Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập cơ lí thuyết

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

CHU THỊ HẰNG

ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT
CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
CƠ LÝ THUYẾT
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Thị Hà Loan

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm Khoa Vật lý và các
thầy, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tôi trong những năm học tai Khoa Vật lý
và tạo điều kiện cho tôi làm khóa luận này.
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH
TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ
LÝ THUYẾT” đã hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận
tình, chu đáo của cô giáo PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN, cùng các
thầy cô trong Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Trong quá trình nghiên cứu, bản thân tôi là một sinh viên bước đầu làm
quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót. Vì vậy, tôi mong được ý kiến đóng góp của quý
thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này hoàn thiện hơn nữa.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng năm 2017
Sinh viên

Chu Thị Hằng


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em qua quá trình học
tập và nghiên cứu, bên cạnh đó em nhận được sự quan tâm và tạo điều kiện
của thầy cô giáo trong Khoa Vật lý, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô
giáo PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN.
Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em có tham
khảo một số tài liệu có ghi trong phần Tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan kết quả của đề tài “ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH
TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ
LÝ THUYẾT” không có sự trùng lặp với bất kỳ đề tài nào.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm !
Hà Nội, tháng năm 2017
Sinh viên

Chu Thị Hằng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2

6. Bố cục của đề tài ........................................................................................... 2
CHƢƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ................................................... 4
1.1. Khái niệm về liên kết ................................................................................. 4
1.1.1. Số bậc tự do – Liên kết ........................................................................... 4
1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo ................................................... 9
1.2. Tọa độ suy rộng ........................................................................................ 11
1.3. Liên kết lí tưởng ....................................................................................... 13
CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNGLỰC HỌC
......................................................................................................................... 19
2.1. Phương trình tổng quát của động lực học ................................................ 19
2.2. Phương trình tổng quát của động lực học viết trong hệ tọa độ suy rộng . 19
2.3. Nguyên lý D’ Alambert ............................................................................ 25
CHƢƠNG 3: ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA
ĐỘNGLỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC LÝ THUYẾT
......................................................................................................................... 26


3.1. Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập
cơ học lý thuyết ............................................................................................... 26
3.2. Áp dụng nguyên lý D’ Alambert để giải một số bài tập .......................... 38
KẾT LUẬN .................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 46


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các
thuyết vật lý, thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát trong một lĩnh vực,
một phạm vi vật lý nhất định. Bằng các phương pháp suy diễn, phương
pháp suy luận toán học các nhà vật lý lý thuyết đã đề ra một hệ thống các

quy tắc, các định luật các nguyên lý vật lý dùng làm cơ sở để giải thích các
hiện tượng, các sự kiện vật lý và để tạo ra khả năng tìm hiểu, khám phá
các định luật, quy luật mới.
Cơ học lý thuyết là một bộ phận của vật lý lý thuyết, nó nghiên cứu
về cân bằng và chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của các lực.
Thực tế một số lớn các lực là những đại lượng biến đổi và có thể phụ thuộc
vào nhiều tham số. Quy luật chuyển động của vật thể phụ thuộc vào hình
dáng, kích thước, khối lượng của vật … và các lực tác dụng lên nó. Động
lực học là một phần của cơ học nghiên cứu các quy luật chuyển động của
các vật thể dưới tác dụng của các lực. Trong phần động lực học ta có thể
sử dụng các phương trình tổng quát để tìm ra các định luật, các phương
trình mới,…. giúp người đọc có thêm kiến thức mới trong việc giaỉ quyết
các bài tập. Việc vận dụng các phương trình tổng quát để giải bài tập trong
cơ lý thuyết là một yếu tố quan trọng đối với người đọc. Nó giúp người
đọc được hiểu sâu hơn về lý thuyết, các tính chất, bản chất của sự vật hiện
tượng; phát triển khả năng tư duy, sáng tạo trong học tập.
Với những lý do trên em đã quyết định và lựa chọn nghiên cứu đề tài
“Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập
cơ lý

thuyết”.

1


2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu các phương trình tổng quát của động lực học.
- Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập cơ
lý thuyết
3. Đối tƣợng nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ hệ có chịu liên kết.
- Các phương trình tổng quát viết cho cơ hệ có chịu liên kết.
- Áp dụng phương trình tổng quát để giải quyết một số bài toán về cơ hệ có
chịu liên kết.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các phương trình tổng quát của động lực học và áp dụng vào
một số bài tập trong cơ học lý thuyết.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp của vật lý lý thuyết.
- Phương pháp cơ học.
- Phương phán giải tích.
6. Bố cục của đề tài
Chƣơng 1: Các khái niệm cơ bản
1.1.
1.2.
1.3.

Khái niệm về liên kết
Tọa độ suy rộng
Liên kết lý tưởng

Chƣơng 2: Phƣơng trình tổng quát của động lực học
2.1. Phương trình tổng quát của động lực học
2.2. Phương trình tổng quát của động lực học viết trong hệ tọa độ suy rộng
2.3. Nguyên lý D’ Alambert

2


Chƣơng 3: Áp dụng phƣơng trình tổng quát của động lực học để giải một

số bài tập cơ học lý thuyết
3.1. Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập
cơ học lý thuyết
3.2. Áp dụng nguyên lý D’ Alambert để giải một số bài tập

3


CHƢƠNG I
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Khái niệm về liên kết
1.1.1. Số bậc tự do – Liên kết
Ta hãy xét một cơ hệ gồm N chất điểm

chuyển động

đối với hệ quy chiếu quán tính. Vị trí của chất điểm

trong không gian được

xác định bởi bán kính véctơ ⃗ hay ba tọa độ Đềcác

. Để xác định vị trí

của cơ hệ ta cần xác định N bán kính véctơ ⃗ ,

hay 3N tọa độ Đề-

các

.
Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ

hệ được gọi là số bậc tự do của nó.
Cơ hệ được gọi là cơ hệ tự do nếu những chất điểm tạo thành cơ hệ có
thể chiếm những vị trí bất kỳ trong không gian và có những vận tốc bất kỳ.
Nói khác đi, cơ hệ tự do thì vị trí và vận tốc của những chất điểm của cơ hệ
không bị hạn chế bởi một điều kiện nào. Số bậc tự do của cơ hệ tự do của hệ
gồm N chất điểm ở trên là 3N.
Cơ hệ gồm Mặt trời và các hành tinh là một ví dụ về cơ hệ tự do. Trong
thực tế ta thường gặp cả những cơ hệ không tự do, nghĩa là cơ hệ mà vị trí và
vận tốc của những chất điểm tạo thành nó bị hạn chế bởi những điều kiện nào
đó. Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ
trong không gian gọi là liên kết. Những điều kiện này không phụ thuộc vào
lực tác dụng lên cơ hệ và các điều kiện đầu của chuyển động.
Ví dụ: Cơ hệ gồm hai chất điểm
có độ dài

nối với nhau bằng một thanh

là một cơ hệ không tự do. Sáu tọa độ Đề-các xác định vị trí hai

chất điểm phải thỏa mãn điều kiện:

4


Do đó những tọa độ Đề-các này không phải là những thông số độc lập vì
giữa chúng có mối liên hệ với nhau bởi phương trình (1.1). Chỉ có 5 trong 6
tọa độ Đề-các này là độc lập. Vậy cơ hệ gồm hai chất điểm mà khoảng cách

giữa chúng không thay đổi có 5 bậc tự do.
Nếu cơ hệ gồm ba chất điểm

không nằm trên một đường

thẳng và khoảng cách giữa các chất điểm
Đề-các

là không đổi thì 9 tọa độ

xác định vị trí của ba chất điểm phải thỏa mãn ba

điều kiện:

{
Chín tọa độ Đề-các liên hệ với nhau bởi ba phương trình (1.2) nên chỉ có
6 trong 9 tọa độ Đề-các là độc lập. Số bậc tự do của cơ hệ gồm ba chất điểm
không nằm trên một đường thẳng mà khoảng cách giữa các chất
điểm không thay đổi là 6.
Vị trí của vật rắn trong không gian được xac định bởi ba điểm không
nằm trên cùng một đường thẳng. Ba điểm như vậy có 6 bậc tự do. Vì vậy vật
rắn chuyển động bất kỳ trong không gian có 6 bậc tự do.
Ta xét trường hợp đặc biệt khi vật rắn là quả cầu lăn không trượt trên
mặt phẳng nằm ngang (hình 1). Chọn gốc tọa độ là một điểm nằm trên mặt
phẳng, trục Oz vuông góc với mặt phẳng và hướng từ dưới lên trên,
trí khối tâm của quả cầu đồng chất,

là vị

là hai điểm bất kì của vật rắn.

Chín tọa độ Đề-các xác định vị trí của ba điểm
phương trình (1.2) và phương trình:

5

phải thỏa mãn ba


trong đó a là bán kính quả cầu. Vậy số

z

bậc tự do của quả cầu là 5. Vì quả cầu
lăn không trượt (vận tốc tại điểm tiếp
𝑀

xúc của quả cầu và mặt phẳng ngang
bằng không) nên ngoài bốn phương

a

trình mô tả sự hạn chế vị trí của quả

O
Hình 1

cầu, còn có thêm một phương trình mô
tả sự hạn chế vận tốc khối tâm

của

nó:
[⃗

⃗⃗⃗⃗ ]

trong đó ⃗ là véctơ đơn vị hướng theo trục Oz và ⃗ là vận tốc góc quay của
quả cầu.
Những phương trình (1.1) – (1.4) gọi là những phương trình liên kết.
Nếu

thay đổi theo thời gian thì phương trình liên kết phụ thuộc

vào thời gian. Trong trường hợp tổng quát, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu
diễn bởi k phương trình (ta không kể đến các trường hợp bất phương trình):
̇

̇

̇

̇

hay viết dưới dạng tương đương:
(⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗̇ ⃗⃗⃗̇

⃗⃗⃗⃗̇

6

)

̇

̇

x


Để tiện việc trình bày ta viết những phương trình này dưới dạng ngắn
gọn:
(⃗ ⃗ ̇ )
Trường hợp đặc biết, khi các phương trình liên kết không phụ thuộc vào
vận tốc ⃗ thì liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên kết hình học. Đối với liên kết
hình học ta có:
⃗
Những phương trình liên kết (1.7) phụ thuộc vào vận tốc ⃗ biểu diễn
những liên kết động học đặt lên cơ hệ.
Trong thực tế ta thường gặp những liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn
bởi n phương trình liên kết hình học (1.8) và m phương trình liên kết động
học có dạng:
(⃗ ⃗ ̇ )

∑(

̇

̇

̇)

hay
(⃗ ⃗ ̇ )
trong đó

∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇

là những hàm của ⃗

và

chiếu của véctơ ⃗⃗⃗⃗⃗ trên các trục tọa độ Đề-các.
Những phương trình (1.9) có thể viết dưới dạng tương đương:

7

là ba hình


∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
Vi phân đẳng thức (1.8) ta được:
∑

⃗

⃗

Phương trình (1.11) biểu diễn liên kết động học, tương đương với liên
kết hình học (1.8) vì tích phân phương trình (1.11) cho ta:
⃗
hay
⃗
Trong đó C là hằng số tùy ý. Liên kết động học (1.11) gọi là liên kết
động học tích phân được. Đối với liên kết động học tích phân được ta có thể
dẫn nó về liên kết hình học. Tuy nhiên không phải mọi liên kết động học là
những liên kết động học tích phân được. Nếu vế trái của phương trình (1.10)
không thể biểu diễn qua vi phân toàn phần của một hàm nào đó của các biến
số

thì liên kết động học như vậy gọi là liên kết động học không tích phân

được. Phương trình (1.4) là một ví dụ về phương trình liên kết động học
không tích phân được, vì ⃗

trong trường hợp tổng quát không phải là vi

phân toàn phần của một tọa độ nào đó.
Cơ hệ tự do, cơ hệ chịu liên kết hình học hay liên kết động học tích phân
được gọi là cơ hệ Hôlônôm. Đối với cơ hệ Hôlônôm liên kết đặt lên nó luôn
luôn có thể biểu diễn bằng những phương trình (1.8)

8


Cơ hệ chịu liên kết động học không tích phân được có thể biểu diễn bằng
những phương trình (1.9) được gọi là cơ hệ không Hôlônôm.
Xét cơ hệ gồm N chất điểm, liên kết đặt lên cơ hệ được xác định bởi k

phương trình (1.9) và m phương trình (1.8), trong 3N toạ độ xi, yi, zi
(i=1,2,...,N) xác định vị trí của cơ hệ chỉ có

toạ độ là độc

lập. Số toạ độ độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ
gọi là số bậc tự do của cơ hệ.
1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo
Một tập hợp những véctơ dịch chuyển vô cùng bé
thỏa mãn các phương trình liên kết (1.10) và (1.11) gọi là những dịch chuyển
khả dĩ hay những dịch chuyển có thể.
Ví dụ: Chất điểm

chuyển

động trên một mặt bàn phẳng cho
trước (hình 2). Mặt bàn là liên kết đặt
lên chất điểm. Ở thời điểm t vị trí của
chất điểm là M được xác định bởi bán
kính véctơ ⃗ . Ở thời điểm t + dt vị trí
của chất điểm là N được xác định bởi
bán
kính
véctơ
⃗

⃗ . Các vị trí M và N nằm trên

M
⃗𝑟𝑖

𝑑𝑟⃗𝑖

⃗𝑟𝑖

N

𝑑𝑟⃗𝑖

O
Hình 2

mặt bàn đều là những vị trí có thể có
của chất điểm M. Véctơ dịch chuyển
⃗
dĩ.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là véctơ dịch chuyển khả

Có thể tìm được nhiều điểm N nằm trong mặt phẳng của bàn cạnh điểm
M cho nên qua điểm M trên mặt bàn ta xây dựng được nhiều véctơ dịch
chuyển khả dĩ.

9


Các dịch chuyển thực

⃗ của các chất điểm

cũng thỏa mãn các

phương trình liên kết (1.10) và (1.11).Vì vậy dịch chuyển thực ⃗ của chất
điểm

là một trong những dịch chuyển khả dĩ.
Giả sử tại thời điểm t ta lấy hai hệ

thống véctơ dịch chuyển khả dĩ
𝑑𝑟⃗⃗⃗𝑖

⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗

(hình 3).Hiệu hai véctơ ⃗

là

M

một véctơ vô cùng bé và được kí hiệu

⃗

⃗⃗⃗

⃗

N

𝑑𝑟⃗𝑖

⃗ . Tập hợp những véctơ

bằng

𝛿𝑟⃗𝑖

Hình 3

gọi là những véctơ

dịch chuyển ảo.
Liên kết hình học và liên kết động học có thể viết chung dưới dạng:
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Trong đó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(1.13)
là những hàm của ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không phụ thuộc tường minh vào thời gian và

hay (Hay

f

 0; g   0 ) thì liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng.
t

Các véctơ dịch chuyển khả dĩ ⃗

⃗⃗⃗ thỏa mãn những phương trình

liên kết:

∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

10

⃗⃗⃗⃗


∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

Trừ các phương trình (1.13) cho các phương trình (1.14), ta được:
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗

hay
∑
trong đó

là ba hình chiếu của véctơ

trên các trục x, y, z.

1.2. Tọa độ suy rộng
Để đơn giản ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm
với liên kết đặt lên nó được biểu diễn bằng n phương trình:

Nếu n phương trình liên kết này độc lập thì trong số 3N tọa độ Đề-các
tọa độ độc lập. Vậy muốn xác định

có

một cách đơn giá vị trí của cơ hệ cần thiết phải xác định s thông số độc lập.
Ta kí hiệu s thông số độc lập là
cần thiết

. Những thông số độc lập

để xác định một cách đơn giá vị trí củ cơ hệ được

gọi là những tọa độ suy rộng. Số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ
hệ đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ.

11


Giữa tọa độ suy rộng

và các bán kính véctơ

có mối liên hệ được biểu diễn bởi các phương trình sau:
⃗

(1.19)

hay

y
Ví dụ: Ta xét chuyển động của
một chất điểm trên đường tròn xác
định có bán kính R. Đường tròn là liên

R
O

M

𝜑

kết đặt lên chất điểm được biểu diễn
bằng phương trình liên kết:
Hình 4
Số tọa độ độc lập là một. Ta có thể chọn hoặc x. hoặc y, hoặc góc làm
tọa độ suy rộng. Nếu chọn góc làm tọa độ suy rộng thì ta có:

Nói chung, với một bài toán cơ học nhất định, có nhiều cách chọn tọa độ
suy rộng khác nhau. Tùy theo tính chất của bài toán mà ta cần chọn hệ tọa độ
suy rộng thích hợp để giải bài toán được thuận lợi hơn. Chẳng hạn bài toán có
tính đối xứng cầu thì chọn hệ tọa độ suy rộng là hệ tọa độ cầu là thích hợp
nhất. Nếu bài toán có tính đối xứng trụ, thì chọn hệ tọa độ trụ làm hệ tọa độ
suy rộng là thích hợp nhất.

12

x


1.3. Liên kết lí tưởng
Giải sử có chất điểm

chuyển động dưới tác dụng của lực ⃗⃗

. Nếu chất điểm chuyển động tự do, thì theo định luật II Niutơn, ta
có:

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

(1.20)

Khi có liên kết đặt lên hệ thì gia tốc ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

có thể không thỏa mãn các

phương trình liên kết.
Thật vậy, lấy đạo hàm bậc hai của phương trình (1.18) theo thời gian t, ta
nhận được những phương trình mô tả sự hạn chế gia tốc của những chất điểm
của cơ hệ:
∑

⃗

Gia tốc ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

∑ ⃗⃗⃗ (

⃗

)

có thể không thỏa mãn những phương trình (1.21).

Điều ấy có nghĩa là liên kết đã tác dụng lên chất điểm

một lực nào đó gọi

là phản lực liên kết.
Kí hiệu phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm
trình chuyển động của chất điểm không tự do
⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

là ⃗⃗⃗ thì phương

có dạng:

⃗⃗⃗

Để phân biệt với phản lực ⃗⃗⃗ , ta gọi lực ⃗⃗ là hoạt lực hay lực hoạt động.
Chiếu phương trình véctơ (1.23) lên các trục tọa độ Đề-các ta được:

13


̈
{

̈
̈

Nếu chưa biết được tính chất của các liên kết đặt lên cơ hệ thì từ 3N
phương trình vô hướng (1.23) và k phương trình liên kết (1.18) ta chưa đủ để
xác địn 6N đại lượng vô hướng

vì số

đại lượng vô hướng lớn hơn số phương trình vô hướng (6N > 3N + k). Để giải
được bài toán động lực học của cơ hệ không tự do cần phải có them 6N đại
lượng

. Ta có thể nhận được

hệ thức này nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết lý tưởng.
Liên kết gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng công ảo của những phản lực
liên kết dặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là:
∑ ⃗⃗⃗ ⃗

∑(

)

Trong 3N đại lượng vô hướng

có s đại

lượng độc lập

và 3N – s = k đại

lượng phụ thuộc. Vì vậy trong đẳng thức (1.25) ta biểu diễn k đại lượng phụ
thuộc này qua s đại lượng độc lập nói trên và đặt các hệ số của các đại lượng
độc lập

bằng không. Khi đó ta nhận được

giữa các đại lượng

hệ thức
và như vạy bài toán

về động lực học của cơ hệ không tự do về nguyên tắc đã được giải quyết.
Những ví dụ về liên kết lý tưởng thường gặp trong thực tế
⃗
𝑁

Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển

𝛿𝑟

động trên một mặt nhẵn (không ma
sát) thì phản lực liên kết ⃗ vuông góc

Hình 5

14


nên ⃗

với dịch chuyển ảo

(Hình 5).

Ví dụ 2: Hai chất điểm M1 và M2 nối với nhau bởi một thanh có độ dài
không đổi và khối lượng của thanh bỏ qua(Hình 16.2) thanh là liên kết đặt lên
hai chất điểm.
Gọi ⃗

⃗

⃗
𝑁

là phản lực liên

M1

M2

⃗
𝑁

kết do thanh tác dụng lên chất điểm
𝑟

thứ nhất và thứ hai.

𝑟

Theo định luật III NiuTơn, chất
điểm M1 và M2 sẽ tác dụng lên thanh
⃗

những lực

O
Hình 6

⃗

Khối tâm của thanh sẽ chuyển động theo phương trình:
⃗⃗
Trong đó m là khối lượng của thanh, ⃗⃗ là gia tốc khối tâm của thanh. Vì
khối lượng của thanh bỏ qua

và do đó

nên
⃗

⃗

Tổng công ảo của những phản lực liên kết đối với mọi dịch chuyển ảo
bằng:
⃗

⃗

Nếu ⃗

⃗

⃗

⃗

, trong đó C là hằng số thì:
⃗

.Những liên kết đặt lên vật rắn kiểu như vậy là liên kết lý tưởng.
Ví dụ 3: Hai vật rắn nối liền với nhau bằng một bản lề mà khối lượng và
kích thước của bản lề có thể bỏ qua.

15


Gọi ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ là những bán kính

vectơ xác định vị trí tiếp xúc của vật
thứ nhất và vật thứ hai đối với bản lề
(Hình 16.3). Vì kích thước của bản lề
bé nên có thể coi ⃗⃗⃗
Gọi ⃗

𝑟

⃗⃗⃗

𝑟

⃗ là những phản lực
O
Hình 7

liên kết do bản lề tác dụng lên vật thứ
nhất và vật thứ hai.

Theo định luật III NiuTơn vật thứ nhất và vật thứ hai tác dụng lên bản lề
những lực:
⃗

⃗

Phương rình chuyển động của bane lề có dạng:
⃗⃗
Trong đó m là khối lượng của bản lề. Vì m bỏ qua nên
ta có ⃗

, và

⃗

Tổng công ảo của những phản lực liên kết đối với mọi di chuyển ảo
bằng:
⃗

⃗

(⃗

⃗ )

Ví dụ 4: Vật rắn quay quanh một điểm cố định O. Vì điểm đặt của phản
lực liên kết không dịch chuyển nên ⃗
Ví dụ 5: Một vật rắn lăn không trượt trên mặt một vật rắn khác (hình 8).
Điểm tiếp xúc M giữa hai vật có vận tốc tương đối bằng không. Điểm M
chính là điểm đặt của phản lực liên

16


kết ⃗ do vật thứ hai tác dụng lên vật

⃗
𝑁

thứ nhất. Đối với liên kết dừng

1

f
 0 thì những vectơ dịch chuyển
t

M

và những vectơ dịch

có thể
chuyển ảo

2

đều thỏa mãn những

phương trình:

Hình 8

∑

∑

Vậy đối với liên kết dừng thì dịch chuyển ảo
có thể

⃗⃗⃗

. Tại điểm tiếp xúc M ta có

trùng với dịch chuyển
nên

⃗⃗⃗

.

Vậy ⃗

Trong thực tế, một máy dù phức tạp đến đâu cũng cấu tạo từ những cặp
vật rắn theo các kiểu sau đây. Hoặc hai vật rắn liên kết với nhau bằng thanh
rắn, hoặc chuyển động quanh một điểm cố định, hoặc tiếp xúc với nhau bằng
bề mặt của chúng. Một máy phức tạp như vậy có thẻ khảo sát như một cơ hệ
chịu những liên kết lý tưởng đặt lên nó.
Chú ý: Trong thực tế không phải
mọi liên kết đều là liên kết lý tưởng.

𝑅⃗

⃗
𝑁

Ví dụ một vật rắn trượt trên mặt một
vật rắn khác có ma sát.

𝛿𝑟

Trong trường hợp này phản lực liên
kết ⃗ không vuông góc với dịch
chuyển ảo

(hình 9).

17

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹
𝑚𝑠
hình 9

Ta có thể phân tích phản lực ⃗ thành hai thành phần ⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Thành
phần ⃗ vuông góc với dịch chuyển ảo

nên ⃗

, còn thành phần song

song với dịch chuyển ảo chính là lực ma sát ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , giá trị của lực ma sát tỉ lệ, ta
có thể coi lực ma sát như lực chủ động đã biết. Như vậy tác dugnj liên kết
không lý tưởng bất kỳ lên cơ hệ tương đương với tác dụng của liên kết lý
tưởng và một lực chủ động bằng lực ma sát.

18


CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNGLỰC HỌC

2.1. Phƣơng trình tổng quát của động lực học
Chúng ta xét một cơ hệ gồm N chất điểm chịu những liên kết lý tưởng
đặt lên nó. Phương trình chuyển động của chất điểm I của cơ hệ có dạng:
⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗
hay

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗
Từ điều kiện:
∑ ⃗⃗⃗ ⃗

∑(

⃗⃗⃗⃗

) ⃗

Phương trình (2.2) được gọi là phương trình tổng quát của động lực học.
2.2. Phƣơng trình tổng quát của động lực học viết trong hệ tọa độ suy
rộng
Phương trình tổng quát của động lực học viết trong hệ tọa độ suy rộng
còn được gọi là phương trình Lagrangiơ loại II.
Xuất phát từ phương trình tổng quát của động lực học (2.2) ta thành lập
phương trình chuyển động của cơ hệ trong hệ toạ độ suy rộng.

19


Trước hết ta biểu diễn dịch chuyển ảo

qua biến thiên

của toạ độ suy rộng. Giả sử có toạ độ suy rộng,
số thời gian,  là thông số. Khi

trong đó t là biến
xác định vị trí thực

thì

của cơ hệ trong không gian. Khi

thì toạ độ suy rộng

xác

định vị trí có thể có của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó. Ứng với những
giá trị α khác nhau ta có những vị trí có thể có khác nhau của cơ hệ phù hợp
với liên kết đặt lên nó. Dạng của hàm q thay đổi khi biến số t không thay đổi
nhưng thông số α thay đổi được xác định bằng:
(2.3)
Đại lượng  q  t  gọi là biến thiên của toạ độ suy rộng q  t  . Dễ dàng
thấy rằng:
(

)

̇

(2.4)

Và
⃗

Đặt biểu thức

∑

⃗

∑

(2.5)

từ (2.5) vào phương trình (2.2) ta nhận được:
∑

(2.6)

∑ ⃗⃗

(2.7)

Trong đó:

20