Một số phương pháp giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc Tiểu học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

PHẠM THỊ ĐIỆP

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI
CÁC BÀI TOÁN CỔ VÀ BÀI TOÁN VUI
BẬC TIỂU HỌC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI - 2017


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các giảng viên và các bạn sinh viên khoa Giáo dục
Tiểu học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để em có
điều kiện tốt nhất trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt, em
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã định hướng chọn
đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận này.
Lần đầu tiên thực hiện công tác nghiên cứu khoa học, nên khóa luận không
tránh khỏi những hạn chế và còn những thiếu sót nhất định. Em xin chân
thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và
các bạn sinh viên trong khoa Giáo dục Tiểu học để hoàn thiện khóa luận như
hiện tại.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Phạm Thị Điệp


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa luận
tốt nghiệp “Một số phƣơng pháp giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc
Tiểu học” được hoàn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả, không
trùng với bất kì khóa luận nào khác.
Trong quá trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Phạm Thị Điệp


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 2
5. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 2
6. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
7. Cấu trúc khoá luận ........................................................................................ 2
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN ..................................................................... 3
1.1 Đặc điểm của học sinh Tiểu học ................................................................. 3

1.1.1 Đặc điểm nhận về nhận thức .................................................................... 3
1.1.2 Đặc điểm về sự phát triển tư duy đối với học sinh bậc Tiểu học ............ 5
1.2 Vấn đề chung về bài toán ............................................................................ 6
1.2.1 Quan niệm về bài toán.............................................................................. 6
1.2.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán................................................................. 6
1.2.3 Lời giải của bài toán ................................................................................. 6
1.2.4 Ý nghĩa của việc giải toán ........................................................................ 7
1.2.5 Phân loại bài toán ..................................................................................... 7
1.2.6 Phương pháp tìm lời giải của bài toán ..................................................... 8
1.3 Bài toán cổ – toán vui.................................................................................. 9
1.3.1 Khái niệm ................................................................................................. 9
1.3.2 Phân loại ................................................................................................... 9
1.3.3 Ý nghĩa của các bài toán cổ - toán vui ................................................... 10
1.4 Một số phương pháp thường dùng để giải các bài toán cổ và bài toán vui
bậc Tiểu học .................................................................................................... 11


1.4.1 Phương pháp tính ngược từ cuối ............................................................ 11
1.4.2 Phương pháp lập bảng logic ................................................................... 12
1.4.3 Phương pháp suy luận đơn giản ............................................................. 13
1.4.4 Phương pháp lựa chọn tình huống ......................................................... 14
1.4.5 Phương pháp thử chọn ........................................................................... 15
1.4.6 Phương pháp giả thiết tạm ..................................................................... 16
1.4.7 Phương pháp chia tỉ lệ............................................................................ 17
Kết luận chương 1 ........................................................................................... 18
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỔ VÀ
BÀI TOÁN VUI BẬC TIỂU HỌC .............................................................. 19
2.1 Một số phương pháp để giải các bài toán cổ và bài toán vui thông thường
ở Tiểu học ........................................................................................................ 19
2.1.1 Các bài toán về chữ số và số .................................................................. 19

2.1.2 Dạng toán về phân số và số thập phân ................................................... 22
2.1.3 Dạng toán về chuyển động ..................................................................... 25
2.1.4 Dạng toán về tính tuổi ............................................................................ 27
2.1.5 Dạng toán suy luận ................................................................................. 29
2.1.6 Dạng toán về cân đo, chiến lược tối ưu.................................................. 32
2.1.7 Các bài toán vui - toán cổ khác ............................................................. 34
2.2 Một số bài toán cổ - toán vui nâng cao ..................................................... 37
Kết luận chương 2 ........................................................................................... 49
KẾT LUẬN .................................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 51


MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài. Trong xu thế phát triển tri thức ngày nay, giáo dục đóng
vai trò quan trọng đối với mọi quốc gia, mọi dân tộc. Sản phẩm của giáo dục
chính là con người. Con người vừa là mục tiêu, vừa là động lực cho sự phát
triển của xã hội, muốn phát triển xã hội phải chăm lo nhân tố con người về thể
chất và tinh thần, nhất là về học vấn, nhận thức về thế giới xung quanh để họ
có thể góp phần xây dựng và cải tạo xã hội. Nếu không có tri thức, hiểu biết
về xã hội, tự nhiên và chính bản thân mình, con người sẽ luôn lệ thuộc, bất
lực trước những thế lực và sức mạnh cản trở sự phát triển của dân tộc, đất
nước mình. Chính vì vậy, việc đầu tư cho giáo dục là quốc sách hàng đầu của
một quốc gia đang phát triển như Việt Nam, đặc biệt là bậc Tiểu học. Bậc
Tiểu học là bậc học nền tảng giúp học sinh hình thành những cơ sở ban đầu
cho sự phát triển về đạo đức, trí tuệ, thẩm mĩ và các khả năng cơ bản để học
sinh tiếp tục học bậc Trung học Cơ sở.
Ở bậc Tiểu học, nội dung môn học phong phú, mỗi môn học đảm nhận một
vai trò khác nhau. Với tư cách là một khoa học, toán học là một môn học vô
cùng quan trọng và cần thiết. Nó là một hệ thống các khái niệm, quy luật và
phương pháp nghiên cứu riêng. Môn Toán ở trường Tiểu học giúp học sinh có

những kiến thức cơ bản và sơ giản ban đầu về số học, hình học, các yếu tố đại
lượng và hình thành các kĩ năng toán học góp phần hình thành phương pháp
học tập, làm việc có kế hoạch, chủ động, sáng tạo giúp các em học tập tốt các
môn học khác trong nhà trường và chuẩn bị cho các bậc học tiếp theo.
Để nâng cao chất lượng dạy học, trình độ tư duy, óc sáng tạo, trí lực học tập,
trí thông minh của học sinh tiểu học, các thầy cô giáo phải tìm cho mình các
phương pháp, các bài toán hợp lí, trong đó mảng các bài toán cổ và bài toán
vui là một mảng không nhỏ. Tuy nhiên hiện nay ở các trường Tiểu học, mảng
1


toán này mặc dù đã được tìm hiểu và quan tâm nhưng chưa thật sâu sắc. Các
em học sinh thường gặp khó khăn khi tìm lời giải cho các bài toán này bởi vì
để giải các bài toán này đòi hỏi người học cần có trí tưởng tượng phong phú,
sự lập luận logic, hợp với yêu cầu thực tế cũng như ý đồ bài toán.
Xuất phát từ những lí do trên, với mong muốn nâng cao hiệu quả dạy học
toán, em chọn đề tài “Một số phƣơng pháp giải các bài toán cổ và bài toán
vui bậc Tiểu học” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân Sư phạm
chuyên ngành toán Tiểu học.
2 Mục đích nghiên cứu. Rèn luyện và phát triển khả năng tư duy logic cho
học sinh thông qua việc vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải
toán để giải các bài toán cổ, toán vui ở Tiểu học.
3 Nhiệm vụ nghiên cứu. Đề tài nghiên cứu cơ sở lí luận của vấn đề: một số
phương pháp giải các bài toán cổ, toán vui bậc Tiểu học.
Nghiên cứu các dạng toán cổ, toán vui ở Tiểu học và cách giải các bài toán đó
bằng một số phương pháp khác nhau.
4 Phạm vi nghiên cứu. Đề tài nghiên cứu các dạng toán cổ và toán vui trong
chương trình toán ở Tiểu học, những bài toán suy luận vui trong sách nâng
cao toán Tiểu học.
5 Đối tƣợng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu các dạng toán cổ và toán vui ở Tiểu học.
Phương pháp giải các bài toán cổ và toán vui ở Tiểu học.
6 Phƣơng pháp nghiên cứu. Tra mạng, tìm kiếm tài liệu, phân tích, tổng hợp
và xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn.
7 Cấu trúc khoá luận. Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham
khảo, nội dung chính của khoá luận bao gồm
Chương 1: Cơ sở lí luận
Chương 2: Một số phương pháp giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc Tiểu học
2


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1 Đặc điểm của học sinh Tiểu học
1.1.1 Đặc điểm về nhận thức. Đối tượng của cấp Tiểu học là trẻ em từ 6 đến
11 tuổi. Học sinh tiểu học là một thực thể hồn nhiên, ngây thơ và trong sáng.
Ở mỗi trẻ em tiềm tàng khả năng phát triển về trí tuệ, lao động, rèn luyện và
hoạt động xã hội để đạt một trình độ nhất định về lao động nghề nghiệp, về
quan hệ giao lưu và chăm lo cuộc sống cá nhân, gia đình. Trẻ em ở lứa tuổi
tiểu học là thực thể đang hình thành và phát triển cả về mặt sinh lý, tâm lý, xã
hội, các em đang từng bước gia nhập vào xã hội. Do đó, học sinh tiểu
học chưa đủ ý thức, chưa đủ phẩm chất và năng lực như một công dân trong
xã hội, mà các em luôn cần sự bảo trợ, giúp đỡ của người lớn, của gia đình,
nhà trường và xã hội. Học sinh tiểu học dễ thích nghi và tiếp nhận cái mới và
luôn hướng tới tương lai. Nhưng cũng thiếu sự tập trung cao độ, khả năng ghi
nhớ và chú ý có chủ định chưa được phát triển mạnh, tính hiếu động, dễ xúc
động còn bộc lộ rõ nét. Trẻ nhớ rất nhanh và quên cũng nhanh.
Đối với trẻ em ở lứa tuổi tiểu học thì tri giác của học sinh tiểu học phản ánh
những thuộc tính trực quan, cụ thể của sự vật, hiện tượng và xảy ra khi chúng
trực tiếp tác động lên giác quan. Tri giác giúp cho trẻ định hướng nhanh

chóng và chính xác hơn trong thế giới khách quan. So với học sinh đầu bậc
Tiểu học, các em học sinh ở cuối bậc Tiểu học có các hoạt động tri giác đã
phát triển và được hướng dẫn bởi các hoạt động nhận thức khác nên chính xác
dần.
Bên cạnh sự phát triển của tri giác, chú ý có chủ định của học sinh tiểu
học còn yếu, khả năng điều chỉnh chú ý có ý chí chưa mạnh. Ở đầu tuổi tiểu
học chú ý có chủ định của trẻ còn yếu, khả năng kiểm soát, điều khiển chú ý
còn hạn chế. Ở giai đoạn này chú ý không chủ định chiếm ưu thế hơn chú ý
3


có chủ định. Trẻ lúc này chỉ quan tâm chú ý đến những môn học, giờ học có
đồ dùng trực quan sinh động, hấp dẫn có nhiều tranh ảnh, trò chơi hoặc có cô
giáo xinh đẹp, dịu dàng,... Sự tập trung chú ý của trẻ còn yếu và thiếu tính bền
vững, chưa thể tập trung lâu dài và dễ bị phân tán trong quá trình học tập. Ở
cuối tuổi tiểu học trẻ dần hình thành kĩ năng tổ chức, điều chỉnh chú ý của
mình. Chú ý có chủ định phát triển dần và chiếm ưu thế, ở trẻ đã có sự nỗ lực
về ý chí trong hoạt động học tập như học thuộc một bài thơ, một công thức
toán hay một bài hát dài,... Trong sự chú ý của trẻ đã bắt đầu xuất hiện giới
hạn của yếu tố thời gian, trẻ đã định lượng được khoảng thời gian cho phép để
làm một việc nào đó và cố gắng hoàn thành công việc trong khoảng thời gian
quy định.
Trí nhớ có vai trò đặc biệt quan trọng trong đời sống và hoạt động của con
người, nhờ có trí nhớ mà con người tích lũy vốn kinh nghiệm đó vận dụng
vào cuộc sống. Học sinh tiểu học có trí nhớ trực quan – hình tượng phát triển
chiếm ưu thế hơn trí nhớ từ ngữ – logic. Hình tượng, hình ảnh cụ thể dễ nhớ
hơn các câu chữ hình tượng khô khan. Ở giai đoạn cuối tiểu học, trí nhớ
tưởng tượng có phát triển hơn nhưng tản mạn, ít có tổ chức và nhiều ảnh
hưởng của hứng thú, của kinh nghiệm sống và các mẫu hình đã biết.
Với đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học đã nêu trên, ta phải sử dụng

phương pháp trực quan hợp lý trong quá trình giải bài toán để đạt hiệu quả
cao, làm thế nào để thu hút sự chú ý của học sinh tiểu học giúp học sinh hiểu
được bản chất của bài toán, biết giải bài toán một cách khoa học logic đồng
thời phát triển khả năng tư duy của học sinh tiểu học.
Chính vì thế, đối với các bài toán dạng toán vui, toán cổ cần có sự hiểu đúng
bản chất của bài toán để tránh bị mắc vào các “mẹo” dẫn tới các sai lầm khi
giải, giúp học sinh loại bỏ cái không bản chất để tập trung vào cái bản chất
toán học. Nhờ đó, học sinh có thể nhìn bao quát bài toán, tìm ra mối liên hệ
4


giữa cái đã cho và cái đã biết, giữa các dữ liệu ảo và dữ liệu cần quan tâm để
tìm ra cách giải quyết bài toán.
1.1.2 Đặc điểm về sự phát triển tƣ duy đối với học sinh bậc Tiểu học
Khái niệm chung về tƣ duy. Trước hết chúng tôi đưa ra khái niệm về tư duy,
đó là quá trình tâm lý phản ảnh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ
và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực
khách quan mà trước đó ta chưa biết.
Tư duy logic là loại tư duy mà việc giải quyết nhiệm vụ dựa trên sự sử dụng
các khái niệm, các kết cấu logic, được tồn tại và vận hành nhờ ngôn ngữ.
Tư duy mở rộng giới hạn của hoạt động nhận thức, đi sâu vào bản chất của sự
vật, hiện tượng và tìm ra những mối quan hệ có tính quy luật giữa chúng với
nhau.
Tư duy cải tạo lại thông tin của nhận thức cảm tính làm chúng có ý nghĩa hơn
cho hoạt động của con người.
Tư duy của học sinh Tiểu học là quá trình nhận thức giúp các em phản ánh
được bản chất của đối tượng nghĩa là giúp các em tiếp thu được khái niệm của
các môn học.
Mức độ tƣ duy của học sinh bậc Tiểu học
(i ) Mức độ thức nhất (thường từ 6 tuổi - 7 tuổi)

Trong giai đoạn này trẻ em có các đặc điểm căn bản sau
Tư duy trực quan hành động chiếm ưu thế.
Việc học tập chủ yếu bằng phương pháp phân tích, so sánh, đối chiếu dựa trên
các đối tượng hoặc những hình ảnh trực quan.
Những khái quát của trẻ về sự vật hiện tượng ở giai đoạn này chủ yếu dựa vào
những dấu hiệu cụ thể nằm trên bề mặt của đối tượng hoặc những dấu hiệu
thuộc công dụng và chức năng.
Tư duy còn chịu ảnh hưởng nhiều bởi yếu tố tổng thể.
5


(ii ) Mức độ thứ hai (thường từ 8 – 12 tuổi)

Tư duy trực quan hình tượng chiếm ưu thế.
Trẻ đã bắt đầu nắm được một số mối quan hệ của khái niệm.
Những thao tác về tư duy như phân loại, phân hạng tính toán, không gian, thời
gian được hình thành và phát triển mạnh.
Đến cuối giai đoạn này, tư duy ngôn ngữ bắt đầu hình thành. Tuy nhiên năng
lực tư duy của trẻ còn bị hạn chế bởi sự ràng buộc với những vật chất cụ thể.
Trẻ gặp khó khăn trong tư duy trừu tượng.
1.2 Vấn đề chung về bài toán
1.2.1 Quan niệm về bài toán. Theo nghĩa rộng, bài toán là bất cứ vấn đề nào
của khoa học hay cuộc sống cần được giải quyết. Theo G. Polya, bài toán là
việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp
để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt
được ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G. Polya cho ta thấy rằng: Bài toán là sự
đòi hỏi đạt tới mục đích nào đó. Như vậy bài toán có thể đồng nhất với một số
quan niệm khác nhau về bài toán như đề toán, bài tập…

1.2.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán. Theo định nghĩa trên, ta thấy một bài
toán gồm hai yếu tố chính hợp thành
Bài toán cho biết gì? (là những gì bài toán đã cho)
Bài toán yêu cầu tìm gì? (là mục đích của bài toán)
1.2.3 Lời giải của bài toán. Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự
các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra. Ta thống nhất giữa lời
giải, cách giải, bài giải của bài toán.
Một bài toán có thể có một lời giải, không có lời giải hoặc có nhiều lời giải.
Giải được một bài toán là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài
toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giải tại sao bài toán là
6


không lời giải được trong trường hợp nó không có lời giải. Nhưng ở Tiểu học,
một bài toán thường có một hay nhiều lời giải, trường hợp không có lời giải
thường không có.
1.2.4 Ý nghĩa của việc giải toán. Giải toán có ý nghĩa to lớn và đóng vai trò
quan trọng trong quá trình học toán của học sinh tiểu học, cụ thể
Giải toán củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh.
Rèn luyện, phát triển tư duy, kĩ năng vận dụng kiến thức của học sinh.
Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học sinh.
1.2.5 Phân loại bài toán. Người ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác
nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là sử dụng nó thuận lợi. Ta có
một số cách phân loại bài toán như sau
(i ) Phân loại theo hình thức của bài toán. Dựa vào kết luận của bài toán đã

cho hay chưa để phân bài toán ra thành hai loại: Bài toán chứng minh và bài
toán tìm tòi.
Bài toán chứng minh là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một cách
rõ ràng trong đề bài toán.

Bài toán tìm tòi là bài toán trong đó kết luận của nó vẫn chưa có sẵn trong đề
bài toán.
(ii ) Phân loại theo phương pháp giải bài toán gồm hai loại

Bài toán có algorithm giải: là bài toán mà phương pháp giải của nó theo
một thuật toán chung nào đó, được mang tính chất angorit nào đó.
Bài toán không có algorithm giải: là bài toán mà phương pháp giải của
nó không theo một thuật toán nào hoặc không mang tính chất thuật toán nào.
(iii ) Phân loại theo nội dung bài toán. Bài toán số học; Bài toán chuyển động

đều; Bài toán về tuổi; Bài toán trồng cây; Bài toán cấu tạo số;…
(iv ) Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Bài toán củng cố kĩ năng: là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau
7


khi học một hay một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó.
Bài toán phát triển tư duy: là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các
kiến thức cũng như kĩ năng nào đó đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân
tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
(v ) Phân loại theo phép tính sử dụng trong bài giải. Các bài toán ở tiểu học

được chia làm hai loại gồm bài toán đơn và bài toán hợp.
Bài toán đơn là bài toán được giải bằng một phép tính.
Bài toán hợp là bài toán giải bằng hai phép tính trở lên. Bài toán hợp
chứa đựng trong nó những bài toán đơn theo một cấu trúc, số phải tìm trong
bài toán đơn này lại là số cho trước của bài toán đơn khác hay kết quả của
phép tính trong bài toán đơn này sẽ trở thành một phần phép tính trong bài
toán đơn tiếp sau đó.

1.2.6 Phƣơng pháp tìm lời giải của bài toán. Quy trình giải một bài toán
gồm bốn bước
Bƣớc thứ nhất (Phân tích yêu cầu bài toán). Trước khi giải một bài toán, ta
phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán.
Bước này gồm các hoạt động sau:
Phân biệt yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm của bài toán. Tức là tìm hiểu những
cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?
Giải thích các thuật ngữ có trong đề bài.
Phân biệt những yếu tố thuộc về bản chất và không phải là bản chất.
Mối liên hệ giữa phần đã cho và phần cần tìm. Ta có thể biểu diễn mối quan
hệ đó bằng cách tóm tắt hoặc nhắc lại bài toán.
Bƣớc thứ hai (Phân tích đề bài để tìm ra cách giải). Yêu cầu các em học sinh
suy nghĩ từ những gì bài toán đã cho và cần giải quyết điều gì ở bước trên
(cần thiết giáo viên có thể đưa ra sự gợi ý tùy theo từng bài toán cụ thể hoặc
phân tích theo mỗi ý tưởng khác nhau của học sinh) để hướng các em tìm ra
8


lời giải.
Trên sự thống nhất các ý kiến của học sinh, giáo viên tổng hợp và hướng dẫn
học sinh lập quy trình về ý tưởng giải quyết bài toán.
Bƣớc thứ ba (Hướng dẫn trình bày giải bài toán). Trên cơ sở đã hướng dẫn ở
bước hai giáo viên có thể chọn một số học sinh giải bài toán (sự lựa chọn này
phụ thuộc sự nhận thức của từng đối tượng và mục đích của bài giảng để đáp
ứng với hầu hết đối tượng trong lớp).
Bƣớc thứ tƣ Đánh giá kết quả và phân tích sự hiệu dụng trong mỗi lời giải
(nếu có nhiều học sinh giải theo các cách khác nhau). Tiếp theo giáo viên đưa
ra những cách giải khác tốt hơn nếu có thể.
1.3 Bài toán cổ – toán vui
1.3.1 Khái niệm. Toán vui là dạng toán trong đó các dữ liệu của bài toán

được trình bày dưới dạng một câu chuyện, một bài thơ hoặc một đoạn văn có
xen kẽ những từ ngữ, câu đố hóm hỉnh, vui nhộn.
Toán cổ là dạng toán trong đó các dữ liệu của bài toán cũng được trình bày
dưới dạng văn vần hoặc văn xuôi, một câu chuyện hoặc một bài thơ. Tuy
nhiên khác với toán vui ở chỗ, các tình huống, các nhân vật hay các tên gọi, từ
ngữ trong toán cổ chỉ có trong các câu chuyện cổ ngày xưa. Chẳng hạn các
nhân vật hay xuất hiện trong truyện cổ tích như anh Khoai, thằng Bờm, Phú
ông, công chúa, hoàng tử…., các nhân vật trong truyện ngụ ngôn như Thỏ và
Rùa, Ếch cốm…
1.3.2 Phân loại. Căn cứ theo nội dung của các bài toán cổ – toán vui được
phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn
để chia bài toán cổ – toán vui thành các loại khác nhau. Chẳng hạn
+ Các bài toán về chữ và số.
+ Các bài toán về chuyển động.
+ Các bài toán về phân số và số thập phân.
9


+ Các bài toán về tính tuổi.
+ Các bài toán suy luận.
+ Các bài toán có nội dung khác.
1.3.3 Ý nghĩa của các bài toán cổ - toán vui. Toán cổ – toán vui có ý nghĩa
rất lớn đối với nhận thức và tư duy của học sinh tiểu học. Vì thế trong dạy học
toán ở tiểu học, việc sử dụng dạng toán này đã mang lại hiệu quả rất cao trong
việc lĩnh hội tri thức toán học và vận dụng tri thức đó vào thực tiễn cuộc sống.
Do đặc điểm vui, dí dỏm, hóm hỉnh của các bài toán cổ – toán vui nên việc
giải các bài toán này sẽ tạo ra không khí thoải mái trong lớp học. Vì vậy dạng
toán này được xem là hình thức giải lao tích cực trong quá trình dạy học toán.
Toán cổ – toán vui tạo ra những tình huống kích thích học sinh suy nghĩ, tìm
tòi, gây được hứng thú học tập toán cho học sinh, góp phần rèn luyện năng

lực tư duy sáng tạo, logic và linh hoạt cho học sinh.
Môn Toán luôn có mối quan hệ mật thiết với các môn học khác và toán cổ –
toán vui cũng có đặc điểm đó. Trong toán có văn, đó là đặc điểm đầu tiên dễ
nhận thấy. Các bài toán cổ – toán vui thường sử dụng hệ thống ngôn ngữ,
hình ảnh phong phú, sinh động, sử dụng linh hoạt cách phối vần điệu, thể thơ.
Ví dụ
Mùa xuân nghe tiếng trống thì thùng,
Người ùa vây kín cả đình đông.
Tranh nhau đánh đấm đòi mâm lớn,
Tiên chỉ hò la để chỗ ông.
Bốn người một cỗ thừa một cỗ,
Ba người một cỗ bốn người không.
Ngoài đình chè chén bao người nhỉ,
Tính thử xem rằng có mấy ông?
Hoặc dựa vào các câu chuyện ngụ ngôn để phát triển thành bài toán như: “ Dù
10


đã bị thất bại chua cay, nhưng thỏ vẫn tìm đến thách thức chạy đua với rùa.
Lần này, quãng đường chạy thi dài 100 m . Nhưng vẫn mắc bệnh khoác lác,
thỏ nói rằng: “ Tôi sẽ chấp anh 48 m . Trên đoạn đường mà anh chạy, tôi sẽ
chạy với vận tốc gấp đôi. Còn trên đoạn đường còn lại, tôi sẽ chạy với vận tốc
bằng tốc độ của anh”. Nghĩa là thỏ để rùa xuất phát từ điểm cách điểm ban
đầu 48 m và trên quãng đường 48 m này thỏ chạy với vận tốc bằng vận tốc
của rùa. Nhưng cuối cùng thỏ vẫn thua. Hỏi rùa đã về đích trước thỏ bao
nhiêu mét?
Toán vui – toán cổ còn sử dụng ngôn ngữ của hội họa (môn mĩ thuật), đó là
các màu sắc xanh, đỏ, tím, vàng…. Ví dụ: Trên bàn có ba cuốn sách giáo
khoa Văn, Toán, Địa lí được bọc ba màu khác nhau là xanh, đỏ, vàng. Cho
biết cuốn bọc màu đỏ đặt giữa cuốn Văn và cuốn Địa lí. Cuốn Địa lí và cuốn

màu xanh mua cùng một ngày. Bạn hãy xác định màu bìa của mỗi cuốn sách.
1.4 Một số phƣơng pháp thƣờng dùng để giải các bài toán cổ và bài toán
vui bậc Tiểu học
Có rất nhiều quan điểm khác nhau về các phương pháp giải toán ở Tiểu học.
Trong phạm vi đề tài, tôi theo quan điểm của tác giả Trần Diên Hiển trong
cuốn Thực hành giải toán ở Tiểu học để đưa ra một số phương pháp thường
dùng để giải các bài toán cổ và bài toán vui.
1.4.1 Phƣơng pháp tính ngƣợc từ cuối. Là phương pháp thực hiện liên tiếp
các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong bài toán. Kết quả tìm
được trong bước trước chính là thành phần đã biết của phép tính liền sau đó.
Sau khi thực hiện hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong
đề bài, ta nhận được kết quả cần tìm.
Ví dụ. Bác Năm đi chợ bán trứng. Lần thứ nhất bác bán một nửa số trứng
thêm một quả, lần thứ hai bán một nửa số trứng còn lại thêm 2 quả và lần
thứ ba bán một nửa số trứng còn lại và thêm 3 quả thì vừa hết số trứng.
11


Hỏi bác Năm đã bán tất cả bao nhiêu quả trứng?
Lời giải. Số trứng còn lại sau lần bán thứ hai được biểu diễn bằng sơ đồ sau

3 quả
Số trứng còn lại sau lần bán thứ hai là

3 2

6 (quả)

Số trứng còn lại sau lần bán thứ nhất được biểu diễn bằng sơ đồ sau

2 quả 6 quả
Số trứng còn lại sau lần bán thứ nhất là
(6

2) 2

16 (quả)

Số trứng lúc đầu mang đi bán được biểu diễn bởi sơ đồ sau

1 quả 16 quả
Số trứng bác Năm mang ra chợ bán là
(16

1) 2

34 (quả)

Đáp số: 34 quả trứng.
1.4.2 Phƣơng pháp lập bảng logic. Các bài toán được giải bằng phương
pháp lập bảng thường xuất hiện hai nhóm đối tượng (chẳng hạn tên người và
nghề nghiệp, vận động viên và giải thưởng, tên sách và màu bìa…). Khi giải
ta thiết lập một bảng gồm các hàng và các cột. Các cột ta liệt kê các đối tượng
ở nhóm thứ nhất, còn các hàng ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ hai.
Dựa vào điều kiện đầu bài ta loại bỏ dần các ô (là giao của mỗi hàng và mỗi
cột). Những ô còn lại (không bị loại bỏ) là kết quả của bài toán.
Ví dụ. Giờ Toán, cô giáo trả bài kiểm tra. Bốn bạn, Lan, An, Đức, Hòa ngồi
12

cùng bàn đều được điểm 8 trở lên. Giờ ra chơi, Phượng hỏi điểm của 4 bạn.
Lan trả lời:
- Đức không đạt điểm 10 , mình và Hòa không đạt điểm 9 , còn An không đạt
điểm 8 .
An thì nói:
- Minh không đạt điểm 10 , Đức không đạt điểm 9 , còn Lan và Hòa không
đạt điểm 8
Hãy cho biết mỗi người đạt điểm mấy?
Lời giải. Bài toán này cũng có hai nhóm đối tượng là tên người và điểm số.
Ta lập bảng logic biểu diễn 2 nhóm đối tượng đó rồi dựa vào dữ kiện bài toán
cho để tìm ra kết quả
Tên

Lan

Đức

An

Hòa

Điểm

10

0

X

2

1

9

0
0

3

0

0
8

0

X

10

4

7

6

9

X

0

X
5

8

0

11

12

Theo Lan, ta điền 0 vào các ô 3,5, 8,10 .
Theo An, ta điền 0 vào các ô 2,7,9,12.
Còn lại các ô không bị loại là 1, 4,6,11 .
Vậy, Lan: 10 , An: 9 , Đức: 8 , Hòa: 10 .
1.4.3 Phƣơng pháp suy luận đơn giản. Suy luận đơn giản là phép suy luận
không dùng công cụ của logic mệnh đề (phép phủ định, phép hội, phép
tuyển...). Ta xét ví dụ sau
13


Ba người thợ hàn, thợ tiện, thợ điện đang ngồi giải lao và trò chuyện với nhau
Bác thợ hàn nhận xét:
- Ba ta làm nghề trùng với tên của ba ta nhưng không có ai làm trùng
với tên của mình cả.
Bác điện hưởng ứng:
- Bác nói đúng.

Bạn hãy cho biết tên và nghề nghiệp của các bác thợ đó.
Lời giải. Vì bác Điện hưởng ứng lời của bác thợ hàn nên bác Điện không làm
nghề thợ hàn. Mà bác Điện cũng không làm nghề thợ điện nên bác Điện làm
nghề thợ tiện.
Bác Điện không làm nghề thợ hàn, bác Hàn cũng không làm nghề thợ hàn nên
bác Tiện làm nghề thợ hàn.
Vậy còn lại bác Hàn làm nghề thợ điện.
Kết luận: Bác Hàn làm thợ điện.
Bác Tiện làm thợ hàn.
Bác Điện làm thợ tiện.
1.4.4 Phƣơng pháp lựa chọn tình huống. Các bài toán được giải theo
phương pháp này là các bài toán mà dữ kiện đưa ra thường dưới dạng các tình
huống. Trong các tình huống đó, mỗi tình huống thường được thỏa mãn một
phần, bị bác bỏ một phần và có một tình huống thảo mãn hoàn toàn (đó là tình
huống được chọn).
Để giải các bài toán này ta lựa chọn một tình huống và đối chiếu với điều kiện
đề bài để tìm ra kết quả bài toán.
Ví dụ. Sau giờ luyện tập buổi sáng, đội tuyển thể thao vào quán ăn trưa. Thực
đơn của quán gồm 8 món: gà luộc, nem rán, chim quay, đậu rán, bò xào, cá
rán, ốc xào măng, canh chua. Toàn đội nhất trí sẽ gọi 3 món trong thực đơn.
Nguyện vọng của các cầu thủ được chia làm 5 nhóm như sau
14


Nhóm 1 : Gà luộc, nem rán, chim quay
Nhóm 2 : Đậu rán, bò xào, cá rán.
Nhóm 3 : Bò xào, cá rán, ốc xào măng.
Nhóm 4 : Nem rán, ốc xào măng, canh chua.
Nhóm 5 : Gà luộc, bò xào, canh chua.
Cuối cùng toàn đội đồng ý với thực hiện của đội trưởng vì theo thực đơn đó,

mỗi nhóm đều có ít nhất một món mình yêu thích.
Hỏi toàn đội hôm đó đã ăn món gì?
Lời giải. Nếu chọn thực đơn của nhóm 1 thì cả nhóm 2 và nhóm 3 đều
không có món nào mình yêu thích. Vậy không thể chọn thực đơn của 3 nhóm
đầu.
Nếu chọn thực đơn của nhóm 4 thì nhóm 2 không có món nào mình yêu
thích.
Nếu chọn thực đơn của nhóm 5 thì mỗi nhóm trong 4 nhóm còn lại đều có ít
nhất 1 món mình yêu thích.
Vậy, bữa trưa hôm đó thực đơn của đội là: gà luộc, bò xào, canh chua.
1.4.5 Phƣơng pháp thử chọn. Phương pháp thử chọn dùng để giải các bài
toán về tìm một số khi số đó đồng thời thỏa mãn một số điều kiện cho trước.
Ví dụ
“ Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Có mười sáu con
Bốn mươi chân chẵn”
Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?
Lời giải. Ta thấy bài toán cho cả gà và chó có tất cả 16 con gồm 40 cái chân.
Ta sẽ dùng phương pháp thử chọn để giải bài toán này. Trước tiên ta sẽ cho số
chó nhận giá trị từ 1 đến 9 (nếu số chó lớn hơn 9 thì sẽ không còn chân gà).
15


Tương ứng với mỗi giá trị của số chó ta sẽ có số lượng gà và tổng số chân
tương ứng.
Giả sử số chó là 1 thì số gà sẽ là: 16
(1 4)

1

15 (con), và tổng số chân là

(15 2)

34 (chân)

Lúc này, tổng số gà và số chó khớp với tổng số mà đề bài cho nhưng tổng số
chân lại không khớp ( 34

40 ), nên trường hợp này sẽ bị loại. Ta lại tiếp tục

làm như vậy với số chó là 2, 3,...,9
Ta có bảng sau
Số chó

Số gà

Tổng số chân

Kết luận

1

15

34

40

Loại

2

14

36

40

Loại

3

13

38

40

Loại

4

12

40

40

Chọn

5

11

42

40

Loại

6

10

44

40

Loại

7

9

46

40

Loại

8

8

48

40

Loại

9

7

50

40

Loại

Nếu số chó lớn hơn 9 thì không còn chân gà. Vậy có 4 con chó và 12 con
gà.
1.4.6 Phƣơng pháp giả thiết tạm. Là phương pháp dùng để giải các bài toán
về tìm hai số, khi biết tổng của hai số đó và kết quả của phép tính thực hiện
trên một cặp số liệu của hai số cần tìm. Khi giải bài toán bằng phương pháp
giả thiết tạm ta thường tạm bỏ qua sự xuất hiện của một đại lượng, rồi dựa
vào tình huống đó mà ta tính được đại lượng thứ hai. Sau đó tính đại lượng
còn lại.

16


Ví dụ
“ Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn”
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?
Lời giải. Theo đề bài thì tổng số gà và số chó là 36 con. Nhưng ta lại giả thiết
tạm cả 36 con đều là gà. Lúc này, tổng số chân gà sẽ là
36 2

72 (chân)

Thực tế đề bài là 100 chân, như vậy số chân thiếu sẽ là
100

72

28 (chân)

Có sự thiếu hụt đi như vậy là do mỗi con chó bị tính hụt đi là

4

2

2 (chân)

28 : 2

14 (con)

Vậy số chó là

Số gà là

36

14

22 (con)

Thử lại: Tổng số gà và chó là: 14

22

Tổng số chân là: 14 4

100 (chân)

22 2

36 (con)
Đáp số: 14 con chó, 22 con gà.

1.4.7 Phƣơng pháp chia tỉ lệ. Là phương pháp giải toán dùng các đoạn thẳng
để biểu thị các số cần tìm. Số phần bằng nhau của các đoạn thẳng đó tương
ứng với tỉ số của các số cần tìm.

Ví dụ. Một đàn cò bay đến đậu ở một vườn cây. Nếu mỗi cò đậu một cây thì

3 cò không có cây đậu. Nếu mỗi cây 3 cò đậu thì 3 cây không có cò đậu.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cây, bao nhiêu cò?
Lời giải. Giả sử trong vườn có thêm 3 cây, vậy số cây bằng số cò. Khi 3 cò
17


đậu 1 cây thì số cây có cò đậu bằng

1
tổng số cây. Trong trường hợp này ta
3

có thể biểu diễn bởi sơ đồ sau

3 cây
Số cây có cò đậu

Số cây không có cò đậu

Số cây thực có là

3 3

3

6 (cây)

Số cò là

6

3

9 (con)
Đáp số: 9 con cò, 6 cây.

Kết luận chƣơng 1
Trong chương 1, khóa luận đã trình bày được đặc điểm tâm lí của học sinh
Tiểu học, các vấn đề chung của bài toán, khái niệm, đặc điểm và phân loại các
bài toán vui, toán cổ ở Tiểu học.
Ngoài ra khóa luận còn trình bày được một số phương pháp thường giải toán
ở Tiểu học như phương pháp giả thiết tạm, phương pháp tính ngược từ cuối,
phương pháp chia tỉ lệ…. Chúng ta có thể áp dụng linh hoạt các phương pháp
này để giải các bài toán vui – toán cổ. Điều này sẽ được trình bày chi tiết hơn
ở chương 2.

18


CHƢƠNG 2
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỔ
VÀ BÀI TOÁN VUI BẬC TIỂU HỌC
2.1 Một số phƣơng pháp để giải các bài toán cổ và bài toán vui thông
thƣờng ở Tiểu học. Các bài toán cổ – toán vui rất đa dạng và phong phú,
chúng được thể hiện ở nhiều hình thức khác nhau với các tình huống, dữ liệu
đan xen. Để việc dạy giải các bài toán này được tiến hành một cách thuận
tiện, giáo viên cần dạy giải các bài toán này theo các dạng nhỏ đã phân chia.
Ở mỗi dạng nhỏ, giáo viên cần dạy cho học sinh không chỉ một cách giải duy

nhất mà cần dạy hoặc gợi ý nhiều cách giải với những phương pháp khác
nhau. Học sinh qua việc đưa ra nhiều cách giải như vậy sẽ tự nhận xét được
cách giải khoa học và tối ưu đối với bài toán đó.
2.1.1 Các bài toán về chữ số và số
Bài 1. Ông bố muốn chia gia tài cho 3 đứa con trai, chủ yếu là đàn bò gồm có
17 con

Ông bố nói
- Chia cho con trai lớn

1
đàn bò.
2

- Chia cho con trai kế

1
đàn bò.
3

- Chia cho con trai út

1
đàn bò.
9

Ba người con lúng túng mãi không biết làm thế nào để chia được. Cuối cùng
người con út tìm được cách chia đàn bò cho 3 người đúng với điều kiện
của ông bố.
Người con út chia như thế nào?

Phân tích. Đây là bài toán chia gia tài khá quen thuộc. Học sinh cần phân tích
kĩ dữ liệu bài toán, bài toán cho biết gì và yêu cầu tìm gì? Bài toán cho biết
19


người bố có 17 con bò muốn chia cho 3 người con. Vì 17 không chia hết cho

2, 3 và 9 nên ta cần tìm một số chia hết cho cả 2, 3 và 9 thì mới chia được.
Để giải bài toán này ta sử dụng phương pháp giả thiết tạm.
Lời giải. Giả sử người cha có 18 con bò
Người con lớn nhận được số con bò là

18 : 2

9 (con)

Người con trai kế nhận được số con bò là

18 : 3

6 (con)

Người con trai út nhận được số con bò là

18 : 9

2 (con)

Tổng số con bò mà cả 3 người con trai nhận được là

9

6

2

17 (con)

Vậy cả 3 người con đã được vừa đúng số con bò mà người cha có.
Đáp số: Con trai lớn: 9 con bò.
Con trai kế: 6 con bò.
Con trai út: 2 con bò.
Bài 2
Mùa xuân nghe tiếng trống thì thùng,
Người ùa vây kín cả đình đông.
Tranh nhau đánh đấm đòi mâm lớn,
Tiên chỉ hò la để chỗ ông.
Bốn người một cỗ thừa một cỗ,
Ba người một cỗ bốn người không.
Ngoài đình chè chén bao người nhỉ,
Tính thử xem rằng có mấy ông?
Phân tích. Bài toán được trình bày dưới dạng một bài thơ bảy chữ. Học sinh
cần phân tích kĩ dữ liệu bài toán. Bài toán cho biết rằng trong một đám cỗ nọ
20