1 SỐ ĐỀ KIỂM TRA TOÁN HKII LỚP 12

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG TRỰC

KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2016-2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN - LỚP: 12
Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề thi có 06 trang)

Mã đề
001

Họ tên học sinh:..................................................................... SBD: .............................
Câu 1: Trong tập số phức £ , cho số phức z thỏa ( 1 − 3 i ) z = −7 − 9i . Tìm môđun z của số phức
z.
B. z = 10 .

A. z = 10 .

D. z = 5 .

C. z = 13 .

Câu 2: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. ∫ 0 dx = C .

B. ∫ sin x dx = -cos x + C .

a x+1

x4
D. ∫ x 3dx =
+ C (0 < a ≠ 1) .
+C .
x +1
4
Câu 3: Cho hai hàm số y = f ( x), y = g ( x ) liên tục
trên [ a; b ] . Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
các đường y = f ( x), y = g ( x) , x = a , x = b (phần gạch
chéo trong hình vẽ) . Khi quay ( H ) quanh trục Ox ta
thu được khối tròn xoay có thể tích V , tìm mệnh đề
đúng trong các mệnh đề sau đây?
C. ∫ a x dx =

b

b

A. V = π ∫ [f ( x) − g ( x)]dx .

2
2
B. V = π ∫ [f ( x) − g ( x)]dx .

a
b

a

b

2
C. V = π ∫ [f ( x) − g ( x)] dx .

2
D. V = ∫ [f ( x) − g ( x)] dx .

a

a

Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2; −1; −2 ) , B ( 2;0;1) . Viết phương trình mặt cầu

tâm A và đi qua điểm B.
2
2
2
A. ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 10.
C. ( x + 2 ) + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 10.
2

2

2

Câu 5: Cho hình phẳng

( H)

B. ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 10.

2

2

2

D. ( x + 2 ) + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 10.
2

2

2

được giới hạn bởi

1 3
x + 4, y = 0, x = 0 như hình vẽ dưới
2
đây. Tính diện tích S của hình ( H ) .

( C) : y =

A. S = 6 .

B. S = 12 .

C. S = 48 .

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?
Trang 1/11 - Mã đề thi 001

D. S = 24.

x −1 y − 2 z + 3
=
=
. Vectơ
5
−8
7


uu
r

A. u3 = (5; −8;7) .

uu
r

B. u2 = (−1; −2;3) .

uu
r

C. u1 = (1;2; −3) .

uu

r

D. u4 = (7; −8;5) .

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [a; b] . Viết công thức tính diện tích S của hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b .
b

A. S = ∫ f ( x)dx .
a

b

B. S = ∫ f ( x) dx .
a

b

C. S = ∫ f ( x)dx .
2

a

b

D. S = π ∫ f ( x ) dx .
a

2

∫ f ( x ) dx = 4 , F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Tính F ( 2 ) − F ( 1) .
1
A. F ( 2 ) − F ( 1) = 1 .
B. F ( 2 ) − F ( 1) = 2 . C. F ( 2 ) − F ( 1) = 4 . D. F ( 2 ) − F ( 1) = 3 .
2017
Câu 9: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = ( 1 + i )
.
Câu 8: Biết

z
z
z
z

có phần thực là −21008 và phần ảo là 21008 .
có phần thực là 21008 và phần ảo là −21008 .
có phần thực là −21008 và phần ảo là −21008 .
có phần thực là 21008 và phần ảo là 21008 .
Câu 10: Số phức z = 3 + i 2017 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình dưới đây ?
A. z 2 − 6 z − 10 = 0.
B. z 2 − 6 z + 10 = 0.
C. z 2 − 6 z + 11 = 0.
D. z 2 + 6 z + 10 = 0.
ur
ur
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a = (−1;1;0), b = (1;1;0) ,
uu
r
c = (1;1;1) . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

ur
ur
ur ur
ur ur
A. | c |= 3 .
B. a ⊥ b .
C. | a |= 2 .
D. b ⊥ c .
A.
B.
C.
D.

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn ( 3 + i ) z + ( 1 + 2i ) z = 3 − 4i . Môđun của số phức z là:
A.

26 .

B.

C. 5 .

17 .

D.

29 .

Câu 13: Tìm nguyên hàm f ( x ) của hàm số e2 x , biết rằng đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua điểm

(

)

M ln 2 ;2 .
1 2x
2x
2x
e + 1 . B. f ( x ) = e 2 x .
C. f ( x ) = e + 1 .
D. f ( x ) = 2e .
2
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa trục Oz và
đi qua điểm P(2;-3;5) .
A. (α ) : 3 x + 2 y = 0 .
B. (α ) : 2 x − 3 y + 5 = 0 .
C. (α ) : 2 x − 3 y − z − 8 = 0 .
D. (α ) : 2 x - 3 y = 0 .
A. f ( x ) =

5

Câu 15: Cho

5

∫2 f ( x)dx = 10 . Tính tích phân I = ∫ [2 - 4 f ( x)]dx .

A. I = 32 .
B. I = −34 .

Câu 16: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , điểm M ở

2

C. I = 40 .

D. I = −38 .

C. z = −2i .

D. z = 4 .

hình bên là điểm biểu diễn số phức nào sau
đây?

A. z = 4 − 2i .

B. z = −2 + 4i .

Trang 2/11 - Mã đề thi 001


Câu 17: Tìm số phức liên hợp của số phức z = ( 3 + 2i ) ( 2 − i ) + ( 3 − 2i )  .
A. z = 21 + i .

B. z = −21 + i .

D. z = 1 + 21i .

C. z = 21 − i .

Câu 18: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , tìm điểm M biểu diễn của số phức z = 2 − 3i .
A. M ( 2;3) .

B. M ( 2; −3) .

C. M ( −2;3) .

D. M ( −2; −3) .

Câu 19: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và số thực c ∈ ( a; b ) . Hỏi khẳng định nào sau đây

là khẳng định sai ?
a

A.

∫
a
b

C.

∫
a

b

f ( x ) dx = 0 .

B.

∫

a
b

b

f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .

D.

a

∫
a

a

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .
b

b

c

c

a

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx .

Câu 20: Tìm phần ảo b của số phức z biết: 2i + 1 + iz = (3i − 1) .
A. b = − 9 .
B. b = 8 .
C. b = −8 .
2

D. b = 9 .

Câu 21: Trong không với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm I ( −1;3; 2 ) và mặt phẳng

( P ) : x + 2 y + 3 z − 4 = 0 . Viết phương trình mặt cầu ( S ) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( P) .
14
14
2
2
2
2
2
2
A. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z + 2 ) =
. B. ( S ) : ( x + 1) + ( y − 3) + ( z − 2 ) =
.
2
2
7
7
2

2
2
2
2
2
C. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3 ) + ( z + 2 ) = .
D. ( S ) : ( x + 1) + ( y − 3) + ( z − 2 ) = .
2
2
Câu 22: Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) thoả mãn (1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i. Tính P = a + b.
A. P =

1
.
2

B. P = −

1
.
2

C. P = −1 .

D. P = 1 .

2
2
2
Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x − 6 y + 4 z − 11 = 0. Xác định

tọa độ tâm I và tính bán kính R của ( S ) .
A. I ( −1; −3; 2 ) ; R = 3.
C. I ( −1; −3;2 ) ; R = 5.

B. I ( 1;3; −2 ) ; R = 3.
D. I ( 1;3; −2 ) ; R = 5.

x
Câu 24: Cho hàm số f ( x ) = 2e − 3 x . Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx .

3x 2
A. I = 2e − 3 + C .
B. I = 2e −
+C.
2
3x3
x
x
C. I = 2e − 3 x + C .
D. I = 2 xe −
+C.
2
m − 1 + 2(m − 1)i
Câu 25: Tính tổng S các giá trị của tham số m để số phức z =
là số thực.
1 − mi
A. S = -1 .
B. S = 15 .
C. S = 2 .

D. S = -3 .
x

x

Câu 26: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên [ a; b] . Biết

F ( b ) = 1 . Tính F ( a ) .
A. F ( a ) = 5 .

b

∫ f ( x)
a

B. F ( a ) = −3 .

C. F ( a ) = 3 .

Trang 3/11 - Mã đề thi 001

D. F ( a ) = −5 .

dx = 4 ,


Câu 27: Trong mặt phẳng

( Oxy ) ,

cho điểm

M ( 4; −3) (hình vẽ) là điểm biểu diễn số phức
z . Tính z .

B. z = 7 .

A. z = 7 .

C. z = 5 .

D. z = 25 .

Câu 28: Cho z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z 2 + 4 z + 6 = 0 .Tính T = z1 + z2 .
A. T = 6.
B. T = 6 2 .
C. T = 2 6
D. T = 6.
Câu 29: Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x , y = 0, x = 4 quay quanh trục Ox.
A. V = π 2 .
B. V = 8π .

D. V = 16π .

C. V = 4π .

Câu 30: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = cos 2 x .

1
2

A. F ( x ) = sin 2 x + C .

B. F ( x ) = − sin 2 x + C .

1
sin 2 x + C .
2
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 3; − 2; 3) và B ( −1; 2; 5 ) . Tìm toạ
độ trung điểm I của AB .
A. I ( 1;0; 4 ) .
B. I ( −2;2;1) .
C. I ( 2;0;8 ) .
D. I ( 2; −2; −1) .
C. F ( x ) = 2sin 2 x + C .

D. F ( x ) =

Câu 32: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (4 - 3i ) + (1- i) .
A. z có phần thực là 1 và có phần ảo là - 7. B. z có phần thực là 3 và có phần ảo là -2.
C. z có phần thực là 5 và có phần ảo là - 4. D. z có phần thực là 5 và có phần ảo là 4i.

Câu 33: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1; −2; 3) và bán kính

R=2 2.
2
2
2

A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 2 2.

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3 ) = 8.

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 2 2.

D. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 8.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho bốn cặp mặt phẳng sau :

( I ) (α1 ) : 2 x + 2 y + 3 z + 4 = 0, ( β1 ) : x + 5 y − z − 9 = 0.
( II ) (α 2 ) : x + y + z + 5 = 0, ( β 2 ) : 2 x + 2 y + 2 z + 6 = 0.

( III ) (α 3 ) : x + 2 y + 3 z + 1 = 0, ( β3 ) : 3 x + 6 y + 9 z + 3 = 0.
( IV ) (α 4 ) : x − y + z + 5 = 0, ( β 4 ) : x + 3 y + 2 z + 7 = 0.

Hỏi cặp mặt phẳng nào song song với nhau?
A. ( III ) .
B. ( II ) .
C. ( IV ) .

D. ( I ) .

Câu 35: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = − cos x thỏa F ( 2017π ) = 1 .
A. F ( x ) = − sin x + C .
C. F ( x ) =

x
.
2017 π

B. F ( x ) = sin x + 1 .

D. F ( x ) = − sin x + 1 .

Trang 4/11 - Mã đề thi 001


Câu 36: Trong không với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 6; −3; 2 ) , B ( −2; −1;4 ) . Viết

phương trình mặt cầu ( S ) đường kính AB .
A. ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 18 .

B. ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 72 .

C. ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 6 2 .

D. ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 3 2 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 37: Trong không với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; −2;1), B(1;3; −1). Viết phương

trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B .
x − 2 y + 2 z −1
x − 2 y + 2 z −1
=
=
=
=
A. ∆ :
.
B. ∆ :
.
1
−5
−2
−1
5
2
x −1 y − 3 z +1
x −1 y + 3 z +1
=
=
=
=
C. ∆ :
.
D. ∆ :
.
−1

5
−2
−1
5
−2
r
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 1 = 0 . Hỏi véc tơ n
nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng?
r
r
r
r
A. n = ( −2;1;0 ) .
B. n = ( 2; −1;1) .
C. n = ( −2;1; −1) .
D. n = ( 2;0; −1) .
Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng (Q) cắt ba trục tọa độ tương ứng tại ba

điểm M (8;0;0), N (0;-2;0), P (0;0;4). Viết phương trình mp (Q ) .

x y z
+ + = 1.
4 −1 2
x y z
+ = 0.
C. ( Q ) : +
8 −2 4
A. ( Q ) :

B. (Q) : x - 4 y + 2 z = 0 .

D. (Q) : x - 4 y + 2 z - 8 = 0 .

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;-1;-1) và mặt phẳng

(α ) :16 x -12 y -15 z - 4 = 0 . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (α ) .
A. d =

59
.
25

B. d =

11
.
5

C. d =
a

Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực của a thỏa mãn

∫
1

A.

a=e .

B.

a = e2 .

C.

1
.
5

D. d =

1
.
25

x +1
dx = e với a > 1 .
x

a = 2e .

D.

1
a = e.
2

Câu 42: Trong không với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( 4; −3; 2 ) , N ( −2; −1;4 ) . Viết

phương trình tổng quát của mặt phẳng ( P) là mặt phẳng trung của đoạn thẳng MN .

A. ( P) : 3 x − y − z − 2 = 0 .
B. ( P ) : 3 x − y − z + 2 = 0 .
C. ( P) : −3x + y + z − 8 = 0 .
D. ( P ) : −3 x + y + z + 8 = 0 .
Câu 43: Kí hiệu z1 và z2 các nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 5 = 0 . Tính tổng

A = z12 + z 22 .
A. −4.

C. −2.

B. 2.

D. −6.

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2;-6;3) và đường thẳng
 x = 1 + 3t

d :  y = −2 − 2t , ( t ∈ ¡ ) . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d .
z = t


A. H (2;2;- 2) .

B. H (1;- 2;0) .

C. H (4;- 4;1) .

D. H (1;2;1) .

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d đi

ur
qua điểm M (1;-2;3) nhận vectơ p = (−3;1;2) làm vectơ chỉ phương.
Trang 5/11 - Mã đề thi 001


 x = −3 + t

A. d :  y = 1 − 2t .
 z = 2 + 3t


 x = 1 + 3t

B. d :  y = −2 − t .
 z = 3 − 2t


 x = 1 + 3t

C. d :  y = −2 + t .
 z = 3 + 2t


Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 1;2;3) và mặt phẳng

 x = −1 − 3t

D. d :  y = 2 + t .

 z = −3 + 2t


( P ) : 4 x + 3 y − 7z − 3 = 0.
và vuông góc với mặt phẳng ( P ) .

Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A
 x = 1 + 4t
 x = 4+t


A. ∆ :  y = 2 + 3t .
B. ∆ :  y = 3 + 2t .
 z = 3 − 7t
 z = −7 + 3t


 x = −1 + 8t

C. ∆ :  y = −2 + 6t .
 z = −3 − 14t


 x = −1 + 4t

D. ∆ :  y = −2 + 3t .
 z = −3 − 7t


 x = −2 + 2t

 x = 5 - 4t '


(t ' ∈ ¡ ) . Trong các
Câu 47: Cho hai đường thẳng ∆1 :  y = 4 − 3t (t ∈ ¡ ) và ∆1 :  y = 6t '
 z = 1 + 4t
 z = 2 - 8t '


mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. ∆1 // ∆ 2 .
B. ∆1 ⊥ ∆ 2 .
C. ∆1 ≡ ∆ 2 .
D. ∆1 và ∆ 2 chéo nhau.
Câu 48: Cho hai số phức z1 = 3 − 4i và z2 = − i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z1 z2 .
A. Phần thực bằng - 4 và phần ảo bằng -3i.
B. Phần thực bằng - 4 và phần ảo bằng 3i.
C. Phần thực bằng - 4 và phần ảo bằng -3.
D. Phần thực bằng - 4 và phần ảo bằng 3.
Câu 49: Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên

¡ (có đồ thị như hình vẽ). Gọi S là diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục Ox .
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. S =
C. S =

0

2

∫

f ( x )dx + ∫ f ( x )dx .

B. S =

∫

f ( x)dx .

D. S =

−2
2

0

−2

uuuur

2

∫

f ( x) dx .

∫

f ( x)dx .

−2
2
−2

u
r

r

u
r

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM = k − 2i − 3 j . Tìm tọa độ điểm M .
A. M ( −2; −3;1) .

B. M ( −3; −2;1) .

C. M ( 1; −2; −3) .

----------- HẾT ---------Thời gian: 45 phút (không kể chép đề)
Bài 1. (2đ) Tính:
a.

∫ x ( 3x

2

− 6 x + 2 ) dx ,

b.

Bài 2. (6đ) Tính:
π
6

cos xdx
a.
∫0 2sin x + 1 ,

∫ e ( 3 + e ) dx
x

3− x

π

b.

∫ x ( 2sin x − 3x ) dx ,
0

Trang 6/11 - Mã đề thi 001

D. M ( 1; −3; −2 ) .


e

c.

∫

( 4x

1

2

+ x ) ( ln 2 x + ln x ) − 1
dx
x ( ln x + 1)

( C ) : y = 12 x3 − 12 x 2 ;

Bài 3. (2đ) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây :

( d ) : y = 24 − 24 x ; Oy ; x = 2 .
ĐÁP ÁN
Bài 1(2 đ)

x
2
3
2
∫ x ( 3x − 6 x + 2 ) dx = ∫ ( 3x − 6 x + 2 x ) dx (0,5)= 3 4 − 2 x3 + x2 + C (0,5)
x
3− x

x
3
Câu b (1 đ) ∫ e ( 3 + e ) dx = ∫ ( 3e + e ) dx (0,5)= 3e x + e3 x + C (0,5)
4

Câu a( 1 đ)

Bài 2(6 đ)

Câu a(2 đ) Đặt t = 2sin x + 1(0,25) ⇒ dt = 2cos xdx(0,25) ⇒ cos xdx =
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 (0,25); x =

π
⇒ t = 2 (0,25)
6

π
6

2

dt
(0,25)
2

2
cos xdx
dt (0,25) = 1 ln t (0,25) = 1 ln 2(0,25) .
=
∫0 2sin x + 1 ∫1 2t

2 1
2

π

Câu b(2 đ)

π

∫ x ( 2sin x − 3x ) dx = 2∫ x sin xdx − ∫ 3x dx (0,25)
2

0

0

π

Dễ thấy

π

0

π

2
3
3
∫ 3x dx = x (0,25) = π (0,25)

0

0

u=x
 du = dx
(0,25) ⇒ 
(0,25)
dv
=
sin
xdx
v
=
−
cos
x




Đặt 
π

π

π

⇒ ∫ x sin xdx = − x cos x 0 + ∫ cos xdx (0,25) = − x cos x 0 + sin x 0 = π (0,25)
0

π

π

0

π

Vậy

∫ x ( 2sin x − 3x ) dx = 2π − π

3

(0,25)

0

Câu c(2 đ)
e

I =∫

( 4x

2

1

e
e
+ x ) ( ln 2 x + ln x ) − 1
dx
(0,25)
dx = ∫ ( 4 x + 1) ln xdx − ∫
x ( ln x + 1)
x
ln
x
+
1
(
)
1
1

e

Tính J =

∫ ( 4 x + 1) ln xdx
1

dx

u = ln x

 du =
⇒

Đặt 
x (0,25)
dv
=
4
x
+
1
dx
(
)

v = 2 x 2 + x
e

J = ( 2 x + x ) ln x − ∫ ( 2 x + 1) dx (0,25)= J = ( 2 x 2 + x ) ln x − ( x 2 + x )
2

e

1

1

= e 2 + 2 (0,25)
Trang 7/11 - Mã đề thi 001

e

e

1

1


e

Tính K =

dx

∫ x ( ln x + 1)
1

dx
(0,25)
x
Khi x = 1 ⇒ t = 1 , x = e ⇒ t = 2 .
2
dt
2
K = ∫ (0,25) = ln t 1 = ln 2 (0,25)
t
1
Đặt t = ln x + 1 ⇒ dt =

Vậy I = e 2 + 2 − ln 2 (0,25)
Bài 3(2 đ)
PT hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

12 x3 − 12 x 2 = 24 − 24 x ⇔ 12 x3 − 12 x 2 + 24 x − 24 = 0 ⇔ x = 1 (0,25)
2

S = ∫ 12 x3 − 12 x 2 + 24 x − 24 dx (0,25)
0

1

2

= ∫ 12 x − 12 x + 24 x − 24 dx(0,25) + ∫ 12 x3 − 12 x 2 + 24 x − 24 dx (0,25)
3

2

0

1

1

=

∫ ( 12 x

3

0

− 12 x + 24 x − 24 ) dx (0,25) +
2

= ( 3 x 4 − 4 x 3 + 12 x 2 − 24 x )

1
0

2

∫ ( 12 x
1

3

− 12 x 2 + 24 x − 24 ) dx (0,25)

+ ( 3x 4 − 4 x3 + 12 x 2 − 24 x )

2
1

(0,25) = 42 (0,25)

Bài 1 (4 đ). Cho hình lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ có ∆ABC vuông tại A, AB = a, BC = a 3 và M là
trung điểm của BC. Biết rằng ·A′MA = 60° , tính thể tích khối lăng trụ ABC . A′B′C ′ .

Bài 2 (6 đ). Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) ; ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a ,

BC = AB 3 ; (SCD) hợp với (ABCD) một góc có số đo 60° .

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
ĐÁP ÁN
Bài 1(4 đ). Hình vẽ (0,5).
Trong tam giác vuông ABC có:
AB 2 + AC 2 = BC 2 (0,5),

A'

C'

suy ra AC = a 2 (0,5).

S∆ABC

B'

1
a2 2
(0,5).
= AB. AC =
2
2

Tam giác vuông ABC tại A có AM là trung tuyến , suy ra

AM =

BC a 3
(0,5).

=
2
2

A

¶ =
Trong tam giác vuông A′AM có: tan M
A′A =

3a
(0,5).
2

VABC . A′B′C ′ = A′A.S ∆ABC =
Bài 2(6 đ)

C

A′A
(0,5), suy ra
AM

M

B

3 2 3
a (0,5).
4

Trang 8/11 - Mã đề thi 001


Câu a (4 đ). Vẽ đúng hình chóp S.ABCD cho (0,25)
BC = AB 3 = 2a 3 (0,25)

S

S ABCD = AB.BC = 4 3a 2 (0,5)
Ta có CD ⊥ AD (1)(0,25) và CD ⊥ SA (0,25) do đó
CD ⊥ ( SAD ) (0,5), vậy
CD ⊥ SD (2)(0,25).
Từ (1) và (2) suy ra:

(

) (

)

H

· ; AD (0,5)
(·SCD ) ; ( ABCD ) = SD

·
= SDA
= 60

A

F

D

° (0,25)

µ =
Trong tam giác vuông SAD: tan D
ra SA = 6a (0,25).

SA
(),25) , suy
AD

K
B

1
VS . ABCD = SA.S ABCD = 8 3a 3 ( 0,5 ) .
3

C

E

Câu b(2 đ)
Qua B vẽ đường thẳng d P AC , gọi E = d ∩ CD và F = d ∩ AD .
Tứ giác AFBC có BC P AF và BF P AC nên AFBC là hình bình hành, vậy AF = BC (0,5).

Từ A ta vẽ AK ⊥ BF (1) và AH ⊥ SK (2). Ta lại có BF ⊥ SA (3), từ (1) và (3) suy ra BF ⊥ ( SAK )
, vậy BF ⊥ AH (4). Từ (2) và (4) suy ra AH ⊥ ( SBF ) (0,5).

1
1
1
, suy ra AK = a 3 .
=
+
2
2
AK
AB
AF 2
1
1
1
6 13a
=
+ 2 , suy ra AH =
Trong tam giác SAK có:
(0,5).
2
2
AH
AK
SA
13
Ta có AC PBF ⊂ ( SBF ) suy ra AC P( SBF ) , vậy
Trong tam giác ABF có:

d ( AC ; SB ) = d ( AC ; ( SBF ) ) = d ( A; ( SBF ) ) = AH =

Bài 1. (6 đ) Cho hàm số y =

6 13a
(0,5).
13

2 3
x − 2x2 + 1 .
3

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2 x3 − 6 x 2 + 3 − 3m = 0
4
2
Bài 2. (2 đ) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong ( C ) : y = x − 2 x − 4 tại điểm có hoành độ
bằng 2.
3
2
Bài 3. (2 đ) Cho hàm số y = x − 3 x + 2m + 1 ( m : tham số). Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị




2
hàm số đã cho. Tìm m để đường thẳng ∆ : y =  m −

1
7
÷x − là đường trung trực của đoạn AB.
2
2

ĐÁP ÁN

Bài 1 (6 đ)
a. (3 đ)
D = ¡ (0,25)

x = 2
y ′ = 2 x 2 − 4 x (0,25); y ′ = 0 ⇔ 
(0,25)
x = 0
Trang 9/11 - Mã đề thi 001


lim y = −∞ ( 0, 25 ) , lim y = +∞ (0,25)

x →−∞

x →+∞

Lập bảng biến thiên (0,25)
Hàm số tăng trên các khoảng ( −∞;0 ) , ( 2; +∞ ) (0,25); hàm số giảm trên khoảng ( 0; 2 ) .(0,25)
5
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 , yCD = 1 (0,25); hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 , yCT = − .(0,25)

3
5 
1
5


Điểm đặc biệt của đồ thị: ( 0;1) ,  2; − ÷, 1; − ÷, ( 3;1) ,  −1; − ÷ .
3 
3
3


Vẽ đồ thị: (0,5)
f(x) =

(( )
2

⋅x3-2⋅x2

3

)

8

+1

6

4

2

-15

-10

-5

5

10

15

-2

-4

-6

-8

b (3 đ)

2 3
2
x − 2 x 2 + 1 − m = 0 ⇔ x3 − 2 x 2 + 1 = m (1) (0,25). Số nghiệm
3

3
2 3
2
của PT (1) là số giao điểm của hai đường ( C ) : y = x − 2 x + 1 và ( d ) : y = m (0,25). Dựa vào đồ
3
2 x3 − 6 x 2 + 3 − 3m = 0 ⇔

thị ta có kết luận sau:

5
thì PT có 1 nghiệm. (0,5)
3
5
m = − thì PT có 2 nghiệm (0,5)
3
5
− < m < 1 thì PT có 3 nghiệm (0,5)
3
m = 1 thì PT có 2 nghiệm (0,5)
m > 1 thì PT có 1 nghiệm (0,5)

Nếu m < −
Nếu
Nếu
Nếu
Nếu
Bài 2: (2 đ)

y′ = 4 x 3 − 4 x (0,75)
Theo đề bài x° = 2 ⇒ y° = 4 (0,25)

Mặt khác y′ ( 2 ) = 24 .(0,25)
Phương

trình

tiếp

tuyến

với

(C)

tại

điểm

⇔ y − 4 = 24 ( x − 2 ) (0,25) ⇔ y = 24 x − 44 (0,25)

( 2;4 ) là:

Bài 3 (2 đ)

y′ = 3 x 2 − 6 x
Trang 10/11 - Mã đề thi 001

y − y° = f ′ ( x° ) ( x − x° )

(0,25)

x = 0
y′ = 0 ⇔ 
(0,25)
x = 2

Suy ra hàm số luôn luôn có cực trị ∀m ∈ ¡ . Khi đó A ( 0;2m + 1) , B ( 2;2m − 3 ) (0,25)

Gọi I là trung điểm của đoạn AB thì I ( 1;2m − 1) (0,25). Lại có VTCP của đường thẳng ∆ là

r 
uuu
r
1
u = 1; m 2 − ÷ và AB = ( 2; −4 ) (0,25).
2


 I ∈ ∆
 I ∈∆
r
(0,25) ⇔  r uuu
(0,25)
∆
⊥
AB
u
.
AB
=

0




Đường thẳng ∆ là trung trực của đoạn AB khi và chỉ khi 

 2 1 7
m − 2 − 2 = 2m − 1
 m 2 − 2m − 3 = 0
⇔
(0,25) ⇔ 
⇔ m = −1 (0,25)
2
1


m
−
1
=
0
2

 2 − 4  m − ÷= 0

2


Trang 11/11 - Mã đề thi 001