Toán Hàm Số tiếp tuyến

1. Chủ đề 1: Bài toán về tiếp tuyến
M( x0 , y0 ) ∈ (C ) : y = f ( x)
1.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
y ' = f ' ( x)
k = f ' ( x0 )
* Tính
; tính
(hệ số góc của tiếp tuyến)
M ( x0 ; y0 )
y = f ( x)
* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm
có phương trình
'
y − y0 = f ( x0 ) ( x − x0 )
y0 = f ( x0 )
với
3
y = x − 3x + 5
Ví dụ 1: Cho hàm số
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
a) Tại điểm A (-1; 7).
b) Tại điểm có hoành độ x = 2.
c) Tại điểm có tung độ y =5.
Giải:
M 0 ( x0 ; y0 )
a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
có dạng:
y − y0 = f '( x0 )( x − x0 )
Ta có

y ' = 3x 2 − 3 ⇒ y '(−1) = 0

.

y−7 = 0
Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là:
hay y = 7.
x=2⇒ y =7
b) Từ
.
y’(2) = 9. Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là:
y − 7 = 9( x − 2) ⇔ y − 7 = 9 x − 18 ⇔ y = 9 x − 11

x = 0

y = 5 ⇔ x3 − 3x + 5 = 5 ⇔ x3 − 3x = 0 ⇔  x = − 3
x = 3


c) Ta có:
+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5).
Ta có y’(0) = -3.
y − 5 = −3( x − 0)
Do đó phương trình tiếp tuyến là:
hay y = -3x +5.
+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm

(− 3;5)

.

y '(− 3) = 3(− 3) 2 − 3 = 6
Do đó phương trình tiếp tuyến là:

y − 5 = 6( x + 3)

hay

( − 3;5)

y = 6x + 6 3 + 5

.

y = 6x − 6 3 + 5

+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại
là:
.
3
2
y = x − 2x + 2x − 4
Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số
.
a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0.
Giải:
M ( x0 ; y0 )

y ' = 3x 2 − 4 x + 2
Ta có
. Gọi
là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương
trình:
y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 (1)

M = (C ) I Ox

a) Khi
thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:
2
x − 2x + 2x − 4 = 0 ⇔ x = 2
; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được
y = 6( x − 2)
phương trình tiếp tuyến:
⇒ y0 = y (0) = −4
y '( x0 ) = y '(0) = 2
M = (C ) I Oy
b) Khi
thì x0 = 0
và
, thay các
giá trị đã
y = 2x − 4
biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến:
.
3

c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0. Ta có: y” = 6x – 4.

2
88
2
2 2
⇔ 6 x − 4 = 0 ⇔ x = = x0 ⇒ y0 = y  ÷ = −
y '( x0 ) = y '  ÷ =
3
27
3
3 3
y” = 0
;
2
100
y = x−
3
27
Thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến:

Ví dụ 3: Cho hàm số

1
y = x 3 − 2 x 2 + 3x
3

(C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại


y '' ( x0 ) = 0

x0

điểm có hoành độ
thỏa mãn
và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc
nhỏ nhất.
Giải
y ' = x 2 − 4 x + 3 ⇒ y '' = 2 x − 4
Ta có
2
y ''( x0 ) = 0 ⇔ 2 x0 − 4 = 0 ⇔ x0 = 2 ⇒ M (2; )
3
Khi đó tiếp tuyến tại M có hệ số góc

k0 = y ' ( x0 ) = y ' (2) = −1

Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm

 2
M  2; ÷
 3

có phương trình

y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 )
y−

suy ra

2

= −1( x − 2 )
3

y = −x +

8
3

hay
k0 =
Tiếp tuyến d có hệ số góc
-1
Mặt khác tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm bấy kỳ trên (C) có hệ số góc

k = y ' ( x ) = x 2 − 4 x + 3 = ( x − 2 ) − 1 ≥ −1 = k0
2

Dấu “=” xảy ra

 2
M  2; ÷
 3

⇔ x =1

nên tọa độ tiếp điểm trùng với
 2
M  2; ÷
 3
Vậy tiếp tuyến d của (C) tại điểm

có hệ số góc nhỏ nhất.
y=

1 3 m 2 1
x − x +
3
2
3

Ví dụ 4: Cho hàm số
(Cm).Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ bằng
-1. Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0
Giải
y ' = x 2 − mx
Ta có


Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với
y ' (−1) = 5 ⇔ m + 1 = 5 ⇔ m = 4

đường thẳng d trước hết ta cần có
1
1
y = x3 − 2 x 2 +
x0 = −1
y0 = −2
m=4
3
3
Khi

ta có hàm số
ta có
thì
'
y = y ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇒ y = 5( x + 1) − 2 ⇔ y = 5 x + 3
Phương trình tiếp tuyến có dạng
Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d
m=4
Vậy
là giá trị cần tìm.
y = x3 − 3 x 2 + m
Ví dụ 5: Cho hàm số
(1).
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại
3
2

các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng .
Giải
x0 = 1 ⇒ y0 = m − 2 ⇒
Với
M(1 ; m – 2)
2
y = (3x0 − 6 x0 )( x − x0 ) + m − 2
- Tiếp tuyến tại M là d:
⇒
d: y = -3x + m + 2.
m+2
m+2 
0 = −3 x A + m + 2 ⇔ x A =

⇒ A
; 0÷
3
 3

- d cắt trục Ox tại A:
yB = m + 2 ⇒ B (0 ; m + 2)
- d cắt trục Oy tại B:
3
1
3
m+2
SOAB = ⇔ | OA || OB |= ⇔| OA || OB |= 3 ⇔
m + 2 = 3 ⇔ ( m + 2) 2 = 9
2
2
2
3
m + 2 = 3
m = 1
⇔
⇔
 m + 2 = −3
 m = −5
Vậy m = 1 và m = - 5

1.2. Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số
của nó

y = f ( x)

(C) khi biết trước hệ số góc


f ' ( x0 ) = k ⇒ x = x0 y0 = f ( x0 )
+ Gọi
là tiếp điểm, giải phương trình
,
+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị:
y = k ( x − x0 ) + y0
M ( x0 , y0 )



Các dạng biểu diễn hệ số góc k:hoctoancapba.com
3
k = 5; k = ±1; k = ± 3; k = ±
...
7
*) Cho trực tiếp:
*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc

α

, với

2π π 

α ∈ 150 ;300 ;450 ; ; .....
3 3 



tan α
Khi đó hệ số góc k =
.
*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a.
−1
⇒ ka = −1 ⇔ k =
a
*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b
.
k −a
= tan α
1 + ka
α
*) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b một góc . Khi đó,
.

y = x 3 − 3x 2

Ví dụ 6: Cho hàm số
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ
số góc của tiếp tuyến k = -3.
Giải:
y ' = 3x 2 − 6 x
Ta có:
k = f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0
M ( x0 ; y0 )
⇒
Gọi

là tiếp điểm Tiếp tuyến tại M có hệ số góc
Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên:

3 x02 − 6 x0 = −3 ⇔ x02 − 2 x0 + 1 = 0 ⇔ x0 = 1
Vì

x0 = 1 ⇒ y0 = −2 ⇒ M (1; −2)

.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

y = −3( x − 1) − 2 ⇔ y = −3 x + 1

Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6.

y = x3 − 3x 2 + 1

(C). Biết tiếp


Giải:
y ' = 3x 2 − 6 x

Ta có:
k = f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0
M ( x0 ; y0 )
⇒
Gọi

là tiếp điểm Tiếp tuyến tại M có hệ số góc
⇒
Theo giả thiết, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + +6
tiếp tuyến có hệ

số góc k = 9

 x0 = −1 ⇒ M (−1; −3)
3 x02 − 6 x0 = 9 ⇔ x02 − 2 x0 − 3 = 0 ⇔ 
 x0 = 3 ⇒ M (3;1)
⇒

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là:
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là:

y = 9( x + 1) − 3 ⇔ y = 9 x + 6

(loại)

y = 9( x − 3) + 1 ⇔ y = 9 x − 26

y=

Ví dụ 8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số:
tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x+ 5y – 2015 =0

1 4
x + 2x2
4

Giải:
(d) có phương trình:

1
y = − x + 402
5

1
5

nên (d) có hệ số góc là - .
1
− .k = −1 ⇔ k = 5 ( do ∆ ⊥ (d ))
5
∆
Gọi là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì
.
3
3
y ' = x + 4x
x + 4x = 5
Ta có:
nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình:
9
⇔ x3 + 4 x − 5 = 0 ⇔ ( x − 1)( x 2 + x + 5) = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y =
4

Vậy tiếp điểm M có tọa độ là

 9

M 1; ÷
 4

y−

Tiếp tuyến có phương trình:

9
11
= 5( x − 1) ⇔ y = 5 x −
4
4

, biết tiếp


y = 5x −

Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình:

11
4

.

2x −1
x −1

Ví dụ 9: Cho hàm số y =
có đồ thị (C).

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại
các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.
Giải
M ( x0 ; y0 ) ∈ (C )
Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại
cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho
OA = 4OB
.
OB 1
1
1
tan A =
=
−
OA 4
4
4
Do ∆OAB vuông tại O nên
⇒ Hệ số góc của d bằng hoặc
.
3

 x0 = −1 ( y0 = 2 )

1
1
1
′
x = 3 ( y = 5)
y ( x0 ) = −

<0⇒−
=−
2
2
0
( x0 − 1)
( x0 − 1)
4
 0
2
Hệ số góc của d là
⇔
1
3
1
5


 y = − 4 ( x + 1) + 2
y = − 4 x + 4
⇔

1
5
 y = − ( x − 3) +
 y = − 1 x + 13

4
2


4
4
Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:
.
1.3. Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm
Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua
A(α ; β )
điểm
.
Cách giải
y − f ( x0 ) = f '( x0 )( x − x0 )
+ Tiếp tuyến có phương trình dạng:
, (với x0 là hoành độ
tiếp điểm).
β − f ( x0 ) = f '( x0 )(α − x0 ) (*)
A(α ; β )
+ Tiếp tuyến qua
nên
+ Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.


Ví dụ 10: Cho đồ thị (C):
tuyến đi qua điểm A(-2; -1).
Giải:
y ' = 3x 2 − 3
Ta có:

( x ;x
0

Gọi M

3
0

− 3x0 + 1)

y = x3 − 3x + 1

là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến là

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là
∆

, viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp

∆

y − ( x − 3x0 + 1) = (3x − 3)( x − x0 )
3
0

:

y '( x0 ) = 3x02 − 3

.

2
0

−1 − ( x − 3 x0 + 1) = (3 x02 − 3)( −2 − x0 ) ⇔ x03 + 3x02 − 4 = 0
3
0

qua A(-2;-1) nên ta có:

 x0 = 1 ⇒ y0 = −1
⇔ ( x0 − 1)( x02 + 4 x0 + 4) = 0 ⇔ 
 x0 = −2 ⇒ y0 = −1

∆ : y = −1; ∆ : y = 9 x + 17
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:
1.4. Dạng 4. Một số bài toán tiếp tuyến nâng cao.
y = x3 − 3x + 2
Ví dụ 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số:
sao cho tiếp
4 2
tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB =
.
Giải:
A(a; a 3 − 3a + 2) , B (b; b3 − 3b + 2) , a ≠ b
Gọi
là hai điểm phân biệt trên (C).
2
y ' = 3x − 3
Ta có:
nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:

y '(a ) = 3a 2 − 3 và y '(b) = 3b 2 − 3

.
Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi:

y '(a ) = y '(b ) ⇔ 3a 2 − 3 = 3b 2 − 3 ⇔ (a − b)(a + b) = 0 ⇔ a = −b (vì a ≠ b ⇔ a − b ≠ 0)
2

AB = 4 2 ⇔ AB 2 = 32 ⇔ ( a − b) 2 + (a 3 − 3a + 2) − (b 3 − 3b + 2)  = 32


2

2

⇔ (a − b) 2 + (a 3 − b3 ) − 3(a − b)  = 32 ⇔ ( a − b) 2 + ( a − b)(a 2 + ab + b 2 ) − 3(a − b)  = 32
2

⇔ (a − b) 2 + (a − b) 2  (a 2 + ab + b 2 ) − 3 = 32

, thay a = -b ta được:

4b 2 + 4b 2 ( b 2 − 3) = 32 ⇔ b 2 + b 2 ( b 2 − 3) − 8 = 0 ⇔ b 6 − 6b 4 + 10b 2 − 8 = 0
2

2

b = 2 ⇒ a = −2
⇔ (b 2 − 4)(b 4 − 2b 2 + 2) = 0 ⇔ b 2 − 4 = 0 ⇔ 
b = −2 ⇒ a = 2
-

Với
Với

a = −2 và b = 2 ⇒ A(−2;0) , B (2;4)
a = 2 và b = −2 ⇒ A(2;4) , B ( −2;0)
(−2; 0) và (2; 4)

Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là:
Ví dụ 12: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ (Cm); (m là tham số). Xác định m để
(Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của
(Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là:
x = 0
 2
(2)
 x + 3x + m = 0
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1
⇔
x(x2 + 3x + m) = 0 ⇔
* (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt:
⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm xD, xE ≠ 0.
m ≠ 0
 ∆ = 9 − 4m > 0

⇔
 2
4
m

<
0 + 3 × 0 + m ≠ 0

9


⇔
Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
3 xD2 + 6 xD + m = −( xD + 2m);
kD = y’(xD) =
3xE2 + 6 xE + m = −( xE + 2m).
kE = y’(xE) =
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: kDkE = –1.
⇔
(3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1


⇔

×

(–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-t).
1
9 m 65
8
⇔
4m2 – 9m + 1 = 0 ⇔ m =
1
1
9 − 65 hay m = 9 m 65

8
8
ĐS: m =
2x − 2
y=
x +1
Ví dụ 13: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số:
, biết rằng
khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải:
 2a − 2 
 a;
÷ , ( M ∈ (C ) )
 a +1 
∆
Gọi là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M
.
4
4
y' =
⇒ y '(a ) =
, ( a ≠ −1)
2
( x + 1)
( a + 1) 2
Ta có:
2a − 2
4
∆: y−
=

( x − a ) ⇔ 4 x − (a + 1) 2 y + 2a 2 − 4a − 2 = 0 (*)
2
a + 1 (a + 1)
Vậy
9m + 6m

(

(

d ( I;∆) =

)

)

(

)

4(−1) − ( a + 1) 2 .2 + 2a 2 − 4 a − 2
4 + ( a + 1) 4

=

8 a +1
4 + ( a + 1) 4

.

2

Ta có:

4 + ( a + 1) 4 = 22 + ( a + 1) 2  ≥ 2.2(a + 1) 2 ⇒ 4 + ( a + 1) 4 ≥ 2.2( a + 1) 2 = 2 a + 1

⇒ d ( I; ∆) ≤

8 a +1
=4
2 a +1

d ( I ; ∆)

d ( I ; ∆)

. Vậy
lớn nhất khi
=4
a + 1 = 2
a = 1
⇔ 22 = ( a + 1) 2 ⇔ 
⇔
 a + 1 = −2
 a = −3
a ≠1
. Cả hai giá trị đều thỏa mãn
+ Với a = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp
4x − 4 y − 4 = 0 ⇔ x − y −1 = 0
+ Với a = -3 thay vào

4 x − 4 y + 28 = 0 ⇔ x − y + 7 = 0

(*)

ta

được

phương

trình

tiếp

tuyến

là:

tuyến

là:


x − y −1 = 0 ; x − y − 7 = 0

Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:
x +1
y=
2x + 1
Ví dụ 14: Cho (C) là đồ thị hàm số

. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết
∆
tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn OAB
vuông cân tại gốc tọa độ O.
Giải:
M ( x0 ; y0 )
Gọi
là tiếp điểm. Tiếp tuyến với (C) tại M phải thỏa mãn song song với
các đường thẳng y = x hoặc y = -x.
1
y' = −
(2 x + 1) 2
Ta có:
nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là:
y '( x0 ) = −

1
<0
(2 x0 + 1)2

Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x
1
−
= −1 ⇔ (2 x0 + 1)2 = 1 x0 = − 1
2
(2 x0 + 1)
2
Do đó,
;(
không là nghiệm phương trình)

 2 x0 + 1 = 1
 x0 = 0 ⇒ y0 = 1
⇔
⇔
M 1 (0;1) , M 2 ( −1;0)
 2 x0 + 1 = −1  x0 = −1 ⇒ y0 = 0
. Vậy có hai tiếp điểm là:
.
+ Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với
d
+ Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d
y = − x + 1; y = − x − 1
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:
y=

x+2
x −1

Ví dụ 15: Cho hàm số:
(C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một
tam giác có diện tích không đổi.
Giải
a) Tự làm


b) Giả sử M

 a+2

 a;
÷
 a −1 

PTTT (d) của (C) tại M:

∈ (C).

a+2
y = y ′(a ).( x − a ) +
a −1

⇔

−3
a 2 + 4a − 2
y=
x+
(a − 1) 2
( a − 1) 2

 a+5
A 1;
÷
 a − 1  B (2a − 1;1)
Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là:
,
.
→
6 

6

→
IA =  0;
IA =
÷
IB
= (2a − 2;0) ⇒ IB = 2 a − 1
a
−
1
a −1

 ⇒
;
1
IA.IB
⇒
∆IAB ∆IAB 2
Diện tích
:S
=
= 6 (đvdt) ĐPCM.
2x + 1
y=
x +1
Ví dụ 16: Cho hàm số
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng
tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(−4; −2).
Giải

x0 ≠ −1

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (
).
2x + 1
1
y=
( x − x0 ) + 0
2
x − ( x0 + 1)2 y + 2 x02 + 2 x0 + 1 = 0
( x0 + 1)
x0 + 1
PTTT (d) là
⇔
Ta có:

d ( A, d ) = d ( B, d )

⇔

2 − 4( x0 + 1) 2 + 2 x02 + 2 x0 + 1 = −4 + 2( x0 + 1) 2 + 2 x02 + 2 x0 + 1

⇔

x0 = 1 ∨ x0 = 0 ∨ x0 = −2
y=

1
5
x + ; y = x + 1; y = x + 5

4
4

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến:
Chú ý: Bài toán này có thể giải bằng cách sau: Tiếp tuyến cách đều A, B nên có 2 khả
năng: Tiếp tuyến song song (trùng) AB hoặc tiếp tuyến đi qua trung điểm của AB


y=

Ví dụ 17: Cho hàm số

2x
(C )
x +1

tìm điểm M

∈ (C )

sao cho tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
Giải:
2 x0
2
M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 =
y' =
x0 + 1
( x + 1)2

Gọi
,
Tiếp tuyến tại M có dạng:

y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y =

2 x0
2 x02
2
2
(
x
−
x
)
+
⇔
y
=
x
+
(d )
0
( x0 + 1) 2
x0 + 1
( x0 + 1) 2
( x0 + 1) 2

A = (d ) ∩ ox ⇒

Gọi
tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
2

2 x0
2
x
+
 x = − x02
y =
2
2
⇔
⇒ A(− x02 ,0)
( x0 + 1)
( x0 + 1)

y = 0
y = 0

B = (d ) ∩ oy ⇒

Gọi
tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:

2 x02
2
x+
 x = 0 2 x02
2 x02

y =
2
2
⇔
⇒
B
(0,
)
(
x
+
1)
(
x
+
1)


0
0
2
2
y
=
(
x
+
1)
(
x

+
1)

0
0
x = 0

− x02 = x02
Tam giác OAB vuông tại O ; OA =
Diện tích tam giác OAB:
1 2 x04
1
1
.
=
2
2 ( x0 + 1)
4
2
S = OA.OB =

; OB =

2 x02
2 x02
=
( x0 + 1) 2 ( x0 + 1) 2

1


 2 x02 = x0 + 1
 2 x02 − x0 − 1 = 0
x
=
−
⇒ y0 = −2
0
⇔ 4 x = ( x0 + 1) ⇔  2
⇔ 2
⇔
2

 2 x0 = − x0 − 1  2 x0 + 1x0 + 1 (vn)
 x0 = 1 ⇒ y0 = 1
4
0

2

1
4


Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán:
 Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hàm số
hoành độ x = 1
Bài 2.

Cho hàm số

góc với đường thẳng

y = x 3 − 3 x 2 + 2 x − 5 (C )

1
2
y = x3 − x +
3
3

1
M 1 (− ; −2)
2

;

M 2 (1,1)

. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có

, viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông

1
2
y = − x + (d )
3
3

y = x3 + 3x 2 − 9 x + 5

(C )

Bài 3. Cho hàm số
. trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm
tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
4x − 2
y=
x +1
Bài 4. Cho hàm số:
(C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy
và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
y = − x4 − x2 + 6
Bài 5. Cho hàm số
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
y=

tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d:

1
x −1
6

y=

2x +1
x +1

Bài 6. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số
. Biết tiếp tuyến

đi qua điểm A(-1; 3).
2x − 3
y=
x−2
Bài 7. Cho hàm số
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận
của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất
x +1
y=
x −1
Bài 8. Cho hàm số:
. CMR:


a) Nếu tiếp tuyến của đths cắt hai đường tiệm cận tại A và B thì tiếp điểm là trung
điểm của AB.
b) Mọi tiếp tuyến của đồ thị đều tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện
tích không đổi.
c) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai
đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất