06 đại số 10 chương VI lượng giác

Đại số 10

www.vmathlish.com

CHƯƠNG VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

§1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
§2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

cos   x  OH
sin   y  OK
sin 
tan  
 AT
cos 
cos 
cot  
 BS
sin 

sin

1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho (OA, OM )   . Giả sử M ( x; y ) .

tang

I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

B

K




    k 

2


O

T
cotang

S
M

H

cosin
A

  k 

Nhận xét:
  ,  1  cos   1;  1  sin   1



 k , k  Z
2
 cot xác định khi   k , k  Z

 tan xác định khi  

 sin(  k 2 )  sin 

 tan(  k )  tan 

cos(  k 2 )  cos 

cot(  k )  cot 

2. Dấu của các giá trị lượng giác

Phần tư
Giá trị lượng giác
cos
sin
tan
cot

I

II

III

IV

+
+
+
+

–
+
–
–

–
–
+
+

+
–
–
–

1
www.vmathlish.com


Đại số 10
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

www.vmathlish.com

0


6


4


3


2

2
3

3
4



3
2

2

00

300

450

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

3
2

2
2

0

–1

0

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

–1

0

1

tan

0

3
3

1

3

3

1

3
3

cot





2

2

 3

–1

3
3

–1



0

1
2

0

0
0

4. Hệ thức cơ bản:

sin2  cos2  1 ;

tan .cot  1 ;

1  tan2  

1
cos2 

; 1  cot 2  

1
sin2 

5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau

Góc bù nhau

cos( )  cos 

sin(   )  sin 

sin( )   sin 

cos(   )   cos 

tan( )   tan 

tan(   )   tan 

cot( )   cot 

cot(   )   cot 

Góc hơn kém 

Góc phụ nhau


sin      cos 
2



cos      sin 
2




tan      cot 
2



cot      tan 
2


Góc hơn kém


2

sin(   )   sin 



sin      cos 
2


cos(   )   cos 



cos       sin 
2


tan(   )  tan 



tan       cot 
2


cot(   )  cot 



cot       tan 

2


2
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối
của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.
Câu 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin 500.cos(3000 )
c) C = cot

 2 
3
.sin  

5
 3 

b) B = sin 2150.tan
d) D = cos

21
7

4

4
9
.sin .tan
.cot
5
3
3
5

Câu 2. Cho 00    900 . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin(  900 )

b) B = cos(  450 )

c) C = cos(2700   )

d) D = cos(2  900 )

Câu 3. Cho 0   



2
a) A = cos(   )

. Xét dấu của các biểu thức sau:
b) B = tan(   )



2 
3 
c) C = sin   
d) D = cos   



5 

8 
Câu 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin A  sin B  sin C
b) B = sin A.sin B.sin C
A
B
C
A
B
C
c) C = cos .cos .cos
d) D = tan  tan  tan
2
2
2
2
2
2

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết
suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sin, tính cos, tan, cot

 Từ sin2   cos2   1  cos    1  sin2  .
– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos   1  sin2  .
– Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos    1  sin2  .
sin 
1
 Tính tan  
; cot  
.
cos 
tan 
2. Cho biết cos, tính sin, tan, cot

 Từ sin2   cos2   1  sin    1  cos2  .
– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin   1  cos2  .
– Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin    1  cos2  .
sin 
1
 Tính tan  
; cot  
.
cos 
tan 

3

www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

3. Cho biết tan, tính sin, cos, cot
1
 Tính cot  
.
tan 
1
1
 1  tan2   cos   
 Từ
.
2
cos 
1  tan2 
– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos  

1
2

.

1  tan 
1
– Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos   

.
2
1  tan 
 Tính sin   tan  .cos  .
4. Cho biết cot, tính sin, cos, tan
1
 Tính tan  
.
cot 
1
1
 1  cot 2   sin   
 Từ
.
2
sin2 
1  cot 
1
– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin  
.
2
1  cot 
1
– Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin   
.
1  cot 2 
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
 Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.
 Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG

Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:

A2  B2  ( A  B)2  2 AB

A4  B4  ( A2  B2 )2  2 A2 B2

A3  B3  ( A  B)( A2  AB  B2 )
A3  B3  ( A  B)( A2  AB  B2 )
IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình

 Đặt t  sin2 x, 0  t  1  cos2 x  t . Thế vào giả thiết, tìm được t.
Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.

 Thiết lập phương trình bậc hai: t 2  St  P  0 với S  x  y; P  xy . Từ đó tìm x, y.
Câu 5. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
4
2

a) cos a  , 270 0  a  360 0
b) cos  
,    0
5
2
5
5 
,  a
13 2
3
e) tan a  3,   a 
2

c) sin a 

1
d) sin    , 1800    2700
3

f) tan   2,    
2

4
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

g) cot150  2  3

h) cot   3,    

3
2

Câu 6. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
cot a  tan a
3

khi sin a  , 0  a 

a) A 
cot a  tan a
5
2
b) B 

c) C 

8tan2 a  3cot a  1
1
khi sin a  , 900  a  1800
tan a  cot a
3

sin2 a  2sin a.cos a  2 cos2 a
2

2

khi cot a  3

2sin a  3sin a.cos a  4 cos a
sin a  5cos a
khi tan a  2
d) D 
sin3 a  2 cos3 a
8cos3 a  2sin3 a  cos a
khi tan a  2
e) E 
2 cos a  sin3 a

cot a  3tan a
2
khi cos a  
g) G 
2 cot a  tan a
3
sin a  cos a
khi tan a  5
h) H 
cos a  sin a
5
Câu 7. Cho sin a  cos a  . Tính giá trị các biểu thức sau:
4

a) A  sin a.cos a

b) B  sin a  cos a

ĐS:

25
7

ĐS:

8
3

ĐS: 
ĐS:

23
47

55
6

ĐS: 

3
2

19
13
3
ĐS: 
2

ĐS:

c) C  sin3 a  cos3 a

7
41 7
9
b) 
c) 
32
4
128

Câu 8. Cho tan a  cot a  3 . Tính giá trị các biểu thức sau:

ĐS: a)

a) A  tan2 a  cot 2 a
ĐS: a) 11

b) B  tan a  cot a

c) C  tan4 a  cot 4 a

b)  13

c) 33 13

Câu 9.
3
. Tính A  sin4 x  3cos4 x .
4
1
b) Cho 3sin 4 x  cos4 x  . Tính B  sin4 x  3cos4 x .
2
7
c) Cho 4 sin 4 x  3 cos4 x  . Tính C  3sin4 x  4 cos4 x .
4
Câu 10.
1
a) Cho sin x  cos x  . Tính sin x , cos x, tan x, cot x .
5
b) Cho tan x  cot x  4 . Tính sin x , cos x, tan x, cot x .

a) Cho 3sin 4 x  cos4 x 

ĐS:

a)
b)

ĐS: A 

7
4

ĐS: B = 1
ĐS: C 

7
57
C
4
28

4
3
4
3
; ; ;
5
5 3
4

1
2 2 3

;

2 3
; 2  3; 2  3 hoặc 2  3; 2  3;
2

2 3
1
;
2
2 2 3

5
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).
Câu 11.

Tính các GTLG của các góc sau:

a) 1200 ; 1350 ; 1500 ; 2100 ; 2250 ; 2400 ; 3000; 3150; 3300; 3900; 4200 ; 4950 ; 25500
7 13
5 10
5 11
16 13 29
31
;
;
;
;
;
;
;
;
;
2
4
4
3
3
3
3
6
6
4
Câu 12.
Rút gọn các biểu thức sau:


a) A  cos   x   cos(2  x )  cos(3  x )

2

 7

 3

b) B  2 cos x  3cos(  x )  5sin 
 x   cot 
 x
 2

 2



 3



c) C  2sin   x   sin(5  x )  sin 
 x   cos   x 
2

 2

2

 3

 3


d) D  cos(5  x )  sin 
 x   tan 
 x   cot(3  x )
 2

 2

Câu 13.
Rút gọn các biểu thức sau:

b) 9 ; 11 ;

a) A 
b) B 

sin(3280 ).sin 9580
cot 5720



sin(2340 )  cos 216 0
0

sin144  cos126

0

cos(5080 ).cos(1022 0 )

ĐS: A = –1

tan(212 0 )
.tan 360

ĐS: B  1

c) C  cos200  cos 400  cos600  ...  cos1600  cos1800
2

0

2

0

2

0

2

d) D  cos 10  cos 20  cos 30  ...  cos 180
0

0

0

0

e) E  sin 20  sin 40  sin 60  ...  sin 340  sin 360
0

0

0

ĐS: C  1

0

ĐS: D  9
0

ĐS: E  0
0

f) 2sin(790  x)  cos(1260  x)  tan(630  x).tan(1260  x)

ĐS: F  1  cos x

VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong khi biến
đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:
A B C 
  
A  B  C   và
2 2 2 2

Câu 14.

Chứng minh các đẳng thức sau:
4

a) sin x  cos4 x  1  2 cos2 x
b) sin4 x  cos4 x  1  2 cos2 x.sin2 x

6
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

6

6

2

2

c) sin x  cos x  1  3sin x.cos x
d) sin8 x  cos8 x  1  4sin2 x.cos2 x  2sin4 x.cos4 x
e) cot 2 x  cos2 x  cos2 x.cot 2 x
f) tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin2 x
g) 1  sin x  cos x  tan x  (1  cos x )(1  tan x )
h) sin2 x.tan x  cos2 x.cot x  2sin x.cos x  tan x  cot x

i)
k)

sin x  cos x  1
2 cos x

1  cos x
sin x  cos x  1

1  sin2 x
2

1  sin x

Câu 15.

 1  tan2 x

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) tan a.tan b 
c) 1 

tan a  tan b
cot a  cot b

sin2 a
cos2 a

 sin a.cos a

1  cot a 1  tan a

1  cos a  (1  cos a)2 
e)
1 
  2 cot a
sin a 
sin2 a 

sin a
cos a
1  cot 2 a


sin a  cos a cos a  sin a 1  cot 2 a
sin2 a
sin a  cos a

 sin a  cos a
d)
sin a  cos a
tan2 a  1

b)

f)

tan2 a
1  tan2 a

2

 1  sin a
1  sin a 
g) 

  4 tan2 a
1  sin a 
 1  sin a

i)

sin2 a  tan2 a
2

2

 tan6 a

h)

.

1  cot 2 a
cot 2 a

tan2 a  tan2 b





1  tan 4 a
tan 2 a  cot 2 a

sin2 a  sin2 b

tan2 a.tan2 b
sin2 a.sin 2 b
tan3 a
1
cot 3 a


 tan3 a  cot 3 a
k)
2
2
sin a sin a.cos a cos a

cos a  cot a
sin 4 x cos4 a
1
sin8 x cos8 x
1


, vôùi a, b  0. Chứng minh:



Câu 16. Cho
.
a
b
ab
a3
b3
(a  b)3
Câu 17. Rút gọn các biểu thức sau:

a) (1  sin2 x)cot 2 x  1  cot 2 x
c)
e)
g)

cos2 x  cos2 x.cot 2 x
2

2

2

sin x  sin x.tan x
sin2 x  tan2 x

cos2 a  cot 2 x
sin2 x(1  cot x )  cos2 x(1  tan x )

b) (tan x  cot x )2  (tan x  cot x)2
d) ( x.sin a  y.cos a)2  ( x.cos a  y.sin a)2

f)

sin2 x  cos2 x  cos4 x

cos2 x  sin2 x  sin 4 x
1  cos x
1  cos x
h)

; x  (0,  )
1  cos x
1  cos x

  3 
  
1  sin x
1  sin x
k) cos x  tan2 x  sin2 x ; x  ; 

; x   ; 
2 2 
1  sin x
1  sin x
 2 2
Câu 18. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
i)

a) 3(sin4 x  cos4 x)  2(sin6 x  cos6 x)

ĐS: 1

b) 3(sin8 x  cos8 x)  4(cos6 x  2sin6 x)  6sin 4 x

ĐS: 1

7
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com
4

4

2

2

c) (sin x  cos x  1)(tan x  cot x  2)

ĐS: –2

d) cos2 x.cot 2 x  3cos2 x  cot 2 x  2sin2 x

ĐS: 2

4

e)

4

sin x  3cos x  1
6

6

4

sin x  cos x  3cos x  1
tan2 x  cos2 x cot 2 x  sin2 x
f)

sin2 x
cos2 x
sin6 x  cos6 x  1
g)
sin 4 x  cos4 x  1
Câu 19. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a) sin B  sin( A  C )
b) cos( A  B)   cos C

c) sin

AB
C
 cos
2

2

2
3

ĐS: 2
ĐS:

3
2

d) cos( B  C )   cos( A  2C )
3 A  B  C
  sin 2 A
2
A  B  2C
3C
 cot
h) tan
2
2

f) cos

e) cos( A  B  C )   cos 2C
g) sin

ĐS:

A  B  3C

 cos C
2

§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng
sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b

tan a  tan b
1  tan a.tan b
tan a  tan b
tan(a  b) 
1  tan a.tan b
tan(a  b) 

cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b

Hệ quả:


 1  tan 
tan     
,
4
 1  tan 


 1  tan 
tan     

4
 1  tan 

2. Công thức nhân đôi
sin 2  2 sin  .cos 

cos2  cos2   sin2   2 cos2   1  1  2sin2 
tan 2 

2 tan 
1  tan2 

;

cot 2   1
cot 2 
2 cot 

8
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

Công thức hạ bậc
1  cos 2
2
1  cos 2

2
cos  
2
1

cos
2
tan2  
1  cos 2

sin2  

Công thức nhân ba (*)
sin 3  3sin   4 sin3 
cos3  4 cos3   3 cos 
3 tan   tan3 
tan 3 
1  3 tan 2 

9
www.vmathlish.com


Đại số 10
3. Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
ab
.cos
2
2

ab
ab
cos a  cos b   2sin
.sin
2
2
ab
ab
sin a  sin b  2 sin
.cos
2
2
ab
ab
sin a  sin b  2 cos
.sin
2
2
cos a  cos b  2 cos

www.vmathlish.com

sin(a  b)
cos a.cos b
sin(a  b)
tan a  tan b 
cos a.cos b
sin(a  b)
cot a  cot b 
sin a.sin b

sin(b  a)
cot a  cot b 
sin a.sin b
tan a  tan b 





sin   cos   2.sin      2.cos    
4
4






sin   cos  2 sin       2 cos    

4

4
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
 cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b)
2

1
sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) 
2
cos a.cos b 

VẤN ĐỀ 1: Công thức cộng
sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b

tan a  tan b
1  tan a.tan b
tan a  tan b
tan(a  b) 
1  tan a.tan b
tan(a  b) 

cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b

Hệ quả:


 1  tan 
tan     
,
4
 1  tan 


 1  tan 

tan     
4
 1  tan 

Câu 1.

Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
 5 7
;
;
a) 150 ; 750 ; 1050
b)
12 12 12
Câu 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:


3 
a) tan     khi sin   ,    

3
5 2

ĐS:

38  25 3
11



12 3

b) cos     khi sin    ,
   2
3

13 2

ĐS:

(5  12 3)
26

10
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

1
1
c) cos(a  b).cos(a  b) khi cos a  , cos b 
3
4

d) sin(a  b), cos(a  b), tan(a  b) khi sin a 

e) tan a  tan b, tan a, tan b khi 0  a, b 

2

119
144

8
5
, tan b 
và a, b là các góc nhọn.
17
12
21 140
21
;
;
.
ĐS:
221 221 220

, ab 


4

và tan a.tan b  3  2 2 .



ĐS: 2 2  2 ; tan a  tan b  2  1, a  b 

Từ đó suy ra a, b .

Câu 3.



ĐS: 

8

Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
3
2
3
ĐS:
2

a) A = sin2 20o  sin2 100o  sin2 140o

ĐS:

b) B = cos2 10o  cos110o  cos2 130o
c) C = tan 20o.tan 80o  tan 80o.tan140o  tan140o.tan 20o
o

o

o

o

o

d) D = tan10 .tan 70  tan 70 .tan130  tan130 .tan190
o

e) E =

o

ĐS: –3
o

ĐS: –3

o

cot 225  cot 79 .cot 71

f) F = cos2 75o  sin 2 75o
g) G =

ĐS: 

1  tan15o

ĐS:

1  tan150

h) H = tan150  cot150
0

0

0

3

ĐS:

cot 259o  cot 251o

3
2

3
3

ĐS: 4
0

0

0

0

0

0

0

0

HD: 40  60  20 ; 80  60  20 ; 50  60  10 ; 70  60  100
Câu 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin( x  y).sin( x  y)  sin2 x  sin2 y
b) tan x  tan y 

2sin( x  y)
cos( x  y )  cos( x  y )






2
c) tan x.tan  x    tan  x   .tan  x 

3

3

3



2
  tan  x 



3


 .tan x   3









3 
2
d) cos  x   .cos  x    cos  x   .cos  x 
(1  3)


3

4

6

4 
4
e) (cos70o  cos50o )(cos230o  cos290o ) (cos40o  cos160o )(cos320o  cos380o )  0

f) tan x.tan 3 x 

tan2 2 x  tan 2 x

1  tan2 2 x.tan 2 x
Câu 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:
a) 2 tan a  tan(a  b) khi sin b  sin a.cos(a  b)
b) 2 tan a  tan(a  b) khi 3sin b  sin(2a  b)

11
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

1
khi cos(a  b)  2 cos(a  b)
3
1 k
khi cos(a  2b)  k cos a
d) tan(a  b).tan b 
1 k
HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a
b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a
c) Khai triển giả thiết
d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b
Câu 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a) sin C  sin A.cos B  sin B.cos A

sin C
 tan A  tan B ( A, B  900 )
b)
cos A.cos B

c) tan a.tan b  

c) tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C ( A, B, C  900 )
d) cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A  1
A
B
B
C
C
A
e) tan .tan  tan .tan  tan .tan  1
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A
B
C
f) cot  cot  cot  cot .cot .cot
2

2
2
2
2
2
cos C
cos B
 cot C 
( A  90o )
g) cot B 
sin B.cos A
sin C.cos A
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
h) cos .cos .cos  sin sin cos  sin cos sin  cos sin sin
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A
B
C
i) sin2  sin2  sin2  1  2sin sin sin
2
2
2
2
2
2
 A B C
HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800
e, f) Sử dụng      900
2 2 2
A B C
g) VT = VP = tanA
h) Khai triển cos    
2 2 2
A B C
i) Khai triển sin     .

2 2 2
B C
B
C
A
B
C
A
Chú ý: Từ cos     sin  cos .cos  sin  sin .sin
2
2
2
2
2
2 2
2
A
B
C
A
A
B
C
 sin .cos .cos  sin 2  sin .sin .sin
2
2
2
2
2
2

2
Câu 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh:
a) tan A  tan B  tan C  3 3,   ABC nhoïn.
b) tan2 A  tan2 B  tan2 C  9,   ABC nhoïn.
c) tan6 A  tan6 B  tan6 C  81,   ABC nhoïn.
A
B
C
 tan 2  tan 2  1
2
2
2
A
B
C
e) tan  tan  tan  3
2
2
2
HD: a, b, c) Sử dụng tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C và BĐT Cô–si

d) tan 2

12
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

d) Sử dụng a2  b2  c2  ab  bc  ca và tan

A
B
B
C
C
A
.tan  tan .tan  tan .tan  1
2
2
2
2
2
2

2


A
B
C
e) Khai triển  tan  tan  tan  và sử dụng câu c)

2
2
2

VẤN ĐỀ 2: Công thức nhân

Công thức nhân đôi
sin 2  2 sin  .cos 

cos2  cos2   sin2   2 cos2   1  1  2sin2 
tan 2 

2 tan 
1  tan2 

;

Công thức hạ bậc
1  cos 2
2
1  cos 2
2
cos  
2
1  cos 2
2
tan  
1  cos 2

sin2  

cot 2 

cot 2   1
2 cot 

Công thức nhân ba (*)
sin 3  3sin   4 sin3 
cos3  4 cos3   3 cos 
3 tan   tan3 
tan 3 
1  3 tan 2 

Câu 8.

Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
5
3
a) cos 2 , sin 2 , tan 2 khi cos    ,    
13
2
b) cos 2 , sin 2 , tan 2 khi tan   2

4 
3
c) sin  , cos  khi sin 2   ,   
5 2
2
7
d) cos 2 , sin 2 , tan 2 khi tan  
8
Câu 9. Tính giá trị của biểu thức sau:


4
5

.cos
c) C  cos .cos
7
7
7

1
16
1
ĐS:
8
1
ĐS:
8

d) D  cos100.cos 50 0.cos 70 0

ĐS:

a) A  cos20o.cos40o.cos60o.cos80o
b) B  sin10o.sin 50o.sin 70o

e) E  sin 6o.sin 42o.sin 66o.sin 78o
f) G  cos

2
4
8
16
32

.cos
.cos .cos
.cos
31
31
31
31
31

ĐS:

3
8
1
ĐS:
16
1
ĐS:
32

13
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

2
512

3
ĐS:
256

h) H  sin 5o.sin15o.sin 25o.... sin 75o.sin85o

ĐS:

i) I  cos100.cos 200.cos30 0...cos 70 0.cos80 0
k) K  96 3 sin



.cos



.cos



cos



cos



48

48
24
12
6

2
3
4
5
6
7
.cos .cos
.cos .cos
.cos
l) L  cos .cos
15
15
15
15
15
15
15

m) M  sin



.cos



.cos



16
16
8
Câu 10. Chứng minh rằng:
a
a
a
a
sin a
a) P  cos cos cos
... cos

a
2
22
23
2n
2n.sin
2n

2
n
1
.cos
... cos


b) Q  cos
2n  1
2n  1
2n  1 2n

ĐS: 9
ĐS:

1
128

ĐS:

2
8

2
4
2n
1
.cos
... cos

2n  1
2n  1
2n  1
2
Câu 11. Chứng minh các hệ thức sau:
3 1

5 3
a) sin 4  cos4 x   cos 4 x
b) sin 6 x  cos6 x   cos 4 x
4 4
8 8
1
x
x 1
c) sin x.cos3 x  cos x.sin3 x  sin 4 x
d) sin6  cos6  cos x(sin 2 x  4)
4
2
2 4

c) R  cos

2 

x
e) 1  sin x  2sin   
 4 2

 x 
g) tan    .
 4 2

i)




1  cos   x 
2
  1


sin   x 
2


 x 
cos x
 cot   
1  sin x
 4 2

l) tan x  cot x  2 cot x
n)

1  sin2 x
f)
 1



2 
2 cot   x  .cos   x 
4

4



 1  sin 2 x
h) tan   x  
4

cos2 x

k) tan x.tan 3 x 

tan2 2 x  tan2 x

1  tan2 x.tan2 2 x
2
m) cot x  tan x 
sin 2 x

1 1 1 1 1 1
x



 cos x  cos , vôùi 0  x  .
2 2 2 2 2 2
8
2

VẤN ĐỀ 3: Công thức biến đổi
1. Công thức biến đổi tổng thành tích

14

www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

sin(a  b)
cos a.cos b
sin(a  b)
tan a  tan b 
cos a.cos b
sin(a  b)
cot a  cot b 
sin a.sin b
sin(b  a)
cot a  cot b 
sin a.sin b

ab
ab
.cos
2
2
ab
ab
cos a  cos b   2sin
.sin
2
2

ab
ab
sin a  sin b  2 sin
.cos
2
2
ab
ab
sin a  sin b  2 cos
.sin
2
2
cos a  cos b  2 cos

tan a  tan b 





sin   cos   2.sin      2.cos    
4
4






sin   cos  2 sin       2 cos    


4

4
2. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
 cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) 
2
cos a.cos b 

Câu 12. Biến đổi thành tổng:
a) 2 sin(a  b).cos(a  b)

b) 2 cos(a  b).cos(a  b)
13 x
x
.cos x.cos
2
2

2
f) sin .sin
5
5

h) 8 cos x.sin 2 x.sin 3 x

d) 4sin

c) 4 sin 3 x.sin 2 x.cos x
e) sin( x  30o ).cos( x  30o )
g) 2 sin x.sin 2 x.sin 3 x.




i) sin  x   .sin  x   .cos2 x

6

6
Câu 13. Chứng minh:




a) 4 cos x.cos   x  cos   x   cos3x
3

3


k) 4 cos(a  b).cos(b  c).cos(c  a)

 


b) 4sin x.sin   x  sin   x   sin 3x
3
 3


A  sin10o.sin 50o.sin 70o

B  cos10o.cos50o.cos70o

C  sin 200.sin 400.sin800
Câu 14. Biến đổi thành tích:

D  cos 200.cos 40 0.cos80 0

Áp dụng tính:

a) 2sin 4 x  2

b) 3  4 cos2 x

c) 1  3tan2 x
e) 3  4 cos 4 x  cos8 x

d) sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x
f) sin 5 x  sin 6 x  sin 7 x  sin 8 x

g) 1  sin 2 x – cos 2 x – tan 2 x

h) sin2 ( x  90o )  3cos2 ( x  90o )

15
www.vmathlish.com


Đại số 10
i) cos 5 x  cos8 x  cos 9 x  cos12 x
Câu 15. Rút gọn các biểu thức sau:
cos 7 x  cos8 x  cos 9 x  cos10 x
a) A 
sin 7 x  sin 8 x  sin 9 x  sin10 x
1  cos x  cos 2 x  cos3 x
c) C 
cos x  2 cos2 x  1
Câu 16. Tính giá trị của các biểu thức sau:

2
a) A  cos  cos
5
5

www.vmathlish.com

k) cos x  sin x  1
sin 2 x  2sin 3 x  sin 4 x
sin 3 x  2sin 4 x  sin 5 x
sin 4 x  sin 5 x  sin 6 x
d) D 
cos 4 x  cos 5 x  cos 6 x

b) B 

b) B  tan

c) C  sin2 70o.sin2 50o.sin2 10o
e) E 
g) G 

1

o

o



24

 tan

7
24

d) D  sin2 17o  sin2 43o  sin17o.sin 43o

 2sin 70o

2sin10o
tan 80o



f) F 
cot10o
o

o

cot 25  cot 75
tan 25  tan 75
1
A
ĐS:
B  2( 6  3)
2
E=1
F=4
Câu 17. Tính giá trị của các biểu thức sau:

7
13
19
25
sin
sin
sin
a) sin sin
30
30
30

30
30

1
sin10o



3
cos10o

h) H  tan 90  tan 270  tan 630  tan810
1
64
G=1
C

3
4
H=4
D

ĐS:

b) 16.sin10o.sin30o.sin 50o.sin 70o.sin 90o

1
32

ĐS: 1

1
ĐS:
2

c) cos 24o  cos 48o  cos84o  cos12o
2
4
6
 cos
 cos
7
7
7

2
3
 cos
e) cos  cos
7
7
7

5
7
 cos
f) cos  cos
9
9
9
2

4
6
8
 cos
 cos
 cos
g) cos
5
5
5
5

3
5
7
9
 cos
 cos
 cos
h) cos  cos
11
11
11
11
11
Câu 18. Chứng minh rằng:

d) cos

ĐS: 

ĐS:

1
2

1
2

ĐS: 0
ĐS: –1
ĐS:

1
2

a) tan 9o  tan 27o  tan 63o  tan81o  4
b) tan 20o  tan 40o  tan80o  3 3
c) tan10o  tan 50o  tan 60o  tan 70o  2 3
d) tan 30o  tan 40o  tan 50o  tan 60o 

8 3
.cos 20o
3

e) tan 20o  tan 40o  tan80o  tan 60o  8sin 40o
f) tan6 20o  33tan4 20o  27tan2 20o  3  0

16
www.vmathlish.com

Đại số 10
Câu 19. Tính các tổng sau:
a) S1  cos   cos3  cos5  ...  cos(2n  1)

www.vmathlish.com

(  k )

2
3
(n  1)
 sin
 ...  sin
.
n
n
n
n

3
5
(2n  1)
 cos
 ... cos
.
c) S3  cos  cos
n
n
n

n
1
1
1


 ... 
, vôùi a  .
d) S4 
cos a.cos 2a cos 2a.cos3a
cos 4 a.cos 5a
5


1 
1 
1  
1
e) S5   1 
 1 
 1 
 ... 1 

 cos x  cos2 x  cos3x   cos2n1 x 

b) S2  sin

ĐS:



 sin

S1 
S4 

sin 2n
;
2 sin 

S2  cot


2n

S3   cos

;



;

n

tan 5a  tan a
tan 2n1 x
 1  5 ; S5 
x
sin a

tan
2

Câu 20.
1
(3sin x  sin 3 x ) (1)
4
a
a
a
a
vaøo (1), tính Sn  sin3  3sin3  ...  3n1 sin3 .
b) Thay x 
n
2
3
3
3
3n

1
a
ĐS: Sn   3n sin  sin a  .
4
3n


a) Chứng minh rằng: sin3 x 

Câu 21.

sin 2a
.
2sin a
x
x
x
... cos .
b) Tính Pn  cos cos
2
2
2
2n

a) Chứng minh rằng: cos a 

ĐS: Pn 

sin x
n

2 sin

x

.

2n

Câu 22.
1

x
 cot  cot x .
sin x
2
1
1
1

 ... 
(2n1  k )
b) Tính S 
n

1
sin  sin 2
sin 2 
Câu 23.

a) Chứng minh rằng:

ĐS: S  cot


2

 cot 2n1

a) Chứng minh rằng: tan2 x.tan 2 x  tan 2 x  2 tan x .
a
2

b) Tính Sn  tan2 .tan a  2 tan2

a

a
a
a
.tan  ...  2 n1 tan 2 .tan
n
n
2
2
2
2 1
2

ĐS: Sn  tan a  2 n tan
Câu 24. Tính sin2 2 x , biết:

1
2



1
2

tan x cot x
Câu 25. Chứng minh các đẳng thức sau:

www.vmathlish.com



1
2

sin x



1
2

cos x

7

ĐS:

a
2n

8
9

17


Đại số 10

www.vmathlish.com

a) cot x  tan x  2 tan 2 x  4 cot 4 x
c)

1
cos6 x

 tan6 x 

3tan 2 x
cos2 x

1

2

b)

1  2sin 2 x 1  tan 2 x

1  sin 4 x
1  tan 2 x

d) tan 4 x 

1
sin 2 x  cos 2 x


cos 4 x
sin 2 x  cos 2 x

e) tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  tan 2 x.tan 4 x.tan 6 x
sin 7 x
 1  2 cos 2 x  2 cos 4 x  2 cos 6 x
sin x
g) cos 5 x.cos3 x  sin 7 x.sin x  cos 2 x.cos 4 x
Câu 26.
2 tan(a  b)
3
a) Cho sin(2a  b)  5sin b . Chứng minh:
tan a
b) Cho tan(a  b)  3 tan a . Chứng minh: sin(2a  2b)  sin 2a  2 sin 2b

f)

Câu 27. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
A
B
C
a) sin A  sin B  sin C  4 cos cos cos
2
2
2
A
B
C
b) cos A  cos B  cos C  1  4sin sin sin
2

2
2
c) sin 2 A  sin 2 B  sin 2C  4 sin A.sin B.sin C
d) cos 2 A  cos 2 B  cos 2C   1  4 cos A.cos B.cos C
e) cos2 A  cos2 B  cos2 C  1  2 cos A.cos B.cos C
f) sin2 A  sin2 B  sin2 C  2  2 cos A.cos B.cos C
Câu 28. Tìm các góc của tam giác ABC, biết:

1



vaø sin B.sin C  .
a) B  C 
ĐS: B  , C  , A 
3
2
2
6
3
2
1 3

5

, C
vaø sin B.cos C 
.
ĐS: A  , B 
3

12
4
3
4
Câu 29. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông:
a) cos 2 A  cos 2 B  cos 2C  1
b) tan 2 A  tan 2 B  tan 2C  0
b
c
a
B ac


c)
d) cot 
cos B cos C sin B.sin C
2
b
Câu 30. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
AB
a) a tan A  b tan B  (a  b) tan
b) 2 tan B  tan C  tan2 B.tan C
2
sin A  sin B 1
C 2sin A.sin B
 (tan A  tan B)
c)
d) cot 
cos A  cos B 2
2

sin C
Câu 31. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều:

b) B  C 

3 3
2
3
b) cos A  cos B  cos C 
2

a) sin A  sin B  sin C 

c) tan A  tan B  tan C  3 3
www.vmathlish.com


vào VT.
3

HD: Cộng cos vào VT.
3
HD: Cộng sin

(với A, B, C nhọn)

18


Đại số 10

www.vmathlish.com

1
1
d) cos A.cos B.cos C  HD: Biến đổi cos A.cos B.cos C  về dạng hằng đẳng thức.
8
8

www.vmathlish.com
VanLucNN

www.facebook.com/VanLuc168

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

19
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

20
www.vmathlish.com