Toán Hàm Số cực trị

2. Chủ đề 2: Cực trị của hàm số.
2.1. Kiến thức cơ bản
2.1.1. Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số:
QUY TẮC I
Bước 1: Tìm TXĐ
f / ( x)
Bước 2: Tính
. Xác định các điểm tới
hạn.
Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận.

QUY TẮC II
Bước 1: Tìm TXĐ
f / ( x)
Bước 2: Tính
. Giải phương trình
f / ( x) = 0

xi i = 1, 2,...
và kí hiệu (
) là các
nghiệm của nó.
f // ( x)
f // ( xi )
Bước 3: Tính
và
. Kết luận

2.1.2. Sự tồn tại cực trị
a/ Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0:
 y '( x0 ) = 0


 y ' dôi dau qua x 0

 y ' ( x0 ) = 0

y ' ' ( x0 ) ≠ 0
hoặc 

b/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x0:
 y '( x0 ) = 0

 y ' doi dau tu + sang − qua.x0

hoặc

y'(x0 ) = 0

y''(x0 ) < 0

c/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x0:
 y '( x0 ) = 0

 y ' doi dau tu − sang + qua.x0

hoặc

y'(x0 ) = 0

y''(x0 ) > 0

2.1.3. Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
• Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
• Biễu diễn điều kiện của bài toán bằng yếu tố hình học
2.2. Ví dụ và bài tập


y=

Ví dụ 1: Tìm cực trị của của hàm số
Giải
Cách 1.
* Tập xác định:
R.

1 3 1 2
x − x − 2x + 2
3
2

.

 x = −1
y ' = x 2 − x − 2; y ' = 0 ⇔ 
x = 2 .
Ta có:

* Bảng biến thiên:
x −∞

–1

+∞

y
’
y

+

0

2
–

0

+

= y ( −1) =

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại yCĐ
= y ( 2) =

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT
Cách 2. (Sử dụng quy tắc 2)
* Tập xác định:.

−4
3

19
6

.

 x = −1
y ' = x 2 − x − 2; y ' = 0 ⇔ 
x = 2 .
Ta có:

y '' = 2 x − 1, y '' ( −1) = −3 < 0

*

= y ( −1) =

nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1 và giá trị cực đại

19
6

yCĐ
y '' ( 2 ) = 3 > 0

nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu .
Chú ý: Quy tắc 1 có ưu điểm là chỉ cần tính đạo hàm cấp một rồi xét dấu y’ và lập
bảng xét dấu y’, từ đó suy ra các điểm cực trị. Nhưng quy tắc 1 có nhược điểm là nó đòi
hỏi phải xét dấu y’, điều này không phải bao giờ cũng đơn giản.
*

Nếu bài toán không yêu cầu tìm điểm cực trị thì quy tắc 1 là hơi thừa, khi đó ta sử dụng
quy tắc 2. Song quy tắc 2 cũng có nhược điểm là nhiều khi việc tính y” là rất phức tạp,

f , ( x0 )

f ,, ( x0 )

đặc biệt khi không sử dụng được trong trường hợp
=
=0.
Quy tắc 1 thường được dùng cho các hàm đa thức, hàm phân thức và tích các lũy
thừa. Quy tắc 2 thường được sử dụng cho các hàm lượng giác.
y = 1 x3 + ( m2 − m + 2 ) x 2 + ( 3m 2 + 1) x + m − 5
3

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số:
Giải:
y′ ( x ) = x 2 + 2 ( m 2 − m + 2 ) x + 3m 2 + 1

⇒

đạt cực tiểu tại x = −2.

y′′ ( x ) = 2 x + 2 ( m 2 − m + 2 )

Để hàm số đạt cực tiểu tại x = −2 thì
−m 2 + 4m − 3 = 0
 y′ ( −2 ) = 0

( m − 1) ( m − 3) = 0
⇔ 2
⇔
⇔m=3

 y′′ ( −2 ) > 0
m ( m − 1) > 0
m − m > 0

Ví dụ 4: Cho hàm số:

y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m

hàm số đã cho đạt cực trị tại

x1 , x2

sao cho

, với m là tham số thực.Xác định

x1 − x2 ≤ 2

.

Giải
− Ta có

y ' = 3x 2 − 6( m + 1) x + 9.

− Hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2.

⇔

PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2.
2
x1 , x2
⇔ x − 2(m + 1) x + 3 = 0
có hai nghiệm phân biệt là
.

⇔ ∆ ' = ( m + 1) 2 − 3 > 0 ⇔ m > −1 + 3 ∨ m < −1 − 3 (1)
x1 − x2 ≤ 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ≤ 4
2

Theo đề ta có:

(*)

x1 + x2 = 2(m + 1); x1 x2 = 3.
Theo định lý Viet ta có:
2
(*) ⇔ 4 ( m + 1) − 12 ≤ 4 ⇔ (m + 1) 2 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1
Từ (1) và (2) suy ra giá trị m cần tìm là:

−3 ≤ m < −1 − 3

(2)

hoặc

−1 + 3 < m ≤ 1.

m

để


Ví dụ 5: Tìm m để hàm số
x1 + 2 x2 = 1
thỏa mãn
.

f ( x ) = 1 mx 3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + 1
3
3

đạt cực trị tại x1, x2

Giải:
Hàm số có CĐ, CT ⇔

biệt ⇔

{

m≠0
2
∆′ = ( m − 1) − 3m ( m − 2 ) > 0

Với điều kiện (*) thì

f ′( x) = 0

x1, x2. Theo định lý Viet ta có:
Ta có:

f ′ ( x ) = mx 2 − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) = 0

⇔

1− 6 < m ≠ 0 < 1+ 6
2
2

có 2 nghiệm phân

(*)

có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại

(
)
(
)
x1 + x2 = 2 m − 1 ; x1 x2 = 3 m − 2
m
m

(

)
(
)
x1 + 2 x2 = 1 ⇔ x2 = 1 − 2 m − 1 = 2 − m ; x1 = 2 m − 1 − 2 − m = 3m − 4
m
m
m
m
m

m = 2
( m − 2)
⇔
3
2
−
m
3
m
−
4
m = 2
⇒
×
=
⇔ ( 2 − m ) ( 3m − 4 ) = 3m ( m − 2 )
3

m
m

m

Cả 2 giá trị này đều thỏa mãn điều kiện (*). Vậy

2
x1 + 2 x2 = 1 ⇔ m = 2 ∨ m = 3

y = x3 − 3mx 2 + 4m 3

Ví dụ 6. Cho hàm số
(m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để
(Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Giải

Ta có: y’ = 3x2 − 6mx = 0 ⇔

x = 0
 x = 2m


Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0.
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) ⇒

uuu
r
AB = (2m; −4m3 )

Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng
y = x và I thuộc đường thẳng y = x

 2m − 4m3 = 0
⇔ 3
 2m = m

m=±
Giải hệ phương trình ta được
m=±
Kết hợp với điều kiện ta có:

2
2

;m=0

2
2

y = x 3 − 3mx 2 + 3( m 2 − 1) x − m3 + m

Ví dụ 7. Cho hàm số
(1). Tìm m để hàm số (1) có
cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
2

lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.

Giải
Ta có

y ′= 3 x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1)
y ′= 0

Hàm số (1) có cực trị thì PT
⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0

có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆ = 1 > 0, ∀m
có 2 nhiệm phân biệt
A(m − 1;2 − 2m)
B (m + 1; −2 − 2m)
Khi đó, điểm cực đại
và điểm cực tiểu

Ta có

 m = −3 + 2 2
OA = 2OB ⇔ m 2 + 6m + 1 = 0 ⇔ 
 m = −3 − 2 2
y = x 4 − 2m2 x 2 + 1

Ví dụ 8. Cho hàm số
trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
Giải

( Cm )

.

(1). Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực

x = 0
y ' = 4 x 3 − 4m 2 x = 4 x ( x 2 − m 2 ) = 0 ⇔  2
⇒ m ≠ 0 (*)
2
x = m

Ta có:
Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị. Gọi ba điểm cực trị là:


A ( 0;1) ; B ( − m;1 − m 4 ) ; C ( m;1 − m4 )

. Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác

vuông cân, thì đỉnh sẽ là A.
Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên để
thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC.
uuu
r
uuur
uuur
⇔ AB = ( − m; − m 4 ) ; AC = ( m; −m 4 ) ; BC = ( 2m;0 )
Tam giác ABC vuông khi:

BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇔ 4m 2 = m 2 + m8 + ( m 2 + m8 )

⇔ 2m 2 ( m4 − 1) = 0; ⇒ m 4 = 1 ⇔ m = ±1

Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1

Ví dụ 9. Cho hàm số
(1).Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1)
có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).
Giải
x = 0
 2
2
x = m
⇔
≠
3
2
+) Ta có y’ = 4x – 4m x ; y’ = 0
; ĐK có 3 điểm cực trị: m 0
+) Tọa độ ba điểm cực trị: A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m4), C(m ; 1 – m4) ;
+) CM tam giác ABC cân đỉnh A. Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m4).
1
5
SVABC = AI .BC = m 4 m = m = 32 ⇔ m = ±2
2
+)
(tm)
y = x 4 − 2mx 2 + 1

Ví dụ 12. Cho hàm số
(1). Tìm các giá trị của tham số m để đồ thi
hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1.

Giải
y ' = 4 x 3 − 4mx
Ta có
x = 0
y' = 0 ⇔  2
x = m
⇔
Hàm số có 3 cực trị
y’ đổi dấu 3 lần
⇔
⇔
phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
m>0
Khi m > 0, đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị là


A( m ;1 − m 2 ) , B (− m ;1 − m 2 ) , C (0 ; 1)
Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.
Vì 2 điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trên trục tung.
 y0 = 0
⇔ (1 − y0 ) 2 = 1 ⇔ 
 y0 = 2
Đặt I(0 ; y0). Ta có: IC = R
⇒ I ≡ O(0 ; 0)
I (0 ; 2)
hoặc
I ≡ O (0 ; 0)
* Với
m = 0
m = 1



⇔ m + (1 − m 2 ) 2 = 1 ⇔ m 4 − 2m 2 + m = 0 ⇔  m = −1 − 5
2


−1 + 5
m =
2

IA = R

So sánh điều kiện m > 0, ta được m = 1 và m =
* Với I(0 ; 2)

−1 + 5
2

⇔ m + ( −1 − m 2 ) 2 = 1 ⇔ m 4 + 2 m 2 + m = 0

IA = R
Phương trình (*) vô nghiệm khi m > 0

Vậy bài toán thỏa mãn khi m = 1 và m =

(*)

−1 + 5
2

y = x 4 − 2mx 2 + m − 1

m
m
Ví dụ 13. Cho hàm số
(1), với là tham số thực. Xác định để
hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam
1
giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng .
Giải
x = 0
y ' = 4 x 3 − 4mx = 4 x x 2 − m = 0 ⇔  2
x = m

(

)


⇔

y' = 0

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị
pt
có ba nghiệm phân biệt và
⇔m>0
x
đi qua các nghiệm đó
• Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

(

) (

A ( 0; m − 1) , B − m ; −m 2 + m − 1 , C

•

đổi dấu khi

)

m ; −m 2 + m − 1

1
y B − y A . xC − xB = m 2 m
2

SVABC =

y'

;

AB = AC = m 4 + m , BC = 2 m

m = 1
m4 + m ) 2 m
(

AB. AC.BC
R=
=1⇔
= 1 ⇔ m3 − 2 m + 1 = 0 ⇔ 
2
m = 5 − 1
4 SVABC
4m m

2
 Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm
sao cho:

m

y=

để hàm số

2 3
2
x − mx 2 − 2 ( 3m 2 − 1) x +
3
3

có hai điểm cực trị

x1

và

x2

x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) = 1
y=

1 3 1 2
x − mx + ( m2 − 3) x
3
2

m
Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của
để hàm số
có cực đại tại
xCT
xCT
xCĐ cực tiểu tại
sao cho xCĐ,
là độ dài các cạnh góc vuông tại một tam giác vuông

có độ dài cạnh huyền bằng
Bài 3. Xác định

x1 − x2 = 2

m

5
2

để hàm số

.
y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 9 x − m

đạt cực trị tại

x1 , x2

sao cho

..

m

y = x 3 − 3mx 2 + 3m3

Bài 4. Tìm
để đồ thị hàm số
tam giác OAB có diện tích bằng 48.

có hai điểm cực trị A và B sao cho


1
y = x3 − 2 x 2 + 3x
3

Bài 5. Cho hàm số
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
A, B
2. Gọi
lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M
thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.
y = − x 3 + 3 x 2 + 3 ( m 2 − 1) x − 3m 2 − 1

( 1)

Bài 6.
Cho hàm số
Tìm m để hàm số (1) có
cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành
một tam giác vuông tại O.
Bài 7.
Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong đó m là tham số.Tìm tất cả các
giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CĐ= xCT.
y = x 3 − 3x 2 + 3 ( 1 − m ) x + 1 + 3m

( Cm )
Bài 8.
Cho hàm số
Tìm m để hàm số có cực
đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một
tam giác có diện tích bằng 4.
y = x 3 − 3x 2 + 3(1 − m 2 ) x + 2m 2 − 2m − 1

Bài 9.
Cho hàm số
(m là tham số)Tìm tất cả
các giá trị của tham số thực m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm
d : x − 4 y − 5 = 0.
cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng