóa chúng [82], [83]. Những
ví dụ được ông nêu trong [82], [83] đều không thu ộc về toán học.
Trong [103], Đào V ăn Trung có nói đến năng lực khái quát hóa vàđưa ra một
số ví dụ về toán học.
2.2. Tình hình nghiên ứcu ở trong nước
Trong nước chưa có công trình nào c ủa các tác ảgiđề cập đến định nghĩa thao
tác ưt duy mà ch ỉ nêu lên thao tácư duyt bao gồm những thao tác nào, nêu định nghĩa
của một số thao tác và mối quan hệ giữa chúng, chẳng hạn như:
Các nhà tâm lý h ọc trong các công trình [94], [95], [106], [107], [108] cho

rằng thao tác ưt duy bao gồm phân tích, t ổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái
quát hóa.
Nguyễn Bá Kim không gọi là thao tác tư duy mà g ọi là các hoạt động trí tuệ
cơ bản, bao gồm phân tích, t ổng hợp, so sánh, ươtng tự hóa, tr ừu tượng hóa, khái
quát hóa, đặc biệt hóa [52], [54].
Hoàng Chúng cho rằng thao tác ưt duy bao gồm phân tích, t ổng hợp, so sánh,
khái quát hóa, ừtru tượng hóa và c ụ thể hóa [8].
Trong Giáo dục học môn Toán, các tácảgicó đề cập đến trừu tượng hóa, khái
quát hóa và đặc biệt hóa [33] .
Qua tìm hiểu một số công trình nh ư đã nêuở trên, có thể thấy:
- Quan niệm về các thao tácư tduy chưa nhất quán.
- Chưa làm rõ th ứ tự để tiến hành các thao tácưt duy.
- Chưa cụ thể hóa các thao tácưt duy biểu hiện trong dạy học Toán như thế
nào.
- Chưa có đánh giáềvthực trạng của việc thực hiện các thao tácư tduy ở
trường Trung học phổ thông m ột cách khá toàn diện và c ụ thể.
- Thiếu các biện pháp dạy học cụ thể nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng
thực hiện các thao tácư tduy.

5


2.3. Định hướng nghiên ứcu của tác giả
- Đưa ra trật tự để tiến hành m ột số thao tác ưt duy.
- Đưa ra một quan niệm về rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy
cho học sinh Trung học phổ thông.
- Tìm hiểu thực trạng về việc thực hiện các thao tácư tduy của GV và HS
Trung học thông qua d ạy học môn Đại số và Gi ải tích.
- Xây d ựng một số biện pháp góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao
tác ưt duy cho học sinh Trung học phổ thông.

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các biện phápđề xuất
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN C ỨU
Mục đích của luận án là nghiên ứcu để làm sáng tỏ các thao tácư tduy về các
khía cạnh: khái niệm, vai trò, tính ph ổ dụng trong nhận thức nói chung và trong giáo
dục toán học nói riêng, đồng thời nghiên ứcu để xây d ựng các biện pháp nhằm rèn
luyện cho HS kỹ năng thực hiện thao tác ưt duy.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN C ỨU
Luận án có nhiệm vụ làm sáng tỏ các vấn đề sau:
- Quan niệm về thao tác ưt duy, các loại thao tác ưt duy, sự cần thiết phải chú
ýrèn luyện chúng;
- Xem xét thao tácưt duy từ bình diện hoạt động;
- Các thao tácư tduy trong dạy học toán;
-

Thực trạng rèn luyện các thao tácư tduy trong dạy học toánở THPT;

- Đề xuất các biện phápdạy học để rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện các
thao tác ưt duy;
- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khảthi và tính hi ệu quả của các biện
phápđã đề xuất.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu xây d ựng được một số biện pháp ưs phạm hợp lý, kh ả thi, có c ơ sở
khoa học xácđángthì có th ể phát triển kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy cho HS,
góp phần nâng cao ch ất lượng dạy học môn Đại số và Gi ải tích ở trường THPT.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C ỨU
6.1. Nghiên ứcu lý lu ận: Tìm hiểu, nghiên ứcu các tài liệu trong và ngoài
nước về các vấn đề có liên quan đến đề tài.
6.2. Điều tra, quan sát: Nhận thức và th ực trạng dạy học của giáo viên toán
THPT về bồi dưỡng kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy cho HS.
6.3. Thực nghiệm sư phạm.

6


7. ĐÓNG GÓP C

ỦA LUẬN ÁN

7.1. Về mặt lý lu ận
7.1.1. Làm sáng tỏ tính phổ dụng, vai trò và v ị trí của các thao tácư tduy
trong dạy học toán.
7.1.2. Đưa ra một quan niệm về hành động tư duy trong mối quan hệ với thao
tác ưt duy.
7.1.3. Đưa ra một quan niệm về kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy và quy
trình rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy cho HS THPT trong học tập
toán.
7.1.4. Nêuđược một số khó kh ăn và sai l ầm của HS khi đứng trước những
vấn đề toán học mà vi ệc giải quyết những vấn đề đó đòi h ỏi phải có k ỹ năng về các
thao tác ưt duy.
7.1.5. Nêuđược cơ sở khoa học cho các biện pháp ưs phạm để rèn luyện kỹ
năng thực hiện các thao tácư tduy cho học sinh.
7.2. Về mặt thực tiễn
7.2.1. Xây d ựng một số biện pháp ưs phạm góp ph ần rèn luyện kỹ năng
thực hiện các thao tácư tduy cho HS THPT.
7.2.2. Có th ể sử dụng Luận ánđể làm tài li ệu tham khảo cho giáo viên Toán
nhằm góp ph ần nâng cao hi ệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT.
8. NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢO VỆ
8.1. Quan niệm về các thao tácư tduy, trật tự để tiến hành m ột số thao tác.
8.2. Quan niệm về rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy cho HS
THPT.

8.3. Thực trạng về việc thực hiện các thao tácư tduy ở Trường THPT.
8.4. Một số biện pháp ưs phạm góp ph ần rèn luyện kỹ năng thực hiện các
thao tác ưt duy cho HS THPT.
9. CẤU TRÚC C ỦA LUẬN ÁN
Ngoài ph ần Mở đầu, Kết luận và Tài li ệu tham khảo, nội dung Luận án gồm
có 3 ch ương:
Chương 1: Cơ sở lý lu ận và th ực tiễn
1.1. Một số vấn đề khái quátềvtư duy và t ư duy toán học.
1.2. Thao tác ưt duy.
1.3. Kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy.
1.4. Đặc điểm tâm lý c ủa HS THPT.

7


1.5. Khảo sát thực trạng về việc thực hiện các thao tácư tduy trong dạy học ở
trường THPT.
1.6. Kết luận chương 1.
Chương 2: Một số biện pháp ưs phạm góp ph ần rèn luyện kỹ năng thực
hiện các thao tácư tduy cho học sinh trong dạy học Đại số và Gi ải tích
2.1. Định hướng xây d ựng và th ực hiện biện pháp.
2.2. Một số biện pháp ưs phạm góp ph ần rèn luyện kỹ năng thực hiện các
thao tác ưt duy cho HS trong dạy học Đại số và Gi ải tích.
2.3. Kết luận chương 2.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và n ội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giáếkt quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận chương 3.

8


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LU ẬN VÀ TH ỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề khái quátề vtư duy và t ư duy toán học
1.1.1. Khái niệm tư duy
Để tồn tại và phát triển trong cuộc sống, con người cần phải nhận thức các
hiện tượng, các ựs vật, các quá trìnhủca tự nhiên, ủca xã h ội và c ủa chính bản thân
để hiểu về bản chất, mối liên hệ, quan hệ có tính quy lu ật của chúng. Quá trình nhận
thức đó bao g ồm nhận thức cảm tính và nh ận thức lý tính. Quá trình nhận thức lý
tính được gọi là t ư duy.
Có nhi ều định nghĩa, cách diễn đạt khác nhau về tư duy của các nhà tâm lý
học. X. L. Rubinstein cho rằng: "Tư duy - đó là s ự khôi ph ục trong ý ngh ĩ của chủ
thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn di ện hơn so với các ưt liệu cảm tính
xuất hiện do tácđộng của khách thể" (dẫn theo [15, tr. 246]). Trong các tài liệu [95],
[106], [107], [108], các tác ảgicho rằng: "Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh
những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy lu ật của sự vật và hiện
tượng trong hiện thực khách quan". "Tư duy là m ột quá trình tâm lý liên quan chặt
chẽ với ngôn ng ữ - quá trình tìm tòi và sáng ạto cái chính yếu, quá trình phản ánh
một cách ừtng phần hay khái quát ựthc tế trong khi phân tích và t ổng hợp nó. Tư duy
sinh ra trên ơc sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và v ượt xa giới hạn của
nó" (d ẫn theo [93, tr. 8]).
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Theo [95], [106], [107], [108], tư duy có nh ững đặc điểm cơ bản sau đây:
- Tính "có v ấn đề" của tư duy.
Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn c ảnh, những tình huống "có v ấn
đề". Tình huống "có v ấn đề" là tình hu ống chứa đựng một mục đích, một vấn đề
mới mà nh ững hiểu biết cũ, phương pháp hành động cũ không đủ sức giải quyết.
Muốn giải quyết vấn đề mới đó, để đạt được mục đích mới đó, con ng ười phải tìm

cách thức giải quyết mới, tức con người phải tư duy.
Ví dụ 1.1: Sau khi HS đã được học cách giải phương trình bậc hai, thầy giáo
yêu ầcu các em giải phương trình sau: ( x 2 + 3x)( x 2 + 3x + 2) − 3 = 0. Giải phương
trình này là m ột tình huống có v ấn đề với các em ạti thời điểm đó vì ch ưa có m ột
thuật giải nào có th ể giúp các em giả được một phương trình bậc bốn. Do đó, bu ộc

9


các em phải suy nghĩ để tìm cách giải phương trình trên. Các em tìm ấthy hứng thú
trong việc tìm lời giải bởi vì có bi ểu thức đồng dạng x 2 + 3x giúp các em liên tưởng
tới đặt ẩn phụ. Và sau khi đặt ẩn phụ t = x 2 + 3x thì phương trình ban đầu trở thành ph
ương trình t 2 + 2t − 3 = 0 đã có thu ật giải.
- Tính gián tiếp của tư duy.
Con người sử dụng ngôn ng ữ để tư duy. Nhờ có ngôn ng ữ mà con ng ười sử
dụng các kết quả nhận thức (khái niệm, phánđoán, quy luật, ...) vào quá trình tư duy
để nhận thức được cái bên trong,ảbn chất của sự vật, hiện tượng. Trong quá trình ưt
duy, con người sử dụng những công c ụ, phương tiện (đồng hồ, nhiệt kế, máy
móc, ...) để nhận thức đối tượng mà không th ể trực tiếp tri giác chúng.
- Tính trừu tượng và khái quátủca tư duy.
Tư duy có kh ả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính,
những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính chung, bản chất cho
nhiều sự vật và hi ện tượng. Trên ơc sở đó mà khái quát những sự vật, hiện tượng
riêng ẻl, nhưng có nh ững thuộc tính bản chất chung thành m ột nhóm, m ột loại,
một phạm trù.
Ví dụ 1.2: Công th ức tính diện tích tam giác S =

1

aha , trong đó ha là độ dài

2

đường cao hạ từ đỉnh A, a là độ dài c ạnh đối diện đỉnh A (diện tích tam giác bằng một
nửa đường cao nhân v ới cạnh đáy).Để có được công th ức tổng quát trên, chúng ta đã
g ạt bỏ những chi tiết không quan tr ọng như tam giác gì, làm bằng chất liệu nào, độ
dài các cạnh có m ối quan hệ như thế nào, đặt trong phẳng hay trong không gian,... mà
ch ỉ giữ lại yếu tố bản chất là độ dài đường cao và độ dài cạnh đáyđể có được công th
ức mang tính khái quát trên.
- Tư duy liên quan chặt chẽ với ngôn ng ữ.
Nếu không có ngôn ng ữ thì quá trình ưt duy ở con người không th ể diễn ra
được, đồng thời các ảsn phẩm của tư duy (khái niệm, phánđoán, quy luật, ...) cũng
không được chủ thể và ng ười khác tiếp nhận. Ngôn ng ữ cố định lại các kết quả của
tư duy, là v ỏ vật chất của tư duy và là ph ương tiện biểu đạt kết quả của tư duy.
Ngược lại, nếu không có t ư duy thì ngôn ng ữ chỉ là chu ỗi âm thanh vô ngh ĩa. Tuy
nhiên, ngôn ngữ không ph ải là t ư duy, ngôn ng ữ chỉ là ph ương tiện của tư duy.
- Tư duy có quan h ệ mật thiết với nhận thức cảm tính.

10


Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, nhà tâm lý h

ọc X. L. Rubinstein đã

viết: "Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong t ư duy trừu tượng, tựa hồ như làm
thành ch ỗ dựa cho tư duy".
Tư duy là m ột quá trình tâm lý, nghĩa là t ư duy có n ảy sinh, diễn biến và k ết thúc.

1.1.3. Một số vấn đề về tư duy toán học

Cũng như những lĩnh vực khác ủca đời sống xã h ội, toán học với tư cách là
một khoa học có ngu ồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng vô cùng đa dạng, phong
phú trong thực tiễn với những đặc điểm về đối tượng và ph ương pháp nghiênứcu
cũng là m ột đối tượng của tư duy, và nh ư là m ột tất yếu, xuất hiện tư duy toán học.
"Để nhận thức được mặt nội dung của hiện thực cần có t ư duy biện chứng,
và để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có t ư duy lôgic. Do đó, t ư duy
toán học là s ự thống nhất giữa tư duy biện chứng và t ư duy lôgic. Theo đó, t ư duy
toán học cũng có nh ững cặp phạm trù quan trọng: cụ thể - trừu tượng, nhận thức
cảm tính - nhận thức lý tính, cái chung - cái riêng, cáiản bchất - cái không bản chất"
[33, tr. 60-61]. Luận điểm nói trên cần được vận dụng một cách ục thể và thích hợp
vào vi ệc dạy học nhằm phát triển tư duy toán học cho học sinh.
Giáo dục toán học cho HS nhằm đạt các mục tiêu:
- Truyền thụ cho HS những kiến thức cơ bản được chọn lựa cho phù hợp với
đặc điểm của đối tượng Toán học một cách có hệ thống;
- Rèn luyện cho HS những kỹ năng, kỹ xảo toán học;
-

Phát triển tư duy toán học cho HS (dẫn theo [93, tr. 12]).

Tư duy toán học là m ột mục tiêu quan trọng trong hoạt động toán học của
HS, nhưng nếu thiếu sự phát triển một cách có phương hướng thì không th ể đạt
được mức độ mong muốn về kiến thức và k ỹ năng trong quá trình dạy học toán.
Nhiều nhà toán học đã bày t ỏ ý ki ến về tư duy toán học như sau:
Viện sĩ B. V. Gơnhedencô đưa ra một số yêu ầcu đối với tư duy toán học, đó
là:
- Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng c ủa quá trình suy luận;
- Thấy được sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;
- Có thói quen lý gi ải lôgic m ột cáchđầy đủ;
- Phân chia rõ ràng ti ến trình suy luận, sự cô đọng, sự chính xác của các ký
hiệu (dẫn theo [93, tr. 15]).

Nhà toán học A. Ia. Khinsin cho rằng những nét độc đáo ủca phong cách ưt
duy toán học là:

11


- Suy luận theo sơ đồ lôgic chi ếm ưu thế;
- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích; phân chia
rành m ạch các bước suy luận;
- Sử dụng chính xác các ký hiệu;
- Tính có c ăn cứ đầy đủ trong các ậlp luận, đặc biệt không bao gi ờ chấp
nhận những khái quát không có suy luận, những phép ươtng tự không có c ơ sở (dẫn
theo [33, tr. 127]).
A. I. Marcusêvich nhấn mạnh đến những kỹ năng cần được bồi dưỡng cho
HS trong dạy học Toán là:
- Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không c ăn bản chỉ để giữ lại bản chất của
vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa;
- Kỹ năng rút ra hệ quả lôgic t ừ những tiền đề đã cho;
- Kỹ năng phân tích v ấn đề thành nh ững trường hợp riêng;
- Kỹ năng khái quát hóa ếkt quả nhận được và đặt ra vấn đề mới ở dạng khái
quát;
- Kỹ năng xây d ựng sơ đồ của hiện tượng sao cho chỉ giữ lại những yếu tố
cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học;
- Kỹ năng xây d ựng các kết luận được rút ra từ các suy luận, đối chiếu kết
quả đó v ới cácđiều được dự kiến;
- Kỹ năng đánh giáảnh hưởng của việc thay đổi cácđiều kiện đến sự tin cậy,...
(dẫn theo [93, tr. 16]).
1.2. Thao tác ưt duy
1.2.1. Mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy
Về mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy, có hai cách giải

thích như sau:
Nhiều nhà tâm lý h

ọc (trong đó có J. Piaget) cho r ằng:

- Hành động (Action) là các ứng xử của cá nhân đối với sự tácđộng của các
yếu tố môi tr ường bên ngoài;
-

Thao tác (Operations) là các hànhđộng đã được chuyển vào bên trong (hành

động bên ngoàiđược nội hiện) và đã được rút gọn.
Đối tượng của thao tác ưt duy không ph ải là s ự vật có th ực như của hành
động, mà là nh ững hình ảnh, biểu tượng, ký hi ệu. Như vậy, thao tác ưt duy là hành
động tinh thần, chứ không ph ải là hành động thực, vật chất ở bên ngoài [68, tr. 73].

12


Cách giải thích của A. N. Lêônchiep và các nhà tâm lý h ọc cùng xu hướng có
phần khác với cách hiểu trên khi xem xétưt duy từ bình diện hoạt động. Các nhà tâm
lý h ọc này gi ải thích hành động và thao tác trong cấu trúc chung của hoạt động. Sự
giống nhau và khác nhau giữa chúng thể hiện như sau:
- Hành động tư duy được hiểu là hành động tâm lý tr ọn vẹn, chịu sự chi phối
bởi một mục đích được ý th ức (hành động tâm lý có th ể hiểu là làm m ột việc nào
đó có m ục đích);
- Thao tác là phương tiện, là c ơ cấu kỹ thuật, là ph ương thức hành động để
triển khai đến mục đích đó. Thao tác không có m ục đích tâm lý riêng, nó ch ỉ là
phương tiện để thực hiện mục đích của một hành động nào đó;
- Thao tác và hành động có chung lôgic;

- Cấu trúc của thao tácđược định hình trong các phương tiện (công c ụ) kỹ
thuật. Vì vậy, quá trình hình thành thao tác thực chất là quá trình học cách ửs dụng
các công cụ đó . Thời kỳ đầu, quá trình học này chính là hành động tâm lý. Sau đó,
hành động được luyện tập và k ỹ thuật hoáđể trở thành thao tác.
- Cùng một mục đích nhưng trong những điều kiện khác nhau, chủ thể hành
động phải có các thao tác khác nhau.
Như vậy, mặc dù thao tác khác hànhđộng, nhưng nó

được sinh ra từ hành

động, kỹ thuật hoá nó, tước bỏ mục đích và chuy ển nó vào trong m ột hành động
khác. Khi chuyển thành thao tác, hành động được rút gọn và thu ần thục [68]. Vì
vậy, thao tác gắn bó ch ặt chẽ với kỹ năng.
Quá trình ưt duy nảy sinh khi con người có nhu c ầu giải quyết một nhiệm vụ
nhận thức nào đó, không th ể tách ưt duy ra khỏi tâm lý nói chung trong vi ệc giải
quyết nhiệm vụ nhận thức. Bởi vì, tâm lý v ề bản chất là ho ạt động, cho nên tham gia
vào tâm lý v ới tư cách yếu tố cấu thành nó, không ch ỉ có cácđối tượng tinh thần (các


biểu tượng, các khái ệnim), mà còn có các hành động tinh thần (hành động tri giác,
hành động tưởng tượng, hành động xúc cảm, ...). Với ý ngh ĩa đó, có th ể xem xét ưt
duy với tư cách là một hoạt động của con người, là m ột hoạt động trí tuệ với các
hành động và thao tác đặc trưng. Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên
quan đến quá trình ưt duy, là hành động tinh thần hướng tới mục đích nhận thức. Mỗi
hành động trí tuệ bao hàm trong nó m ột loạt các thao tácđược thực hiện trong một
trật tự xácđịnh và phù h ợp với những quy tắc nhất định. Từ đó, m ột tập hợp các
hành động trí tuệ như là m ột chỉnh thể để giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó
g ọi là ho ạt động trí tuệ trong việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức ấy [33].

13

Quá trình ưt duy bao gồm nhiều giai đoạn, tuy nhiên tính giaiđoạn của quá
trình tư duy chỉ phản ánhđược mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài ủca tư duy, còn nội
dung bên trong mỗi giai đoạn của quá trình ưt duy lại là m ột quá trình phức tạp, diễn
ra trên cơ sở của những thao tác ưt duy, và nh ư quan điểm đã nêu trên, còn gọi là
thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc [107, tr. 116].
Xét về bản chất, tư duy là m ột quá trình cá nhân thực hiện các thao tácư tduy
để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra. Cá nhân có tư duy hay không chính là ở
chỗ họ có ti ến hành các thao tácưt duy trong đầu mình hay không. Do v ậy, thao tác
tư duy còn được gọi là quy lu ật bên trong ủca tư duy [107, tr. 116].
Thao tác ưt duy không đồng nhất với tư duy. Quá trình ưt duy là quá trình thực
hiện các thao tácư tduy để đạt được mục đích. Việc rèn luyện các thao tácư t duy cuối
cùng cũng nhằm vào m ục đích chung là phát triển tư duy cho HS, một trong các mục
tiêu chính của việc dạy học. Có th ể liệt kê, mô tả một số thao tác ưt duy cụ thể dưới
đây c ủa các nhà khoa học:
Theo M. N. Sácđacôp [82], t ư duy được thực hiện và phát triển trong những
hình thức riêng ủca nó: phân tích, t ổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát hóa
và c ụ thể hóa; quy n ạp, diễn dịch và t ương tự; phát hiện những mối liên hệ và quan
hệ; hình thành nh ững khái niệm, phân lo ại và h ệ thống hóa chúng.
Theo G. Polya [77], thao tác ưt duy bao gồm: phân tích, t ổng hợp, so sánh,
tương tự hóa, khái quát hóa,đặc biệt hóa.
Trong [95], [106], [10], [108], các tác ảgicho rằng thao tác ưt duy bao gồm:
phân tích, t ổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa.
Nguyễn Bá Kim trong [54] không gọi là thao tác tư duy mà g ọi là các hoạt
động trí tuệ cơ bản, bao gồm: phân tích, t ổng hợp, so sánh, ươtng tự hóa, tr ừu
tượng hóa, khái quát hóa,đặc biệt hóa.
Theo tác giả Hoàng Chúng [8], thao tác ưt duy bao gồm: phân tích, t ổng hợp,
so sánh, khái quát hóa,ừtru tượng hóa và c ụ thể hóa.
Từ phân tích và t ổng hợp các ý kiến nêu trên, có thể hiểu rằng thao tác ưt

duy là m ột hành động tư duy được kỹ thuật hóa và đã rút gọn, có th ể rèn luyện để
đạt được các mức độ nhất định. Việc rèn luyện các thao tácư tduy cho học sinh
chính là vi ệc tập luyện các hành động tư duy. Trong luận án, chúng tôi ậtp trung
nghiên ứcu các thao tácư tduy sau: phân tích, t ổng hợp, so sánh, ươtng tự hóa, trừu
tượng hóa, khái quát hóa,đặc biệt hóa.

14


Tương ứng với các thao tácư tduy trên, ũcng có th ể nói là có các hành động
tư duy, đó là các hành động phân tích, t ổng hợp, so sánh, ươtng tự hóa, tr ừu tượng
hóa, khái quát hóa,đặc biệt hóa xét ừt bình diện hoạt động trí tuệ.
1.2.2. Phân tích - T ổng hợp
1.2.2.1. Phân tích
Thế giới vật chất khách quan là một tổng thể các ựs vật, hiện tượng, biến cố
và các quá trình nguyênẹ nv mà m ỗi sự vật, biến cố và quá trình đó bao g ồm nhiều
bộ phận riêng biệt với các dấu hiệu và thu ộc tính riêng. Việc nhận thức các ựs vật và
hi ện tượng của thế giới đòi h ỏi phải nghiên ứcu, phân tích các bộ phận theo các dấu
hiệu và thu ộc tính của chúng. Các ộb phận của bất kỳ một sự vật nguyên vẹn nào c
ũng có nh ững mối quan hệ và liên hệ nhất định với nhau. Cho nênđể nhận thức một
sự vật nguyên vẹn cần phải phân tích, nghiên cứu các mối quan hệ và liên hệ giữa
các bộ phận đó. Nghiên cứu một sự vật nguyên vẹn với các bộ phận của nó, cũng
như các mối liên hệ, quan hệ giữa các bộ phận càng chi ti ết bao nhiêu thì càng nhận
thức nó m ột cách sâu sắc bấy nhiêu.
Việc nghiên ứcu có phân tích không ph ải là s ự liệt kêđơn giản hoặc chỉ là
việc lần lượt nghiên cứu các yếu tố của sự vật nguyên vẹn với các dấu hiệu của
chúng và các mối liên hệ giữa chúng. Phân tích luôn luôn là m ột việc làm có m ục
đích, được thực hiện theo một định hướng nào đó. Ý ngh ĩa tổng hợp ban đầu của sự
vật nguyên vẹn và m ục đích hoạt động sẽ xácđịnh phương hướng và góc độ của sự
nghiên ứcu có phân tích. Ví d ụ, việc phân tích m ột định lý để tìm cách chứng minh

nó có th ể được tiến hành b ằng cách phân tích cấu trúc lôgic của định lý, gi ả thiết
của định lý, k ết luận của định lý, các phương pháp chứng minh một định lý, ...
Xét ừt bình diện của triết học thì: "Phân tích là ph ương pháp phân chia cái
toàn th ể ra thành t ừng bộ phận, từng mặt, từng yếu tố để nghiên ứcu và hi ểu được
các bộ phận, mặt, yếu tố đó" [100, tr. 86].
Ngoài ra,còn có r ất nhiều định nghĩa khác nhau về phân tích c ủa các nhà khoa
học, chẳng hạn như: "Phân tích là quá trình dùng trí óc để táchđối tượng nhận thức
thành nh ững bộ phận, những thuộc tính, những mối liên hệ và quan h ệ giữa chúng để
nhận thức đối tượng sâu s ắc hơn" [95], [106], [10], [108]. "Phân tích là tách (trong tư
tưởng) một hệ thống thành nh ững vật, tách một vật thành nh ững bộ phận riêng ẻl" [54,
tr. 46]. "Phân tích là m ột quá trình nhằm tách cácộbphận của những sự vật hoặc hiện
tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thu ộc tính của chúng, cũng như các mối liên hệ
và quan h ệ giữa chúng theo một hướng nhất định. Quá trìnhđó nh ằm mục

15


đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu s ắc hơn, và chính vì v ậy mới nhận thức được
trọn vẹn các ựs vật và hi ện tượng" [82, tr. 88]. "Phân tích là dùng trí óc chia cái to
àn thể ra thành t ừng phần, hoặc tách ra ừtng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt
nằm trong cái toàn thể đó" [8, tr. 16]. "Phân tích là chia cái toàn th ể ra từng phần, là
phân cái toàn thể ra từng bộ phận, là chia nh ỏ, là tách ra hoặc trừu xuất hóa đi một
mặt nào đó nh ững dấu hiệu và nh ững phần riêng ẻl nào đó" [33, tr. 109]. "Phân tích
là chia một chỉnh thể ra thành nhi ều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ
phận. Sau khi đã chia ra nh ư vậy, mỗi bộ phận đều phải được nghiên ứcu để cho sự
hiểu biết sâu h ơn, chi tiết hơn" [97, tr. 122].
Mỗi một đối tượng, mỗi một quan hệ mà chúng ta nghiên ứcu đều có nh ững
thuộc tính, trong số các thuộc tính này có nh ững thuộc tính bản chất, thuộc tính không
b ản chất, thuộc tính chung, thuộc tính đặc trưng. Trong [18], nhóm tác giả cho rằng:
Thuộc tính bản chất là thu ộc tính gắn liền với một đối tượng. Nếu mất thuộc tính bản

chất thì đối tượng đã cho s ẽ trở thành m ột đối tượng khác. Thuộc tính bản chất là điều
kiện cần thiết để phân bi ệt đối tượng này v ới đối tượng khác. Thuộc tính đặc trưng là
thu ộc tính chỉ đối tượng đó m ới có. Thu ộc tính đặc trưng là điều kiện cần và đủ của
khái niệm. Thuộc tính chung là thu ộc tính mà nhi ều đối tượng cùng có.

Ví dụ 1.3: Phân tích khái niệm hình chữ nhật.
Nhìn hình chữ nhật là m ột tứ giác ừt các thuộc tính của cạnh, góc, đường
chéo ta thấy:
- Nhìn từ yếu tố cạnh: Đa giác ồli có 4 c ạnh (tứ giác); ứt giác có các ặcp cạnh
đối song song với nhau; tứ giác có các ặcp cạnh đối diện bằng nhau; tứ giác có hai
cạnh kề nhau vuông góc v ới nhau.
- Nhìn từ yếu tố góc: T ứ giác có 4 góc bằng nhau; tứ giác có 4 góc vuông; t
ứ giác có tổng các góc đối diện bằng 1800 .
- Nhìn từ yếu tố đường chéo: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường; tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.
Tất cả các thuộc tính trênđều là thu ộc tính bản chất của hình chữ nhật, còn độ
lớn của các ạcnh, vị trí của hình, chất liệu làm nên hình, màu sắc của hình, ... là các
thuộc tính không b ản chất. Tuy nhiên, không phải thuộc tính bản chất nào c ũng là
thu ộc tính đặc trưng của hình chữ nhật. Chẳng hạn, thuộc tính "tứ giác có các ặcp
cạnh đối song song với nhau" không ph ải là thu ộc tính đặc trưng vì không ph ải "tứ
giác có các ặcp cạnh đối song song với nhau" nào c ũng đều là hình ch ữ nhật. Phân
tích mối quan hệ giữa các thuộc tính chúng ta thấy các thuộc tính "tứ giác có các

16


cặp cạnh đối song song với nhau", "tứ giác có các ặcp cạnh đối diện bằng nhau", "tứ
giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường" có th ể kéo theo nhau
(đó chính là các thuộc tính đặc trưng của khái niệm hình bình hành); "t ứ giác có các
cặp cạnh đối song song với nhau" có th ể kéo theo "tứ giác có một cặp cạnh đối song

song và b ằng nhau" và ng ược lại; "tứ giác có một cặp cạnh đối song song và b ằng
nhau" cùng với "tứ giác có hai cạnh kề nhau vuông góc v ới nhau" có th ể
kéo theo "tứ giác có 4 góc vuông" và ng ược lại; "tứ giác có 4 góc vuông" có th ể
kéo theo "tứ giác có hai đường chéo bằng

nhau" và ng ược lại (đây chính là các

thuộc tính đặc trưng của khái niệm hình chữ nhật).
Từ các quan niệm đã nêu, tuy có một vài điểm khác, nhưng tựu trung lại phân
tích th ực chất là tìm cho ra c ấu trúc của sự vật và hi ện tượng bao gồm những thành ph
ần chủ yếu nào, quan h ệ giữa các thành phần đó nh ư thế nào, m ỗi một thành ph ần
như vậy với tư cách là một bộ phận của cái chung ạli bao gồm những gì. Phân tích là
làm nhi ệm vụ tách ấcu trúc, nhận thức cấu tạo của bộ phận, mối quan

hệ giữa các bộ phận, nhiệm vụ cuối cùng là hi ểu được bản chất của đối tượng, sự
vật, hiện tượng. Trên cơ sở phân tích các định nghĩa đó, có th ể quan niệm về phân
tích như sau: Phân tích là quá trình dùng trí óc tách cái toàn thể ra từng bộ phận
theo các dấu hiệu và thu ộc tính của chúng nhằm mục đích nghiên ứcu chúng đầy
đủ và sâu s ắc hơn.
Chúng ta có thể xem có hai hình th ức phân tích nh ư sau:
Hình thức thứ nhất, đó là tách vấn đề thành các bộ phận theo một tiêu chí.
Chẳng hạn như phân tích khái niệm số nguyên thành hai bộ phận: số chẵn và s ố lẻ;
phân tích khái niệm số nguyên thành ba bộ phận: chia cho 3 dư 1, chia cho 3 dư 2 và
chia hết cho 3; phân tích bi ệt thức D = b 2 - 4ac của tam thức bậc hai
f ( x) = ax 2 + bx + c ( a ¹ 0) (trong tập số thực) thành ba tr ường hợp: ∆ > 0, ∆ < 0
và
∆ = 0 , ... Việc tách như thế nào tùy t ừng đặc điểm, yêu ầcu, mục đích của bài
toán. Hình thức phân tích th ứ hai, đó là tách ra một thành ph ần, tập trung
chú ý
vào thành ph ần đó, thu th ập các thông tin từ việc nghiên cứu thành ph ần vừa tách

ra. Chẳng hạn, trong một phương trình, tách vế phải của phương trình, quan sát, xem
xét các phép toán, các conốtrongs biểu thức vế phải, từ đó đưa ra các thông tin về
biểu thức này. Ti ếp tục tách vế trái của phương trình và rút ra các thông tin thu nh ận
được từ vế trái.


17


1.2.2.2. Tổng hợp
Xét ừt bình diện của triết học thì: "Tổng hợp là ph ương pháp dựa vào s ự
phân tích và liên kết, thống nhất các bộ phận, mặt, yếu tố, để nhận thức được cái toàn
th ể" [100, tr. 86].
Ngoài ra, còn có r ất nhiều định nghĩa khác nhau về tổng hợp của các nhà
khoa học, chẳng hạn như: "Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận
thành m ột vật, liên kết nhiều vật thành m ột hệ thống" [54, tr. 46]. "Tổng hợp là m ột
hoạt động nhận thức, phản ánh ủca tư duy, biểu hiện trong việc xác ậlp tính chất
thống nhất của các phẩm chất và thu ộc tính của các yếu tố trong một sự vật nguyên
vẹn có th ể có được, trong việc xácđịnh phương hướng thống nhất và xác định các
mối liên hệ và các quan hệ giữa các yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó, trong vi ệc liên
kết và k ết hợp chúng và chính như vậy là đã thu được một sự vật và hi ện tượng
nguyên vẹn mới" [82, tr. 97]. "Tổng hợp là dùng trí óc h ợp lại các phần của cái toàn
thể, hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn
thể" [8, tr. 16]. "Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất những bộ phận, những
thuộc tính, những thành ph ần đã được phân tách nhờ phân tích thành m ột chỉnh
thể" [107, tr. 116]. "Tổng hợp là k ết các phần riêng ẻl lại, là khái quát cácấ ud hiệu,
là t ạo lập một cái toàn vẹn" [33, tr. 110]. "Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh
thể gồm nhiều bộ phận, cố mô t ả được bức tranh toàn c ảnh của cả chỉnh thể, các
mối quan hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và c ủa chỉnh thể với môi tr ường xung
quanh" [97, tr. 125].

Ví dụ 1.4: Từ việc phân tích các thuộc tính của hình chữ nhật nhìn từ các góc
độ cạnh, góc, đường chéo và mối quan hệ giữa cácđối tượng đó, t ổng hợp lại chúng
ta có định nghĩa về khái niệm hình chữ nhật dựa trên các thuộc tính đặc trưng của
nó: "Hình ch ữ nhật là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau"; "hình chữ nhật
là hình bình hành có m ột góc vuông"; "hình ch ữ nhật là t ứ giác có 4 góc vuông".
Mặc dù có nhi ều định nghĩa khác nhau về tổng hợp nhưng đều thống nhất
rằng tổng hợp là k ết hợp các thành phần đã được tách nhờ phân tích thành m ột
chỉnh thể nguyên vẹn, cuối cùng nhìn nhận lại để biết được các thuộc tính của đối
tượng, dấu hiệu bản chất của đối tượng. Trên ơc sở cácđịnh nghĩa trên, có thể thống
nhất quan niệm về tổng hợp: Tổng hợp là quá trình dùng trí óc liên kết những bộ
phận, những thuộc tính, những thành ph ần đã được tách nhờ phân tích thành m ột
chỉnh thể theo một mục đích xácđịnh nhằm đem lại một kết quả mới, một sự hiểu
biết mới nào đó v ề hiện thực.

18


Tương ứng với hai hình thức của phân tích, có hai hình th ức tổng hợp sau:
Hình thức tổng hợp thứ nhất đó là nh ập cácđối tượng vừa phân tích, ch ẳng
hạn như hợp nhất hai đối tượng số chẵn và s ố lẻ sẽ được khái niệm số nguyên. Hình
thức thứ hai là g ắn một thông tin v ừa thu nhận được từ việc tách một bộ phận ra
nghiên ứcu vào cái toàn thể, chẳng hạn như từ việc nghiên ứcu vế trái ủca phương
trình có th ể đưa ra thông tin v ề vế trái là hàm số đồng biến, gắn thông tin này vào
cái toàn thể là ph ương trình, ta thu nhận được phương trình này có v ế trái là một
hàm s ố đồng biến.
Ngoài hai hình th ức tổng hợp trên, có thể có m ột hình thức khác ủca tổng
hợp, đó là tr ước tiên nhìn nhận sự vật hay hiện tượng trong sự toàn v ẹn của nó m
ột cách bao quátđể định hướng cho sự phân tích.
1.2.2.3. Mối quan hệ giữa phân tích và t ổng hợp
Có nhi ều luận điểm nói v ề mối quan hệ giữa phân tích và t ổng hợp, chẳng

hạn như: "Phân tích và t ổng hợp là hai ho ạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là
hai m ặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động cơ bản của quá trình
tư duy. Những hoạt động trí tuệ khácđều được diễn ra trên nền tảng phân tích và t
ổng hợp" [54, tr. 46]. "Phân tích và t ổng hợp có m ối quan hệ qua lại mật thiết với
nhau, tạo thành s ự thống nhất không tách rời được: Sự phân tích được tiến hành theo
h ướng tổng hợp, còn s ự tổng hợp được thực hiện theo kết quả của phân tích" [107,
tr. 116]. "Là nh ững thao tác trái ngược nhau, phân tích và t ổng hợp đồng thời lại
liên hệ chặt chẽ với nhau, là hai m ặt của một quá trình thống nhất" [8, tr. 16]. F.
Engels viết: "... Trước hết, chúng ta thấy bức tranh tổng quát, trongđó các chi tiết còn
m ờ nhạt ít nhiều. Nhưng dù đã n ắm được toàn b ộ tính chất chung của bức tranh các
hiện tượng đến thế nào đi nữa, cách nhìnấy vẫn không đủ để giải thích những chi tiết
kết thành toàn b ộ bức tranh ấy, và ch ừng nào chúng ta chưa giải thích nổi các chi
tiết thì chúng ta cũng chưa thể có m ột quan niệm rõ r ệt về bức tranh chung được"
(dẫn theo [82, tr. 105]). Đây chính là lý do để tiến hành thao tác phân tích nh ằm
hướng tới tổng hợp ở mức độ nhận thức cụ thể và sâu s ắc hơn.
Nhận thức luôn luôn b ắt đầu từ sự tri giác và sự thông hi ểu cái nguyênẹvn, từ
sự tổng hợp, bởi vì hiện thực cụ thể tồn tại trong các ựs vật và hi ện tượng nguyên
vẹn. Những tri giác ổtng hợp ban đầu cung cấp cho chúng ta tri thức tổng quát, ảtn
mạn về các ựs vật hiện tượng. Nhưng sự tổng hợp ban đầu đó th ường xácđịnh được
phương hướng nghiên ứcu phân tích các sự vật hoặc hiện tượng. Sự phân tích ban
đầu xuất phát ừt tri thức tổng hợp, nó ch ỉ có ý ngh ĩa trong mối tương quan với tổng

19