Bài tập phép quay vị tự

TÀI LIỆU CỦA KYS – ÔN THI THPT 2018

BÀI TẬP PHÉP QUAY VỊ TỰ
BÀI TẬP PHÉP QUAY
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;0). Xác định tọa độ ảnh của điểm A qua phép quay tâm
O góc quay bằng


.
2

Bài giải

.
2

-

Giả sử A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay

-

OA '  OA
Khi đó theo định nghĩa phép quay ta có: 
.
OA '.OA  0

-


OA '   x; y  OA '  x 2  y 2

Với 
.

OA

1;0
OA

1
 





-

 x  0
 '  0;1
x0


y

1
OA '  OA
 x 2  y 2  1  x  0




 2
  y  1  
Ta có: 

OA '.OA  0
 x  0
 y  1   y  1   x  0
 A '  0; 1



  y  1

-

Do phép quay theo chiều dương nên tọa độ điểm A’ là A’(0;1).

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 1


Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;3). Xác định tọa độ ảnh của điểm A qua phép quay tâm
O góc quay bằng


.
2

Bài giải


.
2

-

Giả sử A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay

-

OA '  OA
Khi đó theo định nghĩa phép quay ta có: 
. Với
OA '.OA  0

-

OA '  OA
 x 2  y 2  10
Ta có: 

OA '.OA  0
 x  3 y  0

-

  x  3
 '  -3;1
x



3
y


y

1
 x 2  y 2  10  y 2  1




  y  1  
 x  3
x


3
y
x


3
y


  y  1

 A '  3; 1


  y  1

-

Do phép quay theo chiều dương nên tọa độ điểm A’ là A’(-3;1).

2
2

OA '   x; y  OA '  x  y
.


OA

1;3


OA

10





Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;1). Xác định tọa độ ảnh của điểm A qua phép quay tâm

2

I(1;-2) góc quay bằng - .

Bài giải
-

Giả sử A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép quay tâm I góc quay -

-

 IA '  IA
Khi đó theo định nghĩa phép quay ta có: 
.
 IA '.IA  0

-

 IA '   x  1; y  2   IA '   x  12   y  2 2
Với 
.

 IA  1;3
 IA  10

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng


.
2

THPT 2018 | Trang 2


2
2
 IA '  IA
  x  1   y  2   10
 x  1    3 y  6 



2
2
 IA '.IA  0
 x  1  3 y  6  0
 x  1   y  2   10

  x  2
 A '  2; 1
 x  3 y  5

y


1
 x  3 y  5


 2
   y  1


 x  4
y

4
y

3

0

  y  3

 A '  4; 3

  y  3
-

Do phép quay thực hiện theo chiều âm nên tọa độ điểm A’ là A’(4;-3).

Quý Thầy/Cô cần file word (miễn phí) và đóng góp tài liệu
Học sinh muốn đăng kí thành viên nhận tài liệu tự động
Liên hệ trực tiếp Fanpage Tài Liệu của Kys
Học sinh tham gia nhóm Gia Đình Kyser để cùng nhau học tập

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 3

BÀI TẬP PHÉP VỊ TỰ
LÝ THUYẾT
1. Cho điểm O và số k # 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM' = k OM ,
được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Phép vị tự tâm O, tỉ số k và thường được kí hiệu là VO , K 
2. Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
3. Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.
Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.
4. M' = VO , K  (M) ⇔ M = V

1
 O, 
 K

(M')

5. Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N' thì M ' N ' = k MN và
M'N' = |k| MN.
6. Phép vị tự tỉ số k có các tính chất:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng có độ
dài bằng a thành đoạn thẳng có độ dài bằng |k| a.
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là |K|, biến góc thành góc bằng nó.
d) Biến đường trong bán kình R thành đường tròn bán kính |k|R.
Phương pháp:
Cho điểm M(x;y), có ảnh M’(x’;y’) qua phép vị tự tâm I tỉ số k.

1 .

-

Ta có IM '  k IM

-

Từ (1) ta tìm được tọa độ M’ là ảnh của M.

-

Từ đó ta cũng tìm được phương trình của ảnh của đường (C) đã cho.

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy hai điểm A(4;5) và I(3;-2). Tìm ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ
số k  3
Bài giải
-

Gọi A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k  3

-



x  6
 x-x I  3.  xA  xI 
 x  3  3  4  3


 A '  6;19  .
Ta có IA '  3IA  
 y  19



 y-y I  3.  y A  yI 
 y  2  35  2

-

Vậy: Ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=3 là A’(6;19).

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 4


Bài 2: Tìm ảnh của đường thẳng d: 2x-5y+3=0 qua phép vị tự tâm O tỉ số k  3

Bài giải
-

Gọi M(x;y) là một điểm bất kì nằm trên đường thẳng d: 2 x  5 y  3  0

-

Gọi M’(x’;y’) là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm O tỉ số k  3

-

x'

x=

 x'  3 x

 x' y' 
3

 M  - ;-  .
Ta có OM '  3OM  
 3 3
 y'  3 y
y   y'

3

-

 x' y' 
Do điểm M  - ;-   d : 2 x  5 y  3  0
 3 3

 x'  y'
 2     5     3  0  2 x ' 5 y ' 9  0  M '  d ' : 2 x  5 y  9  0.
 3  3
- Vậy: Phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-3 là:
-2x+5y+9=0

Bài 3: Tìm ảnh của đường tròn (C):  x  4    y  1  1 qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.
2

2

Bài giải
Cách 1:
-

Gọi M  x; y    C  :  x  4    y  1  1.

-

Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

-

 x'
 x= 2
 x'  2 x
 x' y' 

 M  ; .
Ta có OM '  2OM  
2 2
 y'  2 y
y  y'

2

-

2
2
 x' y' 

Do M  ;    C  :  x  4    y  1  1 .
2 2

-

2
2
2
2
 x'
  y' 
Nên:   4     1  1   x ' 8    y ' 2   4  M '   C '  :  x  8    y  2   4 .
2
 2


-

Vậy:  C ' :  x  8    y  2   4 là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

2

2

2

2

2

2

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 5


Cách 2:
-

Đường tròn (C) có tâm I(4;-1) và bán kính R=1.

-

Gọi I’(x;y) là ảnh của I qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

-

 x  2 xI
 x=8
Ta có: OI '  2OI  

 '  8;-2  .
 y  2
 y  2 yI

-

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2. Khi đó (C’) có bán kính R’=2R=2.

-

Do đó (C’) có phương trình là :  x  8    y  2   4 .
2

2

Bài 4: Cho  C1  : x 2  y 2  4 x  2 y  4  0 . Viết phương trình ảnh của các đường tròn trên.
1. Qua phép vị tự tâm O, tỉ số k  2
2. Qua phép vị tự tâm A(1;1), tỉ số k  2
Bài giải
1. Viết phương trình ảnh của  C1  . Qua phép vị tự tâm O, tỉ số k  2
-

Gọi M  x; y    C1  : x 2  y 2  4 x  2 y  4  0.

-

Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k  2

-

 x'
 x= 2
 x'  2 x
 x' y' 

 M  ; .
Ta có OM '  2OM  
2 2

 y'  2 y
y  y'

2

-

 x' y' 
Do M  ;    C  : x 2  y 2  4 x  2 y  4  0 .
2 2

-

x'
y'
 x'  y'
Nên:       4.  2  4  0  x '2  y '2  8 x ' 4 y ' 16  0 .
2
2
2 2

-

Vậy:  C ' : x 2  y 2  8 x  4 y  16  0 là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k  2

2

2

Cách 2:

-

Đường tròn  C1  có tâm I(-2;1) và bán kính R=3.

-

Gọi I’(x;y) là ảnh của I qua phép vị tự tâm O tỉ số k  2

-

 x  2 xI
 x=-4
Ta có OI '  2OI  

 '  4; 2  .
y  2
 y  2 yI

-

Gọi (C’) là ảnh của (C1) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2. Khi đó (C’) có bán kính R’=2R=6.

-

Do đó (C’) có phương trình là :  x  4    y  2   36 .
2

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

2

THPT 2018 | Trang 6


2. Viết phương trình ảnh của  C1  . Qua phép vị tự tâm A, tỉ số k  2
-

Đường tròn  C1  có tâm I(-2;1) và bán kính R=3.

-

Gọi I’(x;y) là ảnh của I qua phép vị tự tâm A, tỉ số k  2

-

 x-1  2  2  1
 x=7
Ta có AI '  2 AI  

 '  7;1 .
y

1
y-1


2
1

1






-

Gọi (C’) là ảnh của (C1) qua phép vị tự tâm A tỉ số k  2 . Khi đó (C’) có bán kính R’= 2 R=6.

-

Do đó (C’) có phương trình là :  x  7    y  1  36 .
2

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

2

THPT 2018 | Trang 7