Đề thi học sinh giỏi môn toán 8 năm học 2015 2016 trường chu mạnh chinh

tr−êng thcs
chu m¹nh Trinh

§Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng
n¨m häc 2015 - 2016
M«n: To¸n 8
Ngµy thi: 12 th¸ng 05 n¨m 2016
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
------------------------------------------------------

Câu 1: (2,5 ñiểm)


x2 + 3x

3

  1

6x



Cho biểu thức P =  3
+ 2
− 3
:

2
2
 x + 3 x + 9 x + 27 x + 9   x − 3 x − 3x + 9 x − 27 

a) Tìm ñiều kiện xác ñịnh và rút gọn P.
b) Với x>0 thì P không nhận những giá trị nào?
c) Tìm các giá trị nguyên của x ñể P có giá trị nguyên.
Câu 2: (2,0 ñiểm)
a 2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2
Cho biểu thức M =
+
+
. Chứng minh rằng:
2ab
2bc
2ca

a) Nếu a,b,c là ñộ dài các cạnh của một tam giác thì M > 1
b) Nếu M=1 thì hai trong ba phân thức ñã cho của biểu thức M bằng 1, phân thức
còn lại bằng −1 .
Câu 3: (2,0 ñiểm)
a) Cho n là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng n 2 cũng là tổng của hai
số chính phương.
b) Cho ña thức A = ax 2 + bx + c . Xác ñịnh hệ số b biết rằng khi chia A cho x-1, chia A
cho x+1 ñều có cùng một số dư.
Câu 4: (2,5 ñiểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), ñường cao AH (H ∈ BC).
Trên tia HC lấy ñiểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh: CB.CD = CE. CA.
b) Cho AB = m (với m > 0). Tính ñộ dài ñoạn BE theo m.
c) Gọi M là trung ñiểm của ñoạn BE. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB
HD
=
BC AH + HC

Câu 5: (1,0 ñiểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
2
2
2
+
+
≤ 1.
2
2
2
2
2
(a + 1) + b + 1 (b + 1) + c + 1 (c + 1) + a 2 + 1
----------------------- Hết ----------------------* Ghi chú: Học sinh không ñược sử dụng máy tính cầm tay


tr−êng thcs
chu m¹nh Trinh

H−íng dÉn chÊm
§Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng
n¨m häc 2015 - 2016
M«n: To¸n 8
Ngµy thi: 12 th¸ng 05 n¨m 2016
------------------------------------------------------

Học sinh có thể có cách giải khác, nếu ñúng vẫn cho ñiểm nhưng không thay ñổi ñiểm
mỗi phần trong từng câu. Lấy ñiểm toàn bài ñến 0,25.

Câu
Nội dung
Điểm
1/a
0,25
ĐKXĐ: x ≠ ±3
0,25


x ( x + 3)
3  1
6x


P=
+
−
 ( x + 3) ( x 2 + 9 ) x 2 + 9  x − 3 ( x − 3) ( x 2 + 9 ) 



2
x+3
x2 + 9 − 6x
x + 3 ( x − 3) ( x + 9 ) x + 3
P= 2
:
=
.
=

2
x + 9 ( x − 3) ( x 2 + 9 ) x 2 + 9
x−3
( x − 3)

1/b
Ta có

3 ( P + 1)
x+3
⇒x=
x −3
P −1

p=

3 ( P + 1)

Để x>0 thì

P −1

>0⇔

1/c
Biến ñổi

P = 1+

2/a

P ∉ [ −1;1]

6
x −3

P có giá trị nguyên
Từ ñó tính ñược

0,25

P > 1
P +1
>0⇔
P −1
 P < −1

Vậy P không lấy các giá trị từ -1 ñến 1, hay

0,25

⇔ x − 3 ∈ U ( 6 ) = {±1; ±2; ±3; ±6}

x ∈ {0;1; 2; 4;5;6;9}

a 2 + b2 − c2
b2 + c2 − a2
c2 + a 2 − b2
A=
B=

C=
2ab
2bc
2ca
Đặt
;
;

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25

Ta cần chứng minh A+B+C>1 hay (A+1)+(B-1)+(C-1)>0 (*)

( a + b − c )( a + b + c )
a 2 + b2 − c2
A +1 =
+1 =
2ab
2ab
Ta có
2
2
2
( b − c − a )( b − c + a )
b +c −a
B −1 =

−1 =
2bc
2bc
2
2
2
( c − a − b )( c − a + b )
c + a −b
C −1 =
−1 =
2ca
2ca

0,25

Suy ra (A+1)+(B-1)+(C-1)=

0,25

 c ( a + b + c) + a (b − c − a ) − b (c − a + b) 
>0
2abc



(a + b − c) 

2
⇔ ( a + b − c ) c 2 − ( a − b )  > 0 ⇔ ( a + b − c )( a − b + c )( − a + b + c ) > 0



(**)

Bất ñẳng thức (**) ñúng vì a,b,c là ba cạnh của một tam giác.

0,25


2/b

) (
) (
)
(
)(
)(
)
M=1 (
Ta xét ba trường hợp
TH1: Nếu a+b+c=0 thì A+1=0; B-1=0; C-1=0 suy ra A=-1; B=1; C=1
TH2: Nếu a-b+c=0 thì

⇔ A + 1 + B − 1 + C − 1 = 0 ⇔ a + b − c a − b + c −a + b + c = 0

A −1 =

( a − b − c )( a − b + c ) = 0 ⇒ A = 1

C +1 =

( c + a − b ) ( c + a + b ) = 0 ⇒ c = −1

2ab

; B-1=0 ⇒ B = 1

2ca

TH3: Nếu –a+b+c=0 thì A-1=0 ⇒ A = 1 ; C-1=0 ⇒ C = 1
B +1 =

Câu
3/a

( b + c − a )( b + c + a ) = 0 ⇒ B = −1

n 2 = ( a 2 + b 2 ) = ( a 2 − b 2 ) + ( 2ab )
2

3/b

Giả sử

0,25

2bc

Như vậy trường hợp nào cũng có hai trong ba phân thức A,B,C bằng 1, phân
thức còn lại bằng -1.
2

2
Đặt n = a + b Với a, b ∈ N
Khi ñó

0,25
0,25

2

A = ax 2 + bx + c = ( x − 1) .P + R

A = ax 2 + bx + c = ( x + 1) .Q+ R

2

là tổng của hai số chính phương.

(1)

(2)
Cho x=1 thì từ (1) ta có : a+b+c=R; cho x=-1 thì từ (2) ta có a-b+c=R
Do ñó a+b+c=a-b+c ⇔ 2b = 0 ⇒ b = 0 . Vậy b=0

0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25

4
(2,5ñ)
a) (0,75 ñ) ∆ CDE ~ CAB (g-g)
⇒

CD CA
=
CE CB

⇒ CB.CD = CE. CA

0,25
0,25
0,25

b) (0,75 ñ) Xét ∆ADC và ∆BEC có:
C chung và

CD CA
=
CE CB

∆ADC ~ ∆BEC (c.g.c).
BEC = ADC = 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nªn AEB = 450 . Do ñó tam giác ABE vuông cân tại A.
Suy ra: BE = AB 2 = m 2

0,25
0,25
0,25

c) (1,0 ñ) Tam giác ABE vuông cân tại A có AM là ñường trung tuyến nên tia
AM ñồng thời là phân giác của góc BAC.
GB AB
=
(Tính chất ñường phân giác của tam giác)
GC AC
AB ED
Ta có:
=
( ∆ABC ∼ ∆DEC )
AC DC
AH ED ED HD
ED//AH ⇒
=

=
(do AH = HD)
HC CD DC HC
GB HD
Do ñó:
=
GC HC
GB
HD
GB
HD
⇒
=

⇒
=
GB + GC HD + HC
BC AH + HC
2
b) (1 ñ) Áp dụng BĐT x + y2 ≥ 2xy, ta có:
2
2
2
1
= 2
≤
=
2
2
2
(a + 1) + b + 1 a + b + 2a + 2 2ab + 2a + 2 ab + a + 1



0,25

0,25

0,25
0,25
0,25

Lập luận tương tự, ta ñược:
1

1
1
+
+
=
ab + a + 1 bc + b + 1 ca + c + 1
1
a
ab
+
+
ab + a + 1 abc + ab + a abca + abc + ab

VT ≤
5
(1ñ)

1
a
ab
+
+
=1
ab + a + 1 1 + ab + a a + 1 + ab
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1.

0, 5

=

Vậy bất ñẳng thức ñược chứng minh

----------------------- Hết -----------------------

0,25