on tap toan 11 hkii on tap toan 11 hkii

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II
Môn: TOÁN. Khối: 11.
A. PHẦN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. GIỚI HẠN DÃY SỐ.
Bài 1. Tính các giới hạn của các dãy số sau:
a). lim(n2  4n  5) b). lim(3n2  n  1)
c). lim(n3  2n2  n  1)

d). lim(2n4  n2  3n  4)

Bài 2. Tính các giới hạn của các dãy số sau:
a). lim

6n  1
1  3n

b). lim

2n 2  n  1
4  n2

c). lim

3(n  1)(n  4)
n2  5n  3

d). lim

3n  1
3
n n2

e). lim

5n 2  n  7
2n  1

f). lim

8n3  n  4
2n 3  n 2  1

Bài 3. Tính các giới hạn của các dãy số sau:
a). lim

5n  1
3n  2.5n

b). lim

3.4n  1
4n  2

c). lim

2n  7 n 1
1  7n

Bài 4. Tính các giới hạn của các dãy số sau:
a). lim( n2  3n  n)

b). lim( n2  3n  n)

c). lim( n2  n  1  5n)

d). lim( 4n2  1  2n)

e). lim( 4n2  n  4n2  1)

f). lim( 4n2  n  4n2  1)

II. GIỚI HẠN HÀM SỐ.
Bài 5. Tính các giới hạn của các hàm số sau:
a). lim (4 x 2  x  2) b). lim (3x 2  7 x  1) c). lim ( x3  x 2  5x  1)
x 

x 

x 

d). lim (2 x 4  5 x 2  3)
x 

Bài 6. Tính các giới hạn của các hàm số sau:
c). lim

3x3  x  4

x 
2x  5

f). lim

b). lim

x2
2
x  x  x  1

e). lim

d). lim

6 x2  x  1
x  3( x  2)( x  5)

2x2  x  1
x 
4  x2

8x  3
x  5  4 x

a). lim

6 x3  x 2  3
x  1  x  2 x 3

Bài 7. Tính các giới hạn của các hàm số sau:
x2  2x  4
a). lim
x 2
x2
2 x 2  3x  1
x 1
x2 1

f). lim

x3  8
x 2 x  2

j). lim

e). lim

i). lim

x2  4x  3
c). lim
x 3
x 3

3x  6
b). lim
x 2 2 x  4
3x  9
2

x 3 x  2 x  3
x 1

g). lim
x 1

x 1
x2 1

x2  2x  3
d). lim 2
x 1 2 x  x  1

h). lim
x 3

x2  9
x 3

x3  x 2  x  1
x 1

Bài 8. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a). lim
x 3

[Type text]

x 6 3
x 3

b). lim
x 2

2 x
x 7 3

c). lim

x 1

2x  3 1
x2 1

d). lim
x 3

x 1  2
x2  9


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

1 x
x 1 x  1

1 x  3
x 4

2x  8

e). lim

f). lim

g). lim
x 4

x 2
x  5x  4

x  3 1
x6 2

h). lim

2

x 2

Bài 9. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a). lim

x  2

4x 1
x2

b). lim

x 1

x 2  3x  5
x 1

3x 2  1
x ( 1) x  1

c). lim

d). lim

1
x  
2



2x  5
4x  2

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC.
Bài 10. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
 x 2  3x  2

a). f ( x)   x  2

1

 x2  x  2

c). f  x    x  2
 5 x


 x2  4

b). f ( x)   x  2
 x+1


khi x  2
khi x  2

khi x  2
khi x  2

 x2  5x  4
d). f  x    x  1
 3x  7


khi x  2
khi x  2

khi x  1
khi x  1

Bài 11. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
 x2  4


a). f ( x)   x  2
 4


khi x  2

tại x0 = 2

khi x  2

 x2  4x  3

b). f ( x)   x  3
 2x - 4


 x2  6 x  5

Bài 12. a). Xác định m để hàm số f ( x)   x  1
 mx  1

 x 2

b). Xác định a để hàm số f ( x)   x  4
 2ax  1
 4

khi x  1

khi x  3

tại x0 = 3

khi x  3

liên tục tại x0  1

khi x  1
khi x  4

liên tục tại x0  4

khi x  4

Bài 13. CMR:
a). Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2 x3 10 x  7  0
b). Chứng minh rằng phương trình 2 x4  4 x2  x  3  0 có ít nhất hai nghiệm trong
khoảng  1;1
c). Chứng minh rằng phương trình x5  3x4  5x  2  0 có ít nhất ba nghiệm thuộc
khoảng  3;5
d). Chứng minh rằng phương trình x  sin x có nghiệm.
IV. ĐẠO HÀM.
Bài 14. Tính đạo hàm các hàm số sau:
1). y 

x3 x2
  x  10
3 2

2). y  2 x 5 

x
3
2

3). y 

2 3
5
 2 3
x x
x

4). y  ( x 2  5) 3
[Type text]


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

5). y  (5x3  x2  x  1)4

13). y 

 x2  7x  5
x 2  3x

21). y 

14). y 

x3  2 x
x2  x  1

22). y 

15). y 

1
x  3x  4

23). y  2 x 2  3 x  1

6). y  5x 2 (3x  1)
7). y  ( x 2  1)(5  3x 2 )
8). y  x(2 x  1)(3x  2)
9). y 

2x  3
1 x

10). y 

x2  2x  3
x 1

1 x
1 x



2



16). y  2 x3

24). y  x 2 x 2  1

17). y  3x 4  x 2

25). y  x3  x x  1

3

18). y  x 2  6 x  7

2x2  5
11). y 
x2

2
x

x 2  2x  3
2x  1




12). y    3x 





x 1

19). y  x  1  x  2
20). y  ( x  1) x 2  x  1

Bài 15. Tính đạo hàm các hàm số sau:
1) y  3sin x  2cos x

2). y  sin 3x  cos 2 x

3). y  x 2 sin x

4). y  x tan 2 x

5). y  x2  x cos x  1

6) y  cos x. sin 2 x

7). y  cos2 2 x  sin3 x

8). y  cot 3 (2x  )

9). y  sin 2 (cos3x)

10). y  3sin x  cos2x

11). y  3 sin 2 x. sin 3x

12). y  2  tan2 x

13). y  1  2 tan x

14). y 

16). y 

x sin x
1  cot x


4

1
1  sin 2 2 x

15). y 

17). y  sin x  x
x

sin x  cos x
sin x  cos x

18). y  cos(xsin x)

sin x

Bài 16. Viết phương trình tiếp tuyến với parapol (P): y  x2  3x  1 trong các trường hợp sau :
a).
b).
c).
d).

Tại M (1;-1).
Tại điểm có hoành độ bằng 2.
Tại điểm có tung độ bằng 1.
Biết hệ số gốc của tiếp tuyến bằng 5.

e). Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  5x  1
1
7

f). Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x  2016
Bài 17. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C): y  x3  2 x 2  1 trong các trường hợp
sau:
a). Tại điểm có hoành độ bằng -1.
b). Tại điểm có tung độ bằng 1.
c). Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y   x  1
Bài 18. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (H): y 
[Type text]

2x 1
trong các trường hợp sau :

x 1


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

a). Tại điểm có hoành độ bằng 4.
b). Tại điểm có tung độ bằng 1.
1
3

c). Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x  9
Bài 19. Chứng minh các đẳng thức sau :
a). Cho y  x3  x  1 . Chứng minh rằng: 9( y  1)  3x. y '  y ''  0
x 1
. Chứng minh rằng: y 2  2 x. y '  1  0
x 1
c). Cho y  x sin x . Chứng minh rằng: ( x2  2) y  2 xy '  x2 y ''  0

b). Cho y 

d). Cho y  tan 2 x . Chứng minh rằng: 2 y 2  y '  2  0
B. PHẦN HÌNH HỌC
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB = AC và mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh AI vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD.
a). Chứng minh rằng BC  (SAB) và CD  (SAD) và BD  (SAC ) .
b). Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH,

AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng.
c). Chứng minh rằng HK  (SAC ) . Từ đó suy ra HK vuông góc với AI
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt SAB là tam giác cân tại S
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng
AB. Chứng minh rằng:
a). BC và AD cùng vuông góc với mặt phẳng (SAB).
b). SI  ( ABCD) .
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông góc tại A; gọi O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,
AB, AC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O ta lấy một điểm S khác O
Chứng minh rằng:
a). (SBC )  ( ABC) ;
b). (SOI )  (SAB) ;
c). (SOI )  (SOJ ) .
Bài 5. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O, có AC  a 3 , BD  a . Đường
a
4

cao SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đoạn SO = . Gọi E là hình chiếu vuông góc của
O trên BC.
a). Chứng minh (SOE)  (SBC ) và (SAC )  (SBD)
b). Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
[Type text]


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA (ABCD); góc hợp
bởi cạnh bên SC và mặt phẳng chứa đáy bằng 300 .

a). Chứng minh tam giác SBC vuông.
b). Chứng minh BD  SC và (SCD)(SAD).
c). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA 

3a
và SA  ( ABC ) . Gọi I
2

là trung điểm cạnh BC.
a). Chứng minh rằng BC  (SAI )
b). Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC ) và ( ABC ) .
c). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) .

MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO
Đề 1:
Câu 1: Tính giới hạn các dãy số sau:
a). lim

6n  1
1  3n

b). lim( n2  2n  n)

Câu 2: Tính giới hạn các hàm số sau:
2 x2  x  1
x 2
x 1

x2  6x  8

x 4
x4
Câu 3: Xác định m để hàm số sau liên tục tại x0  2 .

a). lim

 x2  4

f ( x)   x  2
 mx - 2


b). lim

c). lim
x 3

x 1  2
.
x 3

khi x  2
khi x  2

Câu 4. Chứng minh rằng phương trình 5x5  3x4  x3 1  0 có ít nhất một nghiệm.
Câu 5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y  x3  3x 2  4 . Biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng (d): y  9 x  1 .
Câu 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x4
3x  1

a). y   2 x 2  x  11
b). y 
c). y  x 2 sin 2 x
4
x2
2
Câu 7. Cho y  x  2 x  1 . Chứng minh rằng: 2( y  1)  x( y '  y '' )  0
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, có SA  a 6 và SA
vuông góc với mặt phẳng đáy.
a). Chứng minh rằng: BC  (SAB) và BD  (SAC )
b). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC )
c). Tính góc hợp bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy.
------------------------------------------------------------[Type text]


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Đề 2:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
4n  3
a). lim
1  8n

x2  x  6
b). lim
x 2
x2

4 x2  5x  1
c). lim
x 1
x 1

d). lim
x 4

x4
.
x 5 3

Câu 2: Xác định a để hàm số sau liên tục tại x0  1 .
 x2 1

f ( x)   x  1
 a2  a


khi x  1
khi x  1

Câu 3. Chứng minh rằng phương trình 3x4  x3  x  1  0 có nghiệm.
7 x 1
Câu 4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H): y 
tại điểm có hoành độ bằng 1.
x2
Câu 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x3 x 2
  x 1

b). y  ( x  1) x 2  1
3 4
3x  2
Câu 6. Cho y 
. Chứng minh rằng: y 2  2 x. y '  1  0
3x  2

a). y  x5 

c). y  sin 3x cos x

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB  a 3 , AD  a , có
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc hợp bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600.
a). Chứng minh rằng: CD  (SAD) và BC  (SAB)
b). Tính độ dài đoạn thẳng SA.
c). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) .
--------------------------------------------------------------

[Type text]


Gia sư Thành Được

[Type text]

www.daythem.edu.vn