Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình lượng giác võ anh khoa, hoàng bá minh

LƯỢNG
GIÁC
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG
TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH


VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH

LƯỢNG GIÁC
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG
TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

TP. HỒ CHÍ MINH

TOANMATH.com


LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” này được biên
soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT và một số bạn đọc
quan tâm đến mảng kiến thức này trong quá trình học tập và làm việc. Trong tập 2
“PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”
này, chúng tôi sẽ xoáy vào trọng tâm là “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”, một dạng
toán quen thuộc trong các đề thi THPT, đặc biệt là đề thi tuyển sinh Đại Học.
Ở các chương chính, chúng tôi chia làm 3 phần :
Phần I : Nêu lý thuyết cùng ví dụ minh họa ngay sau đó, giúp bạn đọc hiểu và biết
cách trình bày bài. Đồng thời đưa ra các dạng toán cơ bản, thường gặp trong quá trình

làm bài trên lớp của học sinh THPT. Ở phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài để bạn
đọc có thể nắm vững hơn, tránh sai sót.
Phần II : Trong quá trình tham khảo và tổng hợp tài liệu, chúng tôi sẽ đưa vào
phần này các dạng toán khó nhằm giúp cho các học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ năng
giải LƯỢNG GIÁC thành thạo hơn khi gặp phải những dạng toán này.
Phần III : Chúng tôi sẽ đưa ra lời giải gợi ý cho một số bài, qua đó bạn đọc kiểm
tra lại đáp số, lời giải hoặc cũng có thể tham khảo thêm.
Trong quá trình biên soạn, mặc dù chúng tôi đã cố gắng bằng việc tham khảo một lượng
rất lớn các tài liệu có sẵn và tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ các bạn đồng nghiệp để dần
hoàn thiện cuốn sách này, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bởi tầm hiểu biết và kinh
nghiệm còn hạn chế, chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc
gần xa.
Chi tiết liên hệ tại :


CÁC TÁC GIẢ
VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH.

TOANMATH.com


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình biên soạn, chúng tôi xin cám ơn đến những bạn đã cung cấp tài liệu tham
khảo và vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc bản đánh máy, tạo điều
kiện hoàn thành cuốn sách này :
-

Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM)
Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM)
Nguyễn Thị Thanh Huyền (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai)

Nguyễn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM)
Trần Lam Ngọc (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM)
Vương Tuấn Phong (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM)
Lê Quang Hiếu (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai)
Hoàng Minh Quân (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội)

và một số thành viên diễn đàn MathScope.

TOANMATH.com


MỤC LỤC
TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHƯƠNG 4 : SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
I.
II.

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC ........................................................... 1
BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC ............................... 2

CHƯƠNG 5 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I.

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ............................................ 3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................ 13

II.
1.

CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ........................................... 20
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ...................................................................... 20
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................ 35

2.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO •‹ ‫ ݔ‬VÀ …‘• ‫ ݔ‬.............................. 41
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................. 50

3.

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO •‹ ‫ ݔ‬VÀ …‘• ‫ ݔ‬............................... 53
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................. 60

4.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI •‹ ‫ ݔ‬ǡ …‘• ‫ ݔ‬......... 61
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................ 67

5.
a.

CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC ............................ 73
TỔNG HỢP ................................................................................................ 73
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................ 95

TOANMATH.com

b.

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC.................................................... 100
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ............................................................................... 103

c.

PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC .................................................. 107
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ............................................................................... 127

d.

PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ ................................................ 131
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ............................................................................... 148

CHƯƠNG 6 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ........................................... 154
I.
II.

TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP ....................... 154
CÁC BÀI TẬP MINH HỌA .................................................................... 155
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ............................................................................... 171

CHƯƠNG 7 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ......................................... 175
I.
II.

TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP ....................... 175
CÁC BÀI TẬP MINH HỌA .................................................................... 176

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ............................................................................... 186

ĐỌC THÊM :
TẢN MẠN VỀ SỐ PI ............................................................................... 189
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 194

TOANMATH.com


Chương 4 : Sơ lược về hàm lượng giác ngược

CHƯƠNG 4
SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
I.

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
Hàm số ‫ ݕ‬ൌ ƒ”…•‹ ‫ ݔ‬là hàm lượng giác ngược của
hàm số ‫ ݔ‬ൌ •‹ ‫ݕ‬, có một số tính chất cơ bản sau
ߨ ߨ
‫ א ݕ‬ቂെ Ǣ ቃ
‫ۓ‬
ʹ ʹ
ۖ
ߨ ߨ
ƒ”…•‹ሺ•‹ ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬ቂെ Ǣ ቃ
ʹ ʹ
‫۔‬
ሺ
ሻ
ሾ

•‹
ƒ”…•‹
‫ݔ‬
ൌ
‫ݔ‬ǡ
‫ݔ‬
‫א‬
െͳǢ
ͳሿ
ۖ
‫‹•…”ƒ ە‬ሺെ‫ ݔ‬ሻ ൌ െ ƒ”…•‹ ‫ݔ‬
Hàm số ‫ ݕ‬ൌ ƒ”……‘• ‫ ݔ‬là hàm lượng giác ngược
của hàm số ‫ ݔ‬ൌ …‘• ‫ݕ‬, có một số tính chất cơ bản sau
‫ א ݕ‬ሾͲǢ ߨሿ
ƒ”……‘•ሺ…‘• ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬ሾͲǢ ߨሿ
൞
…‘•ሺƒ”……‘• ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬ሾെͳǢ ͳሿ
ƒ”……‘•ሺെ‫ ݔ‬ሻ ൌ ߨ െ ƒ”……‘• ‫ݔ‬
Hàm số ‫ ݕ‬ൌ ƒ”…–ƒ ‫ ݔ‬là hàm lượng giác
ngược của hàm số ‫ ݔ‬ൌ –ƒ ‫ݕ‬, có một số tính
chất cơ bản sau
ߨ ߨ
‫ݕ‬
‫א‬
ቀെ
Ǣ ቁ
‫ۓ‬
ʹ
ʹ
ۖ

ߨ ߨ
ƒ”…–ƒሺ–ƒ ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬ቀെ Ǣ ቁ
ʹ ʹ
‫۔‬
ሺ
ሻ
ۖ –ƒ ƒ”…–ƒ ‫ ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬Թ
‫ ƒ–…”ƒ ە‬ሺെ‫ ݔ‬ሻ ൌ െ ƒ”…–ƒ ‫ݔ‬
Hàm số ‫ ݕ‬ൌ ƒ”……‘– ‫ ݔ‬là hàm lượng giác
ngược của hàm số ‫ ݔ‬ൌ …‘– ‫ݕ‬, có một số tính
chất cơ bản sau
‫ א ݕ‬ሺͲǢ ߨሻ
ƒ”……‘–ሺ…‘– ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬ሺͲǢ ߨሻ
൞
…‘–ሺƒ”……‘– ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬Թ
ƒ”……‘–ሺെ‫ ݔ‬ሻ ൌ ߨ െ ƒ”……‘– ‫ݔ‬

1

TOANMATH.com


Chương 4 : Sơ lược về hàm lượng giác ngược
BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
ߨ
ξʹ
ƒǤ ൌ •‹ ቆ ൅ ƒ”…•‹ ቆ ቇቇ
ͳʹ
ʹ

II.

ߨ ξʹ
•‹ ൌ
ߨ
ξʹ
Ͷ
ʹ ² ƒ”…•‹ ቆ ቇ ൌ Ǥ‘¯×ǡ
¿ ൞
ߨ
ߨ ߨ
Ͷ
ʹ
‫ א‬ቂെ Ǣ ቃ
Ͷ
ʹ ʹ
ߨ ߨ
ߨ ξ͵
 ൌ •‹ ቀ ൅ ቁ ൌ •‹ ൌ
ͳʹ Ͷ
͵
ʹ
„Ǥ ൌ ƒ”…•‹ ൬•‹
‘

ʹߨ
൰
͵

ߨ ߨ

ʹߨ
ʹߨ
ʹߨ
‫ ב‬ቂെ Ǣ ቃ ² ƒ”…•‹ ൬•‹ ൰ ്
Ǥ—›˜ậ›
ʹ ʹ
͵
͵
͵
•‹

ʹߨ
ߨ
ߨ
ൌ •‹ ቀߨ െ ቁ ൌ •‹
͵
͵
͵

Do đó,
 ൌ ƒ”…•‹ ൬•‹
…Ǥ ൌ ƒ”……‘• ൬…‘•

ߨ
ߨ
ʹߨ
൰ ൌ ƒ”…•‹ ቀ•‹ ቁ ൌ
͵
͵
͵

Ͷߨ
൰
͵

Ta thấy :
…‘•

Ͷߨ
ߨ
ߨ
ൌ …‘• ቀߨ ൅ ቁ ൌ െ …‘•
͵
͵
͵

Do đó,
 ൌ ƒ”……‘• ൬…‘•

Ͷߨ
ߨ
ߨ
ߨ ʹߨ
൰ ൌ ƒ”……‘• ቀെ …‘• ቁ ൌ ߨ െ ƒ”……‘• ቀ…‘• ቁ ൌ ߨ െ ൌ
͵
͵
͵
͵
͵

2

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác

CHƯƠNG 5
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I.
-

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
‫ ݑ‬ൌ ‫ ݒ‬൅ ݇ʹߨ
ƒǤ •‹ ‫ ݑ‬ൌ •‹ ‫ ݒ‬฻ ቂ
 ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
‫ ݑ‬ൌ ߨ െ ‫ ݒ‬൅ ݇ʹߨ
„Ǥ …‘• ‫ ݑ‬ൌ …‘• ‫ ݒ‬฻ ቂ

‫ ݑ‬ൌ ‫ ݒ‬൅ ݇ʹߨ ሺ
 ݇ ‫ א‬Ժሻ
‫ ݑ‬ൌ െ‫ ݒ‬൅ ݇ʹߨ

‫ ݑ‬ൌ ‫ ݒ‬൅ ݇ߨ
ߨ
…Ǥ –ƒ ‫ ݑ‬ൌ –ƒ ‫ ݒ‬฻ ቊ
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
‫ ് ݑ‬൅ ݇ߨ
ʹ

†Ǥ …‘– ‫ ݑ‬ൌ …‘– ‫ ݒ‬฻ ቄ
-

‫ ݑ‬ൌ ‫ ݒ‬൅ ݇ߨ
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
‫ߨ݇ ് ݑ‬

CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐẶC BIỆT

ͳǤ •‹ ‫ ݑ‬ൌ Ͳ ฻ ‫ ݑ‬ൌ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹǤ …‘• ‫ ݑ‬ൌ Ͳ ฻ ‫ ݑ‬ൌ

ߨ
൅ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ

͵Ǥ •‹ ‫ ݑ‬ൌ ͳ ฻ ‫ ݑ‬ൌ

ߨ
൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ

ͶǤ …‘• ‫ ݑ‬ൌ ͳ ฻ ‫ ݑ‬ൌ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ͷǤ •‹ ‫ ݑ‬ൌ െͳ ฻ ‫ ݑ‬ൌ െ

ߨ
൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ

͸Ǥ …‘• ‫ ݑ‬ൌ െͳ ฻ ‫ ݑ‬ൌ ߨ ൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ

ߨ
൅ ݇ʹߨ
ͳ
͸
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
͹Ǥ •‹ ‫ ݑ‬ൌ ฻ ൦
ͷߨ
ʹ
‫ݑ‬ൌ
൅ ݇ʹߨ
͸
‫ݑ‬ൌ

ͺǤ …‘• ‫ ݑ‬ൌ

ߨ
ͳ
฻ ‫ ݑ‬ൌ േ ൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
͵
ʹ
3

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác
ߨ
൅ ݇ʹߨ
ξ͵
͵

฻൦
ͻǤ •‹ ‫ ݑ‬ൌ
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹߨ
ʹ
‫ݑ‬ൌ
൅ ݇ʹߨ
͵
‫ݑ‬ൌ

ͳͲǤ …‘• ‫ ݑ‬ൌ

ߨ
ξ͵
฻ ‫ ݑ‬ൌ േ ൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
͸
ʹ

ߨ
൅ ݇ʹߨ
ͳ
͸
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ͳͳǤ •‹ ‫ ݑ‬ൌ െ ฻ ൦
͹ߨ
ʹ
൅ ݇ʹߨ
‫ݑ‬ൌ
͸
‫ݑ‬ൌെ

ͳ
ʹߨ
ͳʹǤ …‘• ‫ ݑ‬ൌ െ ฻ ‫ ݑ‬ൌ േ
൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ
͵
ߨ
൅ ݇ʹߨ
‫ݑ‬
ൌ
െ
ξ͵
͵
ͳ͵Ǥ •‹ ‫ ݑ‬ൌ െ
฻൦
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
Ͷߨ
ʹ
൅ ݇ʹߨ
‫ݑ‬ൌ
͵
ͳͶǤ …‘• ‫ ݑ‬ൌ െ

ͷߨ
ξ͵
฻‫ݑ‬ൌേ
൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ
͸

Chú ý rằng:
ߨ ߨ
ͳሻŠươ‰–”¿Š •‹ ‫ ݔ‬ൌ ݉ሺ݉ ‫ א‬ሾെͳǢ ͳሿሻ…ׯộ–‰Š‹ệ–Š—ộ… ቂെ Ǣ ቃǤ
ʹ ʹ
ƒÀŠ‹ệ—‰Š‹ệ¯×Ž ƒ”…•‹ ݉Ǥ
ʹሻŠươ‰–”¿Š …‘• ‫ ݔ‬ൌ ݉ሺ݉ ‫ א‬ሾെͳǢ ͳሿሻ …ׯộ–‰Š‹ệ–Š—ộ…ሾͲǢ ߨሿǤ
ƒÀŠ‹ệ—‰Š‹ệ¯×Ž ƒ”……‘• ݉Ǥ
ߨ ߨ
͵ሻŠươ‰–”¿Š –ƒ ‫ ݔ‬ൌ ݉ሺ݉ ‫ א‬Թሻ…ׯộ–‰Š‹ệ–Š—ộ… ቀെ Ǣ ቁǤ
ʹ ʹ
ƒÀŠ‹ệ—‰Š‹ệ¯×Ž ƒ”…–ƒ ݉Ǥ
ͶሻŠươ‰–”¿Š …‘– ‫ ݔ‬ൌ ݉ሺ݉ ‫ א‬Թሻ…ׯộ–‰Š‹ệ–Š—ộ…ሺͲǢ ߨሻǤ
ƒÀŠ‹ệ—‰Š‹ệ¯×Ž ƒ”……‘– ݉Ǥ
Chúng ta sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã nêu trong Chương 2, phân tích
phương trình thành các nhân tử để xuất hiện các dạng phương trình trên.
4

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác
Bài 1: Giải các phương trình sau
ƒǤ •‹ ʹ‫ ݔ‬ൌ ͳ…Ǥ –ƒ ‫ ݔ‬ൌ െ
„Ǥ …‘• ͵‫ ݔ‬ൌ

ξ͵
͵

ͳ

 †Ǥ …‘– ʹ‫ ݔ‬ൌ ͳ
ʹ

Giải:
a.

Ta có:
•‹ ʹ‫ ݔ‬ൌ ͳ ฻ ʹ‫ ݔ‬ൌ

b.

Ta có:
…‘•͵‫ ݔ‬ൌ

c.

ߨ
ߨ
൅ ݇ʹߨ ฻ ‫ ݔ‬ൌ ൅ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
Ͷ
ʹ

ߨ ݇ʹߨ
ߨ
ͳ
฻ ͵‫ ݔ‬ൌ േ ൅ ݇ʹߨ ฻ ‫ ݔ‬ൌ േ ൅
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ͻ
͵
͵

ʹ

Ta có:
ߨ
൅ ݇ߨ
‫ݔ‬
ൌ
െ
ߨ
ξ͵
͸
฻൞
൅ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
฻
‫ݔ‬
ൌ
െ
–ƒ ‫ ݔ‬ൌ െ
ߨ
͸
͵
‫ ് ݔ‬൅ ݇ߨ
ʹ

d.

Ta có:
ߨ ݇ߨ
‫ݔ‬ൌ ൅
ͺ

ʹ ฻ ‫ ݔ‬ൌ ߨ ൅ ݇ߨ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
…‘– ʹ‫ ݔ‬ൌ ͳ ฻ ൞
݇ߨ
ͺ
ʹ
‫്ݔ‬
ʹ

Bài 2: Giải các phương trình sau
ƒǤ •‹ሺ‫ ݔ‬൅ ʹሻ ൌ

ͳ
 …Ǥ –ƒሺʹ‫ ݔ‬െ ͳሻ ൌ ξ͵
ʹ

„Ǥ …‘•ሺߨ െ ‫ ݔ‬ሻ ൌ ͳ  †Ǥ …‘–ሺ͵‫ ݔ‬െ ͳሻ ൌ െξ͵

5

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác
Giải:
a.
Ta có:

ߨ
ߨ
‫ݔ‬

ൌ
൅
݇ʹߨ
൅ ݇ʹߨ െ ʹ
ͳ
͸
͸
•‹ሺ‫ ݔ‬൅ ʹሻ ൌ ฻ ൦
฻൦
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ͷߨ
ͷߨ
ʹ
൅ ݇ʹߨ
൅ ݇ʹߨ െ ʹ
‫ݔ‬൅ʹൌ
‫ݔ‬ൌ
͸
͸
b.
Ta có:
…‘•ሺߨ െ ‫ ݔ‬ሻ ൌ ͳ ฻ ߨ െ ‫ ݔ‬ൌ ݇ʹߨ ฻ ‫ ݔ‬ൌ ߨ ൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
c.
Ta có:
ߨ
ߨ ݇ߨ ͳ
ʹ‫ ݔ‬െ ͳ ൌ ൅ ݇ߨ
൅
‫ݔ‬ൌ ൅
͵

ʹ
ʹ
͸
–ƒሺʹ‫ ݔ‬െ ͳሻ ൌ ξ͵ ฻ ൞
฻൞
ߨ
ߨ ݇ߨ ͳ
ʹ‫ ݔ‬െ ͳ ് ൅ ݇ߨ
‫ ്ݔ‬൅
൅
ʹ
Ͷ
ʹ
ʹ
ߨ ݇ߨ ͳ
฻ ‫ ݔ‬ൌ ൅
൅ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
͸
ʹ
ʹ
d.
Ta có:
ߨ ݇ߨ ͳ
ߨ
‫ݔ‬ൌെ
൅
൅
͵‫ ݔ‬െ ͳ ൌ െ ൅ ݇ߨ
ͳͺ ͵
͵

൞
…‘–ሺ͵‫ ݔ‬െ ͳሻ ൌ െξ͵ ฻ ൞
฻
͸
݇ߨ ͳ
͵‫ ݔ‬െ ͳ ് ݇ߨ
‫്ݔ‬
൅
͵
͵
ߨ ݇ߨ ͳ
฻ ‫ ݔ‬ൌ െ
൅
൅ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ͳͺ ͵
͵
Bài 3: Giải các phương trình sau
ߨ
ߨ
ƒǤ –ƒ ቀ‫ ݔ‬൅ ቁ ൌ –ƒ ቀʹ‫ ݔ‬൅ ቁ
Ͷ
͵
ߨ
ߨ
„Ǥ –ƒ ቀ‫ ݔ‬൅ ቁ ൌ െ …‘– ቀʹ‫ ݔ‬െ ቁ
Ͷ
͵
‫ݔ‬൅ʹ ൌ

…Ǥ •‹ ‫ ݔ‬ൌ …‘•ሺ‫ ݔ‬൅ ߨሻ

Giải:
a.
Ta có:

ߨ
ߨ
ߨ
‫ݔ‬
ൌ
െ
൅ ݇ߨ
ൌ
‫ݔ‬
൅
൅
݇ߨ
ߨ
ߨ
͸
͵
Ͷ
฻൞
–ƒ ቀ‫ ݔ‬൅ ቁ ൌ –ƒ ቀʹ‫ ݔ‬൅ ቁ ฻ ൞
ߨ ߨ
ߨ ݇ߨ
Ͷ
͵
ʹ‫ ݔ‬൅ ് ൅ ݇ߨ
൅
‫്ݔ‬

͵ ʹ
ͳʹ ʹ
ߨ
฻ ‫ ݔ‬ൌ െ ൅ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
͸
Ta có:
ߨ
ߨ
ߨ
ߨ
–ƒ ቀ‫ ݔ‬൅ ቁ ൌ െ …‘– ቀʹ‫ ݔ‬െ ቁ ฻ –ƒ ቀ‫ ݔ‬൅ ቁ ൌ –ƒሺʹ‫ ݔ‬൅ ሻ
Ͷ
͵
Ͷ
͸
ʹ‫ ݔ‬൅

b.

6

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác
ߨ
ߨ
ߨ
‫ݔ‬ൌ
൅ ݇ߨ

ൌ ‫ ݔ‬൅ ൅ ݇ߨ
ߨ
ͳʹ
͸
Ͷ
൞
฻
฻൞
฻
‫ݔ‬
ൌ
൅ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ߨ ߨ
ߨ ݇ߨ
ͳʹ
ʹ‫ ݔ‬൅ ് ൅ ݇ߨ
‫ ്ݔ‬൅
͸ ʹ
ʹ
͸
Ta có:
ߨ
൅ ݇ʹߨ
‫ݔ‬
ൌ
െ‫ݔ‬
െ
ߨ
ʹ
•‹ ‫ ݔ‬ൌ …‘•ሺ‫ ݔ‬൅ ߨሻ ฻ •‹ ‫ ݔ‬ൌ •‹ ቀെ‫ ݔ‬െ ቁ ฻ ൦

ߨ
ʹ
‫ ݔ‬ൌ ߨ ൅ ‫ ݔ‬൅ ൅ ݇ʹߨ
ʹ
ߨ
‫ ݔ‬ൌ െ ൅ ݇ߨ
ߨ
Ͷ
฻
‫ݔ‬
ൌ
െ
൅ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
฻൦
͵ߨ
Ͷ
൅ ݇ʹߨሺ˜ØŽýሻ
Ͳ‫ ݔ‬ൌ
ʹ
ʹ‫ ݔ‬൅

c.

Bài 4: Giải các phương trình sau

ƒǤ –ƒ ‫ ݔ‬൅ …‘– ‫ ݔ‬ൌ െ
„Ǥ

ʹ
…‘• ‫ݔ‬

…‘• ‫ݔ‬
•‹ ‫ݔ‬
െ
ൌͲ
•‹ ͷ‫ •‘… ݔ‬ͷ‫ݔ‬

…Ǥ ሺʹ …‘• ‫ ݔ‬െ ͳሻሺʹ •‹ ‫ ݔ‬൅ …‘• ‫ݔ‬ሻ ൌ •‹ ʹ‫ ݔ‬െ •‹ ‫ݔ‬

(Tuyển sinh khối D 2004)

Giải:
a.
Điều kiện :
‫്ݔ‬

݇ߨ
 ሺ݇ ‫ א‬Ժሻሺ‫כ‬ሻ
ʹ

Phương trình tương đương với
ʹ
ͳ
ൌെ

…‘• ‫ݔ‬
•‹ ‫ݔ •‘… ݔ‬
ߨ
‫ݔ‬
ൌ

െ
൅ ݇ʹߨ
ͳ
͸
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
฻ •‹ ‫ ݔ‬ൌ െ ฻ ൦
͹ߨ
ʹ
൅ ݇ʹߨ
‫ݔ‬ൌ
͸
Kết hợp với ሺ‫כ‬ሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.
„Ǥ
Điều kiện :
݇ߨ
•‹ ʹ‫Ͳ ് ݔ‬
฻ •‹ Ͷ‫് ݔ ֞ Ͳ ് ݔ‬
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ሺ‫כ‬ሻ
൜
…‘• ʹ‫Ͳ ് ݔ‬
Ͷ
Phương trình tương đương với
•‹ ‫ ݔʹ •‘… ݔ‬െ …‘• ‫ݔʹ ‹• ݔ‬
ൌ Ͳ ฻ •‹ ‫ ݔ‬ൌ Ͳ ฻ ‫ ݔ‬ൌ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
•‹ ʹ‫ݔʹ •‘… ݔ‬
7

TOANMATH.com

Chương 5 : Phương trình lượng giác
Kết hợp với ሺ‫כ‬ሻ ta được nghiệm là ‫ ݔ‬ൌ ߨ ൅ ݉ʹߨሺ݉ ‫ א‬Ժሻ
c.
Ta có:
ሺʹ …‘• ‫ ݔ‬െ ͳሻሺʹ •‹ ‫ ݔ‬൅ …‘• ‫ݔ‬ሻ ൌ •‹ ʹ‫ ݔ‬െ •‹ ‫ݔ‬
฻ ሺʹ …‘• ‫ ݔ‬െ ͳሻሺʹ •‹ ‫ ݔ‬൅ …‘• ‫ݔ‬ሻ ൌ •‹ ‫ݔ‬ሺʹ …‘• ‫ ݔ‬െ ͳሻ
฻ ሺʹ …‘• ‫ ݔ‬െ ͳሻሺ•‹ ‫ ݔ‬൅ …‘• ‫ݔ‬ሻ ൌ Ͳ
ߨ
฻ ξʹሺʹ …‘• ‫ ݔ‬െ ͳሻ •‹ ቀ‫ ݔ‬൅ ቁ ൌ Ͳ
Ͷ
ͳ
…‘• ‫ ݔ‬ൌ
ʹ
฻ ൦
ߨ
•‹ ቀ‫ ݔ‬൅ ቁ ൌ Ͳ
Ͷ
ߨ
‫ ݔ‬ൌ േ ൅ ݇ʹߨ
͵
฻ ൦
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ߨ
‫ ݔ‬ൌ െ ൅ ݇ߨ
Ͷ
Bài 5: Giải các phương trình sau
ƒǤξ͵ –ƒሺʹ‫ ݔ‬െ ͵͸଴ ሻ െ ͳ ൌ Ͳ ǡ ‫ א ݔ‬ሾͻͲ଴ Ǣ ͳͺͲ଴ ሿ
„Ǥ •‹ሺ͵‫ ݔ‬൅ ͳሻ ൅ •‹ሺ͵‫ ݔ‬െ ͳሻ ൌ Ͳ ǡ ‫ א ݔ‬ሾെߨǢ ߨሿ

…Ǥ …‘• ͵‫ ݔ‬െ Ͷ …‘• ʹ‫ ݔ‬൅ ͵ …‘• ‫ ݔ‬െ Ͷ ൌ Ͳ ǡ ‫ א ݔ‬ሾͲǢ ͳͶሿ

(Tuyển sinh khối D 2002)

Giải:
a.
Ta có:
ξ͵ –ƒሺʹ‫ ݔ‬െ ͵͸଴ ሻ െ ͳ ൌ Ͳ (với ‫ א ݔ‬ሾͻͲ଴ Ǣ ͳͺͲ଴ ሿ)
฻ –ƒሺʹ‫ ݔ‬െ ͵͸଴ ሻ ൌ

଴
଴
଴
ξ͵
฻ ൜ʹ‫ ݔ‬െ ͵͸଴ ൌ ͵Ͳ଴ ൅ ݇ͳͺͲ଴
͵
ʹ‫ ݔ‬െ ͵͸ ് ͻͲ ൅ ݇ͳͺͲ

଴
଴
฻ ൜‫ ݔ‬ൌ ͵͵଴ ൅ ݇ͻͲ଴ ฻ ‫ ݔ‬ൌ ͵͵଴ ൅ ݇ͻͲ଴ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
‫ ് ݔ‬͸͵ ൅ ݇ͻͲ
Lại có:
଴
଴
଴
଴
‫ א ݔ‬ሾͻͲ଴ Ǣ ͳͺͲ଴ ሿ ฻ ቄͻͲ ൑ ͵͵ ൅ ݇ͻͲ ൑ ͳͺͲ
݇‫א‬Ժ
Ͷͻ
ͳͻ

฻ ൝͵Ͳ ൑ ݇ ൑ ͵Ͳ ฻ ݇ ‫ א‬ሼͳሽ
݇‫א‬Ժ
Vậy nghiệm của phương trình là ‫ ݔ‬ൌ ͳʹ͵଴
b.
Ta có:
•‹ሺ͵‫ ݔ‬൅ ͳሻ ൅ •‹ሺ͵‫ ݔ‬െ ͳሻ ൌ Ͳ (với ‫ א ݔ‬ሾെߨǢ ߨሿ)

8

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác
฻ ʹ •‹ ͵‫ ͳ •‘… ݔ‬ൌ Ͳ ฻ •‹ ͵‫ ݔ‬ൌ Ͳ ฻ ‫ ݔ‬ൌ

݇ߨ
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
͵

Lại có:
݇ߨ
൑ ߨ ฻ ቄെ͵ ൑ ݇ ൑ ͵ ฻ ݇ ‫ א‬ሼͲǢ േͳǢ േʹǢ േ͵ሽ
െߨ
൑
‫ א ݔ‬ሾെߨǢ ߨሿ ฻ ൝
͵
݇‫א‬Ժ
݇‫א‬Ժ
ʹߨ
ߨ

ậ›‰Š‹ệ…ዚƒ’Šዛዓ‰–”¿ŠŽ‫ א ݔ‬൜ͲǢ േ Ǣ േ Ǣ േߨൠ
͵
͵
c.
Ta có:
…‘• ͵‫ ݔ‬െ Ͷ …‘• ʹ‫ ݔ‬൅ ͵ …‘• ‫ ݔ‬െ Ͷ ൌ Ͳ (với ‫ א ݔ‬ሾͲǢ ͳͶሿ)
฻ Ͷ …‘• ଷ ‫ ݔ‬െ ͵ …‘• ‫ ݔ‬െ Ͷሺʹ …‘• ଶ ‫ ݔ‬െ ͳሻ ൅ ͵ …‘• ‫ ݔ‬െ Ͷ ൌ Ͳ
฻ Ͷ …‘• ଶ ‫ݔ‬ሺ…‘• ‫ ݔ‬െ ʹሻ ൌ Ͳ
…‘• ‫ ݔ‬ൌ Ͳ
฻ ൤
…‘• ‫ ݔ‬ൌ ʹ ൐ ͳሺŽ‘ạ‹˜¿ …‘• ‫ ݔ‬൑ ͳሻ
ߨ
฻ ‫ ݔ‬ൌ ൅ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ
Lại có:
ߨ
ͳ
ͳͶ ͳ
൅
݇ߨ
൑
ͳͶ
Ͳ
൑
െ
൑
݇
൑
െ
฻൝ ʹ

‫ א ݔ‬ሾͲǢ ͳͶሿ ฻ ቊ
ʹ
ߨ ʹ ฻ ݇ ‫ א‬ሼͲǢ ͳǢ ʹǢ ͵ሽ
݇‫א‬Ժ
݇‫א‬Ժ
ߨ ͵ߨ ͷߨ ͹ߨ
ậ›‰Š‹ệ…ủƒ’Šươ‰–”¿ŠŽ‫ א ݔ‬൜ Ǣ Ǣ
Ǣ ൠ
ʹ ʹ ʹ ʹ
Bài 6: Giải các phương trình sau
ƒǤ •‹ ൬ʹ‫ ݔ‬൅
„Ǥ

ͷߨ
͹ߨ
ߨ
൰ െ ͵ …‘• ൬‫ ݔ‬െ ൰ ൌ ͳ ൅ ʹ •‹ ‫ ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬ቂ ǡ ͵ߨቃ
ʹ
ʹ
ʹ

•‹ ͵‫ ݔ‬െ •‹ ‫ݔ‬
ξͳ െ …‘• ʹ‫ݔ‬

ൌ •‹ ʹ‫ ݔ‬൅ …‘• ʹ‫ ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬ሺͲǡʹߨሻ


Giải:
a.
Ta có :

ͷߨ
ߨ
൰ ൌ •‹ ቀʹ‫ ݔ‬൅ ቁ ൌ …‘• ʹ‫ݔ‬
ʹ
ʹ
͹ߨ
ߨ
…‘• ൬‫ ݔ‬െ ൰ ൌ …‘• ቀ‫ ݔ‬൅ െ Ͷߨቁ ൌ െ •‹ ‫ݔ‬
ʹ
ʹ
Như vậy, phương trình viết lại thành
…‘• ʹ‫ ݔ‬൅ ͵ •‹ ‫ ݔ‬ൌ ͳ ൅ ʹ •‹ ‫ݔ‬
ͳ
฻ ʹ •‹ ʹ‫ ݔ‬൬•‹ ‫ ݔ‬െ ൰ ൌ Ͳ
ʹ
•‹ ൬ʹ‫ ݔ‬൅

9

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác
‫ ݔ‬ൌ ݇ߨ
‫ۍ‬
ߨ
‫ ݔ ێ‬ൌ ൅ ݇ʹߨ
͸
฻ ‫ێ‬
 ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ

ͷߨ
‫ێ‬
൅ ݇ʹߨ
‫ݔ‬
ൌ
‫ۏ‬
͸
ߨ ͷߨ ͳ͹ߨ
ߨ
Ǣ
ൠ
¿‫ א ݔ‬ቂ ǡ ͵ߨቃ ²‰Š‹ệ…ủƒ’Šươ‰–”¿ŠŽ‫ א ݔ‬൜ߨǢ ʹߨǢ ͵ߨǢ Ǣ
͸ ʹ ͸
ʹ
b.
Phương trình tương đương với
ߨ
ʹ …‘• ʹ‫ݔ ‹• ݔ‬
ൌ ξʹ …‘• ቀʹ‫ ݔ‬െ ቁ
Ͷ
ξʹȁ•‹ ‫ݔ‬ȁ
Nếu ‫ א ݔ‬ሺͲǡ ߨሻ thì •‹ ‫ ݔ‬൐ Ͳ nên
ߨ ݇ߨ
ߨ
൅  ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
…‘• ʹ‫ ݔ‬ൌ …‘• ቀʹ‫ ݔ‬െ ቁ ฻ ‫ ݔ‬ൌ
ͳ͸ ʹ
Ͷ
Khi đó,
ߨ ͻߨ

‫אݔ‬൜ Ǣ ൠ
ͳ͸ ͳ͸
Nếu ‫ א ݔ‬ሺߨǡ ʹߨሻ thì •‹ ‫ ݔ‬൏ Ͳ nên
ߨ
ͷߨ ݇ߨ
…‘• ʹ‫ ݔ‬ൌ െ …‘• ቀʹ‫ ݔ‬െ ቁ ฻ ‫ ݔ‬ൌ
൅  ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
Ͷ
ͳ͸
ʹ
Khi đó,
ʹͳߨ ʹͻߨ
‫אݔ‬൜
Ǣ
ൠ
ͳ͸ ͳ͸
ߨ ͻߨ ʹͳߨ ʹͻߨ
Ǣ
ൠ
ኼ›‰Š‹ệ…ủƒ’Šươ‰–”¿ŠŽ‫ א ݔ‬൜ Ǣ Ǣ
ͳ͸ ͳ͸ ͳ͸ ͳ͸
Bài 7: Giải các phương trình sau
ƒǤሺʹ …‘• ‫ ݔ‬െ ͳሻሺʹ •‹ ‫ ݔ‬൅ …‘• ‫ݔ‬ሻ ൌ •‹ ʹ‫ ݔ‬െ •‹ ‫ݔ‬
(Tuyển sinh khối D 2004)
„Ǥ •‹ ‫ ݔ‬൅ …‘• ‫ ݔ‬൅ ͳ ൅ •‹ ʹ‫ ݔ‬൅ …‘• ʹ‫ ݔ‬ൌ Ͳ
(Tuyển sinh khối B 2005)
‫ݔ‬
…Ǥ …‘– ‫ ݔ‬൅ •‹ ‫ ݔ‬ቀͳ ൅ –ƒ ‫ ƒ– ݔ‬ቁ ൌ Ͷ ሺ—›ển•‹ŠŠố‹ʹͲͲ͸ሻ
ʹ
†Ǥ

ͳ
ͳ
͹ߨ
൅
ൌ Ͷ •‹ ൬ െ ‫ݔ‬൰ሺ—›ển•‹ŠŠố‹ʹͲͲͺሻ
•‹ ‫ ‹• ݔ‬ቀ‫ ݔ‬െ ͵ߨቁ
Ͷ
ʹ

Giải:
a.
Phương trình tương đương với
ሺʹ …‘• ‫ ݔ‬െ ͳሻሺʹ •‹ ‫ ݔ‬൅ …‘• ‫ ݔ‬ሻ ൌ •‹ ‫ ݔ‬ሺʹ …‘• ‫ ݔ‬െ ͳሻ
฻ ሺʹ …‘• ‫ ݔ‬െ ͳሻሺ•‹ ‫ ݔ‬൅ …‘• ‫ ݔ‬ሻ ൌ Ͳ
10

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác
ͳ
…‘• ‫ ݔ‬ൌ
ʹ
฻ ൦
ߨ
ξʹ •‹ ቀ‫ ݔ‬൅ ቁ ൌ Ͳ
Ͷ
ߨ
൅ ݇ʹߨ

͵
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
฻ ൦
ߨ
‫ ݔ‬ൌ െ ൅ ݇ߨ
Ͷ
‫ݔ‬ൌേ

b.

Phương trình tương đương với
ʹ …‘• ଶ ‫ ݔ‬൅ ʹ …‘• ‫ ݔ ‹• ݔ‬൅ …‘• ‫ ݔ‬൅ •‹ ‫ ݔ‬ൌ Ͳ
฻ ሺʹ …‘• ‫ ݔ‬൅ ͳሻሺ…‘• ‫ ݔ‬൅ •‹ ‫ ݔ‬ሻ ൌ Ͳ
ʹߨ
൅ ݇ʹߨ
͵
฻ ൦
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ߨ
‫ ݔ‬ൌ െ ൅ ݇ߨ
Ͷ
‫ݔ‬ൌേ

c.

0‹ều kiệnǣ

Ta thấy :

…‘• ‫Ͳ ് ݔ‬

݇ߨ
ቐ •‹ ‫ Ͳ ് ݔݔ‬฻ •‹ ʹ‫ Ͳ ് ݔ‬฻ ‫് ݔ‬
 ሺ݇ ‫ א‬Ժሻሺ‫כ‬ሻ
Ͷ
…‘• ് Ͳ
ʹ

‫ݔ‬
‫ݔ‬
‫ݔ‬
•‹ ‫‹• ݔ‬
…‘• ‫ •‘… ݔ‬൅ •‹ ‫‹• ݔ‬
‫ݔ‬
ʹ
ʹ
ʹൌ ͳ
ൌ
ͳ ൅ –ƒ ‫ ƒ– ݔ‬ൌ ͳ ൅
‫ݔ‬
‫ݔ‬
…‘• ‫ݔ‬
ʹ
…‘• ‫•‘… ݔ‬
…‘• ‫•‘… ݔ‬
ʹ
ʹ
Do đó, phương trình tương đương với
ߨ
‫ݔ‬
ൌ

൅ ݇ߨ
ͳ
ͳʹ
…‘– ‫ ݔ‬൅ –ƒ ‫ ݔ‬ൌ Ͷ ฻ •‹ ʹ‫ ݔ‬ൌ ฻ ൦
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ͷߨ
ʹ
൅ ݇ߨ
‫ݔ‬ൌ
ͳʹ
Kết hợp với ሺ‫כ‬ሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.
d.
Điều kiện :
•‹ ‫Ͳ ് ݔ‬
͵ߨ
 ሺ‫כ‬ሻ
൝
•‹ ൬‫ ݔ‬െ ൰ ് Ͳ
ʹ
Phương trình tương đương với
ͳ
ͳ
൅
ൌ െʹξʹሺ•‹ ‫ ݔ‬൅ …‘• ‫ ݔ‬ሻ
•‹ ‫ݔ •‘… ݔ‬

11

TOANMATH.com

Chương 5 : Phương trình lượng giác
ߨ
‫ ݔۍ‬ൌ െ ͺ ൅ ݇ߨ
‫ێ‬
ߨ
ͳ
ͷߨ
•‹ ቀ‫ ݔ‬൅ ቁ ൬
൅ ξʹ൰ ൌ Ͳ ฻ ‫ ݔ ێ‬ൌ
൅ ݇ߨ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
Ͷ •‹ ʹ‫ݔ‬
‫ێ‬
ͺ
ߨ
‫ێ‬
‫ݔ‬
ൌ
െ
൅ ݇ߨ
‫ۏ‬
Ͷ
Kết hợp với ሺ‫כ‬ሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.
Bài 8: Tìm tất cả các giá trị nguyên của ‫ ݔ‬thỏa mãn
ߨ
…‘• ቀ͵‫ ݔ‬െ ඥͻ‫ ݔ‬ଶ െ ͳ͸‫ ݔ‬െ ͺͲቁ ൌ ͳ
Ͷ
Giải: Phương trình tương đương với
ߨ
ቀ͵‫ ݔ‬െ ඥͻ‫ ݔ‬ଶ െ ͳ͸‫ ݔ‬െ ͺͲቁ ൌ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ

Ͷ
฻ ඥͻ‫ ݔ‬ଶ െ ͳ͸‫ ݔ‬െ ͺͲ ൌ ͵‫ ݔ‬െ ͺ݇
͵‫ ݔ‬െ ͺ݇ ൒ Ͳ
฻ ൜ ଶ
ͻ‫ ݔ‬െ ͳ͸‫ ݔ‬െ ͺͲ ൌ ሺ͵‫ ݔ‬െ ͺ݇ ሻଶ
͵‫ ݔ‬െ ͺ݇ ൒ Ͳ
Ͷͻ  ሺ‫כ‬ሻ
฻ ൝
ͻ‫ ݔ‬ൌ ͳʹ݇ ൅ Ͷ ൅
͵݇ െ ͳ
Do đó, ͵݇ െ ͳ là ước nguyên của 49. Ta được : ͵݇ െ ͳ ൌ േͳǡ േ͹ǡ േͶͻ
Vì ݇ ‫ א‬Ժ nên ݇ ൌ Ͳǡ െʹǡ െͳ͸. Thay vào ሺ‫כ‬ሻ, ta được ‫ ݔ‬ൌ െ͵ǡ െʹͳ

12

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác
-

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

5.1.1. Giải các phương trình sau:
ƒǤ –ƒ ʹ‫ ݔ‬ൌ

ξ͵
͵

„Ǥ •‹ ͳͲ‫ ݔ‬ൌ ͳ

…ǤͶ …‘• ଶ ‫ ݔ‬െ ͵ ൌ Ͳ
†Ǥ͵ •‹ ‫ ݔ‬െ ʹ ൌ Ͳ
‡Ǥͳ ൅ •‹ ʹ‫ ݔ‬ൌ •‹ଶ ‫ ݔ‬൅ …‘• ଶ ‫ݔ‬
5.1.2. Giải các phương trình sau:
ʹ‫ߨ ݔ‬
ƒǤ •‹ ൬ െ ൰ ൌ Ͳ
͵
͵
ߨ
„Ǥͳ ൅ …‘• ቀʹ‫ ݔ‬െ ቁ ൌ Ͳ
͸
‫ߨ ݔ‬
ξ͵
…Ǥ –ƒ ቀ ൅ ቁ ൌ
͵
ʹ ͵
†Ǥ •‹ଶ ሺ‫ ݔ‬൅ ͳሻ ൌ ͳ
ߨ
ξʹ
‡Ǥʹ …‘• ቈ ቆ•‹ ‫ ݔ‬െ ͳ ൅ ቇ቉ ൌ ξ͵
͸
ʹ
5.1.3. Giải các phương trình sau:
Ͷ‫ݔ‬
ƒǤ •‹ ‫ ݔ‬ൌ •‹ ൬ ൅ ͵ߨ൰
ͷ
„Ǥ …‘•ሺʹ‫ ݔ‬൅ ߨሻ ൌ െ •‹ ‫ݔ‬
…Ǥ •‹ ‫ ݔ‬ൌ െ …‘• ʹ‫ݔ‬
ߨ
†Ǥ –ƒ ‫ ݔ‬൅ –ƒ ቀʹ‫ ݔ‬൅ ቁ ൌ Ͳ

͵
‡Ǥ …‘• ͷ‫ ݔ‬െ •‹ሺ͵‫ ݔ‬൅ Ɏሻ ൌ Ͳ
5.1.4. Giải các phương trình sau:
ƒǤͶ •‹ ‫ ݔʹ •‘… ݔ •‘… ݔ‬ൌ ͳ
ͳ
„Ǥ …‘• ‫ •‘… ݔʹ •‘… ݔ‬Ͷ‫ •‘… ݔ‬ͺ‫ͳ •‘… ݔ‬͸‫ ݔʹ͵ •‘… ݔ‬ൌ
͸Ͷ •‹ ‫ݔ‬
…‘• ‫ݔ‬
…Ǥ –ƒ ‫ ݔ‬൅
ൌͳ
ͳ ൅ •‹ ‫ݔ‬
†Ǥ …‘• ͵‫ ݔ‬െ …‘• ʹ‫ ݔ‬െ …‘• ‫ ݔ‬ൌ •‹ ʹ‫ ݔ‬െ •‹ ‫ ݔ‬െ ͳ
‡Ǥሺͳ െ –ƒ ‫ݔ‬ሻሺͳ ൅ •‹ ʹ‫ ݔ‬ሻ ൌ ͳ ൅ –ƒ ‫ݔ‬
13

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác
ˆǤ …‘• ͳͲ‫ ݔ‬൅ ʹ …‘• ଶ Ͷ‫ ݔ‬൅ ͸ …‘• ͵‫ ݔ •‘… ݔ‬ൌ …‘• ‫ ݔ‬൅ ͺ …‘• ‫ •‘… ݔ‬ଷ ͵‫ݔ‬
‰ǤͶ •‹ଷ ‫ ݔ‬൅ ͵ …‘• ଶ ‫ ݔ‬െ ͵ •‹ ‫ ݔ‬െ •‹ଶ ‫ ݔ •‘… ݔ‬ൌ Ͳ
ŠǤ •‹଺ ‫ ݔ‬൅ …‘• ଺ ‫ ݔ‬ൌ ʹሺ•‹଼ ‫ ݔ‬൅ …‘• ଼ ‫ݔ‬ሻ
‹Ǥ –ƒଶ ‫ ݔ‬െ –ƒ ‫ ݔ͵ ƒ– ݔ‬ൌ ʹ
5.1.5. Giải các phương trình sau:
ߨ ߨ
ƒǤ •‹ ʹ‫ ݔ‬ൌ ͳǡ ‫ א ݔ‬ቂെ Ǣ ቃ
ʹ ʹ
ߨ
„Ǥ …‘• ‫ ݔ‬൅ …‘• ͵‫ ݔ‬ൌ Ͳǡ ‫ א ݔ‬ቂͲǢ ቃ
ʹ

5.1.6. Giải các phương trình sau:
‫ݔ‬
ƒǤʹ ൅ ͵ …‘• ‫ ݔ‬ൌ ʹ–ƒ ሺọc‹ện‰Ÿ‰ͳͻͻͺሻ
ʹ
…‘• ‫ ݔ‬െ ʹ •‹ ‫ݔ •‘… ݔ‬
„Ǥ
ൌ ξ͵ሺ0‰‘ại‰ữͳͻͻͺሻ
ʹ …‘• ଶ ‫ ݔ‬൅ •‹ ‫ ݔ‬െ ͳ
…Ǥ •‹ ‫ ݔ‬൅ •‹ ʹ‫ ݔ‬൅ •‹ ͵‫ ݔ‬ൌ …‘• ‫ ݔ‬൅ …‘• ʹ‫ ݔ‬൅ …‘• ͵‫( ݔ‬ĐH Ngoại Thương 1999)
†Ǥ •‹ଶ ͵‫ ݔ‬െ …‘• ଶ Ͷ‫ ݔ‬ൌ •‹ଶ ͷ‫ ݔ‬െ …‘• ଶ ͸‫ ݔ‬ሺ—›ển•‹ŠŠố‹ʹͲͲʹሻ
‫ݔ‬
‫ߨ ݔ‬
‡Ǥ •‹ଶ ቀ െ ቁ –ƒଶ ‫ ݔ‬െ …‘• ଶ ൌ Ͳሺ—›ển•‹ŠŠố‹ʹͲͲ͵ሻ
ʹ
ʹ Ͷ

-

GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

5.1.1.Nghiệm của phương trình là :
ƒǤ‫ ݔ‬ൌ

ߨ ݇ߨ
൅
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ
ͳʹ

„Ǥ‫ ݔ‬ൌ

ߨ ݇ߨ
൅ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹͲ ͷ

ߨ
൅ ݇ʹߨ
͸
…Ǥ ൦
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ͷߨ
‫ݔ‬ൌേ
൅ ݇ʹߨ
͸
‫ݔ‬ൌേ

ʹ
‫ ݔ‬ൌ ƒ”…•‹ ൅ ݇ʹߨ
͵
†Ǥ ൦
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ
‫ ݔ‬ൌ ߨ െ ƒ”…•‹ ൅ ݇ʹߨ
͵
‡Ǥ‫ ݔ‬ൌ

݇ߨ
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ

14

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác
5.1.2. Nghiệm của phương trình là :
ߨ ͵݇ߨ
ƒǤ‫ ݔ‬ൌ ൅
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ
ʹ
„Ǥ‫ ݔ‬ൌ

͹ߨ
൅ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ͳʹ

…Ǥ‫ ݔ‬ൌ െ

ߨ
൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
͵

ߨ
൅ ݇ʹߨ െ ͳ
ʹ
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
†Ǥ ൦
ߨ

‫ ݔ‬ൌ െ ൅ ʹߨ െ ͳ
ʹ
‫ݔ‬ൌ

‡Ǥ‫ ݔ‬ൌ ݇ߨ ൅ ሺെͳሻ௡ାଵ Ǥ

ߨ
Ͷ

5.1.3. Nghiệm của phương trình là :
‫ ݔ‬ൌ ͳͷߨ ൅ ݇ͳͲߨ
ͳͲߨ ݇ͳͲߨ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ƒǤ ൥
൅
‫ݔ‬ൌെ
ͻ
ͻ
ߨ ݇ʹߨ
൅
͸
͵ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
„Ǥ ൦
ߨ
‫ ݔ‬ൌ െ ൅ ݇ʹߨ
ʹ
‫ݔ‬ൌ

ߨ
൅ ݇ʹߨ
ʹ

…Ǥ ൦
ߨ ݇ʹߨ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
‫ݔ‬ൌെ ൅
͵
͸
‫ݔ‬ൌ

†Ǥ‫ ݔ‬ൌ െ

ߨ ݇ߨ
൅ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ͻ
͵

ߨ
൅ ݇ߨ
Ͷ
‡Ǥ ൦
ߨ ݇ߨ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
‫ݔ‬ൌെ
൅
ͳ͸ Ͷ
‫ݔ‬ൌ




15

TOANMATH.com

Chương 5 : Phương trình lượng giác
5.1.4.
a.
ử dụng công thức nhân đôi •‹ ʹܽ ൌ ʹ•‹ ܽ …‘• ܽ sẽ đưa phương trình trở thành :
•‹ Ͷ‫ ݔ‬ൌ ͳ ֞ ‫ ݔ‬ൌ

ߨ ݇ߨ
൅ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ
ͺ

b.
Tương tự câu a, ta cũng sử dụng công thức nhân đôi •‹ ʹܽ ൌ ʹ •‹ ܽ …‘• ܽ sẽ đưa
phương trình trở thành :
•‹ ͸Ͷ‫ ݔ‬ൌ ͳ ฻ ‫ ݔ‬ൌ
c.

݇ߨ
ߨ
൅ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ͳʹͺ ͵ʹ

Điều kiện :
ቄ

ߨ
…‘• ‫Ͳ ് ݔ‬
฻ ‫ ് ݔ‬൅ ݇ߨ  ሺ݇ ‫ א‬Ժሻሺ‫כ‬ሻ

•‹ ‫ ് ݔ‬െͳ
ʹ

Phương trình tương đương với
ߨ
•‹
‫ݔ‬
ൌ
െͳ
‫ݔ‬
ൌ
െ
൅ ݇ʹߨ
ሺ•‹ ‫ ݔ‬൅ ͳሻሺ…‘• ‫ ݔ‬െ ͳሻ ൌ Ͳ ฻ ቂ
฻ቈ
฻ ‫ ݔ‬ൌ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ
…‘• ‫ ݔ‬ൌ ͳ
‫ ݔ‬ൌ ݇ʹߨ
Kết hợp với ሺ‫כ‬ሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.
d.

‰Š‹ệm của phương trình là :
ߨ
‫ ݔۍ‬ൌ െ ൅ ݇ʹߨ
͸
‫ێ‬
͹ߨ
‫ ݔێ‬ൌ
൅ ݇ʹߨ ሺ

 ݇ ‫ א‬Ժሻ
͸
‫ێ‬
‫ ݔ ێ‬ൌ ݇ʹߨ
ߨ ݇ʹߨ
‫ێ‬
‫ݔ‬
ൌ
൅
‫ۏ‬
͵
͵

e.

Điều kiện :
‫്ݔ‬

0ặ–‫ ݐ‬ൌ –ƒ ‫ ݔʹ ‹• ฺ ݔ‬ൌ

ߨ
൅ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ

ʹ‫ݐ‬

ͳ ൅ ‫ݐ‬ଶ

Thay vào phương trình, ta được

16

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác
‫ ݔ‬ൌ ݇ʹߨ
‫ݐ‬ൌͲ
–ƒ ‫ ݔ‬ൌ Ͳ
ߨ
ቂ
฻ቂ
฻ቈ
 ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
‫ ݔ‬ൌ െ ൅ ݇ߨ
‫ ݐ‬ൌ െͳ
–ƒ ‫ ݔ‬ൌ െͳ
Ͷ
Kết hợp với ሺ‫כ‬ሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.
f.

Để ý : ʹ …‘• ଶ Ͷ‫ ݔ‬ൌ ͳ ൅ …‘• ͺ‫ ݔ‬và Ͷ …‘• ଷ ͵‫ ݔ‬ൌ ͵ …‘• ͵‫ ݔ‬െ …‘• ͻ‫ݔ‬

Phương trình có nghiệm ‫ ݔ‬ൌ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
g.

Phương trình tương đương với

ሺͶ •‹ଶ ‫ ݔ‬െ ͵ሻሺ•‹ ‫ ݔ‬െ …‘• ‫ ݔ‬ሻ ൌ Ͳ
ߨ

‫ ݔ‬ൌ േ ൅ ݇ߨ
͵
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
฻ ൦
ߨ
‫ ݔ‬ൌ ൅ ݇ߨ
Ͷ
h.

Phương trình tương đương với :

•‹଺ ‫ ݔʹ •‘… ݔ‬െ …‘• ଺ ‫ ݔʹ •‘… ݔ‬ൌ Ͳ
฻ …‘• ʹ‫ ݔ‬ሺ•‹଺ ‫ ݔ‬െ …‘• ଺ ‫ ݔ‬ሻ ൌ Ͳ
฻ ‫ ݔ‬ൌ
i.

ߨ ݇ߨ
൅
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
Ͷ
ʹ

Điều kiện :
ቄ

…‘• ‫Ͳ ് ݔ‬
֞ …‘• ͵‫Ͳ ് ݔ‬ሺ‫כ‬ሻ
…‘• ͵‫Ͳ ് ݔ‬

Phương trình tương đương với



•‹ ‫ݔ͵ ‹• ݔ ‹• ݔ‬
൬
െ
൰ൌʹ
…‘• ‫ݔ͵ •‘… ݔ •‘… ݔ‬

฻ •‹ ‫ ݔ‬ሺ•‹ ‫ ݔ͵ •‘… ݔ‬െ •‹ ͵‫ ݔ •‘… ݔ‬ሻ ൌ ʹ …‘• ଶ ‫ݔ͵ •‘… ݔ‬
฻ െ ʹ•‹ ‫ ݔʹ ‹• ݔ‬ൌ ʹ…‘• ଶ ‫ݔ͵ •‘… ݔ‬
฻ െ •‹ଶ ‫ ݔ‬ൌ …‘• ‫ ݔ͵ •‘… ݔ‬ሺ…‘• ‫Ͳ ് ݔ‬ሻ
฻ …‘• ʹ‫ ݔ‬െ ͳ ൌ …‘• Ͷ‫ ݔ‬൅ …‘• ʹ‫ݔ‬

17

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác
฻ …‘• Ͷ‫ ݔ‬ൌ െͳ ֞ ‫ ݔ‬ൌ

ߨ ݇ߨ
൅  ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ
Ͷ

Kết hợp với ሺ‫כ‬ሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.
5.1.5.
a.
Ta có:

ߨ ߨ
ߨ
ͳ
•‹ ʹ‫ ݔ‬ൌ ቀ‫ א ݔ‬ቂെ Ǣ ቃቁ ฻ ‫ ݔ‬ൌ ൅ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ ʹ
Ͷ
ʹ
ại có:
ߨ
ߨ ߨ
ߨ ߨ
െ ൑ ൅ ݇ߨ ൑
‫ א ݔ‬ቂെ Ǣ ቃ ฻ ቊ ʹ Ͷ
Ͷ ֞ ݇ ‫ א‬ሼͲሽ
ʹ ʹ
݇‫א‬Ժ
ߨ
ኼ›‰Š‹ệ…ủƒ’Šươ‰–”¿ŠŽ‫ ݔ‬ൌ 
Ͷ
„Ǥ

Ta có:

ߨ
‫ ݔ‬ൌ ൅ ݉ߨ
ߨ
ʹ
…‘• ‫ ݔ‬൅ …‘• ͵‫ ݔ‬ൌ Ͳ ቀ‫ א ݔ‬ቂͲǢ ቃቁ ฻ ʹ …‘• ʹ‫ ݔ •‘… ݔ‬ൌ Ͳ ฻ ൦
ߨ ݊ߨ ሺ݉ǡ ݊ ‫ א‬Ժሻ
ʹ

‫ݔ‬ൌ ൅
Ͷ
ʹ
ại có:
ߨ
ߨ
‫ۍ‬ቊͲ ൑ ʹ ൅ ݉ߨ ൑ ʹ
‫ێ‬
ߨ
݉ ‫ א‬ሼͲሽ
݉‫א‬Ժ
‫ א ݔ‬ቂͲǢ ቃ ฻ ‫ێ‬
฻൤
ߨ
݊ߨ
ߨ
݊ ‫ א‬ሼͲሽ
ʹ
‫ ێ‬ቊͲ ൑ Ͷ ൅ ʹ ൑ ʹ
‫ۏ‬
݊‫א‬Ժ
ߨ ߨ
ኼ›‰Š‹ዉ…ዚƒ’Šዛዓ‰–”¿ŠŽ‫ א ݔ‬ቄ Ǣ ቅ
Ͷ ʹ
5.1.6.
a.
Gợi ý :
‫ݔ‬
ͳ െ ‫ݐ‬ଶ
0ặ–‫ ݐ‬ൌ –ƒ ฺ …‘• ‫ ݔ‬ൌ


ʹ
ͳ ൅ ‫ݐ‬ଶ
‰Š‹ệ…ủƒ’Šươ‰–”¿ŠŽ‫ ݔ‬ൌ

ߨ
൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ

18

TOANMATH.com


Chương 5 : Phương trình lượng giác
b.

Điều kiện:
•‹ ‫ͳ ് ݔ‬
ͳ  ሺ‫כ‬ሻ
൝
•‹ ‫ ് ݔ‬െ
ʹ

Šương trình tương đương với
…‘• ‫ ݔ‬െ •‹ ʹ‫ ݔ‬ൌ ξ͵ ሺെʹ •‹ଶ ‫ ݔ‬൅ •‹ ‫ ݔ‬൅ ͳሻ
฻ …‘• ‫ ݔ‬െ •‹ ʹ‫ ݔ‬ൌ ξ͵ …‘• ʹ‫ ݔ‬൅ ξ͵ •‹ ‫ݔ‬
ߨ
ߨ
฻ …‘• ቀ‫ ݔ‬൅ ቁ ൌ …‘• ቀʹ‫ ݔ‬െ ቁ

͵
͸
ߨ
൅ ݇ʹߨ
ʹ
ሺ
ሻ
฻ ൦
ߨ ݇ʹߨ ݇ ‫ א‬Ժ
‫ݔ‬ൌെ ൅
ͳͺ
͵
‫ݔ‬ൌ

Kết hợp với ሺ‫כ‬ሻ, ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình.
c.

Phương trình tương đương với
ʹ •‹ ʹ‫ ݔ •‘… ݔ‬൅ •‹ ʹ‫ ݔ‬ൌ ʹ …‘• ʹ‫ ݔ •‘… ݔ‬൅ …‘• ʹ‫ݔ‬

฻ ሺʹ …‘• ‫ ݔ‬൅ ͳሻሺ•‹ ʹ‫ ݔ‬െ …‘• ʹ‫ ݔ‬ሻ ൌ Ͳ

฻ ൦

ʹߨ
൅ ݇ʹߨ
͵
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ߨ ݇ߨ
‫ݔ‬ൌ ൅

ʹ
ͺ

‫ݔ‬ൌേ

d.

Phương trình tương đương với
ͳ
ͳ
ͳ
ͳ
 ሺͳ െ …‘• ͸‫ ݔ‬ሻ െ ሺͳ ൅ …‘• ͺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ሺͳ െ …‘• ͳͲ‫ ݔ‬ሻ െ ሺͳ ൅ …‘• ͳʹ‫ݔ‬ሻ
ʹ
ʹ
ʹ
ʹ
฻ …‘• ͺ‫ ݔ‬െ …‘• ͸‫ ݔ‬ൌ …‘• ͳʹ‫ ݔ‬െ …‘• ͳͲ‫ݔ‬
฻ …‘• ‫ ݔ‬ሺ…‘• ͳͳ‫ ݔ‬െ …‘• ͹‫ ݔ‬ሻ ൌ Ͳ
ߨ
‫ ݔۍ‬ൌ ൅ ݇ߨ
ʹ
‫ێ‬
݇ߨ
฻ ‫ ݔ ێ‬ൌ െ
ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ
ʹ
‫ێ‬
݇ߨ
‫ێ‬

‫ݔ‬
ൌ
‫ۏ‬
ͻ
19

TOANMATH.com