5 CD5 so phuc

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Chủ đề 5. SỐ PHỨC
A. Tóm tắt lí thuyết
I. SỐ PHỨC & CÁC PHÉP TOÁN
1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn i 2 = −1 .
Kí hiệu z = a + bi
• i: đơn vị ảo,

• a: phần thực,

• b: phần ảo.

Chú ý:
•

z = a + 0i = a được gọi là số thực (a ∈ ¡ ⊂ £ )

•

z = 0 + bi = bi được gọi là số ảo (hay số thuần ảo)

•

0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo

2. Biểu diễn hình học của số phức.
•

M(a;b) biểu diễn cho số phức z ⇔ z = a + bi

3. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b 'i với a, b, a ', b '∈ ¡
a = a '
z = z' ⇔ 
b = b '
4. Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b 'i với a, b, a ', b '∈ ¡
z + z ' = ( a + a ') + ( b + b ') i
z − z ' = ( a − a ') + ( b − b ') i

5. Nhân hai số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b 'i với a, b, a ', b '∈ ¡
z.z ' = ( aa '− bb ' ) + ( ab '+ a ' b ) i
6. Môđun của số phức z = a + bi
•

uuuu
r
z = a 2 + b 2 = OM

7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a − bi
•
•
•
•

z=z
z = z
z + z = 2a
2

z. z = a 2 + b 2 = z
93


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

8. Chia hai số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b 'i với a, b, a ', b '∈ ¡
o Thương của z’ chia cho z (z ≠ 0) :

z ' z ' z z ' z ac + bd ad − bc
=
= 2 = 2
+
i
z
a + b2 a 2 + b2
zz
z

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC
1. Căn bậc hai của số phức
o z = 0 có một căn bậc hai là 0
o z = a là số thực dương có 2 căn bậc 2 là ± a
o z = a là số thực âm có 2 căn bậc hai là ± a .i
2. Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a, b là số phức cho trước, a ≠ 0 ).
Giải tương tự phương trình bậc nhất với hệ số thực

3. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c là số thực cho trước, a ≠ 0 ).
Tính ∆ = b 2 − 4ac
o ∆ > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt thực x1 ,2 =
o ∆ < 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x1 ,2 =

−b ± ∆
2a
−b ± i ∆
2a

b
o ∆ = 0 : Phương trình có 1 nghiệm kép là x = −
2a

III. CÁC VÍ DỤ
Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn các điều kiện cho trước.
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z - iz = 2 + 5i . Tìm phần thực và phần ảo của z
Bài giải
♥ Đặt z = a + bi , ( a, b Î ¡

) ta có:

2 z - iz = 2 + 5i Û 2 ( a + bi ) - i ( a - bi ) = 2 + 5i
Û ( 2a - b) +( 2b - a ) i = 2 + 5i
ïì 2a - b = 2
Û ïí
ïïî - a + 2b = 5
ìï a = 3
Û ïí
ïïî b = 4

♥ Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 r

94


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 3 z - z ) ( 1 + i ) - 5 z = 8i - 1 . Tính môđun của z
Bài giải hoctoancapba.com
♥ Đặt z = a + bi , ( a, b Î ¡

( 3z - z ) ( 1+ i) -

) ta có:

ù
5 z = 8i - 1 Û é
ë3( a + bi ) - ( a - bi ) û( 1 + i ) - 5 ( a + bi ) = 8i - 1
Û ( - 3a - 4b) +( 2a - b) i =- 1 + 8i
ïì 3a + 4b = 1
Û ïí
ïïî 2a - b = 8
ìï a = 3
Û ïí
ïïî b =- 2

2

♥ Vậy môđun của z là z = a 2 + b 2 = 32 +( - 2) = 13 r

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z + 3( 1- i ) z = 1- 9i . Tính môđun của z
Bài giải
♥ Đặt z = a + bi , ( a, b Î ¡

) ta có:

2 z + 3( 1- i ) z = 1- 9i Û 2 ( a + bi ) + 3( 1- i ) ( a - bi ) = 1- 9i
Û ( 5a - 3b) +( - 3a - b) i = 1- 9i
ïì 5a - 3b = 1
Û ïí
ïïî 3a + b = 9
ïì a = 2
Û ïí
ïïî b = 3
♥ Vậy môđun của z là z = a 2 + b 2 = 22 + 32 = 13 r
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z +( 2 + i ) z = 3 + 5i . Tìm phần thực và phần ảo của z
Bài giải
♥ Đặt z = a + bi , ( a, b Î ¡

) ta có:

z +( 2 + i ) z = 3 + 5i Û ( a + bi ) +( 2 + i ) ( a - bi ) = 3 + 5i
Û ( 3a + b) +( a - b) i = 3 + 5i
ìï 3a + b = 3
Û ïí
ïïî a - b = 5
ïì a = 2
Û ïí

ïïî b =- 3
95


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

♥ Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng - 3 r
Ví dụ 5: Tìm số phức z thỏa mãn ( z + 1)(1 + i ) +

z −1
= | z |2 .
1− i

Bài giải

Đặt z = x + yi, (x, y Î ¡ ) ta có:
( z + 1)(1 + i ) +

z −1
2
=z
1− i

Û ( x +1 + yi ) (1 + i ) +

( x - 1- yi ) (1 + i )

= x2 + y2
2
Û 3x +1- y + (3 x +1 + y )i = 2( x 2 + y 2 )
3x + 1 − y = 2( x 2 + y 2 )
⇔
3x + 1 + y = 0

ïì y =- (3x +1)
Û ïí
ïïî 10 x 2 + 3 x = 0
ìï x = 0, y =- 1
ï
Û ïí
ïï x =- 3 , y =- 1 .
ïî
10
10
♥ Vậy số phức z cần tìm là z = −i hoặc z = −

3
1
− i. r
10 10

Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn z − 3i = 1 − i z và z −

9
là số thuần ảo.
z

Bài giải

♥ Đặt z = a + bi (a, b Î ¡ ) ta có:
· | z − 3i | = | 1 − iz | Û | a + (b - 3)i | = |1- i(a - bi ) |
Û | a + (b - 3)i | = |1- b - ai |
Û a 2 + (b - 3) 2 = (1- b) 2 + (- a ) 2
.
Û b=2
3
2
· z − 9 = a + 2i − 9 = a + 2i − 9(a2 − 2i ) = a − 5a +2 (2a + 26)i là số ảo
z
a + 2i
a +4
a +4
Û a 3 − 5a = 0
Û a = 0, a = ± 5 .
♥ Vậy các số phức cần tìm là z = 2i, z = 5 + 2i, z = − 5 + 2i .r

Ví dụ 7: Tìm số phức z thỏa mãn z = z - 2 - 2i và

z - 2i
là số thuần ảo.
z- 2

Bài giải hoctoancapba.com
♥ Đặt z = x + yi (x, y Î ¡ ) và z ¹ 2 ta có:
· z = z - 2 - 2i Û x + yi = x - 2 + ( y - 2)i
Û x 2 + y 2 = ( x - 2) 2 + ( y - 2) 2
Û x + y = 2 Û y = 2 - x.

· Ta có

(1)

z − 2i x + ( y − 2)i [ x + ( y − 2)i ].[( x − 2) − yi]
=
=
z − 2 ( x − 2) + yi
( x − 2) 2 + y 2

96


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
=

HĐBM-TỔ TOÁN

x( x − 2) + ( y − 2) y ( x − 2)( y − 2) − xy
x( x − 2) + ( y − 2) y
+
i là số ảo khi và chỉ khi
=0
2
2
2
2
( x − 2) + y
( x − 2) + y

( x − 2) 2 + y 2
 x 2 + y 2 = 2( x + y )
⇔
( x − 2) 2 + y 2 ≠ 0

(2)

( x − 1) 2 = 1
⇔ x = 0 . Suy ra y = 2 .
x ≠ 2

Thay (1) vào (2) ta được 

♥ Vậy các số phức cần tìm là z = 2i. r
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z −

4
= i. Tính A = 1 + (1 + i ) z .
z +1

Bài giải
♥ Đặt z = a + bi, ( a, b Î ¡ ) ta có:
4
z= i Û a 2 + b 2 + a − 4 − bi = −b + (a + 1)i
z +1
a 2 + b 2 + a − 4 = −b
⇔
− b = a + 1
a = 1, b = −2
⇔

a = −2, b = 1

♥ Vậy
· Với a = 1, b = −2 ta có A = 1 + (1 + i)(1 + 2i) = 3i = 3.
· Với a = −2, b = 1 ta có A = 1 + (1 + i )(−2 − i ) = − 3i = 3. r
Ví dụ 9: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z + 1+ i = 2z + z − 5− 3i sao cho z − 2 − 2i đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải
♥ Đặt z = x + yi , ( x, y Î ¡

) ta có:

·

z + 1+ i = (x + 1) + (y + 1)i =

·

2z + z − 5− 3i = 3x − 5+ (y − 3)i =

(x + 1)2 + (y + 1)2
(3x − 5)2 + (y − 3)2 .

Do đó: z + 1+ i = 2z + z − 5− 3i ⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = (3x – 5)2 + (y – 3)2.
⇔ 8y = 8x2 – 32x + 32
⇔ y = x2 – 4x + 4.
♥ Ta có z − 2− 2i = (x − 2)2 + (y − 2)2 =

y + ( y − 2) =
2

2

y − 3y + 4 =

2

7

3 7
 y− ÷ + ≥ 2
2 4


3
3
⇔ (x – 2)2 =
⇔ x = 2± 6 .
2
2
2
6 3
6 3
♥ Vậy z = 2 +
+ i hay z = 2 −
+ i thì z − 2 − 2i đạt GTNN. r
2 2
2 2
Dấu "=" xảy ra ⇔ y =

97

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện cho trước.
Ví dụ 10: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diển các số phức z thỏa mãn z - i = ( 1 + i ) z
Bài giải
♥ Đặt z = x + yi ( x, y Î ¡ ) và M ( x; y ) là điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng ( Oxy ) ta có:
z - i = ( 1+ i) z Û

( x + yi ) - i = ( 1 + i ) ( x + iy )

Û x +( y - 1) i = ( x - y ) +( x + y ) i
Û

2

x 2 +( y - 1) =

2

( x - y ) +( x + y )

2

Û x 2 + y 2 - 2 y +1 = x 2 - 2 xy + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2
Û x2 + y 2 + 2 y - 1 = 0

♥ Tập hợp điểm M biểu diển của số phức z là đường tròn có phương trình x 2 + y 2 + 2 y - 1 = 0 r

B. Bài tập
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3 + 2i) z + (2 − i) 2 = 4 + i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i) 2 z + z = 4i − 20 . Tính môđun của z
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z − 2 − 4i = 0 . Tìm số phức liên hợp của z .
Bài 4: Cho số phức z thoả mãn (2 − 3i ) z + (4 + i) z = −(1 + 3i ) 2 . Tìm phần thực và phần ảo của z
Bài 5: Cho số phức z thoả mãn (1 + i) 2 (2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i ) z . Tìm phần thực và phần ảo của z
Bài 6: Cho số phức z thoả mãn z − (2 + 3i) z = 1 − 9i . Tìm số phức z
Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn (2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i) = 2 − 2i . Tính môđun của z
Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn z = ( 2 + i ) 2 (1 − 2i) . Tìm phần ảo của z .
5+i 3
Bài 9: Cho số phức z thoả mãn z −
− 1 = 0 . Tìm số phức z
z

2
Bài 10: Cho số phức z thoả mãn z 2 = z + z . Tìm số phức z

Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức z − (2 − 4i) = 2 . Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z
Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức z − i = (1+ i)z . Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z
Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i ) z −

2−i
= (3 − i ) z . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mp (Oxy )
1+ i

Bài 14: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z + 3− 2i = 3 . Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức w, biết
w – z = 1 + 3i. hoctoancapba.com
98

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

4
2
Bài 15: Cho số phức z thoả mãn 1 + z = z − i + ( iz − 1) 2 . Tính mô đun của z +
.
z +1

Bài 16: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức iz − 3 = z − 2 − i sao cho z đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 17: Tìm số phức z thoả mãn 2 z + 1 = z + z + 3 sao cho số phức w = z − 8 có môđun nhỏ nhất
z − 2z + 1
Bài 18: Cho số phức z thoả mãn (1 + i)( z − i) + 2 z = 2i . Tính môđun của số phức w =
z2
2(1 + 2i )
= 7 + 8i . Tính môđun của số phức w = z + 1 + i
Bài 19: Cho số phức z thoả mãn (2 + i ) z +
1+ i

Bài 20: Cho số phức z thoả mãn z = 2 và z 2 l số thuần ảo. Tìm số phức z
Bài 21: Cho số phức z thoả mãn z − (2 + i) = 10 và z.z = 25 . Tìm số phức z
5( z + i )
Bài 22: Cho số phức z thoả mãn
= 2 − i . Tính môđun của số phức w = 1 + z + z 2
z +1

Bài 23: Cho số phức z thoả mãn z − z + 1 − i = 5 và (2 − z )(i + z ) l số ảo. Tìm số phức z
2
3
Bài 24: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 z = − 3 + 6i. Tính T = z + z + z .

4
Bài 25: Cho số phức z thoả mãn 1 + z = z − i 2 + ( iz − 1) 2 . Tính môđun của z +
.
z +1

Bài 26: Tìm số phức z thoả mãn z − 1 = 5 và 17 ( z + z ) = 5 z.z
(1 − 3i )3
Bài 27: Cho số phức z thỏa mãn z =
. Tìm môđun của số phức w = z + iz
1− i
Bài 28: Cho số phức z =

1 + 9i
− 5i . Tìm các căn bậc hai của z
1− i

Bài 29: Giải các phương trình sau trên tập số phức
1) (3 + 2i) z − (4 + 7i) = 2 − 5i

2) (7 − 3i ) z + (2 + 3i ) = (5 − 4i) z

Bài 30: Giải các phương trình sau trên tập số phức
1) x 2 − 4 x + 7 = 0

2) x 2 − 6 x + 25 = 0

3) 2 x 2 − 5 x + 4 = 0

3) 8 z 2 − 4 z + 1 = 0

------------------------------Hết-----------------------------

99