Nghiên cứu dao động của màng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
--------------------

NGUYỄN THỊ HÀ

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA MÀNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức
cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường cũng như trong quá
trình thực hiện khóa luận này.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn cô giáo: PGS.TS Lưu Thị Kim
Thanh đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa
luận tốt nghiệp này.
Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em
không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhậnđược những đóng góp ý
kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Ngày 19 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Hà

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo: PGS.TS Lưu
Thị Kim Thanh. Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận văn của
các tác giả.
Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Hà


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG ..................... 3
1.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ........................................................... 3
1.2. DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT ............................................ 7
1.2.1. Dao động cưỡng bức của màng chữ nhật ...................................... 7
1.2.2. Các đường nút trên màng chữ nhật.............................................. 13
1.3. PHƯƠNG TRÌNH BETSEN .............................................................. 15
1.4 HÀM BETSEN ..................................................................................... 17
1.4.1. Các tính chất truy hồi của hàm betsen ......................................... 24
1.4.2. Một vài trường hợp riêng của hàm betsen ................................... 25
1.4.4 Tính trực giao của hàm betsen....................................................... 27
1.4.5. Khai triển một hàm tùy ý vào các hàm betsen .............................. 31
1.5 DAO ĐỘNG CỦA MÀNG TRÒN ...................................................... 32
1.6 HÀM GAMMA .................................................................................... 38
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .......................................................................... 38
CHƯƠNG 2: BÀI TẬP ................................................................................. 39
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 .......................................................................... 53

KẾT LUẬN .................................................................................................... 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 55


MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Vật lý là một môn khoa học nghiên cứu những sự vật hiện tượng xảy ra
hàng ngày, có tính thực tiễn cao, cần vận dụng những kiến thức toán học.
Những phương pháp toán học dùng trong vật lý rất đa dạng và phong phú. Các
kiến thức toán học này không những cần thiết cho các bạn sinh viên khi đang
học tại trường mà còn là công cụ hữu ích cho công việc của học khi ra trường.
Phương pháp toán lý là một học phần rất quan trọng trong việc đào tạo giáo
viên phổ thông chuyên nghành vật lý, giúp cho sinh viên nắm được các phương
pháp toán học hiện đại trong vật lý, hiểu rõ hơn bản chất của quá trình truyền
sóng và truyền nhiệt của vật chất. Việc nghiên cứu học phần này là cơ sở nghiên
cứu các môn học khác. Đặc biệt việc nghiên cứu về dao động sóng tương đối
phức tạp đòi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý và toán học.
Các phương trình mô tả sự biến thiên của trường theo thời gian thường
là các phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong đó chứa hàm chưa biết (hàm
nhiều biến ) các đạo hàm riêng của nó và các biến số độc lập. Các phương trình
vật lý toán cơ bản là các phương trình sóng, phương trình truyền nhiệt và
phương trình Laplaxo. Nói một cách đơn giản thì chúng là những phương trình
đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập được chia làm ba dạng
là phương trình eliptic, phương trình hipebolic và phương trình parabolic.
Là sinh viên sư phạm vật lý tôi nhận thấy bộ môn phương pháp toán lý
là môn học tương đối khó trong đó có phần dao động của màng. Trong khi đó
ở thời điểm hiện tại các tài liệu tham khảo về các loại dao động này còn hạn
chế, các phương pháp còn mang tính khái quát thiếu cụ thể vì thế tôi đã chọn
đề tài có tên “Nghiên cứu dao động của màng “
2. Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu phương trình dao động của màng
1


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Dao động của màng
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng phương trình dao động của màng
- Áp dụng phương trình dao động của màng để giải một số bài tập
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp giải tích toán học
- Các phương trình vi phân
- Đọc tài liệu và tra cứu
6. Cấu trúc khóa luận
- Phần 1: mở đầu
- Phần 2: Nội dung
Chương 1: Phương trình dao động của màng
Chương 2: Bài tập
- Phần 3: Kết luận
- Phần 4: Tài liệu tham khảo

2


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG
1.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Giả sử ta có một màng được kéo bằng lực căng T. Nghĩa là nếu tách ra
một phần của màng giới hạn bởi đường cong kín L, thì phần còn lại có thể thay
thế bằng các lực đặt lên L’ nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với màng hướng theo

pháp tuyến ngoài của L’(h.1.1) và được phân bố sao cho trên yếu tố cung ds’
của đường cong L’có lực tác dụng Tds’, trong đó T là mật độ phân bố không
đổi của lực căng.
Giả thiết màng là đàn hồi, dao động nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của
màng trong quá trình dao động có thể bỏ qua. Khi đó mật độ phân bố lực căng
T là như nhau trong tất cả các tiết diện của màng.
Giả sử khi nằm yên, màng ở trong mặt phẳng (x, y), còn dao động xảy ra
sao cho mỗi đểm của màng đều lệch theo phương vuông góc với mặt phẳng
này. Kí hiệu độ lệch này là u; u là hàm của các tọa độ x, y và thời gian t:
u = u( x, y, t )
L
ds’

Tds’

Hình 1.1
Bây giờ ta tìm phương trình mà hàm này thỏa mãn.
Khi nằm yên, màng chiếm diện tích  trên mặt phẳng (x, y) ( h1.2). Ta
hãy xác định hình chiếu trên trục u của lực tác dụng lên mẫu màng này.
3


u

L

 n
P
[s,n]

S

0
y

x

ds
Hình 1.2

Gọi vecto đơn vị pháp tuyến với màng tại điểm P của đường cong L là n
n= cos  i + cos  j+ cos  k
cos  , cos𝛽, cos𝛾 là các cosin chỉ phương của n.
Vecto đơn vị tiếp tuyến của L tại P là S
S = cos  ’i + cos  ’j+ cos  ’k
cos  ’, cos  ’, cos  ’ là các cosin chỉ phương của S. Lực căng T tác dụng
theo phương của vecto
[S,n]=(cos  ’cos  - cos  cos  ’ )i +( cos  ’ cos  - cos  cos  ’)j
+( cos  ’ cos  - cos  cos  ’) k.
Do đó hình chiếu của lực căng tác dụng lên yếu tố cung ds’ của L’ trên
trục u là:
𝑇(cos ∝ ′ cos 𝛽 − cos ∝ cos 𝛽′)𝑑𝑠′
Còn hình chiếu tương ứng của hợp lực căng phân bố theo chu tuyến L’ là
𝑇 ∮𝐿′ (cos ∝ ′ cos 𝛽 − cos ∝ cos 𝛽′)𝑑𝑠 ′ = 𝑇 ∮𝐿′ (cos 𝛽 𝑑𝑥 ′ − cos ∝ 𝑑𝑦′)(1.1)
bởi vì cos  ’ds’ = dx’ ; cos  ’ds’= dy’.
Ta đã biết các cosin chỉ phương của pháp tuyến đối với mặt
4


u= u( x,y,t) là.

cos  =

−𝑢𝑥

√1+𝑢′2𝑥 +𝑢′2𝑦

; cos  =

𝑢′𝑦
√1+𝑢′2𝑥 +𝑢′2𝑦

; cos  =

1
√1+𝑢′2𝑥 +𝑢′2𝑦

(góc giữa n và trục u coi như là nhọn ). Mặt khác diện tích của mẫu màng là
∮𝜎 √1 + 𝑢′2𝑥 + 𝑢′2𝑦 ds =𝑆𝜎 =∫𝜎 𝑑𝑠.
Ta giả thiết là diện tích của màng trong quá trình dao động không thay
đổi nên√1 + 𝑢′2𝑥 + 𝑢′2𝑦 có thể lấy bằng 1, nghĩa là 𝑢′2𝑥 , 𝑢′2𝑦 có thể bỏ qua so
với 1. Do đó ta có thể đặt
cos∝ = −𝑢′𝑥 ; cos𝛽 = −𝑢′𝑦 ; cos𝛾 = 1
và biểu thức( 1.1) có dạng :
−𝑇 ∮𝐿′ (𝑢′𝑦 𝑑𝑥 ′ − 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑦′)(1.2)
Ta kí hiệu hình chiếu của chu tuyến L trên mặt phẳng xy là . Vì ta đặt
cos  = 1, nghĩa là  = 0 nên dx’ = dx, dy’=dy với dx, dy là hình chiếu của yếu
tố cung ds của chu tuyến  lên các trục ox, oy, do đó tích phân (1.2) có thể
lấy theo .
−𝑇 ∮ (𝑢′𝑦 𝑑𝑥 ′ − 𝑢′𝑥 𝑑𝑦 ′ ) = −𝑇 ∮ (𝑢′𝑦 𝑑𝑥 − 𝑢′𝑥 𝑑𝑦)
𝜑′

𝜑

Biến đổi thành tích phân mặt theo công thức Grin ta có :
∫ 𝑢′𝑦 − 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑦 = − ∫ (𝑢′′𝑥𝑥 + 𝑢′′𝑦𝑦 ) 𝑑𝑆.
𝜑

𝜎

Vì thế cuối cùng hình chiếu trên trục u của hợp lực căng phân bố theo chu tuyến
’ là:

5


𝑇 ∫(𝑢′′𝑥𝑥 + 𝑢′′𝑦𝑦 )𝑑𝑆

(1.3)

𝜎

Ngoài ra, giả sử màng chịu tác dụng của ngoại lực song song và ngược
chiều với trục u có mật độ phân bố theo màng là 𝜌g( x,y,t) thì hợp lực của chúng
là
−𝜌 ∫ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡) 𝑑𝑆
𝜎

Nếu  là mật độ mặt không đổi của màng, thì hợp lực quán tính theo
mẫu màng đang xét là
𝜌 ∫ 𝑢′′𝑡𝑡 𝑑𝑆

𝜎

và đối với mọi t≥0, ta có đẳng thức
𝜌 ∫ 𝑢′′𝑡𝑡 𝑑𝑆 = 𝑇 ∫(𝑢′′𝑥𝑥 + 𝑢′′𝑦𝑦 ) 𝑑𝑆 − 𝜌 ∫ 𝑔𝑑𝑆
𝜎

𝜎

𝜎

Hay ∫𝜎 {𝜌𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑇(𝑢′′𝑥𝑥 − 𝑢′′𝑦𝑦 ) + 𝑔𝜌} 𝑑𝑆 = 0

(1.4)

Bởi vì  là một vùng bất kỳ của mặt (x,y) nên biểu thức dưới dấu tích
phân trong (1.4) phải bằng 0 ở điểm bất kỳ của màng ở thời điểm bất kỳ, nghĩa
là phải xảy ra đẳng thức
𝜌𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑇(𝑢′′ 𝑥𝑥 + 𝑢′′ 𝑦𝑦 ) + 𝜌𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 0
𝜌𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑎2 (𝑢′′ 𝑥𝑥 − 𝑢′′ 𝑦𝑦 ) = −𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡)

hay
trong đó a2=

(1.5)

T
là hằng số dương.


Phương trình(1.5) được gọi là phương trình dao động màng. Nó là

phương trình sóng hai chiều, hệ số a như trước kia là vận tốc lan truyền sóng,
nếu g( x,y,t)



0, thì phương trình là thuần nhất, nó mô tả dao động tự do của
6


màng. Phương trình không thuần nhất (1.5) mô tả dao động cưỡng bức của
màng.
Bài toán hỗn hợp đối với phương trình dao động của màng được thiết lập
như sau. Giả sử trong trạng thái tĩnh, màn chiếm vùng D trong mặt phẳng (x,y)
giới hạn bởi chu tuyến  là biên của màng. Điều kiện ban đầu đối với (1.5) là
𝑢|t=0= 𝑓(𝑥, 𝑦); 𝑢′𝑡 |t=0 = F(x,y)

(1.6)

trong đó hàm f(x,y) và F(x,y) được xác định trong vùng D là độ lệch ban đầu
và vận tốc ban đầu của các điểm x,y của màng. Nếu xét dao động của màng, có
biên gắn chặt, thì điều kiện biên được viết dưới dạng
𝑢|L =0

(1.7)

𝑢|L là kí hiệu giá trị của hàm uở các điểm của chu tuyến L.
1.2. DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT
1.2.1. Dao động cưỡng bức của màng chữ nhật
Ta hãy xét màng hình chữ nhật, lúc cân bằng nằm trong mặt phẳng (x,y)
chiếm miền G{0  x  l ,0  y  m } (h1.3) các điều kiện biên gắn chặt được viết

y
dưới dạng sau:
m
𝑢|𝑥=0 = 0 , 𝑢|𝑥=𝑙 = 0
(1.8)
{
𝑢|𝑦=0 = 0 , 𝑢|𝑦=𝑚 = 0
0
l x
Hình 1.3
Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình
𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑎2 (𝑢′′ 𝑥𝑥 + 𝑢′′ 𝑦𝑦 ) = 0

(1.9)

bằng phương pháp tách biến. Muốn vậy, ta viết u dưới dạng
u= X(x)Y(y)T(t)
Bởi vì: 𝑢′′𝑡𝑡 = XYT’’ ; 𝑢′′𝑥𝑥 = X’’YT ; 𝑢′′𝑦𝑦 = XY’’T
cho nên phương trình (1.9) có dạng
XYT’’ – a2(X’’YT+ XY’’T) = 0
hay

T ''
= a2( X ' '  Y ' ' )
T
X
Y

7

(1.10)


Bởi vì vế trái không phụ thuộc vào x và y còn vế phải không phụ thuộc
vào t, nên chúng phải là hằng số
T ''
= a2( X ' '  Y ' ' ) =
T
X
Y

c = const

X ''
𝑌′′
= −𝜆2 , = −𝜇2
𝑌
X

Và

Cả hai hằng số trên phải là âm để bài toán có nghiệm khác không.
Từ đó ta có

T ''
=
T

−(𝜆2 + 𝜇2 )𝑎2

Do đó các hàm T(t), X(x), Y(y) thỏa mãn các phương trình vi phân thường

Từ đó rút ra:

X’’ +𝜆2 X=0

(1.11)

Y’’+𝜇2 Y=0

(1.12)

T’’+(𝜆2 − 𝜇2 )a2T=0

(1.13)

𝑇 = 𝐴 cos √𝜆2 + 𝜇2 𝑎𝑡 + 𝐵 sin √𝜆2 + 𝜇2 𝑎𝑡

X= C1cos  x+D1sin  x ; Y= C2cos  y+D2sin  y
Để làm u= XYT thỏa mãn điều kiện biên (1.8), ta phải đặt
𝑋|𝑋=0 = 𝑋|𝑋=𝑙 𝑣à 𝑌|𝑌=0 = 𝑌|𝑌=𝑚 = 0

(1.14)

Từ các đẳng thức này ta rút ra C1=0 ; C2=0, sin𝜆l = 0 và sin𝜇m =0 nghĩa
là: λl = k1𝜋 , 𝜇m = k2𝜋
trong đó k1,k2 là các số nguyên tùy ý, ta đặt k1=1,2,3…..và k2=1,2,3…
vì thế ta có

∶

𝜆=

𝑘1 𝜋
𝑘2 𝜋
; 𝜇=
𝑙
𝑚

;

𝑘2 , 𝑘1 = 1,2,3 …

𝑘12 𝜋 2 𝑘22 𝜋 2
𝑘12 𝜋 2 𝑘22 𝜋 2
√
√
𝑇(𝑡) = 𝐴 cos (
+
𝑎𝑡) + 𝐵 sin (
+ 2 𝑎𝑡)
𝑙2
𝑚2
𝑙2
𝑚
𝑋(𝑥) = 𝐷1 sin

𝑘1 𝜋𝑥
𝑙

; 𝑌(𝑦) = 𝐷2 sin

𝑘2 𝜋𝑦
và u = X(x)Y(y)T(t)
𝑙

𝑢 = {𝐴𝐷1 𝐷2 cos 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡 + 𝐵𝐷1 𝐷2 sin 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡} sin 𝜆𝑘1 𝑥 sin 𝜇𝑘2 𝑦

8


𝜔𝑘1,𝑘2

=√

𝑘12 𝜋 2 𝑘22 𝜋 2
𝑘12 𝑘22
√
+
𝑎=
+
𝜋𝑎
𝑙2
𝑚2
𝑙 2 𝑚2

và

𝜆𝑘1 =

Đặt các hằng số ∶

(1.15)

𝑘1 𝜋
𝑘2 𝜋
; 𝜇𝑘2 =
𝑙
𝑙

𝐴𝐷1 𝐷2 = 𝑎𝑘1,𝑘2 ; 𝐵𝐷1 𝐷2 = 𝑏𝑘1 ,𝑘2

𝑢𝑘1,𝑘2 (𝑥, 𝑦, 𝑡)
= (𝑎𝑘1,𝑘2 cos 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡 + 𝑏𝑘1,𝑘2 sin 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡) sin 𝜆𝑘1 𝑥 sin 𝜇𝑘2 𝑦

(1.16)

Hàm (1.15) thỏa mãn phương trình(1.9) và các điều kiện biên (1.8),
nghĩa là nghiệm của bài toán biên, các hàm
𝑋𝑘1 (𝑥) = sin 𝜆𝑘1 𝑥 𝑣à 𝑌𝑘2 (𝑦) = sin 𝜇𝑘2 𝑦

(1.17)

là nghiệm của bài toán biên đối với các phương trình vi phân thông thường
(1.11) (1.12) với các điều kiện biên (1.14). Vì thế các số 𝜆𝑘1 và 𝜇𝑘2 là các giá
trị riêng còn (1.17) là các hàm riêng của bài toán biên này.
Tần số 𝜔𝑘1,𝑘2 xác định bằng (1.15) được gọi là các tần số riêng của màng chữ
nhật, còn dao động (1.16) là các dao động riêng, đó là các sóng đứng với màng
chữ nhật. Mỗi điểm của màng x,y thực hiện một dao động điều hòa tần số 𝜔𝑘1,𝑘2
có biên độ là

√∝2𝑘1,𝑘2 + 𝛽𝑘21,𝑘2 sin 𝜆𝑘1 𝑥 sin 𝜇𝑘2 𝑦
hơn nữa tất cả các điểm của màng đồng thời dạt được độ lệch cực đại của mình
về 1phía này hay phía kia. Chẳng hạn trên (h1.4) ta có dạng của màng ( nghĩa
là dạng của sóng đứng) ứng với các dao động
u1,1(k1=, k2=1) ; u2,1(k1=2, k2=1) ; u1,2(k1=1, k2=2)
ở thời điểm các độ lệch là cực đại. Với dao động 𝑢𝑘1,𝑘2 có (k1-1) đường thẳng
song song với trục y là: 𝑥 =

1
𝑘1

𝑙; 𝑥 =

2
𝑘1

𝑙; … ; 𝑥 =

và k2-1 đường thẳng song song với trục x là
9

𝑘1 −1
𝑘1

𝑙 ;

𝑘1 ≥ 2


𝑦=

1
2
𝑘2 − 1
𝑚; 𝑦 = 𝑚; … ; 𝑦 =
𝑚 ;
𝑘2
𝑘2
𝑘2

Bụng

𝑘2 ≥ 2

Bụng Đường nút
Bụng
Đường nút
Hình 1.4

Chúng được gọi là các đường nút. Điểm mà màng lệch cực đại so với trạng
thái đứng yên gọi là bụng. Song 𝑢𝑘1,𝑘2 có k1, k2 bụng ( k1  1, k2  1).
Tần số âm cơ bản của màng ( tần số riêng thấp nhất ) là
𝜔1,1

𝜋2 𝜋2
1
1 𝑇
= √ 2 + 2 𝑎 = 𝜋√ 2 + 2 √
𝑙
𝑚

𝑙
𝑚 𝜌

các tần số còn lại 𝜔𝑘1,𝑘2 là các họa âm.
𝜋

𝜋

𝑇

Đối với màng vuông, tần số âm cơ bản là: 𝜔1,1 = √2𝑎 = √2√
𝑙
𝑙
𝜌
nghĩa là lớn hơn tần số âm cơ bản của sợi dây √2 lần.
Bây giờ ta cộng tất cả các sóng dừng lại nghĩa là tổng 2 lần theo k1, k2
∞

∞

𝑢 = ∑ ∑ 𝑢𝑘1,𝑘2
𝑘2 =1 𝑘1 =1
∞

∞

= ∑ ∑ ( 𝑎𝑘1,𝑘2 cos 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡
𝑘2 =1 𝑘1 =1

𝑘1 𝜋𝑥

𝑘2 𝜋𝑥
sin
(1.18)
𝑙
𝑚
Hàm này thỏa mãn phương trình (1.9) và điều kiện biên (1.8).
+ 𝑏𝑘1 ,𝑘2 sin 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡)sin

10


Bây giờ ta xác định hệ số 𝑎𝑘1,𝑘2 và𝑏𝑘1 ,𝑘2 từ các điều kiện ban đầu.
Từ công thức (1.18), tại t=0, ta có
∞

∞

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ 𝑎𝑘1,𝑘2 sin
𝑘2 =1 𝑘1 =1

𝑘1 𝜋𝑥
𝑘2 𝜋𝑦
sin
𝑙
𝑚

0<𝑥<𝑙
𝑣ớ𝑖 {
0<𝑦<𝑚

Vì thế để xác định các hệ số 𝑎𝑘1,𝑘2 ta phải phân tích hàm f(x,y) thành chuỗi
Fourier hai lớp theo sin. Đầu tiên, giả sử x không đổi, ta tích phân hàm f(x,y)
như hàm của y thành chuỗi theo sin
∞

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑎 ∗𝑘2 (𝑥) sin
𝑘2 =1

𝑘2 𝜋𝑦
𝑚

( 0 < 𝑦 < 𝑚)

trong đó
𝑚

2
𝑘2 𝜋
𝑎 ∗𝑘2 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, ) sin
𝑑
𝑚
𝑚

(1.19)

0

Sau đó phân tích tiếp 𝑎 ∗𝑘2 (𝑥)thành chuỗi theo sin:
∞

𝑎 ∗𝑘2 (𝑥) = ∑ 𝑎𝑘1,𝑘2 sin
𝑘1 =1
2

𝑙

trong đó 𝑎𝑘1,𝑘2 = ∫0 𝑎() sin
𝑙

𝑘1 𝜋
𝑙

𝑘2 𝜋𝑥
𝑙

(1.20)

𝑑

∞
Thay vào f(x,y) ta có :𝑓(𝑥, 𝑦) = ∑∞
𝑘2 =1 ∑𝑘1 =1 𝑎𝑘1 ,𝑘2 sin

𝑘1 𝜋𝑥
𝑙

sin

𝑘2 𝜋𝑦
𝑚

Thay (1.19) vào (1.20) ta có
𝑙 𝑚

𝑎𝑘1,𝑘2

4
𝑘2 𝜋
𝑘1 𝜋
=
∫ ∫ 𝑓(, ) sin
sin
𝑑 𝑑
𝑙𝑚
𝑚
𝑙

(1.21)

0 0

Mặt khác nếu vi phân(1.18) theo t và sau đó đặt t=0, ta có
∞
𝐹(𝑥, 𝑦) = ∑∞
𝑘2 =1 ∑𝑘1 =1 𝜔𝑘1 ,𝑘2 𝑏𝑘1 ,𝑘2 sin

𝑘1 𝜋𝑥
𝑙

sin

𝑘2 𝜋𝑦
𝑚

với {

0<𝑥<𝑙
0<𝑦<𝑚

Từ đó giống như công thức (1.21), ta có công thức sau cho 𝑏𝑘1,𝑘2

11


𝑏𝑘1,𝑘2
𝑙 𝑚

4
𝑘2 𝜋
𝑘1 𝜋
=
∫ ∫ 𝐹(, ) sin
sin
𝑑𝑑
𝜔𝑘1,𝑘2 𝑙𝑚
𝑚
𝑙
1

(1.22)

0 0

Do đó bài toán về dao động tự do của màng đã giải xong, nghiệm có dạng
(1.18), các hệ số 𝑎𝑘1,𝑘2 và 𝑏𝑘1 ,𝑘2 được tính theo các công thức (1.21) (1.22),
Còn 𝜔𝑘1,𝑘2 được tính theo công thức (1.15)
Bài toán về dao động cưỡng bức của màng chữ nhật được giải bằng
phương pháp tách biến tương tự như bài toán dao động cưỡng bức của dây hữu
hạn. Nghiệm của phương trình
𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑎2 (𝑢′′ 𝑥𝑥 + 𝑢′′ 𝑦𝑦 ) = −𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡)

(1.23)

với điều kiện ban đầu (1.6) và điều kiện biên (1.8) được viết dưới dạng
∞

∞

𝑢 = ∑ ∑ 𝑇𝑘1 ,𝑘2 (𝑡)sin
𝑘2 =1 𝑘1 =1

𝑘1 𝜋𝑥
𝑘2 𝜋𝑥
sin
𝑙
𝑙

(1.24)

vế phải –g(x,y,t) được khai triển thành chuỗi hai lớp theo sin

∞

∞

−𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡) = ∑ ∑ 𝑘

1 ,𝑘2

(𝑡)sin

𝑘2 =1 𝑘1 =1

𝑘1 𝜋𝑥
𝑘2 𝜋𝑦
sin
,
𝑙
𝑚

(1.25)

và đối với hàm 𝑇𝑘1,𝑘2 (𝑡) ta rút ra được phương trình vi phân thông thường từ
phương trình(1.23) và khai triển (1.25)
𝑇′′𝑘1,𝑘2 + 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑇𝑘1 ,𝑘2 = 𝑘

1 ,𝑘2

(𝑡)

với điều kiện ban đầu

𝑇𝑘1,𝑘2 (0) = 𝑎𝑘1 ,𝑘2 , 𝑇′𝑘1,𝑘2 (0) = 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑏𝑘1 ,𝑘2 ,
trong đó 𝑎𝑘1 ,𝑘2 và 𝑏𝑘1,𝑘2 được xác định bằng các công thức (1.21) và (1.22).
Nghiệm của bài toán dao động cưỡng bức của màng sẽ xác định được nhờ thay
thế 𝑇𝑘1,𝑘2 (𝑡) vào công thức (1.24)

12


1.2.2. Các đường nút trên màng chữ nhật
Để đơn giản ta xét trường hợp màng hình vuông. Khi đó ta có m=l . Tần
𝜋

số dao động của sóng đứng là: 𝜔𝑘1,𝑘2 = 𝑎√𝑘12 + 𝑘22
𝑙

giá trị của 𝜔𝑘1,𝑘2 Không thay đổi, với các k1,k2 thỏa mãn phương trình
𝑘12 + 𝑘22 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Chẳng hạn với 𝜔1,1 ta luôn có một sóng đứng kể cả đối với màng chữ
nhật. Ứng với 𝜔5,5 = 𝜔1,7 = 𝜔7,1 (52+ 52 = 12+72 = 72 +12), ta có ba sóng đứng
có cùng tần số. Như vậy, sẽ có một vài hàm riêng tương ứng với cùng một giá
trị riêng ( bội của các giá trị riêng). Trong dao động của sợi dây, không có hiện
tượng này.
Ta xét trường hợp dao động của màng vuông có tần số
𝜔1,2 = 𝜔2,1=𝜋√5𝑎 dao động tổng hợp có dạng
2

𝜋
𝜋
𝜋𝑥
2𝜋𝑦

𝑢1,2 + 𝑢2,1 = (𝑎1,2 cos √5𝑎𝑡 + 𝑏1,2 sin √5𝑎𝑡) sin sin
𝑙
𝑙
𝑙
𝑙
𝜋
𝜋
2𝜋𝑥
𝜋𝑦
+ (𝑎2,1 cos √5𝑎𝑡 + 𝑏2,1 sin √5𝑎𝑡) sin
sin
.
𝑙
𝑙
𝑙
𝑙
Ta tìm các đường nút trong dao động này nghĩa là các điểm đứng yên
với mọi 𝑡 ≥ 0 ( u1, 2  u 2,1  0 ). Các điểm x,y đó phải thỏa mãn đẳng thức
sin
sin

𝜋𝑥

sin

𝑙
2𝜋𝑥
𝑙

2𝜋𝑦

sin

𝑙
𝜋𝑦

=−

𝑙

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝑎2,1 cos √5𝑎𝑡 + 𝑏2,1 sin √5𝑎𝑡
𝑙
𝑙
𝑎1,2 cos √5𝑎𝑡 + 𝑏1,2 sin √5𝑎𝑡
𝑙
𝑙

.

Từ đó ta rút ra
sin
sin

𝜋𝑥

sin

𝑙
2𝜋𝑥
𝑙

2𝜋𝑦

sin

𝑙
𝜋𝑦

=

𝑙

𝑝
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑞

Vì vế trái chỉ phụ thuộc tọa độ còn vế phải chỉ phụ thuộc thời gian, mặt
khác vì ở các điểm trong màng 0đẳng thức trên có thể viết
13

𝜋𝑦

𝑙

≠ 0 và sin

𝜋𝑥
𝑙

≠ 0 nên


sin

𝜋𝑥
𝑙

2sin

2 sin

𝜋𝑥
𝑙

cos

𝜋𝑦
𝑙
𝜋𝑥
𝑙

cos

sin

𝜋𝑦
𝑙
𝜋𝑦

=

𝑙

cos
cos

từ đó ta có phương trình của đường nút: 𝑞 cos

𝜋𝑦
𝑙
𝜋𝑥
𝑙

𝜋𝑦

𝑝
= .
𝑞

= 𝑝 cos

𝑙

𝜋𝑥
𝑙

Đó là dạng đơn giản nhất của các đường nút tương ứng với họa âm thấp
nhất.
Ta xét các trường hợp cụ thể:
a). 𝑝 = 𝑞 ≠ 0 thì cos

𝜋𝑦
𝑙

= cos

𝜋𝑥
𝑙

, ta rút ra

y=x : ta có đường nút là đường chéo của màng (h1.5)
b).

𝑝

> 1 thì đường nút nằm trong một dải song song với trục y, trong đó bởi

𝑞

vì|cos

𝜋𝑥

𝑙

𝑞

𝑙

𝑞

𝑝

2

𝑝

| ≤ , nghĩa là trong dải |𝑥 − | ≤ 𝑎𝑟𝑐 sin

(h5b)

𝑙

c).q=0 thì 𝑥 = (h5c)
2

p
q

𝑙
𝑝
d).  1 , đường nút nằm trong dải |𝑥 − | ≤ 𝑎𝑟𝑐 sin | | (h1.5d)
2

𝑞

e).𝑝 ≠ −𝑞 ≠ 0 thì y= l-x, đường nút là đường chéo thứ hai của màng (h1.5e)
f).−1 <

𝑝
𝑞

< 0, thay y cho x ta dẫn đến trường hợp d) (h1.5f)

g).p=0 thì 𝑦 =
h).0 <

𝑝
𝑞

𝑙

(h5g)

2

< 1 thay y cho x ta dẫn đến trường hợp b) (h1.5h)

y

l

l

0

a

x

l

b

x

l

0

y

l

c

0

x

e

l

x

l

l

0

0
x

f

l

Hình 1.5
14

d
y

y

l
0

l

l

0

y

y

y

y

l

x

l

x

l
0
g

l

x

h


𝑙

Tất cả các đường nút đều đi qua tâm của màng 𝑥 = 𝑦 = hình 1.5 biểu
2

diễn tất cả các đường nút đó.
Đối với các tần số riêng cao hơn 𝜔𝑘1 ,𝑘2 ( k1  2, k2  2) các đường nút có
dạng phức tạp hơn.
1.3. PHƯƠNG TRÌNH BETSEN
Xét dao động của một màng tròn. Giả sử màng chiếm một hình trong D
bán kính q trên mặt phẳng xy có tâm ở gốc tọa độ. Nếu ta dùng tọa độ cực thì
phương trình của đường tròn biên của màng sẽ là r=q (h1.6) độ lệch của một
điểm của màng u là r,  và t: u=u( r,  ,t)

y
r

Điều kiện biên bây giờ có dạng
𝑢|𝑟=𝑞 = 0

(1.26)

0

Trong tọa độ cực, toán tử laplaxo hai chiều có dạng
2

∆𝑢 ≡ 𝑢′′𝑥𝑥 + 𝑢′′𝑦𝑦 =

𝜑
q

x

Hình 1.6

1𝜕
𝜕𝑢
1 𝜕 𝑢
(𝑟 ) + 2 ( 2 )
𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜑

(có thể suy ra từ toán tử laplaxo trong tọa độ trụ với 𝑢′′𝑧𝑧 = 0)
Do đó có phương trình dao động tự do của màng trong hệ tọa độ cực có
dạng
1𝜕
𝜕𝑢
1 𝜕2𝑢
𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑎 [
(𝑟 ) + 2 ( 2 )] = 0
𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜑
2

ℎ𝑎𝑦

1
1
𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑎2 [ (𝑟𝑢′ 𝑟 )′𝑟 + 2 𝑢′′ 𝜑𝜑 ] = 0
𝑟

𝑟

(1.27)

Các điều kiện ban đầu trong hệ tọa độ cực có dạng
𝑢|𝑡=0 = 𝑓(𝑟, 𝜑) ; 𝑢′𝑡 |𝑡=0 = 𝐹(𝑟, 𝜑)

(1.28)

Dùng phương pháp tách biến, ta có thể viết nghiệm của phương trình
(1.27) biểu diễn sóng đứng trên màng tròn dưới dạng
𝑢 = 𝑅(𝑟)𝛷(𝜑)𝑇(𝑡)
15


Thay vào phương trình (1.27) ta được
1
1
𝑅𝑇 ′′ − 𝑎2 [ (𝑟𝑅′ )′ 𝑇 + 2 𝑅′′ 𝑇] = 0
𝑟
𝑟
1

(𝑟𝑅′ )′ 1 ′′
𝑇′′
2 𝑟
−𝑎 [
+ 2
]=0
𝑇

𝑅
𝑟 

hay

𝑇′′

Từ phương trình này, ta có thể đặt:
1
𝑟

và

(𝑟𝑅′ )′
𝑅

+

𝑇

= −𝑣 2 𝑎2

1 ′′
= −𝑣 2
2
𝑟 

(1.29)
(1.30)

trong đó v là hằng số
Phương trình ( 1.30) có thể viết dưới dạng
1

(𝑟𝑅′)′
′′
2 𝑟
= −𝑟 [
+ 𝑣2]

𝑅

′′
=𝑐


từ đó rút ra
1
2 𝑟

và

−𝑟 [

(𝑟𝑅′ )′
𝑅

(1.31)

+ 𝑣2] = 𝑐

(1.32)

trong đó c là hằng số, có giá trị phụ thuộc vào sự tuần hoàn của hàm :
Φ(𝜑 + 2𝜋) = 𝛷(𝜑). Thực vậy, từ phương trình (1.31) ta tìm được
(𝜑)=𝐷1 cos 𝑘𝜑 + 𝐷2 sin 𝑘𝜑
trong đó D1 và D2 là các hằng số bất kỳ và k2 = -c
Vì thế đối với hàm R(r) ta có phương trình
1

2 𝑟

-r [
Hay

(𝑟𝑅′)′
𝑅

+ 𝑣 2 ] = −𝑘 2

1 ′
𝑘2
2
𝑅 + 𝑅 + (𝑣 − 2 ) 𝑅 = 0
𝑟
𝑟
′′

Bây giờ ta đưa vào biến số mới x=vr và đặt
16

(1.33)


𝑥

R(r)=R( ) = 𝑦
𝑣

(1.34)

Ta có:
𝑅′ =

𝑑𝑅 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
=
=𝑣
𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑟
𝑑𝑥

𝑑𝑅′
𝑑 𝑑𝑦
𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥
𝑑2𝑦
2
𝑅 =
=𝑣 ( )=𝑣 2
=𝑣

𝑑𝑟
𝑑𝑟 𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑟
𝑑𝑥 2
′′

Do đó ta nhận được phương trình vi phân sau đối với hàm y(x)
𝑑 2 𝑦 𝑣 𝑑𝑦
𝑣2𝑘2
2
𝑣
+ 𝑣
+ (𝑣 − 2 ) 𝑦 = 0
𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥
𝑥
2

hay
𝑑 2 𝑦 1 𝑑𝑦
𝑘2
+
+ (1 − 2 ) 𝑦 = 0
𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥
𝑥

(1.35)

Phương trình (1.35) được gọi là phương trình betsen. Nó là một phương
trình vi phân thông thường hạng hai có hệ số thay đổi. Nghiệm của nó được gọi
là hàm betsen. Vì nó đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các quá trình vật

lý xảy ra trong miền hình trụ, vì vậy nó còn có tên gọi là hàm trụ.
1.4 HÀM BETSEN
Ta hãy khai triển các nghiệm riêng của phương trình (1.35) thành chuỗi
lũy thừa
∞

𝑦 = ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛

(1.36)

𝑛=0

Để tìm các hệ số của chuỗi, ta lấy các đạo hàm
∞

𝑑𝑦
= ∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑥 𝑛−1
𝑑𝑥
𝑛=1

∞

và

𝑑2𝑦
= ∑ 𝑛(𝑛 − 1) 𝑐𝑛 𝑥 𝑛−2
𝑑𝑥 2
𝑛=2

Thay vào phương trình (1.35) sau khi nhân với x2, ta có

∞

∞

∞

∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑐𝑛 𝑥 𝑛 + ∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑥 𝑛 + (𝑥 2 − 𝑘 2 ) ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 = 0
𝑛=2

𝑛=1

𝑛=0

17

(1.37)


đối với mọi x. Vậy tất cả các hệ số đứng trước mỗi lũy thừa của x bằng không.
Bây giờ ta viết lại chi tiết từng số hạng ở vế trái của (1.37)
∞

∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑐𝑛 𝑥 𝑛 = 2.1. 𝑐2 𝑥 2 + 3.2. 𝑐3 𝑥 3 + ⋯ + 𝑛(𝑛 − 1)𝑐𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯
𝑛=2
∞

∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑥 𝑛 = 1. 𝑐1 𝑥 + 2. 𝑐2 𝑥 2 + 3. 𝑐3 𝑥 3 + ⋯ + 𝑛𝑐𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯
𝑛=1
∞

(𝑥 2 − 𝑘 2 ) ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 = (𝑥 2 − 𝑘 2 )(𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ )
𝑛=0

= −𝑘 2 𝑐0 − 𝑘 2 𝑐1 𝑥 + (𝑐0 − 𝑘 2 𝑐2 )𝑥 2 + ⋯
Vậy thay vào (1.37) ta có
−𝑘 2 𝑐0 + (1 − 𝑘 2 )𝑐1 𝑥 + [𝑐0 + (4 − 𝑘 2 )𝑐2 ]𝑥 2 + [𝑐1 + (9 − 𝑘 2 )𝑐3 ]𝑥 3 + ⋯
+ [𝑐𝑛−2 + (𝑛2 − 𝑘 2 )𝑐𝑛 ]𝑥 𝑛 + ⋯
Từ đó ta rút ra
−𝑘 2 𝑐0 = 0;

(1 − 𝑘 2 )𝑐1 = 0; 𝑐𝑛−2 + (𝑛2 − 𝑘 2 )𝑐𝑛 = 0

(1.38)

n=2,3,…..
ở đây k là một số nguyên không âm
Nếu k=0 thì c0 là một số bất kỳ còn c1=0 và
𝑐𝑛−2 + 𝑛2 𝑐𝑛 = 0 ; 𝑛 = 1,2,3 …
cụ thể là : 𝑐2 = −

𝑐0

; 𝑐3 = 0 ; 𝑐4 = −

22

𝑐2
42

=

𝑐0
2
2 .4 2

Tổng quát
𝑐2𝑚 = (−1)𝑚

𝑐0
𝑐0
𝑚
=
(−1)
22 42 … (2𝑚)2
22𝑚 (𝑚!)2

𝑐2𝑚+1 = 0

(𝑚 = 0,1,2 … . )

Vì thế ta có nghiệm của phương trình betsen với k=0
∞

𝑥 2𝑚
𝑦 = 𝑐0 ∑ (−1) 2𝑚
= 𝑐0 𝐽0 (𝑥)
2 (𝑚!)2
𝑚

𝑚=0

18

(1.39)


trong đó:
∞

∞

𝑚=0

𝑚=0

𝑥

( )2𝑚
𝑥 2𝑚
𝑚
𝑚
𝐽0 (𝑥) = ∑ (−1) 2𝑚
= ∑ (−1) 2 2
2
2 (𝑚!)
(𝑚!)
được gọi là hàm betsen loại một hạng không
Nếu k=1 thì từ (1.38) ta rút ra c0=0, c1 là tùy ý và
𝑐𝑛−2 + (𝑛2 − 1)𝑐𝑛 = 0

; 𝑛 = 2,3 ….

cụ thể là
𝑐2 = 0 ; 𝑐3 = −

𝑐1
𝑐3
𝑐1
; 𝑐4 = 0 ; 𝑐5 = −
=
2.4
4.6 (2.4)(4.6)

Tổng quát c2m=0
𝑐1
(2.4)(4.6) … [2𝑚(2𝑚 + 2)]
𝑐1
(𝑚 = 1,2,3 … . )
= (−1)𝑚 𝑚
2 𝑚! (𝑚 + 1)!

𝑐2𝑚+1 = (−1)𝑚

Nên ta có nghiệm của phương trình betsen với k=1
∞

𝑥 2𝑚+1
𝑦 = 𝑐1 ∑ (−1) 2𝑚
= 2𝑐1 𝐽1 (𝑥)
2 𝑚! (𝑚 + 1)!

𝑚

(1.40)

𝑚=0

trong đó
∞

∞

𝑚=0

𝑚=0

𝑥

( )2𝑚
𝑥 2𝑚+1
2
𝑚
𝑚
𝐽1 (𝑥) = ∑ (−1) 2𝑚
= ∑ (−1)
2 𝑚! (𝑚 + 1)!
𝑚! (𝑚 + 1)!
được gọi là hàm betsen loại một hạng một
Nếu k=2,3,4….thì từ hệ thức (1.38) ta rút ra c0=0 , c1=0 , …,ck-1=0,ck là
tùy ý, ck+1=0
𝑐𝑘

𝑐𝑘
=
−
, 𝑐𝑘+3 = 0
(𝑘 + 2)2 − 𝑘 2
2(2𝑘 + 2)
𝑐𝑘+2
𝑐𝑘
=−
=
(𝑘 + 4)2 − 𝑘 2 [2(2𝑘 + 2)][4(2𝑘 + 4)]

𝑐𝑘+2 = −
𝑐𝑘+4
Tổng quát

19


𝑐𝑘
[2(2𝑘 + 2)][4(2𝑘 + 4)] … [2𝑚(2𝑘 + 2𝑚)]
𝑐𝑘
= (−1)𝑚 2𝑚
2 𝑚! (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) … (𝑘 + 𝑚)

𝑐𝑘+2𝑚 = (−1)𝑚

= (−1)𝑚

𝑘! 𝑐𝑘

22𝑚 𝑚! (𝑘 + 𝑚)!

m=0,1,2…..
Vì thế ta có nghiệm của phương trình betsen khi k=2,3,…
∞

𝑥 2𝑚+𝑘
𝑦 = 𝑘! 𝑐𝑘 ∑ (−1) 2𝑚
= 2𝑘 𝑘! 𝑐𝑘 𝐽𝑘 (𝑥)
2 𝑚! (𝑚 + 𝑘)!
𝑚

𝑚=0

trong đó
∞

∞

𝑚=0

𝑚=0

𝑥

( )2𝑚+𝑘
𝑥 2𝑚+𝑘
2
𝑚
𝑚

𝐽𝑘 (𝑥) = ∑ (−1) 2𝑚+𝑘
= ∑ (−1)
(1.41)
2
𝑚! (𝑚 + 𝑘)!
𝑚! (𝑚 + 𝑘)!
được gọi là hàm betsen loại một hạng k
Nếu k=0,1 ta lại có các biểu thức (1.39) (1.40). Vậy (1.41) xác định hàm
betsen loại 1 tất cả các hạng k=0,1,2…Ta dễ dàng thấy rằng chuỗi (1.41) là hội
tụ thỏa mãn phương trình betsen(1.35)
Biểu thức (1.41) của hàm betsen loại 1 hạng k có thể biểu diễn qua hàm
gamma 𝛤(𝑡)
∞

Γ(t)=∫0 𝑥 𝑡−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
Khi đó hệ thức (1.41) đúng với cả k không nguyên
Còn với t nguyên
Γ(t)=(t-1)! , Γ(1)=1
𝑥

∞

𝐽𝑘 (𝑥) = ∑ (−1)𝑚
𝑚=0

( )2𝑚+𝑘
2

𝛤(𝑚 + 1)𝛤(𝑚 + 𝑘 + 1)

Đối với những giá trị x lớn, hàm 𝐽𝑘 (𝑥) gần với

20

(1.42)


√

2
𝑘𝜋 𝜋
cos (𝑥 −
− )
𝜋𝑥
2
4

hay chính xác hơn
2
𝑘𝜋 𝜋
𝐽𝑘 (𝑥) = √ cos (𝑥 −
− ) [1 + 𝜀1 (𝑥)]
𝜋𝑥
2
4

(1.43)

trong đó 𝜀1 (𝑥) → 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → ∞
Từ công thức (1.43) ta rút ra là Jk(x) có một tập hợp vô số các nghiệm

𝑛(𝑘) , n=1,2,3…trên nửa trục dương x:

𝐽𝑘 ((𝑘)
)=0
𝑛

Có thể chứng minh được là các nghiệm này là đơn giản, nghĩa là
𝐽′𝑘 ((𝑘)
) ≠ 0 và nếu đánh số chúng theo thứ tự tăng lên: 1 < 2 < ⋯ . <
𝑛
(𝑘)

(𝑘)

𝑛(𝑘) < ⋯thì đối với các số n lớn
𝑘𝜋 𝜋
− )
2
4

cos (𝑛 −
(𝑘)

gần bằng không, nghĩa là 𝑛 −
(𝑘)

𝑘𝜋
2

𝜋

−

khác ít với nghiệm dương thứ n theo

4

𝜋

thứ tự tăng lên của cosin: 𝑛𝜋 − . Vì thế đối với các số n lớn 𝑛 gần bằng
(𝑘)

2

𝑛𝜋 +

𝑘𝜋 𝜋
−
2
4

hay chính xác hơn
lim {𝑛 − (𝑛𝜋 +
(𝑘)

𝑛→0

𝑘𝜋 𝜋
− )} = 0

2
4

Hình 1.7 cho ta đồ thị hàm J0(x)

y
y=J0(x)
1

(0)

2

(0)

5,5

2,4
21

Hình 1.7

3(0)
8,7