Toán Hàm Số Biện luận

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán

Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số
KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Cho hàm số y = − x3 + 3x2 + 1.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để phương trình x3 − 3x2 = m3 − 3m2 có ba nghiệm phân biệt.

Câu 1.

• PT x3 − 3x2 = m3 − 3m2 ⇔ − x3 + 3x2 + 1= −m3 + 3m2 + 1. Đặt k = −m3 + 3m2 + 1
Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng d: y = k
Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 1< k < 5 ⇔ m∈ (−1;3) \ {0;2}
Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

Câu 2.

m
.
x−1

2
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x − 2x − 2 =

• Ta có x2 − 2x − 2 =

m
⇔ ( x2 − 2x − 2) x − 1 = m, x ≠ 1. Do đó số nghiệm của phương trình
x−1

bằng số giao điểm của y = ( x2 − 2x − 2) x − 1, (C ') và đường thẳng y = m, x ≠ 1.
f (x)
2
Với y = ( x − 2x − 2) x − 1 = 


khi x > 1
nên ( C ') bao gồm:
−
f
(
x
)
khi
x<1

+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x = 1.

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x = 1 qua Ox.
Dựa vào đồ thị ta có:
m < –2
m = –2
–2 < m < 0
m≥0
vô nghiệm
2 nghiệm kép 4 nghiệm phân biệt 2 nghiệm phân biệt

Cho hàm số y = x4 − 5x2 + 4 có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để phương trình x4 − 5x2 + 4 = log12 m có 6 nghiệm.

Câu 3.

9

• Dựa vào đồ thị ta có PT có 6 nghiệm ⇔ log m= 9 ⇔ m= 124 = 1444 12 .
12
4

Cho hàm số: y = x4 − 2x2 + 1.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 − 2x2 + 1+ log2 m= 0

Câu 4.

• x4 − 2x2 + 1+ log2 m= 0 ⇔ x4 − 2x2 + 1= − log2 m

(m > 0)

(*)

+ Số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị y = x4 − 2x2 + 1 và y = − log2 m
+ Từ đồ thị suy ra:
0 < m<

1
2

2 nghiệm

m=

1
2

3 nghiệm

1
< m< 1
2

m= 1

m> 1

4 nghiệm

2 nghiệm

vô nghiệm

Cho hàm số y = f (x) = 8x4 − 9x2 + 1.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

Câu 5.

Trang 75


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

8cos4 x − 9cos2 x + m= 0 với x∈ [0;π ]
• Xét phương trình: 8cos4 x − 9cos2 x + m= 0 với x∈ [0;π ]

(1)

Đặt t = cosx , phương trình (1) trở thành: 8t − 9t + m= 0
(2)
Vì x∈ [0;π ] nên t ∈ [−1;1] , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của
phương trình (1) và (2) bằng nhau.
Ta có: (2) ⇔ 8t4 − 9t2 + 1= 1− m (3)
4

2

Gọi (C1): y = 8t4 − 9t2 + 1 với t ∈ [−1;1] và (d): y = 1− m. Phương trình (3) là phương trình
hoành độ giao điểm của (C1) và (d).
Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền −1≤ x ≤ 1.
Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:
m< 0

m= 0

0 < m< 1

vô nghiệm

1 nghiệm

2 nghiệm

Câu 6.

Cho hàm số y =

1≤ m<

81
32

4 nghiệm

m=

81
32

m>

2 nghiệm

81
32

vô nghiệm

3x − 4
(C).
x− 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 2π 
:
 3

2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn  0;
sin6 x + cos6 x = m (sin4 x + cos4 x)

• Xét phương trình: sin6 x + cos6 x = m (sin4 x + cos4 x) (*)
 1

3
⇔ 1− sin2 2x = m 1− sin2 2x÷
4
 2


⇔ 4 − 3sin2 2x = 2m(2 − sin2 2x)

(1)

 2π 

3t − 4

Đặt t = sin2 2x . Với x∈  0;  thì t ∈ [ 0;1] . Khi đó (1) trở thành: 2m=
với t ∈  0;1
3
t− 2




sin2x = − t
⇔ sin2x = t
Nhận xét : với mỗi t ∈  0;1 ta có : 
sin2x = t
 2π 
 thì
 3

Để (*) có 2 nghiệm thuộc đoạn  0;

 3 
3 
t ∈  ;1÷ ⇒ t ∈  ;1÷
÷
4 
 2 

 3
 4

Dưa vào đồ thị (C) ta có: y(1) < 2m≤ y ÷ ⇔ 1< 2m≤

Câu 7.

Cho hàm số y =

7
1
7
⇔ < m≤ .
5
2
10

x+ 1
.
x−1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
• Số nghiệm của

x +1
x −1

x +1
x −1

= m.

= m bằng số giao điểm của đồ thị (C′ ): y =

Dựa vào đồ thị ta suy ra được:

x +1
x −1

và y = m.

m< −1; m> 1

m= −1

−1< m≤ 1

2 nghiệm

1 nghiệm

vô nghiệm

Trang 76