Tóm tắt bài học - Ôn tập Môn Toán Lớp 11 D27

ÔN TẬP CHƯƠNG 4
I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Tính giới hạn dãy số
Một số giới hạn đặc biệt

lim

1
nk

= 0 với k nguyên dương

limqn = 0, q  1
lim c = c

lim nk = + k nguyên dương

lim qn = + q  1
Định lí 1
a. Nếu limun = a và limvn =b thì
lim  un  v n   a  b
lim  un  v n   a  b
lim  un v n   ab
lim

un a
 b  0 
vn b

b. Nếu un  0 n và limun  a thì a  0 và lim un  a

Định lí 2
a) Nếu limun=a và lim vn   thì lim

un
0
vn

b) Nếu limun=a>0, lim vn=0 và vn  0 n thì lim

un
 
vn

c) Nếu limun   và limvn=a>0 thì limun vn  

2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q. S = u1 + u2 +…+ un +…là tổng của
u
cấp số nhân lùi vô hạn. Khi đó: S = 1  q  1
1-q


II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giới hạn của hàm số tại một điểm
Giới hạn của hàm số tại vô cực
Giới hạn một bên
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, khoảng, đoạn
Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 nếu

lim f  x  = f  x 0 

x x0

 lim+ f  x  = lim- f  x  = f  x 0 
x x0

x  x0

Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c  (a; b) sao cho f(c) = 0.

Ví dụ 1: Tính lim

2n+1 - 3.5n + 3
3.2n + 7.4n

Ví dụ 2: Tính lim



Ví dụ 3: Tính lim

1 + a + a2 +...+ an
1 + b + b2 +...+ bn

Ví dụ 4: Tính lim

n2 + 3n - n + 2

x3 - 1

 x +1  x 2 + 3x 

x 

Ví dụ 7: Tính lim+
x 0

Ví dụ 8: Tính lim

x 1

3

x 2 + 5x

x - 

Ví dụ 6: Tính lim

a  1, b  1

x 2 - 5x + 3

x - 

Ví dụ 5: Tính lim





x 2 + 5x + 4x 2 - 1 - 3x



x +1 - 1
4 - x 2 +16
x +3 - 3 x +7
x -1

 -x 3 + 5x 2 - 5x - 3
;x3

Ví dụ 9: Tìm a để hàm số f  x  = 
x-3
a + 4x
;x3


liên tục tại x=3

Ví dụ 10: Chứng minh phương trình sau có nghiệm (m là tham số)
msin6x + 3  sinx - cos6x  = 0