Copy of DE DAP AN TOAN 8 HSG HUYEN YEN LAC 20142015

UBND HUYệN YÊN
LạC
PHòNG GD & đt
Đề CHíNH THứC

đề thi giao LƯU hsg LớP 8 CấP HUYệN
năm học 2014-2015
Môn : Toán 8

Thời gian:120 phút ( Không kể thời gian
giao đề)

Cõu 1(2,5 im): Cho biu thc
a) (0,75 im). Tỡm iu kin xỏc nh v rỳt gn P
b) (0,75 im). Vi x>0 thỡ P khụng nhn nhng giỏ tr no?
c) (1,0 im). Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x P cú giỏ tr nguyờn.
Cõu 2: (2 im): Cho biu thc

.

Chng minh rng:
a) (1,0 im). Nu a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc thỡ M >1.
b) (1,0 im). Nu M=1 thỡ hai trong ba phõn thc ó cho ca biu thc M bng 1,
phõn thc cũn li bng -1.
Cõu 3(2 im):
a) (1,0 im). Cho n l tng ca hai s chớnh phng. CMR n2 cng l tng ca hai s
chớnh phng.
b) (1,0 im). Cho a thc A = ax 2 + bx + c. Xỏc nh h s b bit rng khi chia A
cho x-1, chia A cho x+1 u cú cựng mt s d.
Cõu 4(2,5 im):
a) (1,0 im). Gi H l hỡnh chiu ca nh B trờn ng chộo AC ca hỡnh ch nht

ABCD, M v K theo th t l trung im ca AH v CD. Tớnh s o ca gúc BMK.
b) (1,5 im). Cho tam giỏc ABC nhn trc tõm H, trờn on BH ly im M v trờn
trờn on CH ly im N sao cho

. CMR AM = AN.

Cõu 5(1 im):
a)(0,5im). Cho a, b, c >0.
CMR:

.


b) (0,5 điểm). Cho đa giác đều gồm 1999 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác
bằng hai màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu
tạo thành một tam giác cân.
UBND HUYÖN Y£N
L¹C
PHßNG GD & ®t

H¦íNG DÉN CHÊM ®Ò thi giao L¦U hsg LíP 8
n¨m häc 2014-2015
M«n : To¸n 8

Câu 1: a) ĐKXĐ: x≠

b) Ta có

Để x>0 thì

=> =

>0 <=>

>0 <=>

Vậy x>0 thì P không nhận những giá trị từ -1 đến 1, P
c) Ta có
P có giá trị nguyên <=> x-3 ∈ U(6) = {
Từ đó tính được x∈{

( Chú ý loại x= - 3)

Câu 2a)
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác nên a, b, c>0 và a+b-c>0 ; a+c-b>0; c+b-a>0
Đặt

;

;

Ta cần chứng minh M =A +B+C> 1 hay (A -1) +(B-1) +(C+1)>0
Ta có

Suy ra (A -1)+(B-1)+(C+1) =
=


=

=

=

=

=

>0 (đúng)

Từ đó suy ra M-1 >0 đúng vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác hay M >1

b) M =1 <=> M = 0 <=>
<=>
Ta xét ba trường hợp
TH1: Nếu a-b+c =0 Thì A-1=0; B-1=

=0;

C+1=0; Suy ra A=1; B=1;C=-1
TH2:

Nếu

b-c+a

=0

Thì

A+1

=

0;

C-1=
B-1=0; Suy ra A=-1; B=1;C=1
TH3: Nếu c-a+b =0 Thì A-1

0;


C-1=

B+1=

0; Suy ra A=1; B=-

1;C=1
Nh vy trng hp no cng cú hai trong ba phõn thc A, B, C
bng 1, phõn thc cũn li bng -1.
Cõu 3a) t N = a2 + b2 v[is a, b N
Khi ú N2=a42a2b2 +b2+4a2b2 =(a2b2)2+(2ab)2 l tng ca hai s
chớnh phng
b) Gi s A = ax2 + bx + c = (x-1).P +R (1)
A = ax2 + bx + c = (x+1).Q +R (2)
Cho x=1 thỡ t (1) ta cú: a+b+c=R
Cho x=-1 thỡ t (2) ta cú: a-b+c=R
Do ú a+b+c=a-b+c 2b=0 => b=0

Cõu 4a : Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A trên BD ; I và J thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng DH
và BC . Tính số đo ca góc AIJ .
Lời giải
Từ hình vẽ ( khá chính xác ) ta dự đoán góc AIJ = 900.Dựa vào
yếu tố trung điểm mà đề đã cho mà vẽ thêm hình tạo sự liên kết
giữa I và J .
Cách 1 : ( hình 1,2) Vẽ hình phụ khai thác yếu tố trung điểm


B

A

J
I

H

D

C
B

A

B

A

O

P
J
I

P

H

D

C

H×
nh 1

D

J

I

H
C

H×
nh 2

(Hình 1) Gäi P lµ trung ®iÓm cña AH => PI là đường trung bình của

tam giác AHD => PI//AD mà AD⊥ AB h× IP ⊥ AB vµ P lµ trùc t©m cña
ABI . Tõ ®ã tø gi¸c BPIJ lµ h.b.h ,⇒ BP // IJ mµ BP ⊥ AI nªn JI ⊥ AI .

Câu 4b)
Gọi P,Q lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C.
Tam giác vuông AMC có đường cao MP => AM2=AP.AC
Tam giác vuông ANB có đường cao NQ => AN2=AQ.AB
Xét tam giác APB và AQC có:
Góc A chung
Góc APB=AQC=90 độ
=> tam giác đồng dạng
=> AP.AC=AQ.AB
=> AM2=AN2
=> AM=AN

Câu 5a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với a,b,c>0, ta có:


Áp

dung

BĐT

Cauchy

Ta

Schwarz

có:

Suy ra
Tương tự:

Tương tự:
Cộng vế với vế các BĐT trên ta có:

=

=> ĐPCM

Câu 5b. Cho đa giác đều gồm 1999 cạnh. Người ta sơn các đỉnh
của đa giác bằng 2 màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng phải tồn tại 3
đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân.
Giải
Ta có đa giác 1999 cạnh nên có 1999 đỉnh. Do đó phải tồn tại 2 đỉnh
kề nhau là P và Q được sơn bởi cùng một màu – màu đỏ (Theo
nguyên tắc Dirichle).
Vì đa giác đã cho là đa giác đều có số đỉnh lẻ, nên phải tồn tại một
đỉnh nào đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng PQ. Giả sử
đỉnh đó là A.
Nếu A tô màu đỏ thì ta có tam giác APQ là tam giác cân có 3 đỉnh A,
P, Q được tô cùng màu đỏ.
Nếu A tô màu xanh. Lúc đó gọi B và C là các đỉnh khác của đa giác
kề với P và Q.
Nếu cả 2 đỉnh B và C được tô màu xanh thì tam giác ABC cân và có
3 đỉnh cùng
tô màu xanh.
Nếu ngược lại, một trong hai đỉnh B và C mà tô màu đỏ thì tam giác

BPQ hoặc tam giác CPQ là các tam giác cân có 3 đỉnh được tô màu
đỏ