Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1.Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa: vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu và giá của song hoặc
trùng với .
Nhận xét: - Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng thì cũng là một vectơ chỉ
phương của . Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng
đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
a) Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho đường thẳng đi qua điểm và nhận làm
vectơ chỉ phương.
Với mỗi điểm bất kì trong mặt phẳng, ta có .
Khi đó cùng phương với
Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng , trong đó là tham số.
Cho một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng .
Câu hỏi: Hãy tìm một điểm có tọa độ xác định và một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình
tham số
b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng.
Cho đường thẳng có phương trình tham số

Nếu thì từ phương trình tham số của ta có

suy ra
Đặt ta được
Gọi là giao điểm của với trục hoành, là tia thuộc ở về nửa mặt phẳng toạ độ chứa Oy.
Đặt , ta thấy chính là hệ số góc của đường thẳng mà ta biết ở lớp 9.
Như vậy nếu đường thẳng có vectơ chỉ phương với thì có hệ số góc
Cậu hỏi: Tính hệ số góc của đường thẳng có vectơ chỉ phương là .
Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và điểm . Tính hệ số
góc của .
Giải: Vì d đi qua nên có vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của là
Hệ số góc của là
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu và vuông góc với vectơ
chỉ phương của .
Nhận xét:
- Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì cũng là một vectơ pháp tuyến của . Do đó
một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ
pháp tuyến.
Với mỗi điểm bất kì thuộc mặt phẳng, ta có: .
Khi đó :
a) Định nghĩa:
Phương trình với a và b không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát
của đường thẳng.
Nhận xét: Nếu đường thẳng có phương trình thì ta có vectơ pháp tuyến là
và có vectơ chỉ phương là
b) Ví dụ: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A (2;2) và b(4;3)
Giải:
Đường thẳng đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương là
Từ đó ta suy ra có vectơ pháp tuyến là . Vậy đường thẳng có phương trình tổng quát là:
hay
c) Các trường hợp đặc biệt:
Các đường thẳng có phương trình tổng quát (1)
• Nếu a = 0 phương trình (1) trở thành hay .
Khi đó đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm (0, ) (h.3.6)
• Nếu b = 0 phương trình (1) trở thành hay .
Khi đó đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm ( ;0) (h.3.7).

• Nếu c = 0 phương trình (1) trở thành
Khi đó đường thẳng đi qua gốc tọa độ O (h.3.8).
• Nếu a, b, c đều khác 0 ta có thể đưa phương trình (1) về dạng (2) với
Phương trình (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. Đường thẳng này cắt Ox và Oy lần
lượt tại và (h.3.9)
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng và có phương trình tổng quát lần lượt là
và
Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình
(I)
Ta có các trường hợp sau:
a) Hệ (I) có nghiệm , khi đó cắt tại điểm
b) Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó trùng với .
c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó và không có điểm chung, hay và song song với nhau.
Ví dụ: Cho đường thẳng d có phương trình , xét vị trí tương đối của d với mỗi đường thẳng
sau:
:
:
:
Giải:
a) Xét d và , hệ phương trình:
có nghiệm (1 ; 2).
Vậy d cắt tại (h.3.10)
b) Xét d và , hệ phương trình:
có vô số nghiệm.
Vậy (h.3.11)
c) Xét d và , hệ phương trình:
vô nghiệm.
Vậy (h.3.12)
6. Chùm đường thẳng

Định nghĩa
Tập hợp các đường thẳng của mặt phẳng cùng đi qua một điểm gọi là một chùm đường thẳng. Điểm gọi
là tâm của chùm.
Một chùm đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết tâm của chùm hoặc biết hai đường thẳng phân
biệt của chùm.
Định lí. Giả sử hai đường thẳng phân biệt của một chùm có phương trình tổng quát lần lượt là:
(1)
(2)
Lúc đó mỗi đường thẳng thuộc chùm khi và chỉ khi phương trình của nó có dạng:
(3)
trong đó hai số và không đồng thời bằng 0 ( )
Phương trình (3) được gọi là phương trình của chùm đường thẳng đó.
Chứng minh.
Trước hết ta chứng tỏ rằng (3) là phương trình của đường thẳng, tức là các hệ số của và trong (3)
không thể đồng thời bằng 0.
Thật vậy, giả sử chúng đều bằng 0, ta có :

Vì hai đường thẳng (1) và (2) cắt nhau nên , từ đó suy ra hệ phương trình nên có nghiệm
duy nhất , trái với giả thiết và không đồng thời bằng 0. Vậy (3) là phương trình của
đường thẳng.
Bây giờ ta chứng tỏ rằng đường thẳng (3) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (1) và (2). Thật vậy, giao
điểm của hai đường thẳng đó có toạ độ là nghiệm của hai phương trình (1) và (2) nên cũng là
nghiệm của phương trình (3).
Ngược lại, ta hãy tìm phương trình của một đường thẳng nào đó đi qua giao điểm . Lấy một
điểm khác với và nằm trên .
Ta đặt và thì và không đồng
thời bằng 0 (vì không đồng thời nằm trên đường thẳng (1) và đường thẳng (2)).
Bởi vậy đường thẳng có phương trình (4) sẽ đi qua điểm .