Copy of de thi HSG toan 8 20132013

UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG
PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
-----------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2012 – 2013
Khóa ngày 04/11/2012

ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (4 điểm)

x +1 y + 2 z + 3
=
=
và 3x + 2y + z = 989
111
222
333
2012
( a − b ) = a 2012 + b 2012
a c
b/ Cho tỉ lệ thức = (b, d ≠ 0) . Chứng minh rằng:
2012
c 2012 + d 2012
b d
( c−d)

a/ Tìm x, y, z biết

Bài 2: (4 điểm)

a/ Chứng minh rằng biểu thức S = 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + ……+ 394 + 395 chia hết cho 40.
b/ Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A = 3n3 + 10n2 – 5 chia hết cho giá trị
của biểu thức B = 3n + 1.
Bài 3: (4 điểm)
a/ Chứng minh đẳng thức : (a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)( b + c)(c + a)
b/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường trung tuyến AM (với M ∈ BC). Gọi D là điểm đối
xứng với A qua M, E là điểm đối xứng với A qua BC.
a/ Chứng minh BCDE là hình thang cân.
b/ Qua A kẻ đường thẳng d bất kỳ không cắt cạnh BC. B’, C’ là hình chiếu của B và C trên
đường thẳng d. Chứng minh rằng: BB’ + CC’ ≤ BC
Bài 5: (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài đường chéo là 1. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt
lấy các điểm M, N, P, Q . Chứng minh rằng chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ hơn 2.
--- HẾT---


Bài
Bài 1:
(4 đ)

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8
(THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013)
---------------------Đáp án

x +1 y + 2 z + 3
=
=
và 3x + 2y + z = 989

111
222
333
x + 1 y + 2 z + 3 3( x + 1) 2( y + 2) z + 3
3x + 3 2 y + 4 z + 3
=
=
⇒
=
=
⇒
=
=
Từ
111
222
333
333
444
333
333
444
333
3 x + 3 2 y + 4 z + 3 3x + 3 + 2 y + 4 + z + 3 3 x + 2 y + z + 10 989 + 10 9
⇒
=
=
=
=
=

=
333
444
333
333 + 444 + 333
1110
1110
10
111.9
9
⇒ x +1 =
⇒ x = 98 ..................................................................................
10
10
222.9
4
⇒ y+2=
⇒ y = 197 ................................................................................
10
5
333.9
7
⇒ z+3=
⇒ z = 296 ...............................................................................
10
10
a c
b/ Đặt = = k ⇒ a = bk ; c = dk
b d

a/

( a − b ) = ( bk − b )
2012
2012
(c−d)
( dk − d )
2012

2012

b ( k − 1) 
b 2012
=
= 2012 (1)
2012
d
 d ( k − 1) 

( a − b)
Từ (1) và (2) suy ra
2012
(c−d)
2012

=

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ

a 2012 + b 2012
c 2012 + d 2012

0,5 đ

a/ Từ 0 đến 95 có: (95 – 0) + 1 = 96 phần tử, do đó có 24 bộ 4 số liên tiếp nhau
S = (30 + 31 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36 + 37) + ……+ (392 + 393 + 394 + 395)
S=
40
+ 34.40
+ ……+ 392.40
Các hạng tử đều chia hết cho 40 nên S chia hết cho 40.
b/
Thực hiện phép chia A cho B được thương là n2 + 3n – 1, dư là – 4
Để A chia hết cho B thì 3n + 1 ∈ Ư(4) = { ± 1; ± 2; ± 4}
3n + 1
-1
1
-2
2
-4
4
−2
1
−5

n
0
-1
1
3

Kết luận
Loại
Nhận
Vậy n = 0 ; n = -1; n = 1
Bài 3:
(4 đ)

0,5 đ

2012

2012
2012
+ 1) b 2012
a 2012 + b 2012 (bk ) 2012 + b 2012 b ( k
=
=
=
(2)
c 2012 + d 2012 (dk )2012 + d 2012 d 2012 ( k 2012 + 1) d 2012

Bài 2:
(4 đ)

Điểm

Nhận

3

3

Loại

Loại

Nhận

a/ Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)( b + c)(c + a)
Vế trái: (a + b + c)3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c)
= a3 + b3 + 3ab(a + b) + c3 + 3c(a + b)(a + b + c)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + c(a + b + c)]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + ca + cb + c2]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) = vế phải ⇒ đpcm
b/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ
2đ

2đ


Bài 4:
(4 đ)

Phân tích thành nhân tử: a3 + b3 + c3 - 3abc =
= (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= (a + b + c)3 – 3c(a + b)(a + b + c) – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b + c)2 – 3c(a + b) – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac – 3ac – 3bc – 3ab)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ac – bc – ab)
Theo đề cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac ⇒ a2 + b2 + c2 – ac – bc – ab = 0
⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 hay a3 + b3 + c3 = 3abc
B'
Hình vẽ:
A

0,5 đ

M'

C'
x

d

//

B

C

M
x

//

D

E

Bài 5:
(4 đ)

a/ Chứng minh HM là đường trung bình của ∆ ADE
⇒ HM // ED hay BCDE là hình thang. (1)
+ Chứng minh BD = AC (do ABDC là hình bình hành)
+ Chứng minh CE = AC (do A và E đối xứng qua BC)
⇒ BD = CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra BCDE là hình thang cân.
b/ Kẻ thêm MM’ ⊥ d ⇒ MM’ là đường trung bình của hình thang BCC’B’
⇒ BB’ + CC’ = 2MM’
mà MM’ ≤ AM
hay 2MM’ ≤ 2AM = BC
suy ra: BB’ + CC’= 2MM’ ≤ BC
Hình vẽ:

Q

A

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

D
K

M

F

I
B

P

E
N

C

Kẻ ME ⊥ BD ; QF ⊥ BD ; NI ⊥ BD ; PK ⊥ BD
Ta có: MN ≥ ME + NI
NP ≥ IK
PQ ≥ QF + PK
QM ≥ EF
Gọi p là chu vi tứ giác MNPQ, thì: p = MN + NP + PQ + MQ
⇒ p ≥ ME + NI + IK + QF + PK + EF = (ME + EF + FQ) + (NI + IK + PK)
Mà các tam giác EBM, FDQ, IBN, KDF vuông cân.
⇒ p ≥ (BE + EF + FD) + (BI + IK + DK) = 2BD = 2

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ