de thi hsg toan 7 vu quang 2016 2017

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VŨ QUANG
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: Toán 7
Thời gian: 120 phút

Ngày thi: 18/04/2017

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
3 3
3 1 1 1 1
− +
+ − −
7
17
37
2
3 4 5
:
a) A =
5 5
5 7 7 7 7
− +
+ − −
7 17 37 5 4 3 2
1
1
1
Bài 2: a) Tìm x biết x + + x + = 4x − x +
2
3
4

b) B =

5.415.99 − 4.320.89
5.210.619 − 7.229.27 6

b) Cho a, b, c là đôi một khác nhau và khác 0. Biết ab là số nguyên tố và

ab b
=
bc c

Tìm số abc
Bài 3: a) Tìm 3 số tự nhiên biết rằng BCNN của chúng bằng 3150, tỉ số của số thứ nhất và số thứ hai
là 5 : 9, tỉ số của số thứ nhất và số thứ ba là 10 : 7.
3
b) Cho đa thức P ( x ) = ( a + 2015 ) x + ( b + 2016 ) x + 2017 (với a, b là hằng số)
Biết P(13) = 14. Tính P(-13)
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao
cho AM + AN = 2AB
a) Chứng minh rằng BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
·
c) Đường trung trực của đoạn thẳng MN và tia phân giác của BAC
cắt nhau tại K. Chứng minh
KC ⊥ AN .
·
·
Bài 5: Cho tam giác ABC có ABC
= 450 ; ACB

= 1200 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho
·
CM = 2CB. Tính số đo AMB
BÀI GIẢI
Nguyễn Ngọc Hùng – GV: THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1 
1 1
1 1 1 1
3 − + ÷
+ − −
3 1 −21
7 17 37 

2
3 4 5
:
= :
=
a) A =
1 
5
1 1
 1 1 1 1  5 −7
5  − + ÷ −7  − − + + ÷
 7 17 37 
 5 4 3 2
5. ( 22 ) . ( 32 ) − 22.320. ( 23 )
15

b) B =
=

5.210. ( 2.3) − 7.229. ( 33 )
19

229.318 ( 5.2 − 32 )
29

9

18

2 .3

( 5.3 − 7 )

=

6

9

=

5.230.318 − 22.320.227
5.230.318 − 229.320
=
5.210.219.319 − 7.229.318 5.229.319 − 7.229.318

10 − 9 1
=
15 − 7 8

1
1
1
1
1
1
+ x + = 4x − x + ⇔ x + + x + + x + = 4x
2
3
4
2
3
4
1
1
1
1
1
1
Vì x + + x + + x + > 0 ⇒ 4x > 0 ⇔ x > 0 . Do đó x + ; x + ; x + > 0
2
3
4
2
3
4

1
1
1
1
1
1
13
13
Nên x + + x + + x + = 4x ⇒ x + + x + + x + = 4x ⇔ 3x + = 4x ⇔ x =
>0
2
3
4
2
3
4
12
12

Bài 2: a) Ta có x +


thỏa mãn điều kiện.
ab b ab − b a0 a
= =
=
= ⇒ b 2 = ac
bc c bc − c b0 b
Vì ab là số nguyên tố có hai chữ số nên b ∈ { 1;3;7;9}
Mặt khác ac = b 2 , a ≠ c và a, c < 9 nên một trong hai số a, c bằng b 2 ≠ 1 và số còn lại bằng 1

Do đó chỉ có b = 3 thỏa mãn. Suy ra ac = 9. Vì a ≠ c và a không thể bằng 9 (Vì khi đó ab = 93
không phải là số nguyên tố). Vậy a = 1 ta có số abc = 139 thỏa mãn bài toán
b) Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có

Bài 3: a) Gọi ba số cần tìm lần lượt là x, y, z (x, y, z ∈ N*)
x y
x
y
=
Tỉ số của số thứ nhất và số thứ hai là 5 : 9 nên = ⇔
5 9
10 18
x z
x
y z
= . Suy ra
= =
Tỉ số của số thứ nhất và số thứ ba là 10 : 7 nên
10 7
10 18 7
x
y z
= = = k ⇒ x = 10k ; y = 18k; z = 7k.
Đặt
10 18 7
Vì BCNN (x; y; z) = 3150 nên BCNN(10k; 18k; 7k) = 3150 ⇒ 630k = 3150 ⇒ k = 5
Vậy ba số cần tìm là x = 50; y = 90; z = 35
3
b) Ta có P ( x ) = ( a + 2015 ) x + ( b + 2016 ) x + 2017

⇒ P ( − x ) = − ( a + 2015 ) x 3 − ( b + 2016 ) x + 2017 nên P ( x ) + P ( − x ) = 2017 + 2017 = 4034

Do đó P ( 13) + P ( −13) = 4034 ⇒ P ( −13 ) = 4034 − 14 = 4020

Bài 4: a) Ta có AB = AC (gt)
A
AM + AN = 2AB (gt)
⇒AM + AN = AB + AC
⇒AB – AM = AN – AC
M
⇒ BM = CN
b) Gọi E là trung điểm của MN
E
Trên BC lấy điểm D sao cho
C
B
·MDB = MBD
·
D
⇒ ∆MBD cân
⇒ BM = DM ⇒ DM = CN
N
·
·
Mặt khác MBD
(gt)
= MCB
·
·
⇒ MD // AN

⇒ MDB
= ACB
·
·
(so le)
⇒ DME
= CNE
Xét ∆DME và ∆CNE có
K
 DM = CN
·
·
·
·
nên B, E, C thẳng hàng
 DME = CNE ⇒ ∆DME = ∆CNE (c – g – c) ⇒ DEM
= CEN
 EM = EN

Do đó BC đi qua trung điểm E của MN
·
c) Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt tia phân giác của BAC
tại K, suy ra EK là
trung trực của MN ⇒ KM = KN. Vì ∆ABC cân tại A có AK là phân giác nên AK cũng là trung trực,
AB = AC

suy ra KB = KC. Xét ∆ABK và ∆ACK có AK chung ⇒ ∆ABK = ∆ACK (c – c – c)
KB = KC

·

·
·
·
(1). Tương tự ∆KBM = ∆KCN (c – c – c) ⇒ ABK
(2)
⇒ ABK
= ACK
= KCN
·
·
Từ (1) và (2) suy ra ACK
= KCN
= 900 hay KC ⊥ AN


Bài 5: Kẻ MH ⊥ AC tại H
·
Trên CM lấy điểm D sao cho MHD
= 300
·
·
·
Vì ACB
= 1200 ⇒ ACM
= 600 ⇒ DMH
= 300
·
·
⇒ MHD
= DMH

= 300 nên ∆DMH cân
⇒ DM = DH
·
·
·
Mặt khác MHD
= 300 ⇒ DHC
= 600 = ACM

nên ∆CDH đều ⇒ DH = HC = CD = DM = BC
·
·
⇒ ∆BCH cân ⇒ HBC
= CHB
= 300
·
·
⇒ HBC
= DMH
= 300 nên ∆BMH cân

⇒ HB = HM (1)
·
Ta lại có HBA
= 450 − 300 = 150 ;
·
·
·
HAB
= 1800 − 450 − 1200 = 150 ⇒ HBA

= HAB

A

H

B

C

D

M

⇒ ∆ABH cân ⇒ HB = HA (2). Từ (1) và (2) suy ra HA = HM hay ∆AHM vuông cân
·
Do đó AMB
= 300 + 450 = 750
LỜI BÌNH
- Mức độ quá khó: Đặc biệt là hai bài hình đều khó, đều phải vẽ hình phụ. Nếu so sánh với bài
hình ở đề Toán 8 thì quá chênh lệch. Bài hình ở đề Toán 8 thì dễ hơn SGK
- Nếu học sinh chưa bao giờ làm hai bài hình này thì thực sự không bao giờ làm được trong
một khoảng thời gian 120 phút
- Nếu điều chỉnh biểu điểm ở 2 bài hình này thấp hơn so với các bài khác thì 2 bài toán này vô
nghĩa. Nếu không điều chỉnh biểu điểm thì điểm sẽ rất thấp
- Đức Thọ giống đề Vũ Quang nên học sinh của mình trúng 5 bài: Bài 2a thì học rất nhiều. Bài
2b vừa mới chữa cho học sinh. Bài 3a vừa mới thi chọn HSG trường. Bài 4 mới kiểm tra 45 phút. Bài 5
học sinh hỏi nên mới chữa cách 1 tuần. Cảm ơn huyện Vũ Quang