giai chi tiet nhi thuc niu ton giai chi tiet nhi thuc newton toán 11

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN.



Công thức khai triển nhị thức Newton:




Công thức số tổ hợp: ,

,

.

.

Tính chất lũy thừa: .

B. CÁC DẠNG TOÁN.
DẠNG 1: Tìm số hạng chứa

trong khai triển

.

Phƣơng pháp.



Viết khai triển



Biến đổi khai triển thành




Số hạng chứa

;

;

tương ứng với số hạng chứa

thỏa

.

Từ đó suy ra số hạng cần tìm.

Ví dụ 1. Tìm hệ số của

trong khai triển đa thức:

Lời giải.
Ta có .

Số hạng chứa

tương ứng với số hạng chứa

Vậy hệ số của số hạng chứa

thỏa

.

là

.

Ví dụ 2. (D-04) Tìm số hạng không chứa

trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

Lời giải.
Ta có .

Số hạng không chứa

tương ứng số hạng chứa

Vậy số hạng không chứa

là

thỏa

.

.

Ví dụ 3. (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa

trong khai triển

, biết:

Lời giải.
Theo giả thiết có:

.

Khi đó .

1


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Số hạng chứa

thỏa

tương ứng số hạng chứa

Vậy hệ số của số hạng chứa

Ví dụ 4. (A-04) Tìm hệ số của

là

.

.

trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

Lời giải.
Ta có khai triển:

.

Số hạng chứa

tương ứng số hạng chứa

Vì

và

thỏa

nên

Vậy hệ số của số hạng chứa

.

hoặc

.

là

.

DẠNG 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán liên quan đến
Phƣơng pháp.





Chọn một khai triển

phù hợp, ở đây

là hằng số.

Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân.
Dựa vào điều kiện bài toán, thay

bởi một giá trị cụ thể.

Ví dụ 5. (D-02) Tìm số nguyên dương

thoả mãn hệ thức:

Lời giải.
Xét khai triển

Chọn

.

ta có

Lại theo giả thiết ta có

Ví dụ 6. (A-06) Tìm hệ số của

.

.

trong khai triển

, biết:

Lời giải.

Xét khai triển

.

2

.


Gia sư Thành Được

Chọn

www.daythem.edu.vn

ta có

.

Lại có

nên .

Lại theo giả thiết có

.

Khi đó .

Số hạng chứa

tương ứng số hạng chứa

Vậy hệ số của số hạng chứa

là

thỏa

.

.

Ví dụ 7. (D-08) Tìm số nguyên dương

thoả mãn hệ thức:

Lời giải.

Xét khai triển

.

Chọn lần lượt

và

ta có .

Trừ theo vế (1) và (2) ta có

.

Lại theo giả thiết có

Ví dụ 8. (A-05) Tìm số nguyên dương

.

thỏa mãn:

Lời giải.

Xét khai triển

.

Lấy đạo hàm hai vế được

Thay

.

ta có

Theo giả thiết ta có

.

.

Ví dụ 9. Chứng minh rằng:

3


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Lời giải.
Xét khai triển

.

Lấy đạo hàm cấp hai hai vế ta có:

Chọn

.

ta có

(đpcm).

Ví dụ 10. (B-03) Cho

là số nguyên dương. Tính tổng:

Lời giải.

Xét khai triển

.

Lấy tích phân từ 1 đến 2 cả hai vế ta có:

.

Vậy .

BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
1. Tìm hệ số của số hạng chứa
2. (A-2012) Cho

Tìm số hạng chứa

trong khai triển biểu thức

.

là số nguyên dương thỏa mãn

.

trong khai triển nhị thức Newton của

3. (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa

.

trong khai triển

, biết:

4. (A-02) Cho khai triển biểu thức

biết rằng trong khai triển đó

5. (D-07) Tìm hệ số của

và số hạng thứ tư bằng

. Tìm

trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

4

và

.


Gia sư Thành Được
6. (D-03) Với
Tìm

www.daythem.edu.vn

là số nguyên dương, gọi

để

là hệ số của

trong khai triển thành đa thức của

.

.

7. Tính tổng

.

8. (B-07) Tìm hệ số của số hạng chứa

trong khai triển biểu thức:

, biết

9. (A-08) Cho khai triển:

và các hệ số

thoả mãn hệ thức

Tìm số lớn nhất trong các số

.

.

10. Tính tổng

.

11. Tính tổng .
12. Tìm số tự nhiên

sao cho

.

13. Tính tổng

.

14. Tính tổng

.

Bài tập:
Baøi 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:
12

10


1 

b)  x2 

x4 


10


1
f)  x2  
x3 

b) 495
c) –10


1 
a)  x  
x4 



1
e)  2x  
x

ĐS: a) 45

10


1 
c)  x3  
x2 


5


1
d)  x2  
x


15


2 
g)  x3  
h)
x2 

d) 15
e) –8064

6

10



1
x 
x

f) 210

Giải
10


1 
a)  x  
x4 

5k=0

k
 C10
( x)10k (

2

Suy ra: k = 2 nên C10

12


1 
b)  x2  
x4 


- 6k = 0

1
x

4

1
x

4

)k  x105k  x0  1 tức là 10-

10!
9x10

 45
2!(10  2)!
2

k
 C12
( x2 )12k (

4

Suy ra: k = 4 nên C12

)k để biểu thức không chứa x là ( x)10k (

1
x

4

)k để biểu thức không chứa x là ( x)242k (

1
x

4

)k  x246k  x0  1 tức là 24

12!
9x10x11x12

 495
4!(12  4)!
1x2x3x4

5


1
1
c)  x3    (1)k C5k ( x3 )5k ( )k (do hằng đẳng thức mang dấu trừ) để biểu thức không chứa x là
2

x 
x2

1
( x3 )5k ( )k  x155k  x0  1 tức là 15 -5k = 0
x2
5!
3x4x5

 10
Suy ra: k = 3 nên (1)3C53  
3!(5  3)!
1x2x3
5


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

6


1
1
d)  x2    (1)k C6k ( x2 )6k ( )k (do hằng đẳng thức mang dấu trừ) để biểu thức không chứa x là
x
x

1

( x2 )6k ( )k  x123k  x0  1 tức là 12 - 3k = 0
x
6!
5x6

 15
Suy ra: k = 4 nên (1)4 C64 
4!(6  4)! 1x2
10


1
1
k
e)  2x    (1)k C10
(2x)10k ( )k (do hằng đẳng thức mang dấu trừ) để biểu thức không chứa x là
x
x

10 k
1
(2x)10k ( )k  (2) x102k  x0  1 tức là 10-2k=0
x
10!
6x7x8x9x10
5
 25

 8064
Suy ra: k = 5 nên (1)5 25C10

5!(10  5)!
1x2x3x4x5
10


1
f)  x2  
x3 

- 5k = 0

k
 C10
( x2 )10k (

4

Suy ra: k = 4 nên C10

15


2 
g)  x3  
x2 

là 45 -5k = 0

1
3

)k để biểu thức không chứa x là ( x)202k (

1
x

x

3

)k  x205k  x0  1 tức là 20

10!
7x8x9x10

 210
4!(10  4)! 1x2x3x4

k
 C15
( x3 )15k (

9
 29
Suy ra: k = 9 nên (2)9 C15

2
x

2

)k để biểu thức không chứa x là ( x3 )15k (

2
x

2

)k  x455k x2k  x0  2k tức

15!
10x11x12x13x14x15
 29
 29 x5005  2562560
9!(15  9)!
1x2x3x4x5x6

10


1
h)  x  
x


1
1
k
 C10
( x)10k ( )k để biểu thức không chứa x là ( x)10k ( )k  x102k  x0  1 tức là 10 - 2k = 0

x
x
10!
6x7x8x9x10
5


 252
Suy ra: k = 5 nên C10
5!(10  5)! 1x2x3x4x5

Bài 2: Khai triển đa thức P(x) dưới dạng: P( x)  a0  a1x  a2 x2  ...  an xn . Xác định hệ số ak:
a) P( x)  (1 x)9  (1 x)10  ...  (1 x)14; a9 ?
Giải: a9 là hệ số của x9:
Ta có: (1 x)9 khi C99 x9
9 9
x
(1 x)10 khi C10
.
.
.
9 9
x
(1 x)14 khi C14
9
9
9
Do đó: a9  C99  C10
= 3003
 C11

 ...  C14
9

C99 = 1; C10

10!
11!
10x11
12!
10x11x12
9
9
 10 ; C11


 55 ; C12


 220 ;
9!(10  9)!
9!(11  9)!
2
9!(12  9)!
1x2x3

6


Gia sư Thành Được
9

C13


www.daythem.edu.vn

12!
10x11x12x13
14!
10x11x12x13x14
9

 715 ; C14


 2002
9!(13  9)!
1x2x3x4
9!(14  9)!
1x2x3x4x5

b) P( x)  (1 x)  2(1 x)2  3(1 x)3  ...  20(1 x)20; a15 ?
15
15
15
15
Do đó: a15  15C15
= 400995
 16C16
 17C17
 ...  20C20

15
15
 16
= 15; 16C16
15C15

16!
 256 ;
15!(16  15)!

15
17C17
 17

17!
16x17
18!
16x17x18
15
 17
 2312 ; 18C18
 18
 18
 14688 ;
15!(17  15)!
2
15!(18  15)!
1x2 x3

15

19C19
 19

19!
16x17x18x19
 19
 73644 ;
15!(19  15)!
1x2x3x4

15
20C19
 20

20!
16x17x18x19x20
 20
 310080
15!(20  15)!
1x2 x3x4 x5

c) P( x)  ( x  2)80  a0  a1x  a2 x2  ...  a80 x80; a78 ?
d) P( x)  (3  x)50  a0  a1x  a2 x2  ...  a50 x50; a46 ?
e) P( x)  (1 x)3  (1 x)4  (1 x)5  ...  (1 x)30; a3 ?
ĐS: a) a9  3003

b) a15  400995

c) a78  12640

7

d) a46 = 18654300