TÍCH PHÂN 94 câu ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY – có HƯỚNG dẫn GIẢI

94 CÂU ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY – CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
A – ĐỀ BÀI
Câu 1.

Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ]
trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b quay quanh trục Ox, có công thức là:
A. V = b f 2 ( x ) dx .
∫

B. V = π b f 2 ( x ) dx . C. V = π b f ( x ) dx .
∫
∫

a

Câu 2.

a

a

D. V = π b f ( x ) dx .
∫
a

Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên [ a; b ] và thỏa mãn: 0 < g ( x ) < f ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] .
Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng ( H ) giới hạn bởi
các đường: y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a ; x = b . Khi đó V dược tính bởi công thức nào sau đây?
b

b

A. π ∫  f ( x ) − g ( x )  dx

2
2
B. π ∫  f ( x ) − g ( x )  dx .

2

a

a

2

 b

C. π ∫  f ( x ) − g ( x )  dx  .
 a


Câu 3.

b

D.

∫ f ( x ) − g ( x ) dx .
a

2
Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y = ( 1 − x ) , y = 0, x = 0 và x = 2 khi

quay quanh trục Ox bằng:
A.

8π 2
.
3

B. 2 π .

C.

46π
.
15

D.

5π
.
2

Câu 4.

Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 , trục Ox ,
x = −1 , x = 1 một vòng quanh trục Ox là:
6π

2π
A. π .
B. 2π .
C.
.
D.
7
7

Câu 5.

Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x − x 2 ; Ox . Quay ( H ) xung quanh trục

Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng?
16
4π
A.
.
B.
.
15
3
Câu 6.

C.

4
.
3

D.

Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tan x; Ox; x = 0; x =

16π
.
15

π
. Quay ( H ) xung
4

quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng?
A. 1 −
Câu 7.

π
.
4

B. π 2 .

π2
.
4

D.

π2
−π .

4

Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 1 − x 2 ; Ox . Quay ( H ) xung quanh trục

Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng?
16
16π
A.
.
B.
.
15
15
Câu 8.

C. π −

C.

4
.
3

D.

4π
.
3

Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = x 2 ; x = 1 ; trục hoành. Quay hình (H) quanh trục Ox

ta được khối tròn xoay có thể tích là:


A.

π
.
5

B.

π
.
3

C. .

D.

2π
.
5

Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y = 2 x + 1 13 , x = 0 , y = 3 , quay
(
)

Câu 9.

quanh trục Oy là:

50π
A.
.
7

B.

480π
.
9

C.

480π
.
7

D.

48π
.
7

Câu 10. Kí hiệu V1 ,V2 lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi
quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = −2 x + 2 và đường cong y = 2 1 − x 2 xung
quanh trục Ox . Hãy so sánh V1 ,V2 .
A. V1 < V2 .

B. V1 = V2 .

C. V1 > V2 .

D. V1 = 2V2 .

B – ĐÁP ÁN
1
B

2
B

3
C

4
D

5
D

6
C

7
B

8
A

9

C

10
A

11
C

12
A

13
B

14
C

15
C

16
B

17
D

18
A

19

A

20
C

21
C

22
D

23
B

24
A

25
C

26
B

27
D

28
C

29

C

30
B

31
C

32
C

33
D

34
D

35
B

36
C

37
A

38
B

39

C

40
D

41
D

42
B

43
A

44
B

45
B

46
D

47
C

48
B

49

C

50
D

51
D

52
C

53
A

54
B

55
A

56
D

57
B

58
B

59

A

60
D

61
A

62
C

63
C

64
D

65
C

66
B

67
A

68
A

69

B

70
A

71
D

72
D

73
D

74
B

75
B

76
D

77
B


C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Chọn B.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox ,
b
x = a, x = b khi quay xung quanh trục Ox ta có: V = π ∫ f 2 ( x ) dx
a

Câu 2.

Chọn B.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a, x = b khi quay xung quanh trục Ox
b

V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx
a

b

2
2
Vì 0 < g ( x ) < f ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] nên V = π ∫  f ( x ) − g ( x )  dx
a

Câu 3.

Chọn C.
Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường

y = ( 1 − x 2 ) , y = 0, x = 0 và x = 2 khi quay quanh trục

Ox là:
2

2

V = π ∫ ( 1 − x 2 ) dx = π ∫ ( 1 − 2 x 2 + x 4 ) dx
2

0

0

2


2 x3 x5 
46
=π x−
+ ÷ = π
3
5  0 15

Câu 4.

Chọn D.
Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y = x 3 ,
trục Ox , x = −1 , x = 1 một vòng quanh trục Ox là:
1

V =π ∫( x
−1

Câu 5.

)

3 2

1

x7
dx = π ∫ ( x ) dx = π
7
−1
6

1

2
= π.
7
−1

Chọn D.
x = 0
2
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x − x = 0 ⇔ 
x = 2
2

Suy ra V = π ∫ ( 2 x − x
0

Câu 6.

)

2 2

2

dx = π ∫ ( 4 x − 4 x − x
2

0

3

)

4 2

2

 4 x3 4 x 4 x5 
16
dx = π 
−
− ÷ = π

4
5  0 15
 3

Chọn C.
Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y = tan x; Ox; x = 0; x = π là:
4
π
4

π
4

π
4

π
4

0

0

0

π

π

V = π ∫ ( tan x ) dx = π ∫ tan 2 xdx = π ∫ ( tan 2 x + 1) dx − π ∫ dx = π tan x 04 − π x 04 = π −

0

2

π2
4


Câu 7.

Chọn B.
 x = −1
2
Phương trình hoành độ giao điểm: 1 − x = 0 ⇔ 
x =1
1

Suy ra V = π ∫ ( 1 − x
−1

Câu 8.

1


2 x3 x 5 
16
dx = π ∫ ( 1 − 2 x + x ) dx = π  x −
+ ÷ = π
3

5  −1 15

−1
1

2

4

Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 = 0 ⇔ x = 0
1

Suy ra V = π ∫ ( x
0

Câu 9.

)

2 2

)

2 2

1

x5
π

dx = π ∫ x dx = π
=
5 0 5
0
1

4

Chọn C.
y3 −1
y = ( 2 x + 1) ⇒ y = 2 x + 1 ⇒ x =
2
3

3

Phương trình tung độ giao điểm:

y3 − 1
= 0 ⇔ y =1
2
3

2

3
 y3 − 1 
 y6 − 2 y3 + 1 

π  y7 2 y4

480
V
=
π
d
y
=
π
d
y
=
−
+
y
Suy ra

÷

÷

÷
∫1  2 
∫1  4  4  7 4  = 7 π
1
3

Câu 10. Chọn B.
Giải phương trình 2 1 − x 2 = − 2 x + 2 ⇔ x ∈ { 0;1}

V1 =

4π 3 4π
R =
3
3
1

(

)

2

1

V2 = π ∫ 2 1 − x 2 dx − π ∫ ( −2 x + 2 ) dx =
0

0

2

4π
.
3