Tóm tắt bài học - Ôn tập Môn Toán Lớp 11

VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP HAI
I. ĐỊNH NGHĨA VI PHÂN
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x  (a; b). Giả sử x
là số gia của x. Ta gọi tích f’(x).x là vi phân của hàm số y = f(x) tại x ứng với số gia x,
kí hiệu df(x) hoặc dy, tức là: dy = df(x) = f’(x). x

Ví dụ 1: Tìm vi phân của các hàm số sau
1) y  x 3  5x  1

2) y  sin3 x

3) y  x.cot 2 x

II. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM CẤP HAI

1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x  (a; b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x)
xác định hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì
ta gọi đạo hàm của hàm số y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là:
y’’ hoặc f’’(x)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
2) y  x 3  5x 2  4x

1) y  s in3x
6

3) y   x  10 

4) y =

x -3
x+4

Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y = x 1 + x 2

Ví dụ 4: Cho hàm số y =

b) y = tanx
x -3
. Chứng minh 2 y '2 = (y – 1)y’’
x+4

Cho hàm số y = cosx. Chứng minh: 2(cosx – y’) + x(y’’ + y’)
1
3

Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f  x  = x 3 - 2x 2 + 3x (C)
tại điểm có hoành độ x 0 biết f ''  x 0   0
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f  x  =

1 4
x - 2x 2 (C)
4

tại điểm có hoành độ x 0 biết f ''  x 0   1 ( Tốt nghiệp 2012)


2. Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp ba của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là

y’’’ hoặc f’’’(x) hoặc f(3)(x)
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1,kí hiệu là f
Nếu f

(n – 1)

(x), (n  ,n  4)

(n – 1)

(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp n của f(x),

kí hiệu là y(n) hoặc f(n)(x). Khi đó: f (n) (x) = (f (n-1) (x)) '
III. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số
có đạo hàm đến cấp hai
Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t)
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t là (t) = f’’(t)

3
Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động

Ví dụ 6: Xét chuyển động có phương trình s(t) = 3sin(10t + ) .