2 CD2 nguyen ham tich phan ung dung tich phan

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

Chủ đề 2
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. Tóm tắt lí thuyết

Nội dung 1: Nguyên hàm
1. Bảng tính nguyên hàm cơ bản
Bảng 1
Hàm số f(x)
a ( hằng số)
α

x

( a ¹ - 1)
1
x
ax

Bảng 2

Họ nguyên hàm F(x)+C
ax + C
xα +1
+C
α +1

Hàm số f(x)

Họ nguyên hàm F(x)+C

(ax + b)α

ln x + C

1
ax + b
A ax+ b

1 (ax + b)α +1
+C
a
α +1
1
ln ax + b + C
a
1 Aax+b
.
+C
A lna
1 ax+b
e
+C
a
1
− cos(ax + b) + C
a

1
sin(ax + b) + C
a
1
tan(ax + b) + C
a
1
− cot(ax + b) + C
a
1
x− a
ln
+C
2a x + a

ex

ax
+C
lna
ex + C

sinx

-cosx + C

sin(ax+b)

cosx

sinx + C

cos(ax+b)

1
cos2 x
1
sin2 x

tanx + C

1
cos (ax + b)
1
sin2(ax + b)
1
2
x − a2

eax+ b

2

-cotx + C
ln u(x) + C

u'(x)
u(x)
tanx

− ln cosx + C

cotx

ln sinx + C

2. Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất kết hợp với bảng tính các nguyên hàm cơ bản
• Phân tích hàm số đã cho thành tổng, hiệu của các hàm số đơn giản có công thức trong bảng
nguyên hàm cơ bản.
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi
lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số
Định lí cơ bản:
Nếu ò f ( u ) du = F ( u ) + C và u = u ( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

ò f ( u ( x) ) u '( x) dx = F ( u ( x) ) +C
47


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

Cách thực hiện: Tính ∫ f [ u(x)] u'(x)dx bằng pp đổi biến số
Bước 1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx (tính vi phân của u)
Bước 2: Tính ∫ f [ u(x)] u'(x)dx = ∫ f(u)du = F(u) + C = F [ u(x)] + C

Phương pháp 3: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí cơ bản:
Nếu hai hàm số u = u ( x) và v = v ( x) có đạo hàm liên tục trên K thì

òu ( x) v '( x) dx = u ( x) v ( x) - òu '( x) v ( x) dx
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt

u = u ( x)
du = u ' ( x) dx
⇒
dv = v' ( x)dx
v = v( x)

. − ∫ vdu
Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần : ∫ udv = uv
Bước 3: Tính

∫ vdu
B. Bài tập

Bài 1: Tính
1) I = ∫

x−2
dx
x2

2) I = ∫

−3 x − 1

dx
x −1

3) I = ∫

2) I = ∫

1
dx
x ( x − 1)

3) I = ∫

2) I = ∫

ln x
dx
x

3
3) I = ∫ x ln xdx

2 x3 − 3x
dx
x+2

Bài 2: Tính
1)

3x − 2 x 2

∫ 3 − x dx

x
dx
x + 3x + 2
2

Bài 3: Tính
1) I = ∫ x ln xdx
Bài 4: Tính

(

)

2
1) I = ∫ ln x − x dx

2x
2) I = ∫ ( x − 2 ) e dx

3) I = ∫ x s in2xdx

ex
2) I = ∫
dx
1 + 2e x

5
3) I = ∫ cos xdx

Bài 5: Tính
1) I = ∫

x sin x
dx
cos 2 x

48


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

Nội dung 2: Tính tích phân
A. Tóm tắt lí thuyết
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
a. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a, b∈ K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm
số f(x) trên K thì :
b

∫ f (x)dx = [ F (x)] a = F (b) − F (a)
b

( Công thức NewTon - Leipniz)

a

b. Các tính chất của tích phân
•
•

b

a

a

b

∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx

Tính chất 1:

Tính chất 2: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ a; b] thì
b

b

b

a

a

a

∫ [ f (x) ± g(x)] dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx
•

Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ a; b] và k là một hằng số thì
b

b

a

a

∫ k. f (x)dx = k.∫ f (x)dx
•

Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ a; b] và c là một hằng số thì
b

c

b

a

a

c

b

b

b

a

a

a

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
•

Tính chất 5: Tích phân của hàm số trên [ a; b] cho trước không phụ thuộc vào biến số ,

∫ f (x)dx = ∫ f (t)dt = ∫ f (u)du = ...

nghĩa là :
2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
b

'
a) DẠNG 1: Tính I = ∫ f[u(x)].u(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
a

Công thức đổi biến số dạng 1:

b

u (b )

a

u (a)

∫ f [ u ( x )].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt

Cách thực hiện:
t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x) dx
x=b
t = u (b )
⇒
Bước 2: Đổi cận :
x=a
t = u (a )
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
Bước 1: Đặt

b

u (b )

a

u(a)

I = ∫ f [ u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)

49

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

b

b) DẠNG 2: Tính I = ∫ f(x)dx bằng cách đặt x = ϕ(t)
a

b

β

a

α

I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt

Công thức đổi biến số dạng 2

Cách thực hiện
x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt
x=b
t=β
⇒
Bước 2: Đổi cận :
x=a

t =α
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
Bước 1: Đặt

b

β

a

α

I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)

3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Công thức tích phân từng phần
b

b

∫ u ( x ).v ' ( x )dx = [ u ( x).v( x)] a − ∫ v( x).u ' ( x )dx
b

a

a

b

b

∫ udv = [ u.v ] a − ∫ vdu

hay:

b

a

a

Cách thực hiện
Bước 1: Đặt

u = u ( x)
du = u ' ( x) dx
⇒
dv = v' ( x)dx
v = v( x)
b

b

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : ∫ udv = [ u.v ] a − ∫ vdu
a

Bước 3: Tính [ u.v ] ba

b

a

b

và ∫ vdu
a

50


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

II. CÁC VÍ DỤ
2

Ví dụ 1: Tính tích phân I = ò
1

x 2 + 3 x +1
dx .
x2 + x

(Phân tích & dùng định nghĩa)

Bài giải
x 2 + 3 x +1
2 x +1

=1+ 2
♥ Biến đổi hàm số thành dạng
2
x +x
x +x
2

Khi đó: I = ò
1

2

2

·

2

x 2 + 3 x +1
2 x +1
dx = ò dx + ò 2
dx
2
x +x
x
+
x
1
1

ò dx = x

2
1

=1

1

2

·

2
2 x +1
dx = ln x 2 + x = ln 3
2
1
+x

òx
1

♥ Vậy I = 1 + ln 3 . r

1

Ví dụ 2: Tính tích phân I = ò
0

( x +1)

2

dx .

x 2 +1

(Phân tích & dùng định nghĩa)

Bài giải
♥ Biến đổi hàm số thành dạng
1

Khi đó: I = ò

( x +1)

0

1

·

ò dx = x

2

2

x +1
1
0

( x +1)

2

=

x 2 +1
1

1

dx = ò dx + ò
0

0

x 2 + 2 x +1
2x
=1+ 2
2
x +1
x +1

2x
dx
x +1

2

=1

0

1

·

òx
0

1
2x
dx = ln x 2 +1 = ln 2
0
+1

2

♥ Vậy I = 1 + ln 2 . r

ln 2

2

x
x
Ví dụ 3: Tính tích phân I = ò( e - 1) e dx .

(Đổi biến số dạng 1)

0

Bài giải
♥ Đặt t = e x - 1 Þ dt = e x dx
51


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

ïì x = ln 2
Þ
Đổi cận: ïí
ïîï x = 0

HĐBM - TỔ TOÁN

ïìï t = 1
í
ïîï t = 0
1

1

t3
1
=

Suy ra: I = ò t dt =
30 3
0
2

1
♥ Vậy I = . r
3

1
2
Ví dụ 4: Tính tích phân I = ò x 2 - x dx .

(Đổi biến số dạng 1)

0

Bài giải
♥ Đặt t = 2 - x 2 Û t 2 = 2 - x 2 Þ 2tdt =- 2 xdx Þ tdt =- xdx
ìï x = 1
Þ
Đổi cận: ïí
ïïî x = 0

ïìï t = 1
í
ïîï t = 2
2

2

t3
Suy ra: I = ò t dt =
3
1
2

♥ Vậy I =

=
1

2 2- 1
3

2 2- 1
.r
3

e

Ví dụ 5: Tính tích phân I = ò
1

4 + 5ln x
dx .
x

(Đổi biến số dạng 1)

Bài giải
5
2
♥ Đặt t = 4 + 5ln x Û t = 4 + 5ln x Þ 2tdt = dx
x
ìï x = e
Þ
Đổi cận: ïí
ïîï x = 1

ìïï t = 3
í
ïîï t = 2
3

3

2
2 3
2 3
38
2
3
Suy ra: I = ò t dt = t = ( 3 - 2 ) =
5 2
15 2 15
15
♥ Vậy I =

38

.r
15

p
4

Ví dụ 6: Tính tích phân I = ( x +1) sin 2 xdx .
ò

(Tích phân từng phần)

0

Bài giải
52


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

ìï du = dx
ïï
í
1
ïïï v =- 2 cos 2 x
î

ïì u = x +1

Þ
♥ Đặt ïí
ïïî dv = sin 2 xdx

p

p

4
4
Suy ra: I =- 1 ( x +1) cos 2 x + 1 sin 2 x
2
4
0
0
p

p

4
4
1
1
3
=- ( x +1) cos 2 x + sin 2 x =
2
4
4
0
0

3
♥ Vậy I = . r
4
p
4

Ví dụ 7: Tính tích phân I = x ( 1 + sin 2 x ) dx .
ò

(Tích phân từng phần)

0

p
4

p
4

p
2 4

♥ Ta có: I = xdx + x sin 2 xdx = x
ò
ò
2
0
0

0

p
4

+ ò x sin 2 xdx =
0

2

p
4

p
+ x sin 2 xdx
32 ò
0

ìï du = dx
ïï
í
1
ïïï v =- 2 cos 2 x
î

ìï u = x
Þ
Đặt ïí
ïïî dv = sin 2 xdx
p

4

p
4

p
4

p
4

p

4
Suy ra: x sin 2 xdx =- 1 x cos 2 x + 1 cos 2 xdx = 1 cos 2 xdx = 1 sin 2 x = 1
ò
2
2ò
2ò
4
4
0
0
0
0
0

♥ Vậy I =

p2 1

+ .r
32 4

2

Ví dụ 8: Tính tích phân I = ò
1

x 2 + 2 ln x
dx .
x

(Phân tích + đổi biến số dạng 1)

Bài giải
2

2

♥ Ta có: I = ò xdx + 2 ò
1

2

1

ln x
dx
x

2

x2
3
· ò xdx =
=
2 1 2
0
2

♥ Tính

ò
1

ln x
dx
x

53


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM - T TON

1
t t = ln x ị dt = dx
x

ỡù x = 2
ị
i cn: ùớ
ùợù x = 1

ỡùù t = ln 2
ớ
ùợù t = 0

2

ln 2

ln x
t2
dx
=
tdt
=
Suy ra: ũ
ũ
x
2
1
0

ln 2

=
0

ln 2 2
2

3
2
Vy I = + ln 2 . r
2

2

Vớ d 9: Tớnh tớch phõn I = ũ
1

ùỡù u = ln x
ù
2
ị
t ớ
ùù dv = x - 1 dx
x2
ùùợ

x2 - 1
ln xdx .
x2

(Tớch phõn tng phn)

ỡù

ùù du = 1 dx
x
ùớ
ùù
1
ùù v = x +
x
ùợ
2

2

ổ 1ử
x+ ữ
Suy ra: I = ỗ
ữ
ỗ
ữln x ỗ
ố xứ
1

ổ 1ử
1
ữ
ũốỗỗỗx + x ứữ
ữx dx
1

2

2

ổ 1ử
ổ 1ử
ỗ
=ỗ
x+ ữ
ln
x
x- ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ
ố
x
xứ
1
1
5
3
= ln 2 2
2
5

3
Vy I = ln 2 - . r
2
2
Vớ d 10: Tớnh tớch phõn I =

1

0

2

(2ex + ex )xdx .

(Phõn tớch + i bin dng 1+ tớch phõn tng phn)

Bi gii
Ta cú: I =
ã I1 =
ã I2 =

1

0

1

2

2xex dx + xexdx .

0

1

ex2 = e 1.
2xe
dx
=
e
d
(
x
)
=
0
0
0
1

1

1 x2

x2

2

0 xe dx
x

t u = x
du = exdx
x
dv = e dx v = ex.
1

1

1

Suy ra: I2 = xex exdx = e ex = 1.
0
0
0
Vy I = e 1 + 1 = e. r
54


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

B. Bài tập
Bài 1: Tính các tích phân sau
1

1) I = ∫
0

x

(x

2

+4

)

2

dx

π
2

2) I = ∫
0

sin x

( 1 + cos x )

dx

2

Bài 2: Tính các tích phân sau
e3

e

ln x + 1
dx
1) I = ∫
x
1

2) I = ∫
1

ln 3 x + 2
dx
x

Bài 3: Tính các tích phân sau
π

1) I = ∫ sin x cos xdx
3

0

π
2

2) I = sin2x(1+ sin2 x)3dx
∫
0

Bài 4: Tính các tích phân sau
2

1) I = ∫ x x + 3dx
2

1

2

2) I = ∫
0

x2
x3 + 1

dx

Bài 5: Tính các tích phân sau

(

1

)

x
1) I = ∫ x x + e dx
0

2

e
 ln 3 x 
2) I = ∫ x 1 + 2 ÷dx
x 
1 

Bài 6: Tính các tích phân sau
e

1 + 3ln x ln x
dx
x

1) I = ∫
1

ln 3

2) I =

∫
0

ex

(e

x

)

+1

3

dx

Bài 7: Tính các tích phân sau
π
2

1) I = s in2x cos x dx
∫0 1 + cos x

π
6

4
2) I = tan x dx
∫0 cos 2 x

Bài 8: Tính các tích phân sau
π
2

1) I = s in2x + sin x dx
∫0 1 + 3cos x

π
2

2) I =
∫

0

sin2x
cos2 x + 4sin2 x

dx

Bài 9: Tính các tích phân sau
π
2

(

)

1) I = cos3 x − 1 cos 2 xdx
∫
0

π
2

s in2x

dx
3 + 4sin x − cos 2 x
0

2) I =
∫

Bài 10: Tính các tích phân sau

55


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
π
4

HĐBM - TỔ TOÁN

dx
4
cos x 3 tan x + 1

1) I =
∫
0

π
2

cot x + 1
dx
sin 4 x

2) I = ∫
π
4

Bài 11: Tính các tích phân sau
e

1) I =

∫x
1

π
2

dx

cot x
dx
sin 2 x + 1

2) I = ∫

1 − ln 2 x

π

6

Bài 12: Tính các tích phân sau
π
3

1) I = ∫
π
4

tan x
cos x 1 + cos 2 x

ln 5

dx

2) I =

e2 x

∫

ex −1

ln 2

dx

Bài 13: Tính các tích phân sau

π
2

1) I = 6 1 − cos3 x sin x cos5 xdx
∫
0

π
2

2) I = sin2x(1+ sin2 x)3dx
∫
0

Bài 14: Tính các tích phân sau
1

1) I = ∫ x

3

x + 3dx
2

0

ln 5

2) I =

∫

(e

)

+1 ex

x

dx

ex −1

ln 2

Bài 15: Tính các tích phân sau
π

1) I = ∫ x cos xdx
0

π

(

)

cos x
2) I = ∫ e + x sin xdx

0

Bài 16: Tính các tích phân sau
3

2

ln x
dx
x2
1

(

)

2
2) I = ∫ x ln 3 + x dx

1) I = ∫

0

Bài 17: Tính các tích phân sau
e

(

)

2
1) I = ∫ 1 − x ln xdx
1

5

2
2) I = ∫ x ln ( x − 1) dx
2

Bài 18: Tính các tích phân sau
e

x2 + 1
ln xdx
1) I = ∫
x
1

e

3
2
2) I = ∫ x ln xdx
1

Bài 19: Tính các tích phân sau
1

1) I = ∫ ( x − 2 ) e dx

2x

0

3

(

)

2
2) I = ∫ ln x − x dx
2

Bài 20: Tính các tích phân sau
56


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
π
2

(

HĐBM - TỔ TOÁN
π
4

)

1) I = ecos x + cos3 x sin xdx
∫
0

1
dx
sin 2 x.(2 + cot 2 x)

2) I = ∫

2

π
8

Bài 21: Tính các tích phân sau
4

2x + 1
dx
0 1+ 2x +1

3

1) I = ∫

2) I =

dx

∫ x (x
2

1

2

+ 1)

Bài 22: Tính các tích phân sau
π
2

1) I = ∫

2

cos 2 x

0 ( sin x − cos x + 3 )

3

dx

x3 + 2 x 2 + 4 x + 9
dx
2) I = ∫
x2 + 4

0

Bài 23: Tính các tích phân sau
π
6

1) I = x sin 2 3 xdx
∫

π
2

2)

0

cot x
dx
4
π 1 + sin x

I=∫
4

Bài 24: Tính các tích phân sau
6

1
dx
1) I = ∫

2 2x +1+ 4x +1

π
2

2) I = sin x + cos x dx
∫0 3 + sin 2 x

Bài 25: Tính các tích phân sau
π
2

sin 2 x
dx
3 + 4sin x − cos 2 x
0

1) I =
∫

1

x2
dx
0 ( x + 1) x + 1

2) I = ∫

57

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

Nội dung 3: Ứng dụng của tích phân.
A. Tóm tắt lí thuyết

I. CÔNG THỨC
1. Công thức tính diện tích hình phẳng

(C1 ) : y = f ( x)
(C ) : y = g ( x )
 2
(H ) : 
∆1 : x = a

∆ 2 : x = b

y

x=a
(H )

a

O

x=b

(C1 ) : y = f ( x)

(C 2 ) : y = g ( x)
x

b

b

S = ò f ( x ) - g ( x) dx

y

(C 2 ) : x =

(C1 ) : x = f ( y )
(C ) : x = g ( y )

(H ) :  2
∆ 1 : y = a

∆ 2 : y = b
g ( y)

y=b

b

(H )

a

y=a

x
S = ò f ( y ) - g ( y ) dy
a ) : x = f ( y)
(C
1
b

O

a

2. Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay
y
x=a

O

a

x=b
(C ) : y = f ( x )

y=0

b

b

2

V = π ∫ [ f ( x )] dx
a

x

y
b
x=0

a

y=b
(C ) : x = f ( y )
y=a
x

O

b

2

V = π ∫ [ f ( y )] dy
a

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x 2 - x + 3 và đường thẳng y = 2 x +1 .
58


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM - T TON

Bi gii
Phng trỡnh honh giao im ca hai ng
ộx = 1
x 2 - x + 3 = 2 x +1 x 2 - 3x + 2 = 0 ờ
ờ
ởx = 2
Din tớch hỡnh phng cn tỡm l
2

S = ũ x 2 - 3 x + 2 dx
1

2

ổx 3 3x 2
ử
1
ữ
= ũ( x - 3x + 2) = ỗ
+ 2 xữ
= .r

ỗ ữ
ữ 6
ỗ
2
ố3
ứ
1
1
2

2

Vớ d 2: Tớnh th tớch khi trũn xoay to thnh khi quay hỡnh phng c gii hn bi cỏc ng
1
y=
, y = 0, x = 0 v x = 1 xung quanh trc honh.
1 + 4 3x
Bi gii
1

Th tớch khi trũn xoay l V =
0

(1+

dx
4 3x

)

2

.

t t = 4 3x , ta cú khi x = 0 thỡ t = 2, khi x = 1 thỡ t = 1 v x =
1

2

2t
4 t2
nờn dx = dt.
3
3

2

1
2t
2
t
2 1
1
.
dt =
dt =


ữdt
2

2


3 1 (t + 1)
3 1 t + 1 (t + 1) 2
(1 + t ) 3
2

Khi ú ta cú V =

2
1 2 2 3 1
3
=
ln | t + 1| +
ữ =
ln ữ = 6ln 1ữ. r
3
t +1 1
3 2 6 9
2

B. Bi tp

59


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

 y = x2 − 4x + 3

y = 0
Bài 1: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , tính diện tích của hình phẳng (H): 
x = 0
 x = 2
 y = x 2
Bài 2: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , tính diện tích của hình phẳng (H): 
2
 y = 2 − x
−3x − 1

y = x − 1

Bài 3: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , tính diện tích của hình phẳng (H):  y = 0
x = 0


2
 y = x
Bài 4: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , tính diện tích của hình phẳng (H): 
2
 x = − y

 y = x2 − 2x
Bài 5: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , tính diện tích của hình phẳng (H) : 
2
 y = − x + 4x

(C ) : y = x

Bài 6: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , tính diện tích của hình phẳng (H): (d ) : y = 2 − x
(Ox)

(C ) : y = e x

Bài 7: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , tính diện tích của hình phẳng (H): (d ) : y = 2
(∆) : x = 1

Bài 8: Trong mặt phẳng ( Oxy ) cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cc đường 4 y = x 2 và y = x . Tính thể tích
vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox.
Bài 9: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = x2 + x - 5 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.
Bài 10: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , cho miền D giới hạn bởi các đường : y = x;y = 2 − x;y = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.
Bài 11: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = 4 − x2; y = x2 + 2 .
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.
--------------------------Hết---------------------------60