Một số bài toán về chéo hóa ma trận trong vật lí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
*************

PHẠM THỊ HÀ

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHÉO HÓA MA TRẬN
TRONG VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI - 2017


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Huy Thảo, ngƣời
đã tận tình hƣớng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập cũng nhƣ nghiên
cứu đề tài khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ bộ môn Vật lý lý thuyết và
Ban chủ nhiệm khoa Vật lý trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và
giúp đỡ em hoàn thành đề tài khóa luận này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất.
Song do buổi đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng nhƣ hạn chế về
kiến thức và kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bản
thân chƣa thấy đƣợc. Em rất mong nhận đƣợc sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các
bạn đọc để khóa luận đƣợc hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017.
Sinh viên

Phạm Thị Hà


LỜI CAM ĐOAN
Đƣợc sự hƣớng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Huy Thảo và sự nỗ lực của bản
thân, em đã hoàn thành khóa luận này. Em xin cam đoan đây là công trình của riêng
em, không trùng lặp với bất kì kết quả của tác giả nào công bố trƣớc đây. Nếu sai
em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017.
Sinh viên

Phạm Thị Hà


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1
5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ MA TRẬN VÀ CHÉO HÓA MA
TRẬN ................................................................................................................ 3
1.1. Lý thuyết ma trận ....................................................................................... 3
1.1.1. Ma Trận ................................................................................................... 3

1.1.2. Định nghĩa .............................................................................................. 3
1.1.3. Cộng hai ma trận ..................................................................................... 4
1.1.4. Tích của hai ma trận ................................................................................ 4
1.1.5. Ma trận khả nghịch................................................................................. 4
1.1.6. Ma trận chuyển ....................................................................................... 4
1.1.7. Ma trận đồng dạng .................................................................................. 5
1.1.8. Ma trận chuyển vị................................................................................... 5
1.1.9. Ma trận chéo ............................................................................................ 5
1.1.10. Ma trận đơn vị ....................................................................................... 6
1.1.11. Ma trận tam giác.................................................................................... 6
1.1.12. Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch .................................................. 7
1.1.13. Ma trận Hermitian ................................................................................ 7
1.1.14. Ma trận trực giao .................................................................................. 8
1.2. Phƣơng pháp chéo hóa ma trận .................................................................. 8


1.2.1. Vấn đề chéo hóa ma trận ......................................................................... 9
1.2.1.1. Đặt bài toán .......................................................................................... 9
1.2.1.2. Cách giải............................................................................................... 9
1.2.1.3. Ma trận chéo hóa đƣợc ....................................................................... 10
1.2.1.4. Giải bài toán chéo hóa ma trận........................................................... 10
1.2.1.5. Quy trình chéo hóa một ma trận......................................................... 12
1.2.1.6. Chéo hóa ma trận có n trị riêng khác nhau ........................................ 13
1.2.1.7. Thuật toán chéo hóa ma trận .............................................................. 14
1.2.2. Vấn đề chéo hóa trực giao ..................................................................... 14
1.2.2.1. Cơ sở trực chuẩn ................................................................................ 15
1.2.2.2. Phƣơng pháp trực giao trực chuẩn hóa Schmidt ................................ 15
1.2.2.3. Phƣơng pháp chéo hóa trực giao ........................................................ 16
1.2.2.4. Chéo hóa trực giao các ma trận đối xứng ......................................... 17
1.2.2.5. Quy trình chéo hóa trực giao các ma trận đối xứng .......................... 18

1.3. Chéo hóa ma trận khối ............................................................................. 20
1.3.1. Khái niệm và các phép toán .................................................................. 20
1.3.2. Một số kết quả cơ bản .......................................................................... 21
1.3.3. Ma trận nghịch đảo của ma trận khối................................................... 22
1.3.4. Các dạng chéo hóa của ma trận khối ................................................... 22
CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN ...................... 33
2.1. Một số bài toán về chéo hóa ma trận và ma trận đối xứng ...................... 33
2.1.1. Bài toán chéo hóa ma trận ..................................................................... 33
2.1.2. Bài toán chéo hóa ma trận đối xứng ..................................................... 38
2.2. Một số bài toán về chéo hóa ma trận khối ............................................... 43
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 51


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chéo hóa ma trận là một trong những kĩ thuật cơ bản về việc giải quyết các bài
toán vật lý. Phƣơng pháp này có thể đƣợc thực hiện bằng cách biến đổi trực tiếp
hoặc sử dụng máy tính để giải. Chéo hóa giúp cho việc bắt đầu giải các bài toán và
giải thích các hiện tƣợng vật lý một cách dễ hiểu, đơn giản hơn.
Phƣơng pháp chéo hóa ma trận đƣợc khám phá vào năm 1926 bởi Augustin
Luois Cauchy. Chéo hóa ma trận là một vấn đề lý thú và quan trọng của vật lý, đƣợc
ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực chuyên ngành khác nhau của vật lý cũng nhƣ
toán học hiện đại. Trong toán học thì không đi tìm hiểu sâu về ma trận đối xứng và
ma trận khối nhƣ trong vật lý. Hai phƣơng pháp chéo hóa này đều đƣợc ứng dụng
nhiều để giải các bài toán vật lý trong các môn cơ học, điện học, cơ lƣợng tử…
Thông qua chéo hóa ma trận mà việc giải quyết các bài toán trở nên đơn giản hơn.
Với mong muốn tìm tòi, mở rộng hiểu biết của bản thân về chéo hóa ma trận
đƣợc áp dụng trong vật lý nhƣ thế nào và cũng là bƣớc đầu giúp cho việc giải các
bài toán vật lý một cách đơn giản hơn, em lựa chọn đề tài: “Một số bài toán về chéo

hóa ma trận trong vật lý” làm đề tài tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Bƣớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tƣ duy logic
đặc thù cho bộ môn. Tìm hiểu những kiến thức về chéo hóa ma trận.
Mục tiêu chính của đề tài mà em chọn là một số bài toán về chéo hóa ma trận
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu: ma trận
Phạm vi nghiên cứu: chéo hóa ma trận và tập trung chủ yếu đƣa ra một số bài
toán về chéo hóa ma trận trong vật lý.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số kiến thức cơ sở lí thuyết liên quan đến vấn đề chéo hóa
ma trận

1


Nghiên cứu phƣơng pháp chéo hóa và một số bài toán chéo hóa ma trận trong
vật lý
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc, tra cứu tài liệu
Phƣơng pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, phần phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của
khóa luận bao gồm 2 chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lý thyết về ma trận và chéo hóa ma trận
1.1. Lý thuyết ma trận
1.2. Phƣơng pháp chéo hóa ma trận
1.3. Chéo hóa ma trận khối
Chƣơng 2. Một số bài toán chéo hóa ma trận
2.1. Một số bài toán về chéo hóa ma trận vuông và ma trận đối xứng

2.2. Một số bài toán về chéo hóa ma trận khối

2


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ MA TRẬN VÀ CHÉO HÓA
MA TRẬN
1.1. Lý thuyết ma trận
1.1.1. Ma Trận
Định nghĩa:
Cho K là một trƣờng tùy ý. Một bảng gồm mxn phần tử aij
(1

) có dạng:
(

,

đƣợc gọi là một ma trận kiểu (m,n). Mỗi aij đƣợc gọi là thành phần của ma
trận. Kí hiệu là: A= (aij)m x n. Ta cũng nói ma trận A có m dòng, n cột.
Vectơ dòng (hay hàng) (ai1 ai2 …ain) đƣợc gọi là dòng (hay hàng) thứ i của ma
trận A.
Vectơ cột (

, đƣợc gọi là cột thứ j của ma trận A.

Khi m = n thì ma trận (aij )m x n đƣợc gọi là ma trận vuông cấp n.
Kí hiệu: A= (aij ) m x n
Tập hợp tất cả các ma trận kiểu (m,n) với các phần tử thuộc trƣờng K đƣợc kí

hiệu là Mat( m x n, K).
1.1.2. Định nghĩa
Cho A= (aij )

m x n,

B= (bij )

mxn

là hai ma trận cùng thuộc Mat(m x n, K) và

.
Ta gọi là tổng của hai ma trận A và B một ma trận C= (cij ) m x n xác định bởi:
cij = aij + bij, i= ̅̅̅̅̅, j

̅̅̅̅̅ và kí hiệu D= λ.A

Nhƣ vậy: A+B= (aij + bij )m x n , λ.A= (λ. aij )m x n.

3


1.1.3. Cộng hai ma trận
a. Định nghĩa
Cho hai ma trận cùng cỡ mxn:
A = [aij]m x n , B = [bij]m x n
Tổng A + B là ma trận cỡ mxn xác định bởi A + B = [aij + bij]m x n
Tức là ( A + B)ij = aij + bij nhƣ vậy muốn cộng hai ma trận cùng cỡ ta cộng các
phần tử cùng vị trí.

Ví dụ: *

+

*

+

*

+

b. Tính chất:
A+B=B+A
A+ 0 = 0 + A = A
Nếu gọi –A = [aij]m x n thì còn có A + (-A) = (-A) + A = 0
Nếu có thêm ma trận C với C = [cij]m x n thì (A + B) + C = A + (B + C)
1.1.4. Tích của hai ma trận
Cho ma trận A = (aij)

và B = (bij)

tích của ma trận A với ma trận B một ma trận C = (cij)
đƣợc xác định bởi: cik = ∑

. Ta gọi là
mà phần tử

, i = 1,…,m; k = 1,…,p và kí hiệu là C = A.B

1.1.5. Ma trận khả nghịch
Định nghĩa:
Ta gọi ma trận vuông A

là ma trận khả nghịch (hay là ma

trận vuông không suy biến), nếu có ma trận vuông B

Mat( n x n, K) sao cho

A.B = B.A = En
Khi đó B gọi là ma trận nghịch đảo của A và kí hiệu B= A-1. Nếu A là ma trận
khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của nó là duy nhất.
1.1.6. Ma trận chuyển
Định nghĩa:
Cho (e)= { ⃗ ⃗

⃗ } và (

{⃗ ⃗

⃗ } là 2 cơ sở của không gian

vectơ n chiều V. Ta gọi ma trận vuông cấp n: C= (aij) trong đó cij đƣợc xác định bởi:

4


⃗⃗⃗= ∑
Gọi (

⃗⃗⃗, j= 1,.., n là ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sở (
+

(

sở (e) và cơ sở (

+ lần lƣợt là các tọa độ của vectơ ⃗⃗⃗⃗

lần lƣợt đối với cơ

thì ta có công thức đổi tọa độ từ cơ sở (e) sang cơ sở (

viết

dƣới dạng ma trận là:
(

+

(

+

1.1.7. Ma trận đồng dạng
Định ngĩa:
Ta nói A, B là 2 ma trận đồng dạng

Cho hai ma trận A và B

nếu tồn tại một ma trận C

là ma trận khả nghịch sao cho:

B= C-1. A.C
Kí hiệu: A
1.1.8. Ma trận chuyển vị
Ta gọi ma trận At là ma trận chuyển vị của ma trận A nếu các dòng của ma
trận A là các cột của ma trận At. Tức là:
A=(

+

(

+

Ta có: ( At)t= A
(A+B)t = At + Bt
(A.B)t = Bt. At
Ví dụ:
A= (

+

(

+

1.1.9. Ma trận chéo

Đƣờng chéo chứa các phần tử a11, a22, a33, …, anm của ma trận vuông A = (aij)n
đƣợc gọi là đƣờng chéo chính của A, đƣờng chéo còn lại đƣợc gọi là đƣờng chéo
phụ.

5


Ma trận chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử không nằm trên đƣờng
chéo chính bằng 0 nghĩa là aij = 0,
(

,

Ví dụ: Ma trận A= (

+ là ma trận chéo

1.1.10. Ma trận đơn vị
Phần tử đơn vị của vành Mat (nxn, K) là ma trận
Ma trận In = (

,

Ta gọi In là ma trận đơn vị cấp n.
Trong đó các phần tử chéo bằng 1, các phần tử khác bằng 0 gọi là ma trận đơn
vị cấp n.
Đặc điểm của ma trận đơn vị I là: AI = IA = A,

.

Ví dụ:
(

) (

(

) (

+ là các ma trận đơn vị.
)= (

).(

)= (

)

1.1.11. Ma trận tam giác
Nếu mọi phần tử của A nằm bên dƣới đƣờng chéo chính bằng 0, thì A đƣợc
gọi là ma trận tam giác trên.
(

+

Nếu mọi phần tử của A nằm bên trên đƣờng chéo chính bằng 0, thì A đƣợc gọi
là ma trận tam giác dƣới.

6

(

+

1.1.12. Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch
Định nghĩa: Ma trận vuông A bằng với ma trận chuyển vị của nó, tức
là A = AT, là ma trận đối xứng. Nếu A là bằng với phần trừ của chuyển vị của nó,
i.e., A = −AT, thì A đƣợc gọi là ma trận đối xứng lệch (skew-symmetric matrix).
Đối với ma trận phức, ma trận đối xứng thƣờng đƣợc thay bằng khái niệm ma trận
Hermite, mà thỏa mãn A∗ = A, với dấu sao ký hiệu cho liên hợp của ma trận chuyển
vị, tức là lấy chuyển vị của A sau đó lấy liên hợp phức các phần tử của ma trận
chuyển vị.
1.1.13. Ma trận Hermitian
a. Định nghĩa
Trong toán học, ma trận Hermitian ( hoặc tự liên hợp ma trận) là một ma trận
vuông phức tạp tự liên hợp riêng của mình, tức là các phần tử ở cột thứ i và hàng
thứ j liên hợp phức tạp với các yếu tố của các phần tử ở cột thứ j và hàng thứ i, cho
tất cả các chỉ số i và j: aij =̅̅̅̅ hoặc A = ̅̅̅̅
Ma trận Hermitian có thể hiểu nhƣ phần mở rộng phức tạp của các ma trận đối
xứng.
Nếu liên hợp ma trận chuyển vị của ma trận A đƣợc kí hiệu AH thì thuộc tính
của ma trận Hermitian có thể đƣợc viết A = AH
b. Tính chất
- Các phần tử trên đƣờng chéo chính phải là số thực vì đƣợc tạo bởi liên hợp
phức tạp của nó.
- Nếu một ma trận là ma trận hermitian nếu và chỉ nếu nó là một ma trận đối
xứng, tức là, nếu nó là đối xứng đối với đƣờng chéo chính. Một ma trận thực và ma
trận đối xứng chỉ đơn giản là trƣờng hợp của ma trận Hermitian.
- Ma trận bậc n không tạo thành một không gian vectơ trên trƣờng số phức.

Tuy nhiên, ma trận Hermitian phức tạp tạo thành một không gian vectơ trên tập số
thực R. Trong không gian vectơ 2n2 chiều phức tạp của ma trận dạng n x n trên R,

7


ma trận Hermitian phức tạp tạo thành một không gian con kích thƣớc n2. Nếu Ejk là
ma trận bậc n bởi n ma trận với một trong j, k vị trí và số 0 ở nơi khác, một cơ sở có
thể đƣợc mô tả nhƣ sau: Ejj với
Ejk + Ekj với
Và ma trận: i( Ejk – Ekj) với
- Tổng của ma trận vuông và ma trận chuyển vị (C + CH là Hermitian
- Định thức của ma trận Hermitian
Det(A) = det (AT) => det(AH) = det(A)*
Nếu A= AH => det(A)= det(A)*
1.1.14. Ma trận trực giao
Định nghĩa:Ma trận trực giao là ma trận vuông với các phần tử thực sao cho
các cột và các hàng là những vectơ đơn vị trực giao(nghĩa là vectơ trực chuẩn).
Hay nói tƣơng đƣơng, ma trận A trực giao nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị của nó
bằng ma trận nghịch đảo của nó: AT = A-1, mà
ATA = AAT = I với I là ma trận đơn vị.
Ma trận trực giao A cần thiết phải khả nghịch (do định nghĩa A-1 = AT),
unita (A−1 = A*), và chuẩn tắc (A*A = AA*). Định thức của ma trận trực giao bất kỳ
luôn bằng +1 hoặc −1. Ma trận trực giao đặc biệt là ma trận có định thức bằng +1.
Đối với một biến đổi tuyến tính, mỗi ma trận trực giao đặc biệt thuần túy chính là
phép quay, trong khi mỗi ma trận trực giao có định thức bằng -1 thuần túy là phép
phản xạ hoặc là tổ hợp của phép phản xạ và phép quay. Sự tƣơng tự đối với ma trận
phức của ma trận trực giao là ma trận unita.
1.2. Phƣơng pháp chéo hóa ma trận
Chéo hóa ma trận A cho trƣớc là việc ta đi tìm một ma trận khả nghịch P (nếu

có) để P-1AP là một ma trận chéo. Làm thế nào để tìm ra ma trận P và ma trận P có
tính chất gì đặc biệt phụ thuộc vào kiểu của ma trận A mà nó làm chéo hóa.
Nếu A là ma trận bất kì, A không đối xứng thì P là ma trận có các vectơ cột là
các vectơ riêng của A.

8


Nếu A là ma trận đối xứng thì P là một ma trận trực giao, với các vectơ cột là
một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng của A.
Sau đây ta sẽ đi nghiên cứu hai dạng bài toán chéo hóa ma trận cơ bản sau:
1.2.1. Vấn đề chéo hóa ma trận
1.2.1.1. Đặt bài toán
Bài toán 1a. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, T: V

V là một

toán tử tuyến tính trong V. Ta đã biết rằng ma trận của T phụ thuộc cơ sở chọn
trong V. Ta mong muốn có một cơ sở sao cho ma trận của T có dạng đơn giản nhƣ
dạng chéo chẳng hạn. Hỏi có hay không một cơ sở trong V sao cho ma trận của T
đối với cơ sở đó là ma trận chéo?
Bài toán 2a. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều có tích vô hƣớng,
T:V

V là một toán tử tuyến tính trong V. Hỏi có hay không một cơ sở trực

giao trong V sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận chéo?
1.2.1.2. Cách giải
Giả sử A là ma trận của T đối với một cơ sở xác định nào đó trong V. Ta xét
một phép đổi cơ sở. Theo định lí của ma trận của ánh xạ tuyến tính thông qua phép

đổi cơ sở thì ma trận mới của T sẽ là P-1 AP trong đó P là ma trận đổi cơ sở.
Vậy bài toán 1a tƣơng đƣơng với bài toán: Hỏi có tồn tại một phép đổi cơ sở
để cho ma trận mới của T đối với cơ sở mới là ma trận chéo?
Nếu V là một không gian có tích vô hƣớng và những cơ sở là trực chuẩn thì P
sẽ là trực giao.
Vậy ta đã đƣa hai bài toán 1a và 2a về những bài toán dạng ma trận:
Bài toán 1b (dạng ma trận). Cho một ma trận vuông A. Hỏi có tồn tại hay
không một ma trận P khả đảo sao cho P-1 AP là ma trận chéo?
Bài toán 2b (dạng ma trận). Cho một ma trận vuông A. Hỏi có tồn tại hay
không một ma trận trực giao P sao cho P-1 AP là ma trận chéo? (ma trận vuông A
gọi là ma trận trực giao nếu AtA = I).

9


1.2.1.3. Ma trận chéo hóa được
a. Định nghĩa: Cho ma trận vuông A. Nếu tồn tại một ma trận khả đảo P sao
cho P-1 AP là ma trận chéo thì nói ma trận A chéo hóa được và nói ma trận P làm
chéo hóa ma trận A.
Nhƣ vậy A chéo hóa đƣợc nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo.
Ta phải trả lời đƣợc hai câu hỏi:
1) Ma trận có điều kiện gì thì chéo hóa đƣợc
2) Ma trận P làm chéo hóa ma trận ấy xác định nhƣ thế nào?
b. Định lý:
Ma trận A

(R) chéo hóa đƣợc khi và chỉ khi hai tính chất sau đƣợc thỏa

mãn:
1) Đa thức đặc trƣng

( )=(

2) Với mỗi trị riêng

(1

= số bội của λ1 trong

(

…(

không gian riêng V( ) có dim V( )= r1 (

(λ)).

Hơn nữa, khi đó gọi ℬi là cơ sở của V

) (1

) và đặt A là ma trận có

đƣợc bằng cách dựng lần lƣợt các vectơ trong ℬ1, ℬ2, …, ℬ k thành các cột, ta có P làm
chéo hóa A và
r1 dòng

r2 dòng

P-1 . A.P=

rk dòng

(

)

c. Hệ quả:
Nếu A là ma trận vuông cấp n và có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa đƣợc.
1.2.1.4. Giải bài toán chéo hóa ma trận
Định lí 1: Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để A chéo
hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Khi đó P là ma trận chuyển từ

10


cơ sở chính tắc {⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗} của Kn sang cơ sở gồm n vectơ riêng {⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗} của

A
Chứng minh: a) Giả sử A chéo hóa đƣợc, nghĩa là tồn tại một ma trận khả đảo
P:
[

Sao cho P-1 AP = D,

]

(

,

Ta suy ra AP = PD
Gọi p1, p2, … pn là các vectơ cột của P, ta thấy các cột liên tiếp của AP là Ap1,
Ap2, …, Apn. Đồng thời
PD= [

][

]=[

]

Vậy phƣơng trình AP = PD ở trên cho
Ap1 = λ1p1, Ap2 = λ2p2, …, Apn = λnpn
Vì p khả đảo nên những vectơ cột pi

, do đó λ1 λ2, …, λn là các trị riêng

của A và p1, p2, …, pn là các vectơ riêng tƣơng ứng.
Vì P khả đảo nên det(P)

0 và các vectơ p1, p2, ..., pn là độc lập tuyến tính.

Vậy khi A chéo hóa đƣợc thì nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.
Chứng minh: b) Giả sử A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính p1, p2, …, pn với
các trị riêng tƣơng ứng λ1, λ2,…, λn và giả sử

[

]

Là ma trận mà các cột là p1, p2,…, pn.
Các cột của tích AP là Ap1, Ap2,…, Apn.
Nhƣng Ap1 = λ1p1, Ap2 = λ2p2, …, Apn = λnpn,

11


Nên AP = [

]=[

][

] = PD,

Trong đó D là ma trận chéo có những trị riêng trên đƣờng chéo chính. Vì
những vectơ cột của P là độc lập tuyến tính, nên P khả đảo.
Vậy phƣơng trình AP = PD ở trên viết thành : P-1 AP = D
Vậy khi A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa đƣợc. Từ chứng
minh của định lí trên ta đi đến:
1.2.1.5. Quy trình chéo hóa một ma trận
Bước 1: Tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A:
p1, p2, ..., pn
Bước 2: Lập ma trận p có p1, p2, ..., pn là các cột.
Bước 3: Ma trận P-1AP sẽ là ma trận chéo với λ1, λ2,…, λn là các phần tử chéo
liên tiếp, trong đó λi là trị riêng ứng pi, i = 1,2,3, …, n.

Ví dụ 1: Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận
[

]

Giải: Phƣơng trình đặc trƣng của A là
[

]= -(λ-1)(λ-5)2 = 0

Nên các trị riêng của A là λ=1 và λ=5 (bội của 2). Đồng thời các vectơ trị
riêng

[

] và

[ ] tạo nên cơ sở cho không gian riêng ứng trị riêng λ=5,

còn

[ ] là cơ sở cho không gian riêng ứng trị riêng λ=1. Dễ kiểm tra để thấy

{

} độc lập tuyến tính, do đó
[

]

12


Làm chéo hóa A:
[

][

][

Ví dụ 2: Xét ma trận A = *

]

[

]

+

Giải: Phƣơng trình đặc trƣng của A là
Det(A – λI) = |
Vậy λ =

| = (λ + 1)2 = 0

1 là trị riêng duy nhất của A. Vectơ riêng ứng trị riêng λ =

1 là

nghiệm của (A + I)x = 0 nghĩa là
{
Những nghiệm của hệ này là x1 = t, x2 = t. Do đó không gian riêng gồm các
vectơ
*+

* +

Vì không gian này là một chiều, nên A không có hai vectơ riêng độc lập tuyến
tính, do đó không chéo hóa đƣợc.
1.2.1.6. Chéo hóa ma trận có n trị riêng khác nhau
Định lí 2: Nếu ma trận A cấp n có n trị riêng khác nhau thì A chéo hóa được.
Chứng minh: Dựa vào định lí 1, ta chỉ cần chứng minh rằng ma trận A có n
vectơ riêng độc lập tuyến tính. Giả sử các trị riêng và vectơ riêng tƣơng ứng của A
là λi và ui, i = 1, 2, 3, …, n. Đặt S = {

} và gọi r là hạng của S. Ta đánh

số lại các vectơ riêng và trị riêng nếu cần để có r vectơ riêng đầu độc lập tuyến tính.
Nếu r < n thì {

} là phụ thuộc tuyến tính:

Nhân hai vế với A và chú ý rằng Aui = λiui ta có

Ta suy ra:

13

Vì u1, u2, …, ur độc lập tuyến tính và vì λr+1 – λ1

λr+1 – λ2

, λr+1 – λr

nên c1 = 0, c2 = 0, …, cr = 0. Vậy ur+1 = , điều đó trái giả thiết ur+1 là vectơ
riêng. Do đó r không thể nhỏ hơn n, nghĩa là có r = n. Nói cách khác ma trận A có n
vectơ riêng độc lập tuyến tính.
1.2.1.7. Thuật toán chéo hóa ma trận
Cho A

(R). Thuật toán khảo sát tính chéo hóa đƣợc của A và xác định

ma trận P là chéo hóa A cũng nhƣ dạng chéo của A ( trƣờng hợp A chéo hóa đƣợc)
gồm các bƣớc nhƣ sau:
Bƣớc 1: Tìm đa thức đặc trƣng
 Nếu

(λ)

(λ) không thể phân tích đƣợc thành tích các đa thức bậc 1 thì A

không chéo hóa đƣợc và thuật toán kết thúc.
 Trƣờng hợp ngƣợc lại, phân tích

(λ) thành tích các đa thức bậc 1:
…

(λ) =

Và chuyển sang bƣớc 2.

Bƣớc 2: Tìm các trị riêng λ1 cùng các bội số r1 tƣơng ứng (1
tìm cơ sở ℬ1 và số chiều dim V( ) của các

Bƣớc 3: Với mỗi (1
không gian riêng V( ):
 Nếu tồn tại (1

sao cho dim V( )< r1 thì A không chéo hóa đƣợc và

thuật toán kết thúc.
 Trƣờng hợp ngƣợc lại, ta có dim V( )= r1 với mọi (1

và A chéo

hóa đƣợc và chuyển sang bƣớc 4
Bƣớc 4: Đặt P là ma trận có đƣợc bằng cách lần lƣợt dựng các vectơ trong ℬ1,
ℬ2, …, ℬ k thành các cột, ta có P làm chéo hóa A và P-1 AP có dạng chéo.
1.2.2. Vấn đề chéo hóa trực giao
 Khái niệm chéo hóa trực giao
Định nghĩa 1: Cho ma trận vuông A. Nếu tồn tại ma trận trực giao P sao cho
P-1AP là ma trận chéo thì nói A là chéo hóa trực giao được và P là ma trận
làm chéo hóa trực giao ma trận A.
Ta phải trả lời hai câu hỏi:

14


1) Những ma trận thế nào thì chéo hóa trực giao đƣợc?

2) Ma trận P thực hiện quá trình chéo hóa trực giao đó là ma trận nào?
1.2.2.1. Cơ sở trực chuẩn
 Cơ sở trực chuẩn
Định nghĩa:
a) Cho một cơ sở gồm n vectơ {⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗} của không gian Euclid n chiều

đƣợc gọi là một cơ sở trực giao nếu các vectơ của cơ sở đôi một vuông góc với
nhau, tức là 〈⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉

nếu i

b) Cho một cơ sở gồm n vectơ {⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗} của không gian Euclid n chiều

đƣợc gọi là một cơ sở trực chuẩn nếu nó là một cơ sở trực giao và chuẩn của mọi
vectơ trong cơ sở đều bằng 1.
〈⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉

{

1.2.2.2. Phương pháp trực giao trực chuẩn hóa Schmidt
Phƣơng pháp trực giao hóa Schmidt là phƣơng pháp chuyển một hệ n vectơ
độc lập tuyến tính của không gian vectơ Euclid sang hệ n vectơ không chứa vectơ ⃗⃗,
trực giao với nhau từng đôi một và mỗi vectơ này biểu diễn tuyến tính qua hệ đã
cho.
Giả sử có một cơ sở bất kì {⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
{⃗ ⃗

xây dựng hệ n vectơ trực giao (
Đặt: ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

Trong đó: bi =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗} của không gian Euclid n chiều E. Ta

⃗⃗⃗⃗

〈⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉
〈⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉

⃗ } nhƣ sau:
⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

Thì nhận đƣợc cơ sở trực giao { ⃗ ⃗

⃗ } của hệ {⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗} trong E

bằng phƣơng pháp trực giao hóa Schmidt. Chuẩn hóa bằng cách đặt ⃗⃗⃗⃗
nhận đƣợc hệ {⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗} là một cơ sở trực chuẩn của hệ {⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗
‖⃗⃗⃗⃗‖

ta

⃗⃗⃗⃗⃗} trong E

bằng phƣơng pháp trực chuẩn hóa Schmidt.
Ví dụ: Hãy trực giao, trực chuẩn hóa hệ ba vectơ sau trong không gian vectơ
Euclid P4: ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

15


Giải
Dễ dàng chứng tỏ hệ vectơ {⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗} là hệ vectơ độc lập tuyến tính.
Xét hệ:
⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗ =

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

b1 =
b2 =

⃗⃗⃗⃗⃗, với b1 =

〈⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉
〈⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉

+
⃗⃗⃗⃗

=(

⃗⃗⃗⃗⃗, với:

〈⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉
〈⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉
〈⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉
〈⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉



⃗⃗⃗⃗=

+ .(

+

=(

Ta nhận đƣợc cơ sở trực giao {⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗} của hệ {⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗} trong P4.
Chuẩn hóa hệ {⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗} nhƣ sau:
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
‖⃗⃗⃗⃗⃗‖
⃗⃗⃗⃗⃗
‖⃗⃗⃗⃗⃗‖

(
(

⃗⃗⃗⃗⃗

) ⃗⃗⃗⃗

‖⃗⃗⃗⃗⃗‖

(

)

)

Vậy hệ vectơ trực chuẩn từ ba vectơ {⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗} là: (

{⃗ ⃗ ⃗ }

1.2.2.3. Phương pháp chéo hóa trực giao
Định lí 1: Giải sử A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để A chéo
hóa trực giao được là A có n vectơ riêng trực chuẩn.
Chứng minh: Giả sử ma trận A làm chéo hóa trực giao đƣợc và tồn tại ma trận
trực giao P sao cho P-1AP = D là ma trận chéo mà n vectơ cột của P là các vectơ
riêng của A.Vì P là ma trận trực giao nên theo định nghĩa các vectơ cột của P là hệ
trực chuẩn, do đó A có n vectơ riêng trực chuẩn [p1, p2, …,pn].
Kí hiệu P = [p1, p2, …,pn] là ma trận vuông gồm các vectơ cột c1, … , cn.
Ma trận P-1AP là ma trận chéo. Ta đã chỉ ra đƣợc ma trận P nhận các vectơ
riêng đó làm các cột sẽ chéo hóa ma trận A. Vì những vectơ riêng này là trực chuẩn
nên P là trực giao. Vậy P chéo hóa trực giao A.

16


1.2.2.4. Chéo hóa trực giao các ma trận đối xứng
Định lí 2: Xét ma trận vuông A cấp n. Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo
hóa trực giao được là A đối xứng.
Chứng minh: Chứng minh định lí 1 chứng tỏ rằng một ma trận cấp n chéo hóa
trực giao đƣợc sẽ chéo hóa trực giao đƣợc bởi một ma trận P cấp n mà các cột đƣợc

tạo nên bởi họ trực chuẩn các vectơ riêng của A. Gọi D là ma trận
D = P-1AP
Thì A = PDP-1
Nhƣng vì P là trực giao nên
A = PDPt.
Do đó
At = (PDPt)t = (Pt)tDtPt = PDtPt = PDPt = A
Vậy At = A, nghĩa là A là ma trận đối xứng.
 Thêm một số tính chất của trị riêng của ma trận đối xứng
Vì ma trận đối xứng A chéo hóa trực giao đƣợc nên tồn tại ma trận trực giao P
để P-1AP = D
Trong đó D là ma trận chéo các trị riêng A. Vậy A và D có các trị riêng trùng
nhau với cùng một số vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng mỗi trị riêng. Do đó có kết
quả:
Định lí 3: Nếu ma trận vuông A đối xứng thì các vectơ riêng thuộc những
không gian riêng khác nhau sẽ trực giao theo tích vô hướng Euclid trong Rn.
Chứng minh: Giả sử λ và µ là hai trị riêng khác nhau của A, đồng thời v thuộc
không gian riêng ứng λ và w thuộc không gian riêng ứng µ. Ta có
Av = λv, Aw = µw, λ # µ
v = (v1, v2, …vn)

, w = (w1, w2, …, wn)

<v, w> := v1w1 + v2w2 + … + vnwn = [v]t[w]
Ta phải chứng minh <v, w> = 0. Ta có
Λ<v, w> = <λv, w> = <Av, w> = [Av]t[w]
= (A[v)t[w] = [v]tAt[w] = [v]tA[w]

17

.


= <v, Aw> = <v, µw> = µ<v, w>.
Do đó: (λ - µ) <v, w> = 0
Nhƣng theo giả thiết λ # µ nên đẳng thức này buộc <w, v> = 0, nghĩa là v và w
trực giao theo tích vô hƣớng Euclid.
Định lí 4: Nếu ma trận A đối xứng thì bội số hình học của mỗi trị riêng bằng
số bội đại số của nó, nghĩa là: nếu trị riêng λ là nghiệm bội m của phương trình đặc
trưng của A thì ứng với λ có đủ m vectơ riêng độc lập tuyến tính, nói cách khác:
không gian riêng ứng λ có số chiều đúng bằng m.
1.2.2.5. Quy trình chéo hóa trực giao các ma trận đối xứng
Bước 1. Sử dụng các phƣơng pháp tìm vectơ riêng - giá trị riêng để tìm ra các
giá trị riêng của A.
Bước 2.Tìm một cơ sở trực chuẩn cho mỗi không gian riêng ứng với mỗi giá
trị riêng.
a) Nếu bội mk = 1 thì lấy một vectơ bất kì tƣơng ứng với λk rồi chuẩn hóa nó.
b) Nếu bội mk >1 thì ta có thể tìm cơ sở trực giao của không gian riêng tƣơng
ứng với λk bằng một trong hai cách sau:
Cách 1: Tìm một cơ sở của không gian riêng tƣơng ứng với λk sau đó áp dụng
quá trình chuẩn hóa Schmidt để đƣợc một cơ sở trực chuẩn.
Cách 2: Từ công thức nghiệm của hệ (A – λk.En). X = 0 ta lấy một vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗
nào đó chuẩn bằng 1, sau đó tìm một vectơ nghiệm ⃗⃗⃗⃗⃗ thỏa mãn:
{

〈⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉
〈⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉

Tiếp tục quá trình nhƣ vậy sao cho vectơ nghiệm sau trực giao với vectơ
nghiệm trƣớc đó và có chuẩn bằng 1. Cuối cùng ta đƣợc cơ sở trực chuẩn của không

gian riêng ứng với giá trị riêng λk (

. Và ghép lại chúng ta đƣợc cơ

sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng.
Bước 3. - Lập ma trận P mà các cột là các vectơ cơ sở xây dựng ở bƣớc 2.

18


-

Lập ma trận chéo D có các phần tử trên đƣờng chéo chính là các giá trị

riêng của A, còn các phần tử khác bằng 0. Ma trận P này sẽ làm chéo hóa trực giao
ma trận A.
Ví dụ: Hãy tìm ma trận trực giao P làm chéo hóa ma trận
[

]

Giải: Trƣớc hết ta nhận xét ngay rằng ma trận A này đối xứng. Phƣơng trình
đặc trƣng của A là
Det (A – I) = |

|= (λ – 2)2 (8 – λ) = 0

Giải phƣơng trình đặc trƣng này ta đƣợc cơ sở của không gian riêng ứng λ = 2
[

là

] và

[

]

Áp dụng quá trình trực giao hóa Gram – Smidt vào {

} ta đƣợc những

vectơ riêng trực chuẩn ứng λ = 2

[ ] và v2

v1

. Không gian riêng ứng λ = 8 là
[

]

Chuẩn hóa nó ta đƣợc: v3
[ ]
làm các cột cho P ta đƣợc

Cuối cùng lấy

P=

[

]

Ma trận P này sẽ làm chéo hóa ma trận A.

19

[ ]


1.3. Chéo hóa ma trận khối
1.3.1. Khái niệm và các phép toán
 Định nghĩa. Ma trận A đƣợc viết dƣới dạng
A=(

,

Trong đó Amn là các ma trận, cách biểu diễn ma trận A nhƣ thế đƣợc gọi là ma
trận khối. Tất nhiên các ma trận Amn trên cùng một dòng sẽ có chung số dòng, trên
cùng một cột sẽ có chung số cột. Ma trận khối là ma trận có số hàng bằng số cột.
 Phép toán trên ma trận khối
a. Phép cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số: Nếu A, B là 2 ma trận
khối đƣợc phân chia các khối nhƣ nhau thì ta có thể cộng và nhân bình thƣờng.
b. Phép nhân ma trận khối với ma trận khối:
Giả sử:
A=(

,;

B=(

,

Trong đó Aik, Bkj là các ma trận con nhân đƣợc với nhau (số cột của ma trận
Aik bằng với số dòng của ma trận Bkj), khi đó ma trận tích AB tồn tại, khối ma trận
nằm ở “dòng” i, “cột j” của AB là: Ai1B1j + Ai2B2j +

+ AinBnj

Ví dụ 1:
A=(

Với C = (

AB = (

,=(

);

) và E = (

)(

)

B=(

,=(

)

), sử dụng phép nhân ma trận khối ta đƣợc

(

)=(

20

,