Tiệm cận

Tiết 1:
I/ Chia đa thức bậc nhất cho bậc nhất, bậc hai cho bậc nhất( một biến)
- Để học sinh nắm được thuật toán chia đa thức cho đa thức trước hết
học sinh phải nắm được phép chia hết và phép chia có dư
Ví dụ 1: Thực hiện phép toán sau:

26
926
;
25
80
;
3
14

16
130
146
78
926
26
35
−
−
Ta viết:
26
16
35
26
926

+=
CHỦ ĐỀ GiỚI HẠN – TIỆM CẬN (4 tiet)

)(
)(
xQ
xP
Chú ý: Khi thực hiện phép chia đa thức cho đa thức (một
biến)
Bước 1: Ta phải sắp xếp các đa thức theo cùng một thứ tự lũy thừa giảm dần
của biến x
Bước 2: Ta thực hiện phép toán
* Chia hạng tử cao nhất của đa thức bị chia (tử thức) cho hạng tử cao
nhất của đa thức chia(mẫu thức)
* Nhân ngược trở lại, viết kết quả dưới đa thức bị chia các hạng tử
đồng dạng viết cùng một cột
* Trừ: Lấy đa thức bị chia trừ đi tích ta nhận được đa thức dư.Sau đó
lại tiếp tục thực hiện với dư thứ nhất như đã thực hiện với đa thức bị chia(chia,
nhân, trừ) đến khi đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia(mẫu thức)
thì dừng lại.
Bước 3:Viết đa thức dưới dạng
)0 ,0(
)()(
)(
22
≠≠+++=
cba
xQ
c
bax

xQ
xP
CHỦ ĐỀ GiỚI HẠN – TIỆM CẬN

.
Ví dụ 2: Thực hiện phép toán sau:
1
1
−
+
x
x
Ta viết:
1
2
1
1
1
−
+=
−
+
xx
x
2
1
1
−
+
x

x
x - 1
1
−
Ví dụ 3: Thực hiện phép toán sau:
2
1
−
−
x
x
Ta viết:
2
1
1
2
1
−
−−=
−
+−
xx
x
Ta có:
2
1
2
1
−
+−

=
−
−
x
x
x
x
x - 2
- 1
1-
2
1
−−
+−
x
x
−
CHỦ ĐỀ GiỚI HẠN – TIỆM CẬN

Bài tập tương tự:
1
2
)3
42
21
)2
32
14
)1
+

−
−
+
+
x
x
x
x
x
x
mx
mx
x
x
x
x
+
−
+
+−
−
+
2
1
)6
12
3
)5
1
3

)4
CHỦ ĐỀ GiỚI HẠN – TIỆM CẬN

CHỦ ĐỀ GiỚI HẠN – TIỆM CẬN
Ví dụ 4: Thực hiện phép toán sau:
1
63
2
−
+−
x
xx

4
22
62

63
2
2
+−
+−
−
+−
x
x
xx
xx
x - 1
x - 2

Ta viết:
1
4
2
1
63
2
−
+−=
−
+−
x
x
x
xx
−
−

Bài tập tương tự:
Thực hiện các phép toán sau:
x
xx
x
xx
x
xx
−
+−
+
−+−

+
++
1
4
)3
1
1
)2
1
33
)1
2
2
2
1
12
)6
2
54
)5
12
32
)4
2
2
2
+
−++
+−
−+−

−
−+
mx
mmxx
x
xx
x
xx
mx
mxmx
+
++++
2)2(
)7
22
CHỦ ĐỀ GiỚI HẠN – TIỆM CẬN

Tiết 2 II/ TÍNH CÁC GiỚI HẠN
1/ Hàm số bậc 3:
)0(
23
≠+++= adcxbxaxy
=+++=
+∞→
+∞→
)(limlim
32
3
x
d

x
c
x
b
axy
x
x
(dấu của a) ∞
=+++=
−∞→
−∞→
)(limlim
32
3
x
d
x
c
x
b
axy
x
x
(trái dấu của a) ∞
CHỦ ĐỀ GiỚI HẠN – TIỆM CẬN

CHỦ ĐỀ GiỚI HẠN – TIỆM CẬN
II/ Tính các giới hạn
Ví dụ 1:
Tính giới hạn của các hàm số sau khi

±∞→
x
(hệ số a = 1 > 0)
43)
23
−+=
xxya
−∞=−+=
+∞=−+=
−∞→
−∞→
+∞→
+∞→
)
43
1(limlim
)
43
1(limlim
3
3
3
3
xx
xy
xx
xy
x
x
x

x
Ta có:
(hệ số a = - 1 < 0)
243)
23
+−+−=
xxxyb
+∞=+−+−=
−∞=+−+−=
−∞→
−∞→
+∞→
+∞→
)
243
1(limlim
)
243
1(limlim
32
3
32
3
xxx
xy
xxx
xy
x
x
x

x
Ta có:

432/5
23/4
)2(/3
3/2
133/1
23
23
3
23
23
+−+=
−+++=
++−=
+−=
++−=
xxxy
mmxxxy
mxmxy
xxy
xxxy
(với m=1)
Bài tập tương tự:
Tính các giới hạn của các hàm số sau khi
±∞→
x
CHỦ ĐỀ GiỚI HẠN – TIỆM CẬN

CHỦ ĐỀ GiỚI HẠN – TIỆM CẬN
2/ Hàm số bậc 4:
)0(
24
≠++=
acbxaxy
=++=
+∞→
+∞→
)(limlim
42
4
x
c
x
b
axy
x
x
(dấu của a) ∞
=++=
−∞→
−∞→
)(limlim
42
4
x
c
x
b

axy
x
x
( dấu của a) ∞

CHỦ ĐỀ GiỚI HẠN – TIỆM CẬN
Ví dụ:
Tính giới hạn của các hàm số sau khi
±∞→
x
(hệ số a = 1 > 0)
12)
24
+−=
xxya
+∞=+−=
+∞=+−=
−∞→
−∞→
+∞→
+∞→
)
12
1(limlim
)
12
1(limlim
42
4
42

4
xx
xy
xx
xy
x
x
x
x
Ta có:
(hệ số a = - 4 < 0)
184)
24
+−−=
xxyb
−∞=+−−=
−∞=+−−=
−∞→
−∞→
+∞→
+∞→
)
18
4(limlim
)
18
4(limlim
42
4
42

4
xx
xy
xx
xy
x
x
x
x
Ta có: