Tập hút của một số lớp phương trình đạo hàm riêng với trễ vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

ĐẶNG THỊ PHƯƠNG THANH

TẬP HÚT CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG VỚI TRỄ VÔ HẠN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017


3

Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Một số kí hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . .

8

3.

MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU . . .

12

4.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

5.

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

6.

CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.1.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.1.2. Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.1.3. Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2. CÁC TOÁN TỬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2.1. Toán tử xác định dương có phổ rời rạc . . . . . . . . . .

20

1.2.2. Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21


4
1.3. CÁC KHÔNG GIAN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.1. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.2. Không gian hàm phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . .

24

1.3.3. Không gian pha chứa trễ vô hạn . . . . . . . . . . . . .

24

1.4. MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.4.1. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . .

27

1.4.2. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . .

29

Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI TRỄ VÔ HẠN . . . . . . . . . 31
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM . . . . . . . . . . . .

33

2.3. SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . .

35

Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH GIẢ PARABOLIC VỚI TRỄ VÔ HẠN . . . . 42
3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM . . . . . . . . . . . .

44

3.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . .

52

3.4. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG . .

62

Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN CÓ
NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM . . . . . . . . . . . .

72

4.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . .

80

4.3.1. Sự tồn tại tập hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.3.2. Tính compact tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.3.3. Chứng minh Định lí 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.

KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90


5
2.

KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO .

90

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93


6

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Ω, ∂Ω

miền bị chặn trong RN với biên ∂Ω

Id

ánh xạ đồng nhất

D(A)

miền xác định của toán tử A

σ(A)

phổ của toán tử A

Aα , D(Aα )

lũy thừa cấp α của toán tử A với miền xác định D(Aα )

→

hội tụ mạnh

⇀

hội tụ yếu

⇀∗

hội tụ *-yếu

Y

X

bao đóng của Y trong X

dist(A, B)

nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B

∗

tích chập

ut

hàm trễ ut (·) xác định bởi ut (s) = u(t + s)

L1g (E), Cγ (E)

các không gian pha dùng để nghiên cứu trễ vô hạn tron
luận án (xem định nghĩa chi tiết trong Chương 1)

S(t)

nửa nhóm liên tục sinh bởi bài toán đạo hàm riêng

A

tập hút toàn cục của nửa nhóm S(t)

ω(B)

tập ω-giới hạn của tập B

Cb ([0, ∞))

không gian các hàm giá trị thực liên tục và bị chặn trên
khoảng [0, ∞)


7

MỞ ĐẦU

1.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Các phương trình đạo hàm riêng có trễ xuất hiện trong nhiều quá trình
của vật lí và sinh học, chẳng hạn các quá trình truyền nhiệt và khuếch tán,
quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các mô hình quần thể trong sinh
học (xem [31, 70]). Việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa
quan trọng trong khoa học và công nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút
được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới.
Khi xét một quá trình thay đổi theo thời gian mô tả bởi phương trình tiến

hóa, sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu dáng điệu
tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng rất quan trọng vì nó cho phép
chúng ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của hệ trong tương lai, từ đó có
thể có những điều chỉnh thích hợp để đạt được kết quả mong muốn. Về mặt
toán học, điều này làm nảy sinh một hướng nghiên cứu mới, được phát triển
mạnh mẽ trong khoảng ba thập kỉ gần đây là Lí thuyết các hệ động lực tiêu
hao vô hạn chiều. Bài toán cơ bản của lí thuyết này là nghiên cứu sự tồn tại
và các tính chất của tập hút. Đó là một tập compact, bất biến, hút mọi tập
bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ động lực
đang xét. Từ khi ra đời đến nay, lí thuyết này đã và đang là một trong những
hướng nghiên cứu lớn, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên
thế giới. Sau khoảng ba thập kỉ phát triển, sự tồn tại và các tính chất cơ bản
của tập hút đã được nghiên cứu cho một lớp khá rộng các phương trình đạo


8
hàm riêng phi tuyến và phương trình vi phân thường có trễ (xem, chẳng hạn,
các cuốn chuyên khảo của Hale [31], Temam [58]). Tuy nhiên, bài toán này
đối với các hệ động lực sinh bởi phương trình đạo hàm riêng có trễ thường rất
phức tạp vì hệ động lực tương ứng là vô hạn chiều theo cả biến không gian
(do toán tử đạo hàm riêng gây ra) và biến thời gian (do trễ gây ra).
Trong những năm gần đây, tính ổn định nghiệm và sự tồn tại tập hút đã
được nghiên cứu cho một số lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính có
trễ và một số lớp phương trình trong cơ học chất lỏng có trễ. Tuy nhiên, bởi
những khó khăn cơ bản xuất hiện do số hạng chứa trễ gây ra nên phần lớn
các kết quả đã đạt được là trong trường hợp trễ hữu hạn; xem, chẳng hạn,
[4, 6, 7, 8, 17, 39, 40, 50, 60, 61, 63] và các tài liệu trong đó. Việc phát triển các
kết quả này cho trường hợp trễ vô hạn, trường hợp khó hơn rất nhiều do tính
không bị chặn của trễ, mới chỉ đạt được một số ít tiến bộ trong vài năm gần đây
trong một vài trường hợp đặc biệt của không gian pha [5, 14, 15, 25, 34, 45].

Do đó, đây đang là vấn đề rất thời sự và thu hút được sự quan tâm của nhiều
nhà toán học trong và ngoài nước.
2.

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Phương trình parabolic nửa tuyến tính ôtônôm có trễ là phương trình tiến

hóa có dạng
du(t)
= Au(t) + F (ut ),
dt

t > 0,

trong đó A là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh trên một không
gian Banach X; F là một ánh xạ phi tuyến từ B vào X, B là không gian
pha (hay không gian trạng thái); và ut ∈ B là hàm trạng thái xác định bởi
ut (θ) = u(t + θ) với mọi θ ∈ [−r, 0], r là một hằng số không âm (hữu hạn hoặc
vô hạn). Phương trình parabolic nửa tuyến tính có trễ thường được xét trong
khá nhiều mô hình như phương trình phản ứng-khuếch tán, phương trình dân
số phụ thuộc độ tuổi (đặc biệt là thời kì trưởng thành), . . . Ý nghĩa của những


9
lớp phương trình parabolic có trễ được trình bày trong cuốn sách chuyên khảo
của Wu [70] và các tài liệu trích dẫn trong đó. Một số kết quả gần đây về sự
tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình parabolic có trễ
như sau: Sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại tập hút đã được chứng minh cho một
số lớp phương trình parabolic chứa trễ hữu hạn trong một số trường hợp đặc
biệt của phần phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức (xem một số

công trình gần đây của A.V. Rezounenko và J. Wu [50], J. Li và J. Huang [39],
X. Li và Z. Li [40], C.T. Anh và L.V. Hien [4], C.T. Anh và L.V. Hieu [6], C.T.
Anh, L.V. Hieu và T.T. Loan [8], . . . ); Sự tồn tại tập hút đối với phương trình
parabolic với trễ vô hạn trong một trường hợp rất đặc biệt của không gian pha
(không gian Cγ ) và không chứa hàm phi tuyến f (u) được chứng minh trong
[14, 15].
Trong các mở rộng của phương trình parabolic chứa trễ, phương trình giả
parabolic (pseudoparabolic) nửa tuyến tính chứa trễ sau đây rất được quan
tâm


∂t u(t, x) + A∂t u(t, x) + Au(t, x) + f (u(t, x)) = g(ut ) + h(x), t > 0, x ∈ Ω,

u(s, x) = ϕ(s, x), s ∈ (−r, 0], x ∈ Ω,
trong đó Ω là một miền bị chặn trong RN với biên ∂Ω trơn, A là một toán tử
tuyến tính (không bị chặn) thỏa mãn một số điều kiện nhất định, g là một ánh
xạ phi tuyến từ không gian pha B vào không gian Banach X = L2 (Ω), f (u) là
số hạng phi tuyến, và ut ∈ B là hàm trạng thái xác định bởi ut (θ) = u(t + θ)
với mọi θ ∈ (−r, 0], r là một hằng số không âm (hữu hạn hoặc vô hạn). Toán
tử A chứa một lớp rộng lớn các toán tử elliptic mạnh với điều kiện biên thích
hợp, ví dụ toán tử −∆ với điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann thuần nhất
(xem [21]), hoặc một số lớp toán tử elliptic suy biến với điều kiện biên Dirichlet
thuần nhất như là toán tử Caldiroli-Musina dạng −div(σ(x)∇) trong [16] hay
toán tử suy biến mạnh −∆λ trong [37].
Trong trường hợp đặc biệt A = −∆, phương trình trên (trong trường hợp


10
không chứa trễ) trở thành phương trình khuếch tán không cổ điển được giới
thiệu trong [1] khi Aifantis chỉ ra rằng phương trình phản ứng-khuếch tán cổ

điển không mô tả được hết các khía cạnh của bài toán phản ứng-khuếch tán,
cụ thể là nó bỏ qua tính nhớt, sự đàn hồi, và áp suất của môi trường trong quá
trình khuếch tán chất rắn. Bên cạnh đó, Aifantis cũng chỉ ra rằng, năng lượng
từ phương trình phát ra trong quá trình khuếch tán chất rắn trong môi trường
truyền dẫn khác nhau sẽ có tính chất khác nhau. Và do đó, ông đã xây dựng
mô hình toán học qua một số ví dụ cụ thể và đưa ra lớp phương trình khuếch
tán không cổ điển. Lớp phương trình này thường sử dụng để mô tả các hiện
tượng vật lí như dòng chảy không Newton, các hiện tượng trong cơ học chất
lỏng, cơ học chất rắn và sự tỏa nhiệt (xem, chẳng hạn [1, 49, 62]). Trong những
năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình
khuếch tán không cổ điển đã được nghiên cứu rộng rãi trong cả trường hợp
ôtônôm [44, 54, 64, 72, 73] và trường hợp không ôtônôm [2, 3, 10, 11, 55, 74].
Mặt khác, có những tình huống mà mô hình sẽ mô tả tốt hơn nếu một hàm
chứa trễ xuất hiện trong phương trình. Hàm chứa trễ có thể xuất hiện, chẳng
hạn như khi một muốn điều khiển hệ bằng cách sử dụng các lực không chỉ tính
đến hiện tại mà cả lịch sử của nghiệm. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng
tôi, các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại tập hút đạt được đối với phương trình
khuếch tán không cổ điển chứa trễ chủ yếu là trong trường hợp trễ hữu hạn
[12, 18, 76], ngoại trừ công trình rất gần đây [51], ở đó xét trễ vô hạn và số
hạng phi tuyến f (u) tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev.
Với những phân tích ở trên, ta thấy rằng, bên cạnh các kết quả đã đạt
được, còn nhiều vấn đề mở đặt ra khi nghiên cứu lớp phương trình parabolic
chứa trễ vô hạn và các phương trình liên quan, chẳng hạn:
• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại tập hút trong các trường hợp
khác nhau của không gian pha.
• Nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng.


11
Bên cạnh việc nghiên cứu lớp các phương trình đạo hàm riêng có trễ, các

phương trình đạo hàm riêng có nhớ, một loại phương trình có trễ đặc biệt
mà số hạng trễ xuất hiện ở ngay phần chính của phương trình, cũng đang
được nhiều nhà toán học như Borini, Chepyzhov, Conti, Giorgi, Marchini,
Miranville, Pata, . . . quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây; xem, chẳng
hạn, các công trình [13, 19, 20, 22, 23, 29, 30, 35, 47, 68, 69]. Một lớp phương
trình có nhớ được nghiên cứu nhiều là lớp phương trình khuếch tán không cổ
điển có nhớ sau đây:

∫ ∞



∂t u − ∆∂t u − ∆u −
κ(s)∆u(t − s)ds + f (u) = g(x),



0



u(t, x) = 0,



u(0, x) = u0 (x),







u(−s, x) = g0 (s, x),

x ∈ Ω, t > 0,
x ∈ ∂Ω, t > 0,
x ∈ Ω,
x ∈ Ω, s > 0,

trong đó Ω là miền bị chặn trong RN với biên ∂Ω trơn. Tốc độ tiêu hao năng
lượng của phương trình trên nhanh hơn so với phương trình khuếch tán không
cổ điển thông thường. Sự truyền dẫn năng lượng không chỉ bị ảnh hưởng bởi
ngoại lực hiện tại mà còn phụ thuộc vào lịch sử của nó trong quá khứ. Trong
những năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với phương
trình khuếch tán không cổ điển có nhớ được nghiên cứu bởi nhiều tác giả (xem
[22, 23, 67, 68, 69]). Tuy nhiên, trong các công trình nghiên cứu này, hàm
µ(s) := −κ′ (s) luôn được giả thiết thỏa mãn bất đẳng thức
µ′ (s) + δµ(s) ≤ 0,
điều kiện này được giới thiệu trong bài báo tiên phong của Dafermos [24], và
hàm phi tuyến được giả thiết là liên tục Lipschitz địa phương và thỏa mãn
điều kiện tăng trưởng kiểu Sobolev
f (u)
> −λ1 ,
|u|→∞ u

lim inf

|f ′ (u)| ≤ C(1 + |u| N −2 ),
4

12
trong đó λ1 là giá trị riêng đầu tiên của toán tử −∆ trong Ω với điều kiện biên
Dirichlet thuần nhất. Dưới các giả thiết tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev
này của hàm phi tuyến, trong [23] Conti, Marchini và Pata đã chứng minh
được sự tồn tại của tập hút toàn cục; kết quả này cải thiện kết quả trước đó
trong [67]. Bằng cách kết hợp các kĩ thuật trong [23, 67] và kĩ thuật trong
[29, 30] cho phương trình phản ứng-khuếch tán có nhớ, ta có thể chứng minh
được kết quả tương tự khi hàm phi tuyến f (u) thỏa mãn điều kiện tăng trưởng
và tiêu hao kiểu đa thức. Do đó, việc cố gắng loại bỏ các hạn chế trên về độ
tăng trưởng của hàm phi tuyến và chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu và
của tập hút toàn cục, dưới giả thiết tổng quát hơn của κ (như trong [23])
và lớp hàm phi tuyến rộng hơn (thỏa mãn cả hai trường hợp trên và cho cả
trường hợp tăng trưởng kiểu mũ) sẽ là vấn đề nghiên cứu có ý nghĩa đối với
lớp phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớ.
Tóm lại, những vấn đề mở mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận
án này bao gồm:
• Sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự tồn tại tập hút toàn cục đối với lớp
phương trình parabolic nửa tuyến tính với trễ vô hạn trong trường hợp
không gian pha là L1g (D(Aα )).
• Sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự tồn tại tập hút toàn cục, sự tồn tại và
tính ổn định của nghiệm dừng đối với lớp phương trình giả parabolic
nửa tuyến tính với trễ vô hạn trong trường hợp hàm phi tuyến thỏa mãn
điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức.
• Sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương
trình khuếch tán không cổ điển có nhớ với lớp hàm phi tuyến kiểu mới
và điều kiện rất tổng quát của nhân nhớ.
3.

MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

• Mục đích của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận


13
nghiệm (thông qua sự tồn tại tập hút toàn cục, sự tồn tại và tính ổn
định của nghiệm dừng) của một số lớp phương trình đạo hàm riêng có
trễ vô hạn xuất hiện trong vật lí và cơ học.
• Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một
số lớp phương trình đạo hàm riêng có trễ vô hạn xuất hiện trong vật lí
và cơ học.
• Phạm vi nghiên cứu:
◦ Nội dung 1: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự tồn tại
tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic trừu tượng có trễ
vô hạn:



 u′ (t) + Au(t) = F (ut ), t > 0,

u(s) = ϕ(s),

s ≤ 0,

trong đó A là toán tử quạt dương có giải thức compact trên không
gian Banach X, F là ánh xạ Lipschitz từ B vào X với B là không
gian pha phù hợp.
◦ Nội dung 2: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự tồn tại
tập hút toàn cục, sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng đối
với phương trình giả parabolic có trễ vô hạn:




∂t u(t, x) + A∂t u(t, x) + Au(t, x) + f (u(t, x)) = g(ut ) + h(x),



t > 0, x ∈ Ω,




u(s, x) = ϕ(s, x),
s ∈ (−∞, 0], x ∈ Ω,
trong đó Ω là một miền bị chặn trong RN với biên ∂Ω trơn, A là
một toán tử tuyến tính dương tự liên hợp xác định trù mật với giải
thức compact trong X = L2 (Ω) (ví dụ điển hình của A là toán tử
−∆ với điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann thuần nhất), g là
ánh xạ Lipschitz từ không gian pha B = Cγ (D(A1/2 )) vào không


14
gian X = L2 (Ω), f (u) là hàm phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao
kiểu đa thức, ngoại lực h ∈ L2 (Ω).
◦ Nội dung 3: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự tồn tại
tập hút toàn cục đối với phương trình khuếch tán không cổ điển có
nhớ với lớp hàm phi tuyến kiểu mới:

∫ ∞



κ(s)∆u(t − s)ds +f (u) = g(x),
∂t u − ∆∂t u − ∆u −



0





x ∈ Ω, t > 0,



u(t, x) = 0,







u(0, x) = u0 (x),





u(−s, x) = g (s, x),

0

x ∈ ∂Ω, t > 0,
x ∈ Ω,
x ∈ Ω, s > 0.

trong đó Ω là miền bị chặn trong RN với biên trơn ∂Ω, f (u) thỏa
mãn điều kiện tiêu hao và không bị giới hạn về độ tăng trưởng (nói
riêng, lớp phi tuyến mới này chứa tất cả những lớp phi tuyến trước
đây như kiểu Sobolev, kiểu đa thức, và thậm chí kiểu mũ), nhân
nhớ κ(·) thỏa mãn điều kiện rất tổng quát.
4.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin,
các bổ đề compact [42] và phương pháp năng lượng [45].
• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút: sử dụng các phương pháp của lí thuyết
hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều [58].
• Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng: sử dụng các phương pháp
của lí thuyết ổn định Lyapunov.

5.

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Luận án đạt được những kết quả chính sau đây:


15
• Chứng minh được sự phụ thuộc liên tục của nghiệm tích phân vào dữ kiện

ban đầu, sự tồn tại tập hút toàn cục trong không gian pha L1g (D(Aα ))
của một lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính với trễ vô hạn.
Đây là nội dung chính của Chương 2.
• Chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu, sự tồn
tại tập hút toàn cục trong không gian pha Cγ , sự tồn tại và tính ổn định
của nghiệm dừng yếu đối với phương trình giả parabolic có trễ vô hạn
trong trường hợp hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu
hao kiểu đa thức.
Đây là nội dung chính của Chương 3.
• Chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu, sự tồn
tại tập hút toàn cục đối với phương trình khuếch tán không cổ điển có
nhớ trong trường hợp hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và
tiêu hao kiểu mới (bao gồm cả kiểu đa thức, kiểu Sobolev và đặc biệt là
kiểu mũ), và nhân chứa nhớ thỏa mãn điều kiện rất tổng quát.
Đây là nội dung chính của Chương 4.
Các kết quả của luận án là những đóng góp có ý nghĩa khoa học cho Lí
thuyết các hệ động lực vô hạn chiều và Lí thuyết các phương trình đạo hàm
riêng có trễ; góp phần vào việc hoàn thiện các lí thuyết này và giải quyết một
số vấn đề mở mà nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm. Mặt khác,
các lớp phương trình được nghiên cứu trong luận án là các lớp phương trình
có nhiều ứng dụng trong thực tế kĩ thuật nên các kết quả đạt được trong luận
án cũng góp phần tăng khả năng ứng dụng trong các bài toán thực tiễn.
Các kết quả chính đạt được đã được công bố trong 03 bài báo trên các tạp
chí chuyên ngành quốc tế (xem Danh mục công trình đã công bố liên quan
đến luận án) và đã được báo cáo tại các seminar và hội thảo khoa học sau:


16
• Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội;

• Seminar của Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Hùng Vương;
• Hội thảo khoa học "Tối ưu và Tính toán Khoa học" lần thứ 15, Ba Vì,
Hà Nội, 20-22/4/2017;
• Hội nghị khoa học giảng viên trẻ, Trường Đại học Hùng Vương, 2016.
6.

CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và

danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:
• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các khái niệm và
các kiến thức cơ sở cần thiết được sử dụng trong luận án.
• Chương 2. Phương trình parabolic với trễ vô hạn. Chương này trình bày
sự tồn tại nghiệm tích phân, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện
ban đầu và sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic
nửa tuyến tính trừu tượng với trễ vô hạn.
• Chương 3. Phương trình giả parabolic với trễ vô hạn. Chương này chứng
minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, sự tồn tại tập hút toàn cục, sự
tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng đối với một lớp phương trình
giả parabolic nửa tuyến tính với trễ vô hạn.
• Chương 4. Phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớ. Chương này
chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu và sự tồn tại tập hút toàn
cục đối với một lớp phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớ.


17

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả tổng
quát về sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục, về toán tử, các không
gian hàm và một số kết quả bổ trợ (các bổ đề compact, dạng yếu của định
lí hội tụ bị chặn, các bất đẳng thức thường dùng) được sử dụng trong chứng
minh các kết quả chính của luận án ở các chương sau.
1.1.

TẬP HÚT TOÀN CỤC
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tập hút toàn cục sẽ

được sử dụng trong luận án. Nội dung của mục này được viết dựa trên các tài
liệu [52, 58].
Giả sử (X, ∥ · ∥) là một không gian Banach và nửa khoảng cách Hausdorff
distX (·, ·) giữa hai tập con A, B của X được định nghĩa như sau:
distX (A, B) := sup inf ∥a − b∥, với A, B ⊂ X.
a∈A b∈B

1.1.1.

Các khái niệm

Định nghĩa 1.1. Hệ động lực là một cặp (X, S(t)) gồm một không gian
Banach X và một họ các ánh xạ S(t) : X → X, t ≥ 0, thỏa mãn:
1) S(0) = Id;
2) S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + s);
3) với mọi t ≥ 0, S(t) ∈ C 0 (X, X);


18

4) với mọi u ∈ X, ánh xạ t → S(t)u thuộc C 0 ((0, +∞), X).
Họ các ánh xạ S(t) : X → X, t ≥ 0 thỏa mãn các điều kiện trên được gọi
là một nửa nhóm liên tục trên X. Không gian X được gọi là không gian pha
(hay không gian trạng thái).
Định nghĩa 1.2. Giả sử A ⊂ X. Tập ω-giới hạn của A được định nghĩa bởi
ω(A) =

∩ ∪

X

S(t)A

s≥0 t≥s

ở đó S(t)A = {v = S(t)u : u ∈ A}.
Định nghĩa 1.3. Nửa nhóm S(t) gọi là tiêu hao bị chặn (gọi tắt là tiêu hao)
nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X, tồn
tại T = T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0 , ∀ t ≥ T . Tập B0 như vậy được gọi là
một tập hấp thụ đối với nửa nhóm S(t).
1.1.2.

Tập hút toàn cục

Định nghĩa 1.4. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút toàn
cục đối với nửa nhóm S(t) nếu:
1) A là một tập compact;
2) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t ≥ 0;
3) A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức là
lim dist(S(t)B, A) = 0.

t→+∞

Từ định nghĩa của tập hút toàn cục, ta có các tính chất sau:
Mệnh đề 1.1. [58] Giả sử S(t) có tập hút toàn cục A. Khi đó:
1) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A (tính cực đại);


19
2) Nếu B là một tập con đóng hút mọi tập bị chặn của X thì A ⊂ B (tính
cực tiểu);
3) A là duy nhất.
Định lí dưới đây mô tả cấu trúc của tập hút toàn cục.
Định lí 1.1. [52] Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A. Khi đó mọi
quỹ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quỹ đạo tuần hoàn,
nếu có) đều nằm trên A. Hơn nữa, nếu S(t) là đơn ánh trên A thì A là hợp
của tất cả các quỹ đạo đầy đủ bị chặn.
Kết quả dưới đây chỉ ra rằng các quỹ đạo trên tập hút toàn cục sẽ quyết
định các dáng điệu tiệm cận có thể có của các quỹ đạo riêng lẻ, nghĩa là sau
một thời điểm đủ lớn, bất kì một quỹ đạo nào của phương trình gốc trông sẽ
giống như một quỹ đạo nào đó trên tập hút trong một khoảng thời gian đủ
dài.
Định lí 1.2. [52] Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A. Cho trước
một quỹ đạo u(t) = S(t)u0 , một sai số ε > 0 và một khoảng thời gian T > 0.
Khi đó tồn tại một thời điểm τ = τ (ε, T ) và một điểm v0 ∈ A sao cho
∥u(τ + t) − S(t)v0 ∥ ≤ ε với mọi 0 ≤ t ≤ T.
1.1.3.

Sự tồn tại tập hút toàn cục

Để chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục trong các chương sau, ta sẽ sử
dụng định lí sau.
Định lí 1.3. [58] Cho S(t) là nửa nhóm liên tục trên không gian Banach X.
Giả sử:
i) S(t) có một tập hấp thụ B trong X;


20
ii) S(t) là compact tiệm cận, tức là với mọi t > 0, S(t) = S1 (t) + S2 (t),
trong đó toán tử S1 (t) là compact đều với t đủ lớn, tức là, với mỗi tập bị
chặn B tồn tại t0 phụ thuộc vào B sao cho
∪

S1 (t)B là compact tương đối trong X,

(1.1)

t≥t0

và S2 (t) là ánh xạ liên tục từ X vào chính nó thỏa mãn:
rC (t) = sup ∥S2 (t)φ∥X → 0 khi t → ∞,

(1.2)

φ∈C

với mỗi tập bị chặn C ⊂ X.
Khi đó, nửa nhóm S(t) có một tập hút toàn cục A trong X và A = ω(B). Hơn
nữa, A là tập liên thông trong X.
1.2.

1.2.1.

CÁC TOÁN TỬ
Toán tử xác định dương có phổ rời rạc

Giả sử H là một không gian Hilbert tách với tích vô hướng (·, ·) và chuẩn ∥ · ∥.
Cho A là một toán tử tuyến tính tự liên hợp xác định dương với miền xác định
trù mật D(A) ⊂ H. Giả thiết thêm rằng A có giải thức compact. Khi đó toán
tử A có phổ rời rạc gồm toàn giá trị riêng thực σ(A) = {λk }∞
k=1 thỏa mãn
0 < λ1

λ2

...,

λk → ∞,

khi k → ∞,

và tồn tại một cơ sở trực chuẩn {ek }∞
k=1 trong không gian H gồm các vectơ
riêng của A thỏa mãn
(ej , ek ) = δjk và Aek = λk ek ,

k = 1, 2, . . .

Chúng ta có thể định nghĩa các không gian lũy thừa bậc phân và các toán tử
bậc phân như sau:
X α = D(Aα ) =

{
u=

∞
∑
k=1

ck ek ∈ H :

∞
∑
k=1

}
c2k λ2α
k <∞ ,


21
α

A u=

∞
∑

ck λα
k ek ,

trong đó u =

∞
∑

ck ek .

k=1

k=1

Mệnh đề 1.2. [21, Định lí 1.1, tr. 79] Cho α > β. Khi đó, không gian D(Aα )
nhúng compact vào không gian D(Aβ ).
Ví dụ điển hình của lớp toán tử như vậy là toán tử A = −∆ trong miền bị
chặn Ω với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất. Khi đó H = L2 (Ω), D(A1/2 ) =
H01 (Ω) và khi biên của miền đủ trơn (chẳng hạn, thuộc lớp C 2 ) thì D(A) =
H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω).
Chi tiết hơn về các tính chất và các ví dụ khác về lớp toán tử xác định
dương có phổ rời rạc, bạn đọc có thể xem trong [21, Chương 2, §1].
1.2.2.

Toán tử quạt

Định nghĩa 1.5. [33, Định nghĩa 1.3.1, tr. 18] Một toán tử tuyến tính trong
không gian Banach E được gọi là toán tử quạt nếu nó là toán tử đóng xác
π
định trù mật sao cho với φ ∈ (0, ), M ≥ 1 và số thực a thì quạt
2
Sa,φ = {λ ∈ C | φ ≤ |arg(λ − a)| ≤ π, λ ̸= a}
là tập giải thức của A và

∥(λ − A)−1 ∥ ≤

M
với mọi λ ∈ Sa,φ .
λ−a

Từ định nghĩa ta thấy:
1) Nếu A là toán tử tuyến tính bị chặn trên một không gian Banach thì A
là toán tử quạt;
2) Nếu A là một toán tử tuyến tính tự liên hợp, xác định trù mật trong
một không gian Hilbert và A bị chặn dưới thì A là toán tử quạt.
Định lí 1.4. [33, Định lí 1.3.4, tr. 20] Nếu A là toán tử quạt thì −A sinh ra
một nửa nhóm giải tích {e−tA }t≥0 .


22
Cho A là toán tử quạt dương trên một không gian Banach (E, ∥ · ∥). Ta sẽ
nhắc lại một số kết quả sẽ được sử dụng trong luận án.
Định nghĩa 1.6. [33, Định nghĩa 1.4.1, tr. 24] Giả sử A là toán tử quạt dương,
nghĩa là, Reσ(A) > 0. Khi đó với mọi α > 0:
∫ ∞
1
−α
A =
tα−1 e−tA dt,
Γ(α) 0
trong đó Γ(.) là hàm Gamma.
Ta có với α > 0 và Reσ(A) > 0 thì toán tử A−α là một-một nên có toán
tử nghịch đảo và ta có thể định nghĩa
Aα = (A−α )−1 ,

D(Aα ) = R(A−α ),

A0 = Id,

ở đó Id là toán tử đồng nhất của E.
Chúng ta nhắc lại mệnh đề sau trong [48].
Mệnh đề 1.3. [48] Ta có
1) Toán tử Aα là toán tử đóng với miền xác định D(Aα ) = R(A−α ), đối
ngẫu của toán tử A−α ;
2) D(Aα ) là không gian Banach với chuẩn ∥x∥α := ∥Aα x∥, x ∈ D(Aα ), và
D(Aα ) = E với mỗi α ≥ 0;
3) Nếu α ≥ β > 0, thì D(Aα ) ⊂ D(Aβ );
4) e−tA : E → D(Aα ) với mỗi t > 0 và α ≥ 0, và tồn tại một số dương λ
thỏa mãn
∥e−tA x∥α ≤ Cα e−λt t−α ∥x∥, với t > 0, x ∈ E.
Một lớp ví dụ điển hình (và thường gặp trong ứng dụng) về lớp toán tử
quạt dương là lớp toán tử xác định dương có phổ rời rạc trong không gian
Hilbert định nghĩa trong mục trước. Trong trường hợp này, có thể kiểm tra
(xem [48]) hai cách định nghĩa toán tử bậc phân và không gian lũy thừa bậc
phân ở mục này và mục trước là trùng nhau.


23
1.3.

CÁC KHÔNG GIAN HÀM

Trong mục này ta nhắc lại một số kết quả về các không gian hàm sẽ được sử
dụng trong luận án. Mục này trình bày dựa trên các tài liệu [52] (cho hai tiểu

mục đầu) và [35] (cho tiểu mục cuối).
1.3.1.

Không gian Sobolev

Cho Ω là một tập mở trong RN với biên ∂Ω. Ta kí hiệu Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ +∞
là không gian các hàm khả tích bậc p với độ đo Lebesgue dx = dx1 . . . dxN .
Đây là các không gian Banach với chuẩn
(∫
)1/p
p
|u| dx
∥u∥Lp =
Ω

và
∥u∥L∞ = esssupΩ |u(x)|.
Ta có:
1) Lp (Ω) là không gian Banach nếu 1 ≤ p ≤ +∞;
2) Lp (Ω) là không gian phản xạ nếu 1 < p < +∞ và đối ngẫu của không
gian Lp (Ω) là không gian Lq (Ω) với 1/p + 1/q = 1;
3) L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
∫
(u, v) = u.vdx,
Ω

và chuẩn ∥ · ∥L2 xác định như sau: ∥u∥2L2 (Ω) = (u, u).
Ta cũng có
W m,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω) với mọi |α| ≤ m}
là không gian Banach với chuẩn


∥u∥W m,p = 

∑

|α|≤m

1/p
∥Dα u∥pLp 

.


24
Khi p = 2, ta viết W m,2 (Ω) = H m (Ω). Không gian này là không gian Hilbert
với tích vô hướng
((u, v))H m =

∑

(Dj u, Dj v).

|j|≤m

Ta định nghĩa H0m (Ω) là bao đóng của không gian C0∞ (Ω) trong H m (Ω).
1.3.2.

Không gian hàm phụ thuộc thời gian

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn ∥ · ∥.

Định nghĩa 1.7. Không gian C([a, b]; X) gồm tất cả các hàm liên tục ϕ :
[a, b] → X với chuẩn
∥ϕ∥C([a,b];X) := max ∥ϕ(t)∥ < +∞.
a≤t≤b

Khi đó C([a, b]; X) là một không gian Banach.
Định nghĩa 1.8. Không gian Lp (0, T ; X), 1 ≤ p ≤ +∞, gồm tất cả các hàm
đo được ϕ : [0, T ] → X với chuẩn
(∫ T
)1/p
p
i) ∥ϕ∥Lp (0,T ;X) :=
∥ϕ(s)∥X ds
< +∞ với 1 ≤ p < ∞,
0

ii) ∥ϕ∥L∞ (0,T ;X) := esssup0≤t≤T ∥ϕ(t)∥X < +∞.
Khi đó Lp (0, T ; X) là một không gian Banach, và nó là phản xạ nếu 1 < p <
+∞. Không gian liên hợp của Lp (0, T ; X) là Lq (0, T ; X ′ ) với 1/p + 1/q = 1.
Định nghĩa 1.9. Không gian Lploc (R; X) là không gian các hàm ϕ(s), s ∈ R,
với giá trị trong X, sao cho
∫ t2
∥ϕ(s)∥pX ds < +∞, với mọi khoảng compact [t1 , t2 ] ⊂ R.
t1

1.3.3.

Không gian pha chứa trễ vô hạn

Khi nghiên cứu các phương trình vi phân chứa trễ vô hạn, việc chọn không

gian pha đóng một vai trò rất quan trọng. Một cách chọn không gian pha


25
thường thấy là một không gian nửa chuẩn thoả mãn một số tiên đề được giới
thiệu bởi J.K. Hale và J. Kato [32], sau đó được F. Kappel và W. Schappacher
[36], và K. Schumacher [53] phát triển. Những thảo luận chi tiết về vấn đề này,
ta có thể tham khảo trong cuốn sách chuyên khảo của Y. Hino và các cộng sự
[35]. Trước tiên, chúng tôi giới thiệu các tiên đề về không gian pha B.
Cho E là một không gian Banach thực với chuẩn ∥ · ∥E . Giả sử không gian
pha B là một không gian tuyến tính gồm các ánh xạ từ (−∞, 0] vào E, được
trang bị nửa chuẩn ∥ · ∥B và thỏa mãn các tiên đề cơ bản sau:
(A1) Nếu x : (−∞, σ + a) → E, a > 0, sao cho xσ ∈ B và x(·) liên tục
trên [σ, σ + a), thì với mọi t thuộc [σ, σ + a) các kết luận sau là đúng:
• (i) xt ∈ B,
• (ii) ∥x(t)∥E ≤ H∥xt ∥B ,
• (iii) ∥xt ∥B ≤ K(t − σ) sup ∥x(s)∥E + M (t − σ)∥xσ ∥B ,
σ≤s≤t

ở đây H là một hằng số, các hàm K(∆), M (∆) : [0, +∞) → [0, +∞), với K
liên tục và M bị chặn địa phương, và chúng đều độc lập đối với x.
(A2) Với hàm x(·) trong (A1), t → xt là một hàm liên tục với giá trị
trong B với t thuộc [σ, σ + a).
(B) Không gian B là không gian đầy đủ.
Nhận xét 1.1. [35] Từ các tiên đề trên, ta thấy:
• Tiên đề (A1)(ii) tương đương với
∥φ(0)∥E ≤ H∥φ∥B , với mọi φ ∈ B.
• Do ∥ · ∥B chỉ là một nửa chuẩn, nên với hai phần tử φ, ψ ∈ B thỏa mãn
∥φ − ψ∥B = 0 ta có φ(0) = ψ(0), và chưa thể kết luận φ(θ) = ψ(θ) với
mọi θ ≤ 0.

26
• Tiên đề (B) tương đương với điều kiện không gian thương
Bˆ = B/∥ · ∥B = {φˆ : φ ∈ B}
là một không gian Banach.
Tiếp theo, ta sẽ đưa ra một số ví dụ về các không gian pha cụ thể thỏa
mãn các tiên đề (A1), (A2) và (B).
Ví dụ 1.1. Cho g : (−∞, 0] → (0, +∞) là một hàm liên tục bất kì, đặt
{
}
∥φ(θ)∥E
0
Cg := φ ∈ C((−∞, 0]; E) : lim
=0 ,
θ→−∞
g(θ)
với chuẩn
∥φ∥g :=

∥φ(θ)∥E
.
g(θ)
−∞<θ≤0
sup

Định lí 1.3.2 và Định lí 1.3.6 trong [35] chứng tỏ rằng nếu g là hàm không
tăng, thì (Cg0 , ∥ · ∥g ) thỏa mãn các tiên đề (A1), (A2) và (B).
Ví dụ 1.2. Xét không gian Cγ xác định như sau:
Cγ := {φ ∈ C((−∞, 0]; E) : lim eγθ φ(θ) tồn tại trong E}, γ > 0,

θ→−∞

với chuẩn
∥φ∥γ :=

sup

−∞<θ≤0

eγθ ∥φ(θ)∥E ,

với φ ∈ Cγ .

Lấy H = 1, K(t) = 1, và M (t) = e−γt , chứng minh tương tự như trong [35,
Định lí 3.7, tr. 23], ta thấy không gian Cγ cũng thỏa mãn các tiên đề (A1),
(A2) và (B).
Ví dụ 1.3. Cho A là toán tử quạt xác định dương với giải thức compact trên
không gian Banach (E, ∥.∥), 0 < α < 1 và g thỏa mãn các điều kiện sau:
(g1) tồn tại một hàm bị chặn địa phương G : (−∞, 0] → [0, +∞) thỏa mãn
g(ξ + θ) ≤ G(ξ)g(θ), với mọi ξ ≤ 0 và θ ∈ (−∞, 0] \ Nξ ,
trong đó Nξ ⊆ (−∞, 0] là tập có độ đo Lebesgue bằng 0;