Đề+ đáp án chi tiết môn toán THPT QG mã 103(ĐÁP ÁN CHẤT)

Đề 103

Câu 1: Cho hàm số

y = ( x − 2 ) ( x 2 + 1)

có đồ thị (C ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. (C ) cắt trục hoành tại hai điểm.

B. (C ) cắt trục hoành tại một điểm.

C. (C ) không cắt trục hoành.

D. (C ) cắt trục hoành tại ba điểm.
GIẢI

+

y ' = ( x 3 − 2 x 2 + x − 2) ' = 3 x 2 − 4 x + 1

x =1
y ' = 0 <=> 3 x − 4 x + 1 = 0 <=> 
x = 1
3

+
2

x

1
3

−∞
y'

+

y

0
−50
27

+∞

1
-

0

+

-2

=> Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm
=>ĐÁP ÁN B
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : x + y + z − 6 = 0 . Điểm nào dưới đây không
thuộc (�) ?
A. N (2; 2; 2)

B. Q(3;3;0)

C. P (1; 2;3)

D. M (1; −1;1)

GIẢI
+ Thay lần lượt từng đáp án vào phương trình mặt phẳng (α ) , điểm nào không thỏa mãn phương trình thì
không thuộc mặt phẳng (α )
=>ĐÁP ÁN D.
f ' ( x ) = x 2 + 1 ∀x f ' ( x ) = x 2 + 1∈ R
y
=
f
(
x
)
Câu 3: Cho hàm số
có đạo hàm
,
. Mệnh đề nào dưới đây đúng
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; 0) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .


D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞) .
GIẢI
+

f '( x ) = x2 +1

> 0 ∀ => Hàm số

f ( x)đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)

=>ĐÁP ÁN D.
Câu 4: Tìm nghiệm của phương trình
A. x = −6.

log 25 ( x + 1) =

B. x = 6.

1
2

C. x = 4

D.

x=

23
2

GIẢI

+

log 25 ( x + 1) =

1
1
=> x + 1 = 25 2 => x = 4
2

=>ĐÁP ÁN C.
Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số có bốn điểm cực trị.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại � = 2.

C. Hàm số không có cực đại.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại � = −5.
GIẢI

+ Nhìn bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu y = −5 tại x = 2
=>ĐÁP ÁN B.

( S ) : ( x − 5) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 9 . Tính bán
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
kính R của ( S ) .
2

A. R = 3

B. R = 18

C. R = 9
GIẢI

2

D. R = 6

2


( S ) : ( x − a)
+ Phương trình mặt cầu

2

+ ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 => R = 9 = 3
2

2

=>ĐÁP ÁN A.
Câu 7: Cho hai số phức

z1 = 1 − 3i

A. b = −2 .

và

z2 = −2 − 5i

. Tìm phần ảo � của số phức

B. b = 2

C. b = 3

b = z1 − z 2

D. b = −3 .

GIẢI
+

z = z1 − z2 = 1 − 3i − ( −2 − 5i) = 3 + 2i

=> Phần ảo b = 2

=>ĐÁP ÁN B.
Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2sin x.
A. ∫

2sin xdx = 2 cos x + C

B. ∫

2sin xdx = sin 2 x + C

C. ∫

2sin xdx = sin 2 x + C

D. ∫

2sin xdx = −2 cos x + C

GIẢI
+

∫ a.sin xdx = a.(− cos x) + C

=>ĐÁP ÁN D.
Câu 9: Cho số phức z = 2 − 3i . Tìm phần thực a của z .
A. a = 2 .

B. a = 3 .

C. a = −3 .

D. a = −2 .

GIẢI
+ Quan sát số phức � = 2 − 3i ta thấy phần thực của số phức là 2 nên a = 2
=> ĐÁP ÁN A.
 a2 
I = log a  ÷
4 

2 
Câu 10: Cho � là số thực dương khác 2. Tính

A.

I=

1
2

B. I = 2

C.

I =−

GIẢI
 32 
I = log 3  ÷ = 2 ⇒ I = 2
2  4 
+ Thay a = 3 vào I ta có:
=> ĐÁP ÁN B.

1
2

D. I = −2


Câu 11: Tìm tập nghiệm � của phương trình

A. � = {4}.

B. � = {3}.

log 3 ( 2 x + 1) − log 3 ( x − 1) = 1
C. � = {−2}.

D. � = {1}.

GIẢI
+ Thay đáp án:
+ Thử đáp án A: x =4 vào phương trình:
=>

log 3 ( 2.4 + 1) − log 3 ( 4 − 1) = 1 ⇔ 1 = 1

(LĐ)

x = 4 là nghiệm của phương trình

=> ĐÁP ÁN A.
Câu 12: Cho tứ diện ���� có tam giác ��� vuông tại �, �� vuông góc với mặt phẳng (���), �� = 5�, ��
= 3� và �� = 4� . Tính bán kính � của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ����.

A.

R=

5a 2

3

B.

R=

5a 3
3

C.

R=

5a 2
2

D.

R=

GIẢI
+ Vì tam giác BCD vuông tại C:
Cạnh BC = 3a ; CD = 4a. Theo định lý Pitago ta dễ dàng tính được
BD = 5a. Dựa vào tính chất tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
Là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng nửa độ dài cạnh huyền
5a
Ta tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD: r = 2

+ Áp dụng công thức giải nhanh tính bán kính khi cạnh bên vuông góc với đáy ta có:

R=

AB 2
(5a)2 5a 2 5 2a
+ r2 =
+( ) =
4
4
2
2

=> ĐÁP ÁN C.

5a 3
2


Câu 13: Cho �(�) là một nguyên hàm của hàm số
A.
C.

F ( x ) = ex + x2 +

3
2

F ( x ) = ex + x2 +

5
2

f ( x ) = ex + 2x

B.
D.

thỏa mãn

F ( x ) = 2e x + x 2 −
F ( x ) = ex + x2 +

GIẢI
+ Thử đáp án: Giả sử chọn F(2) – F(0) ta có:
2

∫e

x

+ 2 x = 10.3890561 ⇒ F (2) =10.3890561 +

0

3
= 11.8890561
2

+ Thay x =2 vào các đáp án:
Thử đáp án A thay x = 2

F ( 2 ) = e 2 + 22 +

3
= 12.8890561( L)
2

+
Thử đáp án B thay x = 2

F ( 2 ) = 2e x + x 2 −

1
= 18.2781122 ( L)
2

+

+ Thử đáp án C thay x = 2
+ Thử đáp án D thay x = 2

F ( 2 ) = e2 + 22 +

3
= 13.8890561( L)
2

F ( 2 ) = e 2 + 22 +

1
= 11.8890561(C )

2

=> ĐÁP ÁN D.
2
Câu 14: Tìm tất cả các số thực �, � sao cho x − 1 + yi = −1 + 2i .

A.

x = − 2, y = 2

C. x = 0, y = 2

B.

x = 2, y = 2

D.

x = 2, y = −2

GIẢI
+ Thay đáp án A

x = − 2, y = 2 vào x 2 − 1 + yi = 1 + 2i (L)

+ Thay đáp án B

x = 2, y = 2 vào x 2 − 1 + yi = 1 + 2i (L)

2

+ Thay đáp án C x = 0, y =2 vào x − 1 + yi = −1 + 2i (C)

=> ĐÁP ÁN C.

1
2

1
2

F ( 0) =

3
2 . Tìm �(�) .


4
2
Câu 15: Tìm giá trị nhỏ nhất �của hàm số y = x − x + 13 trên đoạn [−2; 3].

A.

51
4

m=

B.

m=

49
4

C. m = 13

D.

m=

51
2

GIẢI


2
x = ±
2

x = 0
+ Tính y’ , cho y’ = 0 
± 2
51
+ Thay x = 2 vào hàm số ta được kết quả là 4 = 12.75
+ Thay x = 0 vào hàm số ta được kết quả là 13
+ Thay x = -2 vào hàm số ta được kết quả là 25
+ Thay x= 3 vào hàm số ta được kết quả là 85
51
Vậy giá trị nhỏ nhất m = 4

=> ĐÁP ÁN A.
Câu 16: Cho khối chóp � . ��� có �� vuông góc với đáy, �� = 4, �� = 6, �� = 10 và �� = 8. Tính thể tích
� của khối chóp � . ��� .
A. � = 40.

B. � = 192.

C. � = 32.

D. � = 24.

GIẢI
+ Theo định lý Pitago đảo �� = 6, �� = 10 và �� = 8 thấy tam giác
1
.6.8 = 24
2
+ ABC vuông tại A. Vậy S ABC =
1
.4.24 = 32
+ V chóp S ABC = 3

=> ĐÁP ÁN C.

Câu 17: Kí hiệu � 1, �2 là hai nghiệm phức của phương trình z − z + 6 = 0 . Tính
2

A.

P=

1
6

B.

P=

1
12

C.

P=−

1
6

P=

D. P = 6

1 1
+
z1 z2


GIẢI
z2 − z + 6 = 0


1
 z1 = +
2
⇒

1
 z2 = −

2

23
i
1 1 1
2
⇒P= + =
z1 z2 6
23
i
2

⇒ ĐÁP ÁN A.
1

Câu 18: Cho

 1

1 

∫  x + 1 − x + 2 ÷ dx = a ln 2 + b ln 3

0

A. a + b = 2

B. a − 2b = 0

với �, � là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
C. a + b = −2

D. a + 2b = 0

GIẢI
1

1

1

1
1 
1
1
 1
∫0  x + 1 − x + 2 ÷dx = ∫0 x + 1 dx − ∫0 x + 2dx = ln ( x + 1 ) − ln ( x + 2 ) 0 = 2 ln 2 − ln 3

a = 2
⇒
⇒ a + 2b = 0
b = −1

⇒ ĐÁP ÁN D.
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ ����, cho hai điểm �(1; − 2; − 3), �(−1; 4; 1) và đường thẳng

x+2 y−2 z +3
=
=
1
−1
2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của
đoạn thẳng �� và song song với � ?
d:

x y −1 z + 1
=
=
1
1
2
A.

x y−2 z+2
=
=
1
−
1
2
B.

x y −1 z + 1

=
=
−1
2
C. 1

x −1 y −1 z + 1
=
=
−1
2
D. 1
GIẢI

+ Gọi d’ là phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng �� và song song với �.
+ I là trung điểm AB ⇒ I (0;1; −1)
r
r
ud = ud ' = (1; −1; 2)
x y −1 z +1
⇒ d ': =
=

I (0;1; −1)
1
−1
2

+

⇒ ĐÁP ÁN C.


M (3; −1; −2) và mặt phẳng (�):
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ ����, cho điểm
3x − y + 2 z + 4 = 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua � và song song với

(�) ?
A. 3 x + y − 2 z − 14 = 0

B. 3x − y + 2 z + 6 = 0

C. 3 x − y + 2 z − 6 = 0

D. 3x − y − 2 z + 6 = 0
GIẢI

r
r
nP = nα = (3; −1; 2)
⇒ ( P) : 3x − y + 2 z − 6 = 0

 M (3; −1; −2)

⇒ ĐÁP ÁN C.
x
Câu 21: Cho hình phẳng �giới hạn bởi đường cong � = � , trục hoành và các đường thẳng � = 0, � =
1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay � quanh trục hoành có thể tích � bằng bao nhiêu ?

π e2

V=
2
A.

B.

V=

π ( e 2 + 1)
2

e2 − 1
V=
2
C.

D.

V=

π ( e 2 − 1)
2

GIẢI
1

V = π .∫ ( e x ) dx =
2

0

π . ( e 2 − 1)
2

⇒ ĐÁP ÁN D.

y = a x , y = b x với a, b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là (� ) và
Cho
hai
hàm
số
1
Câu 22:
(�2) như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. 0 < a < b < 1

B. 0 < b < 1 < a

C. 0 < a < 1 < b
GIẢI

D. 0 < b < a < 1


+

( C1 )

đồng biến trên tập xác định ⇒ a > 1

+

( C2 )

nghịch biến trên tập xác định ⇒ 0 < b < 1

⇒ 0 < b <1< a
⇒ ĐÁP ÁN B
Câu 23: Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ?
A. 4 mặt phẳng.

B. 1 mặt phẳng.

C. 2 mặt phẳng.

D. 3 mặt phẳng.

GIẢI

⇒ ĐÁP ÁN A.

Câu 24: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số
dưới đây đúng ?

y=

ax + b
cx + d với �, �, �, � là các số thực. Mệnh đề nào

A. �’ < 0, ∀ ≠ 2.

B. �’ < 0, ∀ ≠ 1.

C. �’ > 0, ∀ ≠ 2.

D. �’ > 0, ∀ ≠ 1.

GIẢI
+ Hàm số nghịch biến trên tập xác định ⇒ y ' < 0
+ TCĐ: x = 2 ⇒ x ≠ 2

⇒ ĐÁP ÁN A.


Câu 25: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50� và độ dài đường sinh bằng đường kính của đường
tròn đáy. Tính bán kính � của đường tròn đáy
A.

r=

5 2π
2

C. r = 5 π

B. r = 5

D.

r=

5 2
2

GIẢI
S xq = 2π rl = 50π => rl = 25
2
 => 2r = 25
d = 2r = l

=> r =

5 2
2

=> ĐÁP ÁN D.

r
a ( 2;1; 0 )

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ ����, cho hai vectơ
r r
r r
2
2
cos a; b =
cos a; b = −
25
5

A.
B.
r r
r r
2
2
cos a; b = −
cos a; b =
25
5
C.
D.

( )

( )

( )

( )

rr
r r
a.b
cos a; b = r r =
a.b

( )

+

và

r
b ( −1;0; −2 )

. Tính

r r
cos a; b

GIẢI
2.( −1) + 1.0 + 0.( −2)
22 + 12 + 02 . ( −1) 2 + 02 + (−2)2

=

−2
5

=> ĐÁP ÁN B.

Câu 27: Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng ?
y=

A.

1
x

B.

y=

1
x + x +1
2

C.

y=

1
x +1
4

D.

y=

1
x +1
2

GIẢI
Tiệm cận đứng có giá trị x là nghiệm của mẫu khác nghiệm của tử
=> Trong 4 đáp án trên chỉ có đáp án A là có nghiệm x = 0 thỏa mãn, 3 đáp án còn lại mẫu vô nghiệm
=> ĐÁP ÁN A.

( ).

Câu 28: Cho
A.

I=

log 3 a = 2

và

5
4

log 2 b =

1
I = 2 log3 log 3 ( 3a )  + log 1 b 2
2 Tính
4

C. I = 0

B. I = 4

D.

I=

3

2

GIẢI
log 3 a = 2 => a = 9 

2
 => I = 2 log 3 log 3 ( 3a )  + log 1 b
1
log 2 b = => b = 2 
4
2

<=> I = 2 log 3 log 3 ( 3.9 )  + log 1 ( 2) 2
4

= 2 log 3 3 + log 1 2 =
4

3
2

=> ĐÁP ÁN D.

5

Câu 29: Rút gọn biểu thức

Q = b3 : 3 b

với � > 0.

5

Q = b2
A.

B.

Q = b9

C.

Q=b

−

4
3

GIẢI
5
3

Q=b : b =
3

b
b

5
3

1
3

=b

5 1
−
3 3

=b

4
3

=> ĐÁP ÁN D.

Câu 30: Cho hàm số

y = x 4 − 2 x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −2) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1) .
GIẢI
+ TXĐ : D = ¡
+

y ' = 4 x3 − 4 x

4

D.

Q = b3


y ' = 0 <=> 4 x 3 − 4 x = 0
 x = ±1
<=> 
(TM )
x = 0
Bảng biến thiên :

x
y’
y

−∞

+∞

−1
−

0

0
+

−1

0

−

0

0

−1

=> Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1 ; 0) và ( 1; +∞ )
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞ ; −1 ) và ( 0; 1)
=> ĐÁP ÁN B.
GIẢI
Câu 31: Cho hàm số
mx − 2m − 3
y=
x−m
với �là
tham số. Gọi � là tập hợp
tất cả các giá trị nguyên
của � để hàm số đồng biến
trên các khoảng xác định.
Tìm số phần tử của � .
A. 5.
B. 4.
C. Vô số.
D. 3.

+y' =

− m 2 + 2m + 3
( x − m) 2

(x ≠ m)

− m 2 + 2m + 3
2
+ Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định => y’ > 0 <=> ( x − m)
>0
+ Mà

( x − m) 2 > 0∀x ≠ m => y ' > 0 <=> − m 2 + 2m + 3 > 0

=> m ∈ (−1;3)

+ Do m là số nguyên => có 3 giá trị m thỏa mãn
=> ĐÁP ÁN D.

+∞

1
+

+∞


Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số � để hàm số
A. m ≤ 0.

B. m < 0.

y = log ( x 2 − 2 x − m + 1)

C. m ≤ 2

có tập xác định là ¡ .

D. m > 2

GIẢI
Hàm số

y = log ( x 2 − 2 x − m + 1)

có tập xác định là ¡ khi :

x 2 − 2 x − m + 1 > 0 <=> ( x − 1) 2 > m
<=> 0 > m
=> ĐÁP ÁN B.
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ ����, có điểm � (1; 2; 3) và mặt phẳng (�): 2 x − 2 y − z − 4 = 0
Mặt cầu tâm � tiếp xúc với (�) tại điểm H . Tìm tọa độ �.
A.�( − 1; 4; 4) .

B.�( − 3; 0; − 2) .

C.�(3; 0; 2) .
GIẢI

+ Ta có điểm H ( x; y; z)
+ H ∈ ( P ) → tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình mặt phẳng ( P)
→ 2 x − 2 y − z − 4 = 0 (1)
uuu
r
→
IH
+ Mặt cầu tâm � tiếp xúc với (�) tại điểm �
vuông góc ( P )
uur
uuu
r
→ IH song song nP
x −1 y − 2 z − 3
uur
uuu
r
n p (2; − 2; − 1) → 2 = −2 = −1 = t
IH
(
x
−
1;
y
−
2;
−
3)
+
và

 x = 2t + 1

→  y = −2t + 2
 z = −t + 3

(với x, y, z là tọa độ của điểm H ) (2)
+ Thay vào phương trình (1) → 2(2t + 1) − 2(−2t + 2) − (−t + 3) = 0 → t = 1
+ Thay t = 1 vào phương trình (2) → H (3;0; 2)
=> ĐÁP ÁN C

D.�(1; − 1; 0) .


Câu 34: Cho khối chóp
� . ���� có đáy là hình
vuông cạnh �, �� vuông
góc với đáy và khoảng
cách từ � đến mặt phẳng

a 2
(���) bằng 2 . Tính
thể tích � của khối chóp
đã cho.
A.

V=

a3
2

3
B. V = a

C.

V=

3a 3
9

a3
V=
3
D.

GIẢI
+ A là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh S

→ khoảng cách d ( A; ( SBC ) ) = AK (AK vuông SB)
+

∆ABC vuông

→

→

1
1

1
+
=
2
2
SA
AB
AK 2

1
1
1
+ 2 =
→ SA = a
2
2
SA a
a 2

÷
 2 

1
a3
= × a2 × a =
3
VS.ABCD 3

=> ĐÁP ÁN D.

Câu 35: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc � (km/h) phụ thuộc thời gian � (h) có đồ thị của vận
tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của
đường parabol có đỉnh I (2;9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là
một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường � mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó.
A.� = 26,5 (km).
B.� = 28,5 (km).
C.� = 27 (km).
D.� = 24 (km).

GIẢI
+ vận tốc � của vật chuyển động theo parabol có dạng

y = ax 2 + bx + c

+ Tìm phương trình parabol.
+ Đồ thị đi qua điểm I(2;9) , A(0;0) và điểm B là đối xứng của A qua trục → B(4;0)


9 = a × 2 2 + b × 2 + c a = −9 4


y = ax 2 + bx + c → 0 = c
→ b = 9
0 = a × 4 2 + b × 4 + c c = 0



+ vậy phương trình parabol là:

y=

−9 2
x + 9x
4

+ Tìm phương trình đường thẳng.
Nhận thấy đường thẳng và parabol có giao điểm tại x = 3

 27 
 3; ÷
→ tọa độ giao điểm  4  mà đường thẳng song song trục hoành

→ đường thẳng có phương trình
+ Vì
Câu 36: Trong không
gian với hệ tọa độ ����,
cho hai đường thẳng

 x = 2 + 3t

d :  y = −3 + t
 z = 4 − 2t


y=

∫ v = s → quãng đường vật đi được trong 3h đầu là
s1 = ∫

−9 2
−3 x 3 9 x 2 81
x + 9x =
+
= (km)
4
4
2
4

+ Quãng đường vật đi được trong 1h còn lại là
s2 = ∫

và

x − 4 y +1 z
=
=
3
1
−2 .
Phương trình nào dưới
đây là phương trình đường
thẳng thuộc mặt phẳng
chứa � và �', đồng thời
cách đều hai đường thẳng
đó.
d ':

A.

x−3 y + 2 z −2
=
=
3
1
−2
B.
x+3 y+2 z +2
=
=
3
1
−2

C.
x+3 y−2 z+2
=
=
3
1
−2
D.
x−3 y − 2 z −2
=
=
3
1
−2

27

4

27 27 x 27
=
=
(km)
4
4
4

→ Tổng quãng đường vật đi được trong 4h đó là

s = s1 + s2 =

81 27
+
= 27 (km)
4
4

=> ĐÁP ÁN C.
GIẢI
+ A là điểm thuộc đường thẳng d , A(2; −3; 4)
+ B là điểm thuộc đường thẳng d ' , B(4; −1;0)
Vì d và d ' cùng thuộc ( P) → điểm A và B cũng thuộc ( P )
uur uuur uu
r
uuur



→
n
=
AB
,
u
P
d  = (0; 2;1)
→ AB ∈ ( P ) .

uur
nP = (0; 2;1)
(
P
)
+ Mặt phẳng
có
và qua điểm A(2; −3; 4)
→ ( P ) : 0( x − 2) + 2( y + 3) + z − 4 = 0 → ( P ) : 2 y + z + 2 = 0

+ Gọi đường thẳng cần tìm là ∆ . vì ∆ ∈ ( P ) nên tọa độ ∆ phải thỏa mãn
phương trình của ( P )
+ Thử đáp án A: điểm M (3; −2; 2) . Thay vào ( P) : 2 × ( −2) + 2 + 2 = 0 (thỏa
mãn)


=> ĐÁP ÁN A.

Câu 37: Cho

F ( x) = −

f ( x)
1
3
3x là một nguyên hàm của hàm số x . Tìm nguyên hàm của hàm số � ’(�)ln � .

∫ f ' ( x ) ln xdx =
A.

ln x
1
+ 5 +C
3
x
5x

∫ f ' ( x ) ln xdx =
B.

ln x
1
− 5 +C
3
x
5x

f ' ( x ) ln xdx =
∫
C.

ln x
1
+ 3 +C
3
x
3x

f ' ( x ) ln xdx = −
∫
D.

ln x
1
+ 3 +C
3
x
3x

GIẢI
+ Xét

∫ f ' ( x ) ln xdx
1
ln x = u
 dx = du
→ x

 f '( x )dx = dv  f ( x) = v


Đặt
→ ∫ f ' ( x ) ln xdx = f ( x) lnx − ∫

f ( x)
x

dx

 −1 
= f ( x) lnx −  3 ÷
 3x 
f ( x)
f ( x)
−1
−1
=∫
dx →
=
3
3
x
x
+ Vì 3x
đạo hàm của 3x

 −1 ′ −1 −3 ′ −1
−4
−4
 3 ÷ = ( x ) = × ( −3) × ( x ) = x
3

3
 3x 
→

f ( x) 1
1
= 4 → f ( x) = 3
x
x
x

→ ∫ f ' ( x ) ln xdx = f ( x ) ln x +

1
ln x 1
= 3 + 3
3
3x
x
x

=> ĐÁP ÁN C.
Câu 38: Cho số phức � thỏa mãn |� + 3| = 5 và |� − 2� | = |� − 2 − 2�| . Tính |�|.
A. |�| = 17.

B. |�| = √17 .

C. |�| = 10 .
GIẢI

+ Gọi z = a + bi → z thỏa mãn:

D. |�| = 10.


2
2
 a + bi + 3 = 5
 (a + 3) + b = 5
→

2
2
2
2
 a + (b − 2) = (a − 2) + (b − 2)
 z − 2i = z − 2 − 2i

a 2 + b 2 + 6a + 9 = 25
a = 1
 z = 1 + 3i
→
→
→
−4b + 4 = −4a − 4b + 8 b = ±3  z = 1 − 3i
→ z = a 2 + b 2 = 1 + 32 = 10

=> ĐÁP ÁN C.

Đồ thị của hàm số

Câu 39:
với � là gốc tọa độ.
A. S = 9

y = − x3 + 3 x 2 + 5 có hai điểm cực trị � và �. Tính diện tích � của tam giác ���

B.

S=

10
3

C. S = 5

D. S = 10

GIẢI
+ Ta có

y ' = −3x 2 + 6 x.

x = 0
→ y'= 0 ↔ 
→
x = 2
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị: A(0;5) và B (2;9)
uuu
r

uuur
→ OA(0;5) và AB = (2; 4) → đồ dài OA = 5, AB = 2 5
uuu
r uuu
r
OA . AB
20
2 5
·
cos OAB
= uuu
=
=
r
u
u
u
r
uuu
r
uuu
r ·
5
5× 2 5
OA × AB
+ Góc giữa OA và AB là OAB . Ta có
2

2 5
5

·
·
sin OAB
= 1 − cos OAB
= 1 − 
=
÷
÷
5
 5 
2

1
1
5
·
S∆OAB = OA × AB × sin OAB
= ×5× 2 5 ×
=5
2
2
5
+
=>ĐÁP ÁN C.
0
·
Câu 40: Trong không gian cho tam giác ��� vuông tại �, �� = � và ACB = 30 . Tính thể tích � của khối
nón nhận được khi quay tam giác ��� quanh cạnh �� .

A.

V=

3π a3
3

3
B. V = 3π a

C.

V=

GIẢI

3π a 3
9

3
D. V = π a


+ Ta có:

tan ·ACB =

AB
a
→ tan 300 =
→ AC = a 3

AC
AC

1
1
3π a 3
= π × r 2 × h = π × a2 × a 3 =
3
3
+ Vnón 3
=>ĐÁP ÁN A

1
s = − t 3 + 6t 2
2
Câu 41: Một vật chuyển động theo quy luật
với � (giây) là khoảng thời gian
tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và � (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong
khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận
tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?

A. 24(m/s) .

B. 108(m/s) .

C. 18(m/s) .

D. 64(m/s) .

GIẢI

+Ta có:
+Đặt

v (t ) = s′(t ) =

f (t ) =

−3 2
t + 12t
2

−3 2
t + 12t
[ 0;6]
2
, ta tìm GTLN hàm f (t ) trên

f ′(t ) = −3t + 12 = 0 � t = 4

+Bảng biến thiên :
T

0

f ′(t )

4
+

6

−

0
24

f (t )

0

18

+Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy :

max f (t ) = f (4) = 24
[0;6]

=>Vận tốc lớn nhất vật đạt được là 24(m/s)
=>ĐÁP ÁN A.

Câu 42: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số �để bất phương trình
nghiệm thực.
A.�< 1.

2
B.�< 3 .

C.�< 0.

log 22 x − 2 log 2 x + 3m − 2 < 0

D.� ≤ 1.

có


GIẢI
+Điều kiện của bất phương trình đã cho là : x > 0

log 22 x − 2 log 2 x + 3m − 2 < 0 log 22 x − 2 log 2 x − 2 < −3m
+Ta có:
�
+Đặt t =

log 2 x

+Xét hàm số

2
. Bất phương trình trên trở thành t − 2t − 2 < −3m

f (t ) = t 2 − 2t − 2 trên ¡

f ′(t ) = 2t − 2 = 0 � t = 1

+Bảng biến thiên :
−∞

t

−

f ′(t )

+∞

1
0

+

+∞

+∞

f (t )

−3
+Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình trên có nghiệm thực khi và chỉ khi

−3m > −3 � m < 1
=>ĐÁP ÁN A.
Câu 43: Với mọi số thực dương � và � thoả mãn �2 + �2 = 8��, mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
C.

log ( a + b ) =

1
( log a + log b )
2

log ( a + b ) = 1 + log a + log b

B.
D.

log ( a + b ) =

1
( 1 + log a + log b )
2

log ( a + b ) =

1
+ log a + log b
2

GIẢI
2
2
2
2
(a + b) 2 = 10ab
+Ta có: a + b = 8ab � a + 2ab + b = 10ab �

+Theo giả thuyết : a, b > 0 nên a + b = 10ab
+Logarit 2 vế ta được :
�

log(a + b) =

log(a + b) = log( 10ab ) �

1
(1 + log a + log b)
2

=>ĐÁP ÁN B.

log(a + b) =

1
(log10 + log a + log b)
2


Câu 44: Xét khối chóp S .��� có đáy là tam giác vuông cân tại �, �� vuông góc với đáy, khoảng cách từ �
đến mặt phẳng (���) bằng 3. Gọi � là góc giữa hai mặt phẳng (���) và (���), tính cos � khi thể tích khối
chóp �. ��� nhỏ nhất.

A.

cos α =

1
3

B.

cos α =

3
3

C.

cos α =

2
2

D.

cos α =

2
3

GIẢI
+ Gọi M là trung điểm BC ⇒ SM ⊥ BC , AM ⊥ BC

·
·
Do đó SMA là góc giữa (SBC) và (ABC), hay α = SMA
+ Kẻ AH ⊥ SM , H ∈ SM ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH = d ( A, ( SBC )) = 3
+ Ta có:

sin α =

cos α =

+ Lại có:

+

AH
3
3
=
⇒ AM =
AM AM
sin α

VSABC =

AM
AM
⇒ SM =
SM
cos α

1
1 1
1 AM 2
9
9
AH .S SBC = .3. .BC.SM = .2.
=
=

2
2
3
3 2
2 cos α sin α .cos α (1 − cos α ) cos α

⇒ VSABC min ⇔ (1 − cos 2 α ) cos α max
+ Xét hàm số

f (t ) = (1 − t 2 )t = t − t 3 , với 0 < t < 1

Sử dụng chức năng TABLE ta thấy f (t ) max tại

t=

3
3
cos α =
3 ⇒
3

⇒ ĐÁP ÁN B.

Câu 45: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số �để đồ thị của hàm số
thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.
A. m > 0.

B. m < 1.

3

C. 0 < m < 4 .

y = x 4 − 2mx 2 có ba điểm cực trị tạo

D. 0 < m < 1 .

GIẢI

y′ = 4x 3 − 4mx = 4x( x 2 − m) ⇒ Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình x 2 − m = 0 phải có 2
nghiệm phân biệt khác 0 ⇒ m > 0 (1)
+

+ 3 điểm cực trị đó là
+ Ta có:

O(0, 0), A( m , − m2 ), B (− m , − m 2 ) và 3 điểm tạo thành tam giác cân tại O.

AB = 2 m , OH = m 2 , với H (0, −m 2 ) là trung điểm của đoạn AB


+ Từ (1) và (2) suy ra 0 < m < 1

⇒ ĐÁP ÁN D
Câu 46: Cho hàm số � = � (�) . Đồ thị của hàm số � = �’(�) như hình bên. Đặt
g ( x ) = 2 f ( x ) + x2

. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. �(3) <�( − 3) <�(1) .

B. �(1) <�(3) <�( − 3) .

C. �(1) <�( − 3) <�(3) .

D. �( − 3) <�(3) <�(1) .
GIẢI

g’(x) = 2f ‘(x) – 2x
g’(x) = 0 ⇔ x = -3, x = 1, x = 3
+ Ta có bảng biến thiên :
−∞

x
g’(x)

-3
+

0

1
-

0

+∞

3
+

0

-

g(x)

từ bảng biến thiên ta có g(3) > g(1)
+ Từ đồ thị ta có :
1

3

−3

1

∫ − g '( x)dx > ∫ g '( x)dx ⇔ g (−3) − g (1) > g (3) − g (1) ⇔ g (−3) > g (3)

Vậy g(-3) > g(3) > g(1)
=> ĐÁP ÁN B.


Câu 47: Cho hình nón (�) có đường sinh tạo với đáy một góc 60o . Mặt phẳng qua trục của (�) cắt (�) được
thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Tính thể tích � của khối nón giới hạn bởi
(�) .
A. V = 9 3π

B. V = 9π

C. V = 3 3π

D. V = 3π

GIẢI
o
Vì đường sinh tạo với đáy góc 60 nên thiết diện qua trục là tam giác đều.

+ Gọi bán kính đáy hình nón là R thì cạnh thiết diện là 2R.
Ta có công thức :S=p.r với :
r là bán kính đường tròn nội tiếp
S là diện tích tam giác
P là nửa chu vi tam giác
⇒S=

2 R.3
.1 = 3R
2
(1)

+ Lại có diện tích tam giác đều

S=

a2 3
4 với a là cạnh tam giác

4R2 3
⇒S=
= R2 3
4

(2)
+ Từ (1) và (2) ⇒ R

2

1
1
⇒ h = R 3 = 3 ⇒ V = π R 2 h = π .( 3) 2 .3 = 3π
3 = 3R ⇔ R = 3
3
3

=> ĐÁP ÁN D.
z
Câu 48: Có bao nhiêu số phức � thỏa mãn |� + 3� | = 13 và z + 2 là số thuần ảo ?

A. Vô số.

B. 2.

C. 0.
GIẢI

Gọi

z = a + bi

z + 3i = 13 ⇔ a 2 + (b + 3) 2 = 13(1)

w=

z
a + bi
( a + bi )(a + 4 − bi )
a( a + 4) + 4bi + b 2
=
=
=
z + 4 (a + 4) + bi [( a + 4) + bi].[( a + 4) − bi]
( a + 4) 2 + b 2

w là số thuần ảo

⇒ a 2 + 4a + b 2 = 0(b ≠ 0) ⇔ (a + 2) 2 + b 2 = 4(2)

D. 1


Số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài là số phức có điểm biểu diễn thỏa mãn (1) và (2) (giao của 2 đường tròn)
Từ hình vẽ ta thấy có 2 điểm thỏa mãn hay có 2 số phức thỏa mãn bài toán

⇒ ĐÁP ÁN B.
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ ���z, cho hai điểm (3; − 2; 6), (0; 1; 0) và mặt cầu

( S ) : ( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 25
2

2

. Mặt phẳng (�):�� + �� + �� − 2 = 0 đi qua �, � và cắt (�) theo giao
tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính � = � + � + �.
A. � = 3.

B. � = 5.

C. � = 2.

D. � = 44.

GIẢI
+ Mặt cầu (S) có tâm I (1, 2,3) , bán kính R=5.

uuuv
AB = (−3,3, −6) , phương trình đường thẳng AB là
+

 x = −t

 y = 1+ t
 z = −2t


uuur

IM = (−t − 1, t − 1, −2t − 3)
+ Gọi M là hình chiếu của I trên đường thẳng AB, ta có M (−t ,1 + t , −2t ) ,

uuur
uuur uuu
r
M
(1,
0,
2),
IM = (0, −2, −1)
+ Vì IM . AB = 0 ⇒ t = −1 , do đó
2
2
2
+ Giả sử đường tròn giao tuyến của (S) và (P) có tâm H, bán kính r, ta có IH + r = R = 25 ⇒ r nhỏ nhất khi
IH lớn nhất.

+ Ta có: IH = d ( I , ( P )) ≤ d ( I , AB ) = IM ⇒ IH max = IM khi H ≡ M , lúc đó IM ⊥ ( P) nên ta có hệ:

3a − 2b + 6c − 2 = 0
a = 0


⇔ b = 2 ⇒ a + b + c = 3
b − 2 = 0
 −2c + b = 0
c = 1


⇒ ĐÁP ÁN A.

Câu 50: Xét hàm số

f ( t) =

9t
9t + m 2 với �là tham số thực. Gọi � là tập hợp tất cả các giá trị của � sao cho

(�) + (�) = 1 với mọi số thực �, � thỏa mãn
A. 0.

B. 1.

e x+ y ≤ e ( x + y )

. Tìm số phần tử của �.

C. Vô số.
GIẢI

D. 2 .


+ Đặt

t = x + y et ≤ et ⇒ et > 0 ⇒ t > 0
,

t
t −1
t −1
+ Ta có: e ≤ et ⇔ e ≤ t ⇔ e − t ≤ 0 (1)

+ Xét hàm số

g (t ) = et −1 − t với t > 0 . Sử dụng chức năng TABLE ta dễ dàng nhận thấy et −1 − t ≥ 0 ∀t > 0 (2)

t −1
Từ (1) và (2) suy ra e − t = 0 ⇔ t = 1 ⇔ x + y = 1

+ Ta lại có:
9x
9y
+
=1
9 x + m2 9 y + m2
⇔ 2.9 x + y + m 2 (9 x + 9 y ) = 9 x + y + m 2 (9 x + 9 y ) + m 4

f ( x) + f ( y ) = 1 ⇔

⇔ m4 = 9
⇔m=± 3
Vậy tập S có 2 phần tử

⇒ ĐÁP ÁN D.
ĐÁP ÁN
Đề 103 – THPT Quốc Gia 2017
1.B

2.D

3.D

4.C

5.B

6.A

7.B

8.D

9.A

10.B

11.A

12.C

13.D

14.C

15.A

16.C

17.A

18.D

19.C

20.C

21.D

22.B

23.A

24.A

25.D

26.B

27.A

28.D

29.D

30.B

31.D

32.B

33.C

34.D

35.C

36.A

37.C

38.C

39.C

40.A

41.A

42.A

43.B

44.B

45.D

46.B

47.D

48.B

49.A

50.D