HUONG DAN CAU BAT DANG THUC HSG TOAN 9 VIET TRI VONG 220152016

HƯỚNG DẪN CÂU BẤT ĐẲNG THỨC HSG TOÁN 9 VÒNG 2
TP VIỆT TRÌ 2015-2016
Trong những năm gần đây đề thi HSG Toán lớp 9 TP Việt Trì ngày càng nâng
cao về chất lượng đề thi. Trong đó câu BĐT gây khó khăn nhất cho các em học sinh.
Câu 5 của đề thi năm nay là một bài BĐT hay và khó, đòi hỏi các em học sinh sự tư
duy, sáng tạo và tinh tế trước khi tìm ra lời giải. Dưới đây xin trình bày một lời giải
của bài toán này:
Câu 5. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức S =

a
b
c
+
+
.
1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c

(Trích câu 5-Đề thi HSG Toán 9 vòng 2-TP Việt Trì 2016)
Lời giải:
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

( a + b + c)
a2
b2
c2
S=
+
+
≥
2

2
2
2
a + ab − a b + bc − b c + ca − c
a + ab − a + b + bc − b 2 + c + ca − c 2
1
Suy ra: S ≥ 1 + ( ab + bc + ca ) − ( a 2 + b 2 + c 2 ) vì a + b + c = 1
2

Hiển nhiên chứng minh được BĐT cơ bản: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
1
1

Do đó: S ≥ = 1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =

1
3

Vậy min S = 1 ⇔ a = b = c =
-------------------------VT, 6/1/2016
Bùi Hải Quang

1
3