Bài tập tính đơn điệu của hàm số có đáp ná thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Bài 1. Cho hàm số y  2x3  9mx2  12m2 x  1 (1) . Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng

 2; 3  .
Giải

y'  6x2  18mx  12m2 , y ' có   36m2  0 suy ra y ' có nghiệm x  2m,x  m
và ta có sơ đồ dấu của y ' trong các trường hợp sau :



m

+

-

2m

+

+

m  2m +

+



m

2m -

+








Để hàm số (1) nghịch biến trên  2; 3  ta phải có y'  0 trên  2; 3 


+

2m 2



+

m

2

-

m
3

3

+

2m +




 2m  2
 m  1
(VN)


m  3
m  3




m  2
m  2



 2  m   3 2
 2m  3
 m   3 2
ĐS: 2  m   3 2 .
Bài 2. Cho hàm số y  x3  3x2  mx  m (1) . Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên nửa đoạn
0;   .

Giải

y'  3x2  6x  m , y ' có   12(3  m)

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

Để hàm số (1) đồng biến trên 0;   ta phải có y'  0 trên 0;   .
+) Nếu   0  3  m  0  m  3 thì y'  0 với x  y'  0 trên 0;    m  3 thỏa mãn
+) Nếu   0  m  3 thì y ' có 2 nghiệm phân biệt x 

3  9  3m

,
3

và ta có sơ đồ dấu của y ' như sau:

+



3  9  3m 3  9  3m
3
3
+

Để y'  0 trên 0;   ,ta phải có
3  9  3m
3

+





+

3  9  3m
0
3
3  9  3m

3

-

+



0

 3  9  3m  0

 9  3m  3  3m  0  m  0

Kết hợp với m  3  0  m  3

m  3
 m0.
ĐS: 
0  m  3
1
Bài 3. Cho hàm số y   x3  mx2  (m  6)x  1 (1) . Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên một
3

đoạn có độ dài đúng bằng 2 6 .
Giải

y'  x2  2mx  m  6
Để hàm số (1) đồng biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng 2 6 thì ta phải có y'  0 trên
một đoạn có độ dài đúng bằng 2 6 .

y ' có   4m2  4m  24
+) Nếu 2  m  3 thì y'  0 với x  2  m  3 không thỏa mãn.
+) Nếu   0  m  2  m  3 thì y ' có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ,và ta có sơ đồ dấu của y '
như sau



+-

x1

+

x2

-+



Để y'  0 trên một đoạn có độ dài đúng bằng 2 6 ta phải có x1  x2  2 6

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

 m  3
2
2
2
  x1  x2   24   x1  x2   4x1x 2  24   2m   4(m  6)  24  
m  4

 m  3
ĐS: 
m  4
Bài 4. Cho hàm số y  x3  3(m  1)x2  3m(m  2)x  1 (1) . Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên
các đoạn 
 2; 1 và 1; 2  .
Hướng dẫn
- tính y' thấy y'=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt
- từ nghiệm của y' => tìm ra các khoảng đồng biến đó là (; m  2) , (m; )
- nhúng các khoảng mà đề bài cần xét vào các khoảng đồng biến trên. Khi đó ta có 3 trường
hợp
TH1: Hai đoạn  2; 1 , 1; 2  đều thuộc (; m  2)
TH2: Hai đoạn  2; 1 , 1; 2  đều thuộc (m; )
TH3:  2; 1 thuộc (; m  2) còn đoạn 1; 2  thuộc (m; )
 Các điều kiện của m
Lời giải

y'  3x2  6(m  1)x  3m(m  2) .

y ' có   36  0 suy ra y ' có nghiệm phân biệt x  m,x  m  2 và ta có sơ đồ dấu của y ' như
sau :
m2 -

+



m

+



Để hàm số (1) đồng biến trên các đoạn 
 2; 1 và 1; 2  thì ta phải có y'  0 trên các đoạn

 2; 1 và 1; 2 
m2

+



-

m

+



+



-2

m2

+



-

m

2



m2

+

-

m

-1



Hoặc m  2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

+



1

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

Hoặc m  2  2  m  4

m  2  1
 m 1
Hoặc 
m  1

ĐS: m  2,m  1,m  4 .
Bài 5. Cho hàm số y  x3  3mx2  3(1  2m)x  1 (1) .Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên tập
xác định.
Giải

y'  3x2  6mx  3(1  2m)
Để hàm số (1) nghịch biến trên tập xác định, tức nghịch biến với mọi x ta phải có y'  0 với
x  3x2  6mx  3(1  2m)  0 x  x2  2mx  2m  1  0 x
   4(m  1)2  0  (m  1)2  0  m  1 .

ĐS : m  1

 m 1 3
2
Bài 6. Cho hàm số y  
 x  mx  (3m  2)x (1) . Tìm m để hàm số (1) luôn đồng biến.
3


Giải

y'  (m  1)x2  2mx  3m  2
Để hàm số (1) luôn đồng biến thì ta phải có y'  0 x .
1
+) nếu m  1  0  m  1 thì y'  2x  1 đổi dấu khi x vượt qua  ,suy ra hàm số (1) không
2

thể luôn đồng biến.
m  1  0


+) nếu m  1  0  m  1 thì y'  0 x  
 m  2.
2



8m

20m

8

0



ĐS : m  2 .
Bài 7. Cho hàm số y  x4  mx2  m  2 (1) . Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên nửa đoạn
1;   .

Giải

y'  4x3  2mx  2x(2x2  m)
Để hàm số (1) đồng biến trên 1;   thì ta phải có y'  0 trên 1;   .
Xét f(x)  2x2  m , f(x) có   8m .
+) Nếu   0  m  0 thì f(x)  0 x .Khi đó ta có sơ đồ dấu của y ' như sau
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

0

-



+

Hàm số



Do đó y'  0 trên 1;    m  0 thỏa mãn.
+) Nếu   0  m  0 thì f(x) có 2 nghiệm x   

 
-



m
2+



+

m
.Khi đó ta có sơ đồ dấu của y ' như sau
2

m
2

+



m
2

+



o

Để y'  0 trên 1;   ta phải có

m
 +
2

-



o



+



1

m
m
 1    1  m  2
2
2

Kết hợp với m  0  2  m  0

m  0
 m  2 .
ĐS : 
 2  m  0
Cách khác
Để hàm số (1) đồng biến trên 1;   thì ta phải có y'  0 trên 1;   .
 4x3  2mx  0, x  1  2x2  m  0, x  1  2x2  m, x  1

 Max(2x2 )  m
x 1

Xét f(x)  2x2 ,x  1 ,ta có f ' (x)  4x  0 , x  1 suy ra f(x) nghịch biến với x  1

 Max f(x)  f(1)  2 .Suy ra giá trị cần tìm là m  2 .
x 1

Bài 8. Cho hàm số y 

x  3m  1
(1) . Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên nửa đoạn  3;   .
xm

Giải
TXĐ: R\m , y' 

1  4m

x  m

2

.

Để hàm số nghịch biến trên  3,   , ta phải có:



m

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

3

-



Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số


1

1  4m  0
1
 y'  0 x  3,  
m 


4  m3

4
m  3



m  3(m   3,  )
m  3
(m<3 để đảm bảo hàm số nghịch biến tại mọi điểm trên  3,   , ví dụ: khi m=4 => điều kiện
xác định x khác 4 => h/s không thể nghịch biến tại 4)
Mặt khác, ta thấy với m 
m

Vậy

1
thì y'  0 trên toàn bộ tập xác định
4

1
không thoả mãn điều kiện.
4

1
 m  3.
4

Bài 9. Cho hàm số: y   m  1 x4  mx2  3  m . Tìm m để hàm số đồng biến trên  1,  
Giải

y'  4  m  1 x3  2mx  2x 2  m  1 x2  m 
Hàm số đồng biến trên  1,    y'  0 với x   1,   , tức y'  0 với x  1
+ m = 1 thì y'  2x
Khi đó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên  1,  

 m = 1 không thoả mãn.
+ m – 1 > 0  m  1 , y'  0 có 3 nghiệm.
Khi đó y'  0 x  1,   

m
 1  m  2  m  1  m  2
2  m  1

+ m – 1 < 0 m1
Xét f  x   2  m  1 x2  m

f  8m  m  1

- Nếu   0  8m  0  m  0 kết hợp với m  1  0  m  1 thì f  x   0 với mọi x .
Suy ra ta có sơ đồ dấu của y'  2x 2  m  1 x2  m  như sau: (tự vẽ)

 0  m  1 không thoả mãn.
- Nếu   0  m  0 thì y’ có 3 nghiệm. Ta có sơ đồ dấu của y’như sau (tự vẽ)

 Không thể có y'  0 trên  1,  
Vậy: m  2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Bài 10. Cho hàm số: y 
 2,  

Hàm số

mx3
1
  m  1 x2  3  m  2  x  . Tìm m để hàm số đồng biến trên
3
3

Giải
y'  mx2  2  m  1 x  3m  6

Để hàm số đồng biến trên đoạn  2,   , ta phải có y'  0 với x  2 .
* Xét trường hợp: m = 0
Ta có: y'  2x  6, y'  0  2x  6  0  x  3  m  0 không thoả mãn.
* Xét trường hợp: m < 0

y ' có  '  2m2  4m  1
- Nếu   0  m 

2 6
2 6
2 6
kết hợp với m < 0 ta được m 
thì y'  0 với

m 
2
2
2

x => không thoản mãn.

- Nếu   0 

2 6
2 6
2 6
kết hợp với m < 0 ta được
m
 m  0 thì y'  0 có
2
2
2

hai nghiệm x1 , x2 , và ta có sơ đồ dấu của y ' như sau: (tự vẽ)
Trường hợp này ta không thể có y'  0 với x  2
* Xét trường hợp: m  0

y ' có  '  2m2  4m  1
- Nếu  '  0  m 

2 6
thì y'  0 với x
2

=> y'  0 với x  3  m 
- Nếu  '  0  0  m 

2 6
thoả mãn (*)
2

2 6
m  1  2m 2  4m  1
thì y ' có 2 nghiệm phân biệt x 
2
m

Và ta có sơ đồ dấu của y ' như sau : (tự vẽ)
Để y'  0 x  2 ta phải có:

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

m  1  2m 2  4m  1
2

m
 m  1  2m 2  4m  1  2m (vì m>0)
 2m 2  4m  1  m  1


6
6
0  m  1 
0  m  1 


2
2
2m 2  4m  1  m  1 2
3m 2  2m  0

 


6
0  m  1 
2  2  m  1 6

3
2
m  0, m  2

3
=>

2
2 6
(**)
m
3
2

Từ (*)và (**) => m 
Bài 11. Cho hàm số: y 

2
.
3

x 3
  m  1 x 2   m  3  x  4 . Tìm m để hàm số đồng biến trên (0, 3).
3
Giải

y'  x2  2  m  1 x  m  3
2


1  15
y ' có  '   m  1  m  3  m  m  4   m     0
2
4

2

2

 y ' có hai nghiệm phân biệt x  m  1  m2  m  4
và ta có sơ đồ dấu của y ' như sau : (tự vẽ)
Để hàm số đồng biến trên (0, 3) ,ta phải có y'  0 trên (0,3)
2
2


12
m  1  m  m  4  0
 m  m  4  m 1


m
2
2
7


m  1  m  m  4  3
 m m4  4m

Bài 12. Cho hàm số: y  x3  3x2   m  1 x  4m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1,
1)
Giải

y'  3x2  6x  m  1
Để hàm số nghịch biến trên (-1, 1), ta phải có: y'  0 với x   1,1

y ' có  '  6  3m
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Hàm số

- Nếu  '  0  6  3m  0  m  2 thì y'  0 với x
 m  2 không thoả mãn.

- Nếu  '  0  6  3m  0  m  2 thì y ' có hai nghiệm phân biệt x 

3  6  3m
.
3

Và ta có sơ đồ dấu của y ' như sau : (tự vẽ)
Để ý: y'  0 trên (-1, 1), ta phải có:
 3  6  3m
 1 


 6  3m  0
3


 6  3m  6

 3  6  3m  1
 6  3m  6

3
 6  3m  36
 3m  30
 m  10

ĐS: m  10 .
Bài 13. Cho hàm số y 

mx  1
(1). Với giá trị nào của m thì hàm số luôn đồng biến, nghịch biến,
xm

không đổi trên TXĐ?
Giải
Ta có: y' 

1  m2

x  m

2

,xm

 Nếu 1  m2  0  1  m  1 => y'  0 thì hàm luôn đồng biến trên mỗi khoảng (; m) và
(m;  ).

m  1
 Nếu 1  m 2  0  
=> y'  0 thì hàm luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
 m  1
 Nếu 1  m2  0  m  1 thì y không đổi trên TXĐ.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn :

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai

- Trang | 9 -