Đề thi HSG Toán 89 mới nhất

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016

PHÒNG GD&ĐT GIO LINH

Khoá ngày 27 tháng 10 năm 2015
Đề thi môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1 (4,5 điểm): Cho biểu thức: P =

15 x - 11 3 x - 2 2 x + 3
+
x + 2 x - 3 1- x
x +3

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x nguyên dương để P nhận giá trị nguyên.
Bài 2 (4,0 điểm):

(

a) Cho hàm số: f ( x ) = x 3 + 6 x − 7

)

2012

.

Tìm f ( a ) với a = 3 3 + 17 + 3 3 − 17 .
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho:

1
x + y − z + z − x = (y + 3).
2

Bài 3 (4,0 điểm):
a) Với a, b là các số nguyên và a – b là số nguyên chẵn. Chứng minh rằng:
Nếu 4a 2 + 3ab − 11b 2 chia hết cho 5 thì (a2 - b2) chia hết cho 20.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
A=

xy yz zx
+
+
với x,y,z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1
z
x
y

Bài 4 (4,5 điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB; E là một điểm bất kì
thuộc đường kính AB (E khác A và B). Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua
trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tròn (O) và vuông góc với AE,
BC cắt đường tròn (O’) tại I. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm I, E, D thẳng hàng.
b) HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
c) HA2 +HB2 +HC2 +HD2 không đổi khi E chuyển động trên đường kính AB.
Bài 5 (3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M, N, O lần lượt là trung

điểm của AB, AC, BC. Đường thẳng vuông góc với CM kẻ từ O cắt MN tại G, cắt
AC tại P. Chứng minh:
D CMA.
a) D OPN
b) G là trọng tâm của tam giác AMC.
Hết./.


HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

PHÒNG GD&ĐT GL

Năm học 2015-2016

Bài
I
a) 3,0 đ
4,5 đ
(ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1)

A=
15

=
=

Đáp án

(

15 x − 11

+

x +3

15 x − 11

(

)(

x −1

x +3

15 x − 11 − 7 x + 6 − 3 x − x + 3 − 2 x

(

(

)(
( x − 1) (

)(

x −1

x − 1 −5 x + 2

x +3

)

x +3

)

=

)

P=

−5 x + 2

(

)

3 x −2 2 x +3
−
1− x
x +3

)(

)

x −1

(

=

=
x + 3)

0,5

−5 x + 7 x − 2

)(

x −1

x +3

)

II
4đ

(

)

− 5 x + 3 + 17
x +3

= −5 +

x + 3 = 17 Û

17
x +3

x = 14 Û x = 196

0,5
0,5
0,5

a) 2,0 đ
3
3
3
Ta có: a = 3 3 + 17 + 3 3 − 17 Û a = 6 − 6 3 + 17 + 3 − 17 

Û a 3 + 6a − 6 = 0

Từ đó: f ( a ) = ( a + 6a − 7 ) = ( a + 6a − 6 − 1) = 1 .
b) 2,0 đ
Điều kiện x ≥ 0; y −z ≥ 0; z − x ≥ 0 ⇔ y ≥ z ≥ x ≥ 0
(b) ⇔ 2 x + 2 y − z + 2 z − x = x + y − z + z − x + 3
3

2012

3

⇔ ( x − 1) 2 + ( y − z − 1) 2 + ( z − x − 1) 2 = 0
 x =1
x = 1


⇔  y − z = 1 ⇔  y = 3 (thỏa điều kiện)

z = 2

 z − x = 1

III
4đ

0,5
0,5

Do x + 3 ≥ 3 và 17 là số nguyên tố nên
P Î ¢ Û 17M( x + 3) Û

0,75
0,5

−5 x + 2
x +3

b) 1,5đ
Ta có:

x +3

+

2−3 x 2 x +3
−
x −1
x +3 =

)(
)
x − 11 + ( 2 − 3 x ) ( x + 3) − ( 2
( x − 1) ( x + 3)
x −1

Điểm
0,25

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
=
x + 2 x − 3 1− x
x +3

A=

Môn: Toán

2012

1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5

a) 2,0 đ
Ta có : 4a2 + 3ab -11b2 M5 Þ (5a2 +5ab -10b2) – (a2 + 2ab + b2) M5
0,5
Þ (a2 + 2ab + b2) M5 Þ (a + b)2 M5 Þ (a + b)M5 ( Vì 5 là số nguyên tố) 0,5


Þ a2 – b2 = (a + b)(a – b)M5
a + b và a – b có cùng tính chẵn lẻ mà a – b là số nguyên chẵn
nên (a + b)(a – b)M4
ta có: (4, 5) = 1. Do đó (a2 – b2 ) M20
b) 2,0 đ
xy

yz

0,5
0,5

zx

A= z + x + y

x2 y2 y2 z 2 z 2 x2
Nên A = 2 + 2 + 2 + 2 ( vì x2+y2+z2 =1)
z
x
y
2

0,5

= B +2
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có
x2 y 2 y 2 z 2
x2 y 2 y 2 z 2
+
³
2
= 2 y2
2
2
2 2
z
x
z x
2 2
2 2
y z
z x
+ 2 ≥ 2z 2

Tương tự
2
x
y

0,5
0,5

x2 y2 z2 x2
+ 2 ≥ 2x 2
2
z
y

Cộng vế với vế ta được 2B ≥ 2 ⇒ B ≥ 1
Do đó A2 = B +2 ≥ 3 nên A ≥ 3
Vậy Min A = 3 ⇔ x=y=z=
IV
4,5 đ

3
3

0,5

a) 1,5 đ

*Tứ giác ACED là hình thoi
(vì hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm)
Þ AC // DE (1)

*I Î (O’), EB là đường kính Þ EI ⊥ IB hay EI ⊥ BC; C Î (O),
AB là đường kính Þ AC ⊥ BC Þ EI // AC (2)
*Từ (1) và (2) => D, E, I thẳng hàng (đpcm)
b) 1,5đ

0,5
0,5
0,5


1
CD Þ D HID cân
2
· 'IB = B
µ mà D
·
·
·
µ =B
µ (cùng phụ với BCD
Þ HID
và O
)
= HDI
·
·
⇒ HID = O ' IB
· ' = 900 , suy ra HI là tiếp tuyến của (O’)
Do đó: HIO

Trong tam giác vuông ICD có IH = HD =

c) 1,5
-Ta có: HA2 + HC2 = AC2 ; HB2 + HD2 = BD2
- Mà BD = BC (do AB là đường trung trực của CD)
Nên HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = AC2 + BC2
-Mặt khác: ∆ACB nội tiếp đường tròn đường kính AB ⇒ ∆ ACB
vuông tại C ⇒ AC2 + BC2 = AB2 = 4R2
-Vậy, tổng HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 không đổi khi E chuyển
động trên đường kính AB.

0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25

V
a) 1,0 đ
3,0đ Bài 5:

*AMON là hình vuông vì có bốn cạnh bằng nhau và có một góc
0,5
vuông.
0
·
·

·
·
*Xét D ONP và D CAM có ONP=CAM=90
và OPN=CMA
(cùng phụ 0,75
·
với ACM ).
0,25
D CAM
Nên D ONP
b) 1,5 đ
NP ON ON 1
=
=
= .
AM
CA
AB 2
NG
NP
NP
1
=
=
= Þ GM = 2GN
Vì NP//OM nên:
GM OM
AM 2
D ONP

D CAM Þ

0,5

0,5
Mà MN là trung tuyến của tam giác MAC. Do đó G là trọng tâm của 0,5
tam giác MAN.
*Lưu ý: Nếu học sinh giải cách khác tùy theo cách giải mà cho điểm tương
ứng theo từng phần.