đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 sầm sơn

Phòng giáo dục & đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 thcs
th i x Sầm Sơnã năm học 2010-2011
môn thi :Toán
Ng y thi : 21 / 10/ 2010
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đ thi )
Đ này gồm 01 trang
Cõu 1 : ( 5 im )
a) Rỳt gn biu thc A =
( )













+
+
yx
yyxx
yx
yx
yyxx
yx
.

2
b) Cho tam giỏc ABC cú di ba cnh l : a , b, c tho món
4.( a
2
+ b
2
+ c
2
ab - bc- ca) =(a-b)
2
+ (b-c)
2
+ ( c-a)
2

Chng minh rng tam giỏc ABC l tam giỏc u
Cõu 2 : ( 5 im )
a) Tỡm nghim nguyờn ca phng tỡnh sau :
xy y -3x = 2
b) Gii phng trỡnh :

xx 21
++
+
xx 69
+
= 4
Cõu 3 : ( 4 im )
a) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : P =
( ) ( )

22
20112010
+
xx
b) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : Q = -x
2
- y
2
+ xy -3x + 3y + 2008
Cõu 4 : ( 4 im ) Cho hỡnh vuụng ABCD cú di cnh l a . Hai ũng chộo AC v
BD ct nhau ti O . Gi M ; N ln lt l trung im ca OB v CD
a) Tớnh gúc AMN
b) Gi P l trung im ca AN . Tớnh di on thng MP theo a
Cõu 5 : ( 2 im ) cho t giỏc li ABCD .Gi O l im trờn cnh BC v E l im i
xng ca D qua O mt im M di ng trờn cnh AD ( M

A ; M

D) ng thng
EM ct OA ti I. T I k ng thng song song vi BC ct AB v AC ln lt ti K v
H
Chng minh rng
1
=+
AM
AD
AH
AC
AK
AB

....................................................................Ht ...............................................................
chớnh thức
Phòng giáo dục & đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 thcs
th i x Sầm Sơnã năm học 2010-2011
LI GII
Cõu1:
a) A =
( )













+
+
yx
yyxx
yx
yx
yyxx
yx
.

2

A =
( )








+
++


+
+
+
))((
).)(())((
.
2
yxyx
yyxxyx
yx
yxyx
yyxx
yx
A =

yyxx
yx
+
+
.








+
++
+
yx
yyxx
yx
.
=
yyxx
yx
+
+
.
.
( )
yx
yxyxyx

+
+++
)(
2
A =
yyxx
yx
+
+
.
.
yx
yxyxyxyx
+
++
)2
A =
))(.(
).(
yxyyxx
xyyx
++
+
=
).(
.
yyxx
xy
+
b) vộ trỏi 4 (a

2
+ b
2
+c
2
ab -ac bc ) = 2( 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
2ab 2ac 2bc )
= 2
[ ]
)c bc 2 -b ()c ac 2 - a ()b ab 2 - a .(
222222
+++++
= 2
[ ]
222
) c -b ()c- a ()b - a .(
++
vy ta cú : 2
[ ]
222
) c -b ()c- a ()b - a .(
++
=
222
) c -b ()c- a ()b - a (

++

222
) c -b ()c- a ()b - a (
++
= 0





=
=
=
0)c - b (
0)c - a (
0)b - a (
2
2
2

=
=
=
0c - b
0c - a
0b - a










=
=
=
c b
c a
b a

a = b = c nờn tam giỏc ABC u
Cõu 2 : a) Tỡm nghim nguyờn ca phng tỡnh sau :
xy y -3x = 2

xy y -3x + 3 = 2 +2

(x-1)(y-3) =5


(x;y) =
( ) ( ) ( )( ){ }
2;42;0;8;2;4;6

b) Gii phng trỡnh :

xx 21
++
+
xx 69
+
= 4



( )
2
1
+
x
+
2
)3(

x
= 4

| x+1| + | x+ 3| = 4
0

x

3
Cõu 3 :
a) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : P =
( ) ( )
22
20112010
+
xx


P = | x-2010| + | x 2011|


P = | x-2010| + | 2011-x|

| x-2010 +2011-x | =1
Khi 2010

x

2011
b) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : Q = -x
2
- y

2
+ xy -3x + 3y + 2008


2Q = -(2x
2
+ 2 y
2
- 2xy+ 6x - 6y 4016)

2Q = -
[ ]
4022)12()12()442(
22222
+++++++++
yyxxyxxyzyx


2Q = -
[ ]
4022)1()1()2(
222
++++
yxyx

2Q =
4022
-
[ ]
222

)1()1()2(
++++
yxyx


4022


Q =
2011
-
2
1

[ ]
222
)1()1()2(
++++
yxyx


2011
Max Q = 2011 khi x = -1 ; y = 1
Câu 4 :
O
A
D
C
B
I

M
N
P
Gọi I là trung điểm của BC
Ta có M là trung điểm cảu OB
⇒
MI là đường tung bình của ttam giác OBC
⇒
MI //OC và MI =
2
1
OC (1)
Hoàn toàn tương tự NI là đường trung bình của tam giác BCD
⇒
NI //BD (1) và NI =
2
1
BD (2)
Vì BD
⊥
AC tại O
⇒
∠
BOC = 1V (3) từ (1) ; (2) và (3) ta có MI
⊥
NI
⇒
∠
MIN = 1V
Mà ta có OB= CO mà OM =

2
1
OB nên OM =
2
1
OC ; kết hợp (1) ta có MI = OM (*)
Ta có OA =
2
1
AC mà AC = BD nên OA =
2
1
BD kết hợp với (2) ta có NI =OA (**)
Và
∠
MOA =
∠
MIN = 1V (***)
Xét
∆
MOA và
∆
MIN từ (*) ; (**) và (***) ta có
∆
MOA =
∆
MIN ( cgc)
⇒
∠
AMO =

∠
NMI
ta có MI// OC mà OC
⊥
BD ; MI
⊥
OB
⇒
∠
IMO = 1V
Hay
∠
OMN +
∠
AMO = 1V mà
∠
NMI =
∠
AMO ( chứng minh trên )
nên
∠
OMN +
∠
AMO = 1V hay
∠
AMN = 1V
b) áp dụng định lý pi ta go cho tam giác ADN vuông tại D ta có AD
2
+ DN
2

= AN
2
AN
2
= a
2
+
2
2






a
=
4
5
2
a

⇒
AN =
2
5a
Theo câu a ta có
∆
MOA =
∆

MIN
⇒
MA = MN lại có
∠
AMN = 1V
∆
MAN vuông cân tại M vì P là trung điểm của AN nên MP là trung tuyến ứng với cạnh
huyền AN vậy MP =
2
1
AN suy ra MP =
2
1
.
2
5a
=
4
5a
Câu 5 :

H
I
B
A
D
C
E
O
M

K