hinh hoc khong gian

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn
toán

CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
I. HÌNH HỌC PHẲNG
1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho D ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:
A

B

2
2
2
 BC = AB + AC ( Pitago)

H

C

M

 AH .BC = AB .AC
2
2
 AB = BH .BC , AC = CH .CB
1
1
1
=

+
, AH 2 = HB .HC

2
2
2
AH
AB
AC
BC
 AM =
2

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường
a) Định lí hàm số cosin
A
c

b
a

B

b2 + c2 - a2
2bc
2
a + c2 - b2
* b2 = a2 + c2 - 2ac cosB Þ cosB =
2ac
2

a + b2 - c2
* c2 = a2 + b2 - 2abcosC Þ cosC =
2ab
* a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Þ cosA =

C

b) Định lí hàm số sin
A
c

b

B
R

a

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)

C

c) Công thức tính diện tích của tam giác
A
c
B

b
a

C

– nửa chu vi
– bán kính đường tròn nội tiếp

1


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn
toỏn

d) Cụng thc tinh ụ dai ng trung tuyờn cua tam giac
* AM 2 =

AB 2 + AC 2 BC 2
.
2
4
K
2

2

2

CA + CB
AB
.
2
4

3/ inh li Talet
* CK 2 =

M

B

N

B

*

a/ Diờn tich tam giac vuụng

1

Diờn tich tamịgiac
SDvuụng
bng AB
ẵ tich
.AC
2 canh
ABC =
2
goc
vuụng.
C

A

ỡù ờu
b/ Diờn
tich tam giac
B

2

a 3
SDABC =
Diờn tich tam giacùùờu:
ùù
4
2 ị ớ
.
3
(canh)
ùù
h
SD =
a 3
ờu
4 ùù h =
C
2
ùợ

a

A

Chiờu cao tam giac ờu:

A

a

h

ờu D

(canh)
=

. 3
2

c/ Diờn Btich hinh vuụng va hinh
ch nhõt
2



D


AM
AN
MN
=

=
=k
AB
AC
BC
2
ổ
AM ử
ữ
ỗ
ữ
=ỗ
= k2
ữ
ỗ
ữ
ốAB ứ

ỡù S

SD AMN
SDABC

(Ti diờn tich bng ti binh phng ụng dang)

C

4/ Diờn tich cua a giac
B

C

* MN / / BC ị

A
M

2
2
2
A* BN 2 = BA + BC - AC .
2
4
N

=a

ùù HV
Diờn tich hinhịvuụng
ớ bng canh binh phng.
O
ng cheo hinh ùùvuụng
canh
AC bng
= BD
=nhõn
a 2 2.
ùợ
C
Diờn tich hinh ch nhõt bng dai nhõn rụng.

2


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn
toán

A

d/ Diện tích hình thang

D

 Diện tích hình thang:
SHình Thang

=

Þ S=

1
2 .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao
B

H

( AD + BC ) .AH
2

C

B

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vuông góc

CÞ

A

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông
góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo.
 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau
tại trung điểm của mỗi đường.

1
SH .Thoi = AC .BD
2

D

Lưu y: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dê
tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa
giác.
II. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Quan Hệ Song Song
a/ Chứng minh đường thẳng d // mp(a) với ( d Ë (a))
 Chứng minh: d // d ' và d ' Ì (a)

( )

b/ Chứng minh mp(a) // mp( b)

 Chứng minh: d Ì (b) và b // (a )

( )

 Chứng minh mp(a ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp b .

( )

 Chứng minh mp(a ) và mp b cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường
thẳng.
c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

( )

 Hai mp(a ), b có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a,b thì

(a) Ç ( b) = Sx // a // b .
ìï a // mp(a)
ï
Þ (a) Ç ( b) = b // a .
 í
ïï a Ì mp( b)
ïî
2. Quan Hệ Vuông Góc

( )

a/ Chứng minh đường thẳng d ^ mp a

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mp(a ) .

3


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn
toỏn

ỡù d // d '

ù
Chng minh: ớ

ị d ^ mp( a )
ùù d ' ^ mp( a )
ùợ
ỡù d ^ mp( b)
ù
ị d ^ mp( a )
Chng minh: ớ
ùù mp( b) // mp( a )
ùợ
Hai mt phng ct nhau cung vuụng goc vi mt phng th 3 thi giao tuyờn cua chung vuụng goc vi

ỡù ( a ) ^ ( P )
ùù
ị d ^(P )
mt phng th 3: ùớ ( b) ^ ( P )
ùù

ùù ( a ) ầ ( b) = d
ợ
b/ Chng minh ng thng d ^ d '
Chng minh d ^ ( a ) va ( a ) ẫ d ' .
S dung inh ly ba ng vuụng goc.
Chng to goc gia d va d ' bng 900 .

( )
( )
ỡù ( a ) ẫ d
ù
ị mp( a ) ^ mp( b)
Chng minh ớ
ùù d ^ ( b)
ùợ

c/ Chng minh mp a ^ mp b

(chng minh mp cha 1 ng thng vuụng goc vi

mp kia)
Chng to goc gia hai mt phng bng 900 .

3/ Goc Va Khong Cach.
a/ Goc gia hai ng thng
La goc tao bi hai ng thng ct nhau lõn lt ve cung phng

vi hai ng thng o:

a

ỡù a // a '
ù
ị (aả,b) = (aã ',b') = f
ớ
ùù b // b'
ợ

a'



b/ Goc gia ng thngd va mt phng mp( a )

b'b

La goc tao bi ng thng o va hinh chiờu cua no trờn mt phng.

ộã
ự ã
ờd, ( a ) ỳ= (d,d ') = f
ờ
ỳ
ở
ỷ
(vi d ' la hinh chiờu vuụng goc cua d lờn mp(a ) ).

4

d
d'




hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn
toán

c/ Góc giữa hai mp( a ) và mp( b)

α

 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u ,
2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên
2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

β

u

φ
a
b

( (·a);( b) ) = (a¶,b) = f

d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
 Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

d ( M , D ) = MH

M

H

D

d

e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

M

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)
này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia.

d'

f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

M

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.

g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.

( )

 Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến mp a

M

chứa d ' và song song với d .
 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song a , b

( )( )

lần lượt chứa d và d ' .

d'

5

d


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn
toán

4/ Hinh Chóp Đều
a/ Định nghĩa.
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao
trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các
góc bằng nhau.
 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

S

b/ Hai hình chóp đều thường gặp
* Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Khi đó:
 Đáy ABC là tam giác đều.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
 Chiều cao: SO .
·
·
·
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO
.
= SBO
= SCO
·
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO
.

A

 Tính chất: AO = 2 AH , OH = 1 AH , AH = AB 3 .
3
3
2
 Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

C

O

H

B
S

* Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD .
 Đáy ABCD là hình vuông.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
 Chiều cao: SO .
·
·
·
·
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO
.
= SBO
= SCO
= SDO
·
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO
.

B

6

A

D
O

H
C


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn
toán

5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp
a/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với
đáy:
Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên
vuông góc với đáy.

Ví du: Hình chóp S.ABC có cạnh bên
SA ^ ( ABC ) thì chiều cao làSA .

SAB )
b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt Ví du: Hình chóp S.ABCD có mặt bên (
đáy:
vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) thì
Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam
chiều cao của hình chóp là chiều cao của
giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.
D SAB .
Ví du: Hình chóp S.ABCD có hai mặt bên
c/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy:
( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với

Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai
mặt bên cùng vuông góc với đáy.
mặt đáy ( ABCD ) thì chiều cao là SA .
d/ Hình chóp đều:
Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh
và tâm của đáy.
6/ Thể Tích Khối Đa Diện
S

1
1/ Thể tích khối chóp: V = B .h
3
Diện tích mặt đáy.
B :A
h : Chiều cao của khốiOchóp.
B

D

C

A

C

A

C

2/ Thể tích khối lăng tru: V = B .h

B
B
B : Diện tích mặt đáy.
h : Chiều cao của khối chóp.
A’
C’
A’
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng
C’là
cạnh bên. S
B’
B’
c

a
b

B
’

A
’
C
’

a

a
Ba

A

C

7

Ví du: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tâm
mặt phẳng đáy là giao điểm của hai
đường chéo hình vuôngABCD thì có
đường cao làSO .


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn
toán

3/ Thể tích hình hộp chữ nhật: V = abc
..
Þ Thể tích khối lập phương: V = a3

4/ Tỉ số thể tích:
VS .A 'B 'C '
VS.ABC

=

SA ' SB ' SC '
.
.
SA SB SC

5/ Hình chóp cut A’B’C’.ABC

(

)

h
B + B '+ BB '
3
Với B, B ', h là diện tích hai đáy và chiều
cao.
V =

B. BÀI TẬP MẪU
Thí du 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại
·
B, BAC
= 300, SA = AC = a và SA vuông góc với mp( ABC )
.Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách
Bài giải tham khảo
Tính thể tích khối chóp S.ABC .
1
* Ta có: VS .ABC = .SDABC .SA ( 1)
3
* Trong đó: SA = a ( 2)
* Tìm SD ABC ?
Trong D ABC vuông tạiB , ta có:
ìï
ïìï
a

0
ïï sin300 = BC
ïï BC = AC .sin30 =
ï
2
AC Û ïí
í
ïï
ï
AB
a
0
ïï AB = AC .cos300 = 3
ïï cos30 =
ïïî
AC
ïî
2
Þ SD ABC

1
1 a a 3 a2 3
= AB .BC = . .
=
2
2 2 2
8

( 3)

2
3
* Thay ( 2) ,( 3) vào ( 1) Þ VS .ABC = 1. a 3 ×a = a 3 (đvtt) ( 4)
3 8
24

8

S

A

3
00

a

C

B


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn
toỏn

Tinh khoang cach tA ờn mp( SBC ) .
1
ự.S
ộA,( SBC ) ự= 3.VS .ABC ( 5)
A

,
SBC
ị
d
* Ta co: VS .ABC = d ộ
(
)
ỳ DSBC
ờ
ỳ S
ở
ỷ
ở
ỷ
3 ờ
D SBC
* Tim D SBC ?
ỡù BC ^ AB
ù
ị BC ^ mp( SAB ) ị BC ^ SB ị D SBC vuụng taiB .
Ta co: ớ
ùù BC ^ SA
ợ
ị SD SBC
=

2

1 a a 7 a2 7
ì ì

=
2 2 2
8

2

ổ
ổ
a 3ử
ữ
a 3ử
ữ
ỗ
ỗ
2
ữ
ữ
ỗ
ỗ
.
a
+
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ

ữ
ữ
ỗ 2 ứ
ỗ 2 ứ
ố
ố

1
1
1 2
= .BC .BS = . AC 2 - AB 2 . SA 2 + AB 2 =
a 2
2
2

( 6)

a3 3
8
a 21
ự
A
,
SBC
=
3
ì
ì
=
* Thờ ( 4) ,( 6) vao ( 5) ị d ộ

.
(
)
ờ
ỳ
ở
ỷ
24 a2 7
7
Thi du 2. Cho hinh chop S.ABCD co ayABCD l hinh ch nht co AB = a, BC = 2a . Hai
mp( SAB ) v mp( SAD ) cung vuụng goc vi mt phng ay, cnhSC hp vi ay mt
goc 600 . Tớnh thờ tớch khụi chop S.ABCD theo a .
Bai gii tham kho

ỡù (SAB ) ^ (ABCD)
ùù
ùớ (SAD) ^ (ABCD )
ị SA ^ (ABCD ) .
ùù
ùù (SAB ) ầ (SAD) = SA
ợ
ị Hinh chiờu cuaSC lờn mp( ABCD ) la

S

AC .

ộã
ự ã
ị ờSC , ( ABCD ) ỳ= SCA

= 600 .
ờ
ỳ
ở
ỷ
1
Ma: VS.ABCD = SA.SACBD ( 1) .
3

A

B

D
6
00

Tim SA ?
ã
Trong D SAC vuụng tai A : tan SCA
=

SA
ã
ị SA = AC .tanSCA
AC

= AB 2 + BC 2 .tan600 = a2 + (2a)2 . 3 = a 15 ( 2) .

9

C


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn
toỏn
2
Ta lai co: SABCD = AB .BC = a.2a = 2a ( 3) .
3

1
2a 15 (vtt).
Thay ( 2) ,( 3) vao ( 1) ị V
= ìa 15 ì2a2 =
ABCD
3
3
Thi du 3. Hinh chop S.ABC co BC = 2a , ayABC l tam giac vuụng tiC , SAB l tam giac
vuụng cõn tiS v nm trong mt phng vuụng goc vi mt ay. Gi I l trung iờm
cnhAB .
a/ Chng minh rng, ng thng SI ^ mp( ABC ) .
b/ Bit mp( SAC ) hp vi mp( ABC ) mt goc 600 . Tớnh thờ tớch khụi chop S.ABC .
Bai gii tham kho

a/ CM: SI ^ mp( ABC )
Do D SAB vuụng cõn tai co SI la trung tuyờn ị SI cung
ụng thi la ng cao ị SI ^ AB .
ỡù (SAB ) ^ (ABC )
ùù
Ta co: ùớ AB = (SAB ) ầ (ABC ) ị SI ^ mp( ABC )

ùù
ùù AB ^ SI è (SAB )
ợ
(pcm)
b/ Tinh thờ tich khụi chop S.ABC

S

A
6
00

I

Goi K la trung iờm cua oan AC .
K
2
ị SK va la trung tuyờn va la ng cao trong
a
D SAC ị SK ^ AC .
C
Trong D ABC vuụng taiC co K I la ng trung binh.
ỡù K I //BC
ị ùớ
ị K I ^ AC .
ùù BC ^ AC
ợ
ỡù mp(ABC ) ^ mp(SAC ) = {AC }
ùù
ộã

ự ã
ị ờmp( SAC ) ;mp( ABC ) ỳ= SK
I = 600 .
Mt khac: ị ùớ K I ^ AC è mp(ABC )
ùù
ờ
ỳ
ở
ỷ
ùù SK ^ AC è mp(SAC )
ợ
1
Ma: VS.ABC = SD ABC .SI ( 1)
3
Tim SI ?
Trong D SK I vuụng taiI , ta co:
ã I = SI ị SI = IK .tan SK
ã I = 1.BC .tan600 = a 3 2 .
tan SK
( )
IK
2
Tim SD ABC ?
2
1
1
1
SD ABC = .BC .AC = .BC . AB 2 - BC 2 = .BC . ( 2SI ) - BC 2
2
2

2

10

B


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn
toỏn

(

)

2
2
1
= .2a. 2a 3 - ( 2a) = 2a2 2 ( 3) .
2
3
Thờ ( 2) ,( 3) vao ( 1) ị VS .ABC = 1.2a2 2.a 3 = 2a 6
3
3
Thi du 4. Cho hinh lng tr ABC .A 'B 'C ' co ayABC l tam giac ờu cnh bng a . Hinh
chiu vuụng goc ca A ' xuụng mp( ABC ) l trung iờm caAB . Mt bờn ( AA 'C 'C )

to vi ay mt goc bng 45o . Tớnh thờ tớch ca khụi lng tr ny.
Bai gii tham kho
H
,

M
,
I
Goi
lõn lt la trung iờm cua cac oan
AB
,
AC
, AM .
thng
VABC .A 'B 'C ' = B .h = SDABC .A 'H ( 1)
Do D ABC ờu nờn: S

D ABC

=

A


BC 2. 3 a2 3
=
( 2) .
4
4

Tim A 'H ?
Do IH la ng trung binh trong ờu D AMB ,
ụng thi BM la trung tuyờn nờn cung la ng
H

A
cao.
ỡù IH // MB
I
ù
ị I H ^ AC va
a
Do o: ớ
M
ùù MB ^ AC
ợ
ỡù AC ^ A 'H
C
ù
ị AC ^ ( A 'HI ) ị AC ^ A 'I
ớ
ùù AC ^ IH
ợ
ỡù (ABC ) ầ (ACC 'A ') = {AC }
ùù
ộã
ự ã
ị ờ( ACC 'A ') ;( ABC ) ỳ= A
'IH = 600 .
Ma: ùớ AC ^ IH è (ABC )
ùù
ờ
ỳ
ở
ỷ

ùù AC ^ A 'I è (ACC 'A ')
ợ
Trong D A 'HI vuụng taiH , ta co:
tan450 =

B

C


B

A 'H
1
a 3
ị A 'H = IH .tan45o = IH = MB =
( 3) .
HI
2
4
2

3 a 3 3a3 .
.
=
4
4
16
Thi du 5. Cho hinh lng tr ng ABC .A 'B 'C ' co ayABC l tam giac vuụng ti
ã

A, AC = a, ACB
= 600 . ng chộo BC ' ca mt bờn ( BC 'C 'C ) to vi mt phng
a
Thay ( 2) ,( 3) vao ( 1) ị V
=
ABC .A 'B 'C '

mp( AA 'C 'C ) mt goc 300 . Tớnh thờ tớch ca khụi lng tr theo a .
Bai gii tham kho

11


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn
toỏn

ỡù AB ^ AC
ị AB ^ (ACC Â
A Â) . Do o AC Âla hinh chiờu
Ta co: ùớ
ùù AB ^ AA Â
ợ
A Â) .
vuụng goc cua BC Âlờn (ACC Â
ã
A Â) la BC
T o, goc gia BC Âva (ACC Â
Â
A = 300 .
Trong tam giac vuụng ABC : AB = AC .tan600 = a 3 .

Trong tam giac vuụng ABC ' : AC Â= AB .cot 300 = a 3. 3 = 3a .
Trong tam giac vuụng ACC ' :

a

A

6
00

C

B

3
0o

A


C

B


CC ' = AC '2- AC 2 = (3a)2 - a2 = 2a 2 .

1
1
Võy, thờ tich lng tru la: V = B .h = AB .AC .CC ' = .a 3.a.2a 2 = a3 6 (vdt).

2
2
Thi du 6. Cho hinh chop ờu S.ABCD co cnh ay 2a , goc gia mt bờn v mt ay bng 600 .
Tớnh thờ tớch ca hinh chop S.ABCD .
Bai gii tham kho
Tinh thờ tich khụi chop S.ABCD
GoiO la tõm cua mt ay thi SO ^ mp( ABCD )
nờnSO la ng cao cua hinh chop va goi M la
trung iờm oanCD .
ỡù CD ^ SM è (SCD )
ùù
ã
0
Ta co: ùớ CD ^ OM è (ABCD ) ị SMO = 60
ùù
ùù CD = (SCD ) ầ (ABCD )
ợ
(goc gia mt (SCD ) va mt ay)
1
Ta co: VS.ABCD = SABCD .SO ( 1)
3
Tim SO ?
SO
ã
Trong D SMO vuụng taiO , ta co: tan SMO
=
B
OM
BC
ã

ị SO = OM .tan SMO
=
.tan600 = a 3 ( 2) .
2
2

Mt khac: SABCD = BC 2 = ( 2a) = 4a2

( 3) .

1 2
4a3 3 (vtt).
Thờ ( 2) , ( 3) vao ( 1) ị V
=
.4
a
.
a
3
=
ABCD
3
3
C. BI TP
Bai 1. (Trich ờ thi tuyờn sinh Cao ng khi A,B,D 2011)

12

S

A

D
6
00

O
2
a

C

M


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn
toán

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA ^ ( ABC ) ,
góc giữa mp( SBC ) và mp( ABC ) bằng 300 . GọiM là trung điểm của cạnhSC . Tính thể
tích khối chóp S.ABM theo a .
1
HD: Cm : BC ^ ( SAB ) , Ke MN // BC , VS .ABM =VM .SAB = .SDSAB .MN
3
3

ĐS: ( 2) Þ VS.ABM =VM .SAB = a

3
36

Bài 2. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuôngABCD cạnh a , mặt bênSAD là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm
của SB, BC ,CD . Tính thể tích khối tứ diệnCMNP .
HD: GọiH là trung điểm củaAD thì
S
SH ^ AD
Þ SH ^ ( ABCD )
MK // SH ( K Î HB ) Þ MK ^ ( ABCD )

M

1
VCMNP = .SDCNP .MK
3

A

1 a2 a 3 a3. 3
= . .
=
3 8 4
96

B
K

H

D

13

P

N
C


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn
toỏn

Bai 3. (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khi B 2006)
Cho hinh chop S.ABCD co ayABCD la hinh ch nhõt
vi AB = a, AD = a 2, SA = a va SA vuụng goc vi
mt phng ay. Goi M , N lõn lt la trung iờm cua
AD, SC vaI la giao iờm cua BM vaAC . Tinh thờ tich
khụi t diờnANIB .
HD: GoiO la tõm cua cua ay ABCD .
Trong D SAC , ta co NO la ng trung binh nờn:
ỡù NO // SA
ù
ị NO ^ ( ABCD )
ớ
ùù SA ^ ( ABCD )
ùợ
1
VANIB =VN .AIB = .SDAIB .NO
3

Tim SD AIB = ?

S

N
A

B

M

I

O
C

D

DoI la trong tõm D ABD nờn
ỡù
2
2 AC
AC
AD 2 + DC 2
AD 2 + AB 2
a 3
ùù
AI
=
AO

=
.
=
=
=
=
ùù
3
3 2
3
3
3
3
ị ùớ
2
ùù
ổ
2
2
2
AD ử
a 6
ữ
ữ
ùù BI = .BM = . AB 2 + AM 2 = . AB 2 + ỗ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ

3
3
3
3
ùùợ
ố2 ứ

2

B

A
I
M

D

2

ổ
ử ổ
a 6ử
ữ
ỗa 3ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
AB 2 = a2 = ỗ
+

= AI 2 + BI 2 ị D AIB vuụng tai I
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ ố
ữ
ỗ
ỗ 3 ứ
ố 3 ứ

C

1 a2 2 a a3 2
VN .AIB = .
. =
3 6 2
36
Bai 4. (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khi B 2009)
Cho lng tru tam giac ABC .A 'B 'C ' co BB ' = a , goc gia ng thng BB ' va
ã
mp( ABC ) bng 600 , tam giac ABC vuụng taiC va goc BAC
= 600 . Hinh chiờu

vuụng goc cua iờm B ' lờn mp( ABC ) trung vi trong tõm cua D ABC . Tinh thờ tich
cua khụi t diờn A 'ABC theo a .

HD:
Goi M , N la trung iờm cua AB, AC . Khi o,G la trong tõm cua D ABC .
ộã
ự ã
= 600 .
Do hinh chiờu iờm B ' lờn mp( ABC ) laG nờn B 'G ^ ( ABC ) ị AờBB;( ABC ) ỳ= B 'BG
C
ờ
ỳ
ở
ỷ
Ta co: VA 'ABC

1
1
= .SDABC .B 'G = .AC .BC .B 'G
3
6





( 1) .

B

N

A

14

G

M
B

C


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn
toán

Tìm B 'G ?
· ' BG = 600 nên nó là nữa tam giác đều cạnh là BB ' = a
Trong D B 'BG vuông tạiG và có B
Þ BG = a ; B 'G = a 3
2
2
AB
,
BC
 Tìm
?

( 2) .

A

·
Đặt AB = 2x . Trong D ABC vuông tạiC có BAC
= 600 nên nó
cũng là nữa tam giác đều với đường cao là BC .
AB
Þ AC =
= x, BC = x 3
2
3
3a
DoG là trọng tâm D ABC Þ BN = BG =
.
2
4
Trong D BNC vuông tạiC : BN 2 = NC 2 + BC 2

C

N

6
00

G
M

B
ìï
ïï AC = 3a

2
2
2
ï
9a
x
9a
3a
2 13 3
Û
= + 3x2 Û x2 =
Þ x=
Þ ïí
( )
ï
16
4
52
3
2 13 ï BC = a 3
ïï
ïïî
2 13

1 3a 3a 3 a 3 9a3
 Thế ( 2) , ( 3) vào ( 1) Þ VA 'ABC = .
.
.
=
6 2 13 2 13 2

108
Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a. Đỉnh S cách đều
A,B,C, mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
HD:

Bài 6: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a 3 và
hình chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng
trụ ,từ đó suy ra thể tích của khối chóp A’. ABC

15


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn
toán

HD:

Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b,
·ACB = 600 . Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một góc 300.
a) Chứng minh tam giác ABC ' vuông tại A
b) Tính độ dài đoạn AC’
c) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp C’.ABC
HD:

Bài 8: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006)
Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
củaAB và CD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A 'C vàMN .
HD: PP tọa độ ĐS: d ( MN , AC ') = 2
4
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáyABC là tam giác vuông tại B, SA ^ mp( ABC ) . Biết rằng:

AB = a, AC = 2a , góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng 600 . Tính thể tích khối
chóp S.ABC theo a .
3
ĐS: V = a .
2
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tại B, SA ^ ( ABC ) . Cho
AC = a 2 , SB = 3a . Tính thể tích của khối chóp S.ABC .
ĐS: V = a

3

2

3

16