Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 cấp huyện

UBND HUYN YấN DNG
PHềNG GIO DC V O TO

K THI CHN HC SINH GII CP HUYN
NM HC 2013-2014

Mụn: Toỏn lp 9
Thi gian lm bi: 150 phỳt

THI CHNH THC
( thi gm cú 01 trang)

Cõu 1: (4im)
ộổ1
1 ử
2
1 1ự
a- b
ữ
+
ữ
.
+
+ ỳ:
ữ
ỳ
ữ a + b a b a b- b a
bứ
ởố a
ỷ

ỗ
Cho biu thc: A = ờ
ờỗ
ỗ

1. Rỳt gn biu thc A.
2. Tớnh giỏ tr ca A khi a = 3+ 2 2; b = 3Cõu 2: (4im)
1. Gii phng trỡnh:

8

x 2 + 2 x + 2 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 3 2 x x 2

2. Xỏc nh a thc P( x) cú bc bn tha món:
P (1) = 0 v P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1).

Cõu 3: (4 im)
1. Chng minh rng: (n3 + 6n 2 + 8n) M48 vi n N v n chn.
2. Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn ( x; y ) tho món: x 2 + xy + 3x + 2 y = 1
Cõu 4: (6 im)
Cho hỡnh vuụng ABCD. Gi E l mt im thuc cnh BC (E khỏc B). Tia AE ct tia
DC ti K. K ng thng d i qua A v vuụng gúc vi AE. ng thng d ct ng thng
CD ti I.
1. Chng minh: AI = AE t ú suy ra:

1
1
+
khụng i khi E thay i trờn cnh
2

AE AK 2

BC.
2. ng thng i qua A v vuụng gúc vi IE ct ng thng CD ti M. Chng minh
rng:

1
1
2
+
=
.
AE AK AM

3. Tỡm v trớ ca E di on thng IK ngn nht.
Cõu 5: (2 im)
Cho hai s dng x, y tho món x + y 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:

M=

1
2
+ .
2
x +y
xy
2

.................................... Ht ......................................
H v tờn thớ sinh: ........................................................, S bỏo danh: .....................

PHềNG GIO DC V O TO

UBND HUYN YấN DNG

P N - THANG IM
THI CHN HC SINH GII CP HUYN

P N CHNH THC

MễN: TON LP 9

(ỏp ỏn - thang im gm 3 trang)
Di õy ch l li gii vn tt Hc sinh phi lp lun chi tit mi cho im ti a.

Hc sinh gii cỏch khỏc m vn ỳng thỡ cho im ti a theo tng phn tng ng.
Cõu
1

í

Ni Dung
KX: a>0 ;b>0 ; a b
ộa+ b

Ta cú: A = ờ
ờ

ab

ờ
ở

A =(

1

.

2
a+ b

ab ( a -

b)
b)

0.5
0.5

2

=>

2

)

a+ b ( a-

1 1
a+ b
+ + ):
ab a b
ab

0.5

a+ b

0.25

ab
a+ b
ab

vi a>0 ;b>0 ; a b

Ta cú : a = 3+ 2 2; b = 3-

1

(

2

Vy A =

2

1 1ự
+ ỳ:
a bỳ
ỳ
ỷ

ổ1
1ử
ab
ữ
=ỗ
+
ữ
.
ỗ
ữ
ỗ
ữ a+ b
ố a
bứ
=

2

+

im

0.25

8

a = 3 + 2 2 = ( 2 + 1) 2 =
b = 3 2 2 = ( 2 1) =
2

2 +1 = 2 +1
2 1 = 2 1

0.5
0.5

Tớnh c: ab = 1 ;
a+ b =2 2
Thay vo A ta c: A = 2 2
Gii phng trỡnh: x 2 + 2 x + 2 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 3 2 x x 2

0.5
0.5

Ta cú: x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1) 2 + 1
Nhn thy: (x+1)2 0 Vi mi x
<=> (x+1)2 + 1 1 Vi mi x
<=> x 2 + 2 x + 2 1 Vi mi x. Du bng xy ra khi x=-1

0.25

Tng t ta cú: 5 x 2 + 10 x + 14 3 . Du bng xy ra khi x=-1
=> x 2 + 2 x + 2 + 5 x 2 + 10 x + 14 4 Du bng xy ra khi x=-1(1)

Lp lun c: 3 2x x 2 4 .Du bng xy ra khi x=-1 (2)
T (1)(2)=> x 2 + 2 x + 2 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 3 2 x x 2 Khi x=-1
Vy nghim ca phng trỡnh l: x=-1

0.25
0.25
0.5
0.25
0.25

Ta cú: P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1).
Xột x =0 ta cú : P(0) - P(-1)=0
M P(1) = 0 => P(0)= 0 => P(x) cú nhõn t l x
Xột x =-1 ta cú : P(-1) - P(-2)=0
M P(1) = 0 =>P(-2)=0 => P(x) cú nhõn t l x+2
Li cú P(1) = 0 => P(x) cú nhõn t l x+1
M P(x) l a thc bc bn nờn: P(x)=x(x+1)(x+2)(ax+b)
T P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1). xột x=1 ta cú P(1)=6
Li cú P(1)= 6(a+b) nờn ta cú: a+b = 1 (1)
Tng t ta cú vi x = 2. ta cú: 24(2a+b)= 36 <=> 4a +2b=3 (2)

0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.5

Từ (1)(2) Tính được: a=b=

1
2

0.25

1
1
Kết luận: P(x)=x(x+1)(x+2)( x+ )
2
2

3
1

0.25

Ta có: n3 + 6n 2 + 8n =n(n+2)(n+4)
Lại có n chẵn => n = 2k với k ∈ N
=> n3 + 6n 2 + 8n =8k(k+1)(k+2)
Do k ∈ N => k(k+1)(k+2) là ba số tự nhiên liên tiếp
=> k(k+1)(k+2) chia hết cho 6
=> 8k(k+1)(k+2) chia hết cho 48 với ∀ n ∈ N và n chẵn.

0.5

Ta có: x 2 + xy + 3 x + 2 y = 1 <=> (x+2)(x+y+1) = 3

0.5

Do x;y nguyên => x+2 ; x+y+1 nguyên.
Mà 3=3.1=1.3= (-3).(-1)=(-1).(-3 )

0.25

0.5
0.5
0.5

x + 2 = 1
 x = −1
⇔
x + y +1 = 3
y = 3

+
2

0.25

x + 2 = 3
x = 1
⇔
 x + y + 1 = 1  y = −1

0.25

 x + 2 = −1
 x = −3

⇔
 x + y + 1 = −3  y = −1

0.25

+

 x + 2 = −3
 x = −5
⇔
 x + y + 1 = −1  y = 3

0.25

Kết luận :..............................

0.25

+
+

4
A

B

Q

E

I

1

D

M

C

Chứng minh được: ∆BAE = ∆DAI (g.c.g)
 AI = AE

K

1

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giá vuông AIK có:
1
1
1
+
2
2 =
AI AK
AD 2

mà AI = AE =>

1

1
1
+
2
2 =
AE AK
AD 2

0.5


Do AD không đổi =>

1
1
+
không đổi.
2
AE AK 2

0.5

Kẻ MQ //AI
Chứng minh tam giác AMQ vuông cân ở Q => AQ=MQ và
MQ 2 =AM =>
Chứng minh
2

1
2

=
.
MQ AM

0.5
0.5

MQ KQ
=
AI
KA

=>

MQ AQ KQ AQ
+
=
+
=1
AI AK AK AK

=>

MQ MQ
+
= 1 (AI = AE; AQ=MQ)
AE KA

0.5

=>

1
1
2
+
=
.
AE AK AM

0.5

Chứng minh: AD.IK=AI.AK
Do AD không đổi <=> IK nhỏ nhất khi AI.AK
3

5

Lại có:

1
1
1
2
+
2 =
2
2 ≥
AD
AI AK

AI . AK

0.5

=>AI.AK ≥ 2.AD2 (không đổi)
Dấu bằng xảy ra khi AI=AK <=> E trùng C.
Kết luận: E trùng C.
Ta có: M =

0.5
0.5

1
2
1
1
6
+
= 2
+
+
.
2
2
x +y
xy
x +y
2 xy 4 xy
2

1

1

≥ 1 ( vì x + y ≤ 1. )
2
Chứng minh : 4xy ≥
( x + y)

=>

6
≥6
4xy

0.5

Dấu bằng xảy ra khi x=y=

1
2

0.5

1
1
4
+
≥
≥ 4 Dấu bằng xảy ra khi x=y= 1

2
2
x +y
2 xy ( x + y )
2
2

=> M ≥ 10 Dấu bằng xảy ra khi x=y=

0.5

0.5

1
2

=> Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 10 khi x=y=

1
2

0.5