De thi HSG toan 8 hoang hoa

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC: 2015 - 2016
Môn thi: Toán
Ngày thi: 28/03/2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HÓA

Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

( Đề thi này có 05 bài, gồm 01 trang )
 x +1

2x

5x + 2 

3x − x 2

−
+
: 2
Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức P = 
2 ÷
 x − 2 x + 2 4 − x  x + 4x + 4
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để P = 2 .
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị là số nguyên.

Bài 2: (4,5 điểm).
a) Giải phương trình :

6
x+2
18
+
+
+1= 0 .
x − 5 x − 8 (x − 5)(x − 8)

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x + 2)(2x2 – 5x) - x3 - 8
c) Cho x, y, z là các số khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn:
trị của biểu thức: A =

1 1 1
+ + = 0. Tính giá
x y z

yz
xz
xy
+ 2
+ 2
.
x + 2yz y + 2xz z + 2xy
2

Bài 3: (4,0 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: y(x – 1) = x2 + 2
b) Chứng minh rằng nếu các số nguyên a, b, c thỏa mãn b 2 – 4ac và b2 + 4ac đồng thời
là các số chính phương thì abc M30.

Bài 4: (6,0 điểm).
1) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC (M ≠ A, M ≠ C)
. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia
BA tại E, EM cắt BC tại I.
a) Chứng minh EA.EB = ED.EC.
·
·
b) Chứng minh EAD
.
= ECB
c) Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2.
d) Vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại B, đường thẳng vuông góc với CD tại C,
chúng cắt nhau tại K. Chứng minh MK luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
e) Đặt BC = a; EC = b; BE = c; AD = a’; AI = b’; DI = c’.

a ' b' c' a 2 + b 2 + c 2
Chứng minh 2 + 2 + 2 =
.
a
b c
2abc
2) Cho điểm D thay đổi trên cạnh BC của tam giác nhọn ABC (D khác B và C). Từ D
kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại điểm N. Cũng từ D kẻ đường thẳng song
song với AC cắt cạnh AB tại điểm M. Tìm vị trí của D để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất
Bµi 5: (1,5 điểm). Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng

1
1
1
9

+
+
≤
1 − ab 1 − bc 1 − ca 2
Hết
Họ tên thí sinh :……………………............ Giám thị số 1 :………………………....
Số báo danh : ……………………............... Giám thị số 2: ………………………....
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.