Lý thuyết xác suất và thống kê toán Chương 3 BAI GIANG DIEN TU XSTK

Chương 3.Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và
véctơ ngẫu nhiên.
§1 Kỳ vọng
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1: Giả sử Ρ ( Χ = xi ) = pi ⇒ Ε ( Χ ) = ∑ xi pi
i
Định nghĩa 1.2: Giả sử X là liên tục và có hàm mật độ là

fX ( x) ⇒ Ε ( Χ) =

+∞

∫ x. f ( x ) dx
X

−∞

Ý nghĩa:kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X
2. Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng số
(3) E(X+Y) = E(X) + E(Y)
(4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y)
1


§2: PHƯƠNG SAI
1.Định nghĩa 2.1:Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X
2

D ( Χ) = Ε ( Χ − Ε ( Χ) ) 
là:



2
2
Định lý 2.1 :
D( Χ) = Ε ( Χ ) − ( Ε ( Χ ) )
+
Ε Χ 2 = x 2 . p nếu X rời rạc

( ) ∑

i

i

i

+

Ε ( Χ2 ) =

+∞

∫

nếu X liên tục
x 2 . f Χ ( x ) dx

−∞

2. Tính chất: (1) D(C) = 0 ; (2) D(CX) =

C 2 .D ( Χ )
(3) X,Y độc lập suy ra D(X+Y) = D(X)+D(Y)
(4) D(C+ X) = D(X), với C là hằng số

2


3. Độ lệch:

σ ( Χ) = D ( Χ)

§3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên
1.Mod X(giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất)
Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc vàΡ ( Χ = xi ) = pi

⇒ Mod Χ = xi0 , pi0 = Maxpi
f X ( x ) , ta
Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và có hàm
có ⇒ Mod Χ = x0 ; f X ( x0 ) = Maxf X ( x )
2. Med X(medium
–Χ
trung
vị ΡX)( Χ < m ) ≤ 1/ 2, Ρ ( X > m ) ≤ 1/ 2
Med
=m⇔
m
1
Định nghĩa 3.3:
MedX = m ⇔ ∫ f X ( x ) dx =
−∞

2
Định lý 3.1: Nếu X liên tục thì
3


3.Moment
Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu
k

Ε
X
−
a
nhiên X đối với số( a là ) 
a = 0: moment gốc
a = E(X):moment trung tâm.
4. Hệ số nhọn và hệ số bất đối xứng(xem SGK)
Ví dụ 3.1:

cos x, x ∈ [ 0, π / 2]
Χ ~ fX ( x) = 
0, x ∉ [ 0, π / 2]
Ε ( Χ) = ∫

π /2

0

π
x.cos xdx = − 1

2
4


2

π

D ( X ) = ∫ x cos xdx −  − 1÷ = π − 3
10 44 2 4 43  2 
π /2

2

( )

Ε X2

Mod X =0
Med X ⇔

∫

m

−∞

m

f X ( x ) dx = ∫ cos xdx = 1/ 2

0

⇔ sin m = 1/ 2 ⇔ m = π / 6

Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất như sau

Χ

Ρ

1 2 ... k ...
p

k −1

m −1 m

pq ... pq ... pq

m−2

pq

m + 1....

m −1

... pq

m

...
5


∞

E ( X ) = ∑ kp.q k −1 = p.
k =1

1

( 1− q)

2

=

1
p

2

1
D ( X ) = ∑ k pq
− ÷
k =1
 p
1
4 2 43

+∞

k −1

2

Ε( Χ )

2

2

1
1+ q
1+ q
1
q
= p.
−
=
−
=
 ÷
(1 − q )3  p 
p2
p2
p2

Mod X = 1
 p ( 1 + q + ... + q m − 2 ) ≤ 1 / 2


⇔

Med X =m
m−2
m −1
p
1
+
q
+
...
+
q
+
q
(
) ≥ 1/ 2


6


.

 m −1 1
q
≥
m −1



1
−
q
≤
1
/
2


2
⇔
 m


q ≤ 1 / 2
q m ≤ 1


2
⇔ m ln q ≤ − ln 2, ( m − 1) ln q ≥ − ln 2
 1 − q m −1
≤ 1/ 2
 p.
1− q
⇔
⇔
1 − q m ≥ 1 / 2


− ln 2
− ln 2
⇔
+1 ≥ m ≥
ln q
ln q

7


.Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau:
X
P

2
0,4

5
0,3

7
0,3

Ε ( Χ ) = 2.0, 4 + 5.0,3 + 7.0,3 = 4, 4
D ( Χ ) = 21 .0.4
5 2.0,3
4 4+44
4 +474.0,3
43 − ( 4, 4 )
2

2

2

2

( )

Ε Χ2

σ ( Χ ) = D( X ) = 2,017

8


Cách dùng máy tính bỏ túi ES

• Mở tần số(1 lần): Shift Mode
• Nhập: Mode Stat 1-var

xi

Stat On(Off)

ni

2 0,4
5 0,3
7 0,3

AC: báo kết thúc nhập dữ liệu
Cách đọc kết quả: Shift Stat Var

x =→ Ε ( Χ )

xσ n =→ σ ( Χ )

9


Cách dùng máy tính bỏ túi MS:Vào Mode chọn SD
Xóa dữ liệu cũ: SHIFT CLR SCL =
Cách nhập số liệu :
2; 0,4 M+
5; 0,3 M+
7; 0,3 M+
Cách đọc kết quả:

 x =→ Ε ( Χ )
SHIFT S – VAR 
 xσ n =→ σ ( Χ )
10


Ví dụ 3.4:
Tung cùng 1 lúc 5 con xúc xắc cân đối,đồng chất .Gọi X là
tổng số điểm nhận được. Hãy tính E(X), D(X)
Giải: Gọi Xi là số điểm của con xúc xắc thứ i
Χ = Χ1 + Χ 2 + .... + Χ 5

Ε ( Χ ) = Ε ( Χ1 ) + .... + Ε ( Χ 5 ) = 5Ε ( Χ1 )

Xi độc lập ⇒ D ( Χ ) = D ( Χ1 ) + D ( Χ 2 ) + ... + D ( Χ 5 ) = 5D ( Χ1 )
X1
P

1…………6
1/6………1/6

⇒ Ε ( Χ1 ) =

7
,
2

D ( Χi ) =

35
12

11


§4: Kỳ vọng của hàm Y = ϕ ( Χ )
1.Trường hợp rời rạc: Ρ ( Χ = xi ) = pi , ⇒ Ε ( Y ) = ∑ ϕ ( xi ) pi
+∞ i
2.Trường hợp liên tục:
Χ : f X ( x ) ⇒ Ε ( Y ) = ∫ ϕ ( x ) . f X ( x ) dx
−∞


π


Ví dụ 4.1:
cos x, x ∈ 0, 2 



Χ
:
f
x
=
(
)
Cho

X
 π
x ∉  0, 
 2

0



Tìm kỳ vọng và phương sai của Y= sinX.
Ε( Y ) =
Ε( Y

2

∫

π /2

0

) =∫

sin 2 x
sin x cos xdx =
2

π /2

0

π /2
0

sin 3 x
sin x cos xdx =
3
2

D( Y ) = Ε( Y 2 ) − Ε( ( Y ) ) =
2

1

0

=

1
2

1
=
3

1 1
1
− =
3 4 12
12


§5: Kỳ vọng của hàm

Ζ = ϕ ( Χ,Y )

1.Trường hợp rời rạc: Ρ ( Χ = xi , Y = y j ) = pij
Ví dụ 5.1:

⇒ Ε ( Ζ ) = ∑ ϕ ( xi , y j ) . pij
i, j

Ε ( ΧY ) = ∑ xi y j pij
i, j

2.Trường hợp liên tục:(X,Y)liên tục và có hàm mật độ
f(x,y)

⇒ Ε ( Ζ ) = ∫∫ ϕ ( x, y ) . f ( x, y ) dxdy
R2

8 xy
0 ≤ x ≤ y ≤1
f ( x, y ) = 
0 ,nếu

Ví dụ 5.2:

,nếu trái lại

13


HÌNH 5.1
y

↑

1

Ω
0

1

X

→

14


.

Ε ( Χ) =

∫∫ x. f ( x, y ) dxdy = ∫
R

Ε( Y ) =

0

2

∫∫ y. f ( x, y ) dxdy = ∫
R

Ε( Y 2 ) =

Ε( X 2 ) =

1

1

0

2

∫∫

y2. f

y

dy ∫ x8 xydx
0

y

dy ∫ y8 xydx
0

( x, y ) dxdy

R2

2
x
∫∫ . f

Ε ( X .Y ) =

( x, y ) dxdy

∫∫ xy. f ( x, y ) dxdy
R2

15


§6: Các đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên
1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y))
2. Hiệp phương sai (covarian):
Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))]
Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y)
Tính chất: (1) X,Y độc lập thì cov(X,Y) = 0
(2) cov(X,X) = D(X)
n
 m
 m n
(3) cov  ∑ Χ i , ∑ Y j ÷ = ∑∑ cov ( Χ i , Y j )
j =1
 i =1
 i =1 j =1
m
 m
 m
Χ i , ∑ Χ k ÷ = ∑ D ( Χ i ) + ∑ cov ( Χ i , X k )
(4) cov  ∑
i =1
k =1
i≠k

 i =1

16


3. Hệ số tương quan
Định nghĩa 6.2:

RXY =

cov ( Χ, Y )

σ ( Χ ) .σ ( Y )

Tính chất: (1) X,Y độc lập ⇒ RΧY = 0
(2) RXY ≤ 1, ∀Χ, Y
(3) RXY = 1 ⇔ ∃a, b, c : aΧ + bY = c
Ý nghĩa: Hệ số RXY đặc trưng cho sự ràng buộc tuyến tính
giữa X và Y: RXY càng gần1, thì X,Y càng gần có quan
hệ tuyến tính.
 cos ( Χ, Χ ) ,cos ( Χ, Y ) 
4. Ma trận tương quan: D ( Χ, Y ) = 
÷

 cov ( Y , Χ ) ,cov ( Y , Y ) ÷



17

Ví dụ 6.1:
• Cho các biến ngẫu nhiên Χ1 , Χ 2 ,.....Χ m ; Y1 , Y2 .....Yn có phương
sai đều bằng 1: cov Χi , Χ j = p1 ;cov Yi , Y j = p2 ;cov Χi , Y j = p3
Tìm hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên:
U = ( Χ1 + Χ 2 + ..... + Χ m ) và V = ( Y1 + Y2 + ..... + Yn )
m
n
m
n
Giải: cov ( U ,V ) = cov  Χ , Y  = . cov ( Χ , Y ) = m.n. p

(

∑
 i =1

i

)

∑
j =1

i

÷


(

∑∑
i =1 j =1

)

i

(

j

)

3

n
 m
 m
D ( U ) = cov  ∑ Χ i , ∑ X k ÷ = ∑ D ( Χi ) + ∑ cov ( Χ i , Χ k ) = m + m(m − 1). p1
k =1
j ≠k
 i =1
 i =1
D ( V ) = n + n(n − 1). p2

RUV =

cov ( U ,V )
m.n. p3

=
σ ( U ) .σ ( V )
m + m ( m − 1) p1 . n + n ( n − 1) p2

18


5. Cách dùng máy tính bỏ túi
a)Loại ES:

MODE STAT a+bx
xi
yi
pij
AC

Cách đọc kết quả:
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT REG
SHIFT STAT SUM

x =→ Ε ( X )
xσ n =→ σ ( X )
y =→ Ε ( Y )

yσ n =→ σ ( Y )

r =→ RXY

∑ xy =→ Ε ( XY )
19


b) Loại MS: MODE REG LIN
Cách xóa dữ liệu cũ :
SHIFT CLR SCL =
Cách nhập dữ liệu :
xi , y j ; pij
M+
Cách đọc kết quả:
x =→ Ε ( X )
SHIFT S-VAR
xσ n =→ σ ( X )
SHIFT S-VAR
y =→ Ε ( Y )
SHIFT S-VAR
yσ n =→ σ ( Y )
SHIFT S-VAR
r =→ RXY
SHIFT S-VAR
SHIFT S-SUM
∑ xy =→ Ε ( XY )
20