tong hop toan bo cong thuc toan hoc lop 12 cong thuc toan 12

Gia sư Thành Được
Một số công thức cần nhớ

7. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG  TÍCH

CÔNGTH
THỨ
ỨCCLLƯỢ
ƯỢNG
NGGIÁC
GIÁCCCƠ
ƠBBẢẢNN
I.I.CÔNG
1. CUNG LIÊN KẾT

Cung đối

sina + sinb = 2sin

Cos – đối ; sin – bù ; phụ - chéo

Cung bù

Hơn kém
π

Cung phụ

cos(− a) = cosa sin(π − a) = sina

π


sin − a ÷ = cosa
2


π

cos − a ÷ = sina
2



sin(− a) = − sina cos(π − a) = − cosa
tan(− a) = − tana tan(π − a) = − tana

π

tan − a ÷ = cot a
2 
π

cot − a ÷ = tana
2 

cot(− a) = − cot a cot(π − a) = − cot a

sin(π + a) = − sina

Hơn kém

π

π

sin + a ÷ = cosa
2 

cos(π + a) = − cosa

π

cos + a ÷ = − sina
2 
tan(π + a) = tana
π

tan + a ÷ = − cot a
2 

tan(π + a) = tana

π

cot  + a ÷ = − tana
2 

a+b
a−b
.cos
2

2

cosa + cosb = 2cos

2

tan( a ± b) =

a+b
a−b
.sin
2
2
a+b
a−b
cosa − cosb = − 2sin
.sin
2
2
sin(a ± b)
cot(a ± b) =
sin a. sin b

sina − sinb = 2cos

a+b
a−b
.cos
2
2

sin(a ± b)
cos a. cos b

8. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH  TỔNG

sin a. sin b = −
cos a. cos b =

1
[ cos( a + b ) − cos( a − b ) ] = 1 [ cos( a − b ) − cos( a + b ) ]
2
2

1
[ cos( a + b ) + cos( a − b ) ]
2

sin a. cos b =

9. CÔNG THỨC CHIA ĐÔI .sin – cos – tan theo t = tan

2. HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

sin2a+cos2a = 1; tana.cota = 1; tan α =

www.daythem.edu.vn

sin α
cos α

1
1
; cot α =
; 1 + tan 2 α = 2 ; 1 + cot 2 α = 2
cos α
cos α
sin α
sin α

Đặt:

t = tan

a
(a ≠ π + 2kπ )
2

thì:

sin a =

3. CÔNG THỨC CỘNG

tan(a ± b) =

;

4. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

tan a ± tan b

1 tan a. tan b

;
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x
= 2 cos 2 x − 1
= 1 − 2 sin 2 x

6. CÔNG THỨC NHÂN BA

sin3a = 3sina – 4sin3a ; cos3a = 4cos3a – 3cosa

a
2

2t
1+ t

2

10. BẢNG LƯỢNG GIÁC
0

π
4

π
3

π
2

00

300

450

600

900 1200 1350 1500 1800

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

tan

0

3
3

1

3

3

1

3
3

cot

;

cosa =

1− t 2
1+ t 2

;

tana =

2t
1− t 2

CHÚ Ý

π
6

5. CÔNG THỨC HẠ BẠC

1
[ sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ]
2

2π
3

3

2

−

3π
4

1
2

2
2

1 2
−
2 2

− 3 –1
0 −

5π
6

π

0

−

3

2

–1

−

3
3

0

 π
 π
sina − cosa = 2sin a − ÷ = − 2cos a + ÷ ;
 4
 4
 π
 π
sina + cosa = 2.sin a + ÷ = 2.cos a − ÷
4
4



π
 1+ tan x
π
 1− tan x
tan + x ÷ =
, tan − x ÷ =

 4  1− tan x
 4  1+ tan x

3
–1 − 3
3

0977.991.861



5. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG -> TÍCH


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Một số công thức cần nhớ

Lê Hồng Thật

II.PH
PHƯƠ
ƯƠNG
NGTRÌNH
TRÌNHLLƯỢ
ƯỢNG
NGGIÁC
GIÁCCCƠ

ƠBBẢẢNN
II.

a/ Khi khi giải các phương trình có chứa các hàm tan, cot, có mẫu hoặc chứa căn
bậc chẵn, thì phải đặt ĐIỀU KIỆN để phương trình xác định:

1. PHƯƠNG TRÌNH sinx = sinα
a/
b/
c/
d/

Trường hợp đặc biệt:

π
+ kπ (k ∈ Z ).
2

*

Phương trình chứa tanx đk : x ≠

*

Phương trình chứa cotx đk : x ≠ kπ (k ∈ Z )

*

Phương trình chứa cả tanx và cotx đk : x ≠ k

π
(k ∈ Z )
2

b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. thường dùng một trong các cách
sau:
1.Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay x vào biểu thức điều kiện.
2.Dùng đường tròn lượng giác.

2. PHƯƠNG TRÌNH cosx = cosα
a/
b/
c/
d/

5. Một số điều cần lưu ý khi giải phương trình:

Trường hợp đặc biệt:

3. PHƯƠNG TRÌNH tanx = tanα
a/
b/
c/
d/

Trường hợp đặc biệt:

4. PHƯƠNG TRÌNH cotx = cotα
a/
b/

0977.991.861




Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Một số công thức cần nhớ

Lê Hồng Thật

CÔNG THỨC MŨ: y = ax ( 0< a 1)

CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
S

(U +V −W ) ' =U '+V '−W '

-C

(U .V ) ' =U '.V +V '.U

C

'

U  U '.V −V '.U

 ÷=
V2
V 
( K .U ) ' =K .U '

-S

Ham
̀ số sơ câp
́

(u ) ' = α .u '.u α −1

( xα ) ' = α.xα−1

'

'

u'
1
 ÷=− 2
u
u
'
u'
u =
2 u

1

1 
 ÷=− 2
x
x 

(

x

)

'

=

( )

1

2 x
(sin x) ' = cos x
(cos x) ' = − sin x
(tan x) ' = 1 + tan 2 x =
(cot x) ' = −

1
sin 2 x

Ham
̀ số hợp

α

(cos u ) ' = − u '.sin u
1
cos 2 x

(tan u ) ' = u '.(1 + tan 2 u) =
(cot u ) ' = −

(e u ) ' = u ' e u

(a x ) ' = a x .ln a

(a u ) ' = u '.a u .ln a

1
x

(log a x ) ' =
0977.991.861

(ln u ) ' =

1
x.ln a

u'
cos 2 u

u'

sin 2 u

(e x ) ' = e x

(ln x ) ' =

CÔNG THỨC LOGARIT : y =logax (x>0; 0
(sin u )' = u '.cos u

u'
u

(log a u ) ' =

u'
u.ln a



Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Một số công thức cần nhớ

Lê Hồng Thật

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
 0 < a < 1 : au > av u < v.

 a>1
: au > av u > v.
BptĐkTập nghiệma>10< a < 1ax> bb
0RRb > 0x > logabx < logabax< bb 0b > 0x
< logabx > logab

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

∫ dx = x + C

∫ 0.dx = C

∫ k.dx = k.x + C

x n +1
+C
n +1
1
1
∫ x 2 dx = − x + C
1
1
∫ (ax + b) n dx = − a(n − 1)(ax + b) n−1 + C
1
∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C
1
∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C
1
1
∫ cos 2 (ax + b) dx = a tg (ax + b) + C

n
∫ x dx =

1

∫ x dx = ln x + C
1

1

∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C
∫ sin x.dx = − cos x + C
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1

∫ cos

2

1

x

dx = ∫ (1 +tg 2 x).dx = tgx + C

(

 a >1: logaf(x) >logag(x) f(x) >g(x) >0

∫ sin

2

 0 logaf(x) ≥ logag(x)⇔

∫e

dx = e x + C

BptTập nghiệma > 10< a < 1loga x > bx >
ab0 < x < abloga x < b0 < x <abx > ab

0977.991.861

∫ cos x.dx = sin x + C

x

x

)

dx = ∫ 1 + cot g 2 x dx = − cot gx + C

ax
+C
ln a
1

1
x−a
∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C
x
1
∫ a 2 − x 2 dx = arcsin a + C
x
∫ a dx =

1

∫ sin
∫e

∫

x

(

)

dx = ∫ 1 + cot g 2 x dx = − cot gx + C

( ax + b )

∫x
∫

2

dx =

1 ( ax +b )
e
+C
a

1
dx = arctgx + C
+1
1
dx = arcsin x + C
1− x2
1
dx = ln x + x 2 ± a 2 + C
2
2
x ±a
2