08 hình học 10 chương II tích vô hướng

Hình học 10

www.vmathlish.com

CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI
VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG

§1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT
KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800
1. Định nghĩa
Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị tâm O. Xét góc nhọn  = xOM . Gỉả sử M(x; y).
sin = y (tung độ)
y
cos = x (hoành độ)
y  tung ñoä 
M
y
tan = 
(x  0)

x  hoaønh ñoä 
-1

O

x1

x

x  hoaønh ñoä 
cot = 

 (y  0)
y  tung ñoä 
Chú ý: – Nếu  tù thì cos < 0, tan < 0, cot < 0.
– tan chỉ xác định khi   900, cot chỉ xác định khi   00 và   1800.
2. Tính chất
 Góc phụ nhau
 Góc bù nhau
sin(900   )  cos 
cos(900   )  sin 
tan(900   )  cot 
cot(900   )  tan 
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

sin(180 0   )  sin 
cos(180 0   )   cos 
tan(1800   )   tan 
cot(180 0   )   cot 

00

300

450

600

900

1800

sin

0

1
2

2
2

cos

1

3
2

2
2

3
2
1
2

1

0

0

–1

tan

0

3
3

1

3



0

cot



3

1

3
3

0



4. Các hệ thức cơ bản

1
www.vmathlish.com


Hình học 10

www.vmathlish.com

sin 
(cos   0)
cos 
cos 
cot  
(sin   0)
sin 
tan  .cot   1 (sin  .cos   0)
tan  

sin2   cos2   1
1
1  tan2  
(cos   0)
cos2 
1
1  cot 2  

(sin   0)
sin2 

Chú ý: 0  sin   1;  1  cos   1 .
Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) a sin 00  b cos 00  c sin 900

b) a cos900  b sin 900  c sin1800

c) a2 sin 900  b2 cos900  c2 cos1800

d) 3  sin2 900  2 cos2 600  3tan2 450

e)
Câu 2.
a)
Câu 3.
a)
Câu 4.
Câu 5.
a)
b)
Câu 6.

4a2 sin2 450  3(a tan 450 )2  (2a cos450 )2
Tính giá trị của các biểu thức sau:
sin x  cos x khi x bằng 00; 450; 600.
b) 2 sin x  cos 2 x khi x bằng 450; 300.
Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:
1

1
sin   ,  nhọn.
b) cos   
c) tan x  2 2
4
3
6 2
Biết sin150 
. Tinh cos150 , tan150 , cot150 .
4
Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:
1
tan x  3cot x  1
sin x  , 900  x  1800 . Tính A 
.
3
tan x  cot x
sin   cos 
tan   2 . Tính B 
sin3   3cos3   2sin 
Chứng minh các đẳng thức sau:
b) sin4 x  cos4 x  1  2sin2 x.cos2 x

a) (sin x  cos x)2  1  2sin x.cos x

c) tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin2 x
d) sin6 x  cos6 x  1  3sin2 x.cos2 x
e) sin x.cos x(1  tan x )(1  cot x )  1  2sin x.cos x
Câu 7. Đơn giản các biểu thức sau:
a) cos y  sin y.tan y

d)

1  cos2 x
1  sin2 x

 tan x.cot x

b) 1  cos b . 1  cos b
e)

c) sin a 1  tan2 a

1  4sin2 x.cos2 x
(sin x  cos x )2

f) sin(900  x)  cos(1800  x)  sin2 x(1  tan2 x)  tan2 x
Câu 8. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) cos2 120  cos2 780  cos2 10  cos2 890

b) sin2 30  sin2 150  sin2 750  sin2 870

2
www.vmathlish.com


Hình học 10

www.vmathlish.com

§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ

1. Góc giữa hai vectơ

a

Cho a , b  0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA  a, OB  b .
Chú ý:

a

AOB với 00  AOB  1800.

Khi đó a ,b

b

A

O
b

+  a, b  = 900  a  b

B

+  a, b  = 00  a , b cùng hướng

+  a, b  = 1800  a , b ngược hướng

+  a, b    b , a 
2. Tích vô hướng của hai vectơ

 Định nghĩa: a.b  a . b .cos  a, b  .
2

a.a  a 2  a .

Đặc biệt:

 Tính chất: Với a , b , c bất kì và kR, ta có:
a  b  c   a.b  a.c ;
+ a.b  b.a ;

 ka  .b  k  a.b   a.  kb  ;
2

+  a  b   a 2  2a.b  b 2 ;
+ a.b > 0   a, b  nhọn

a 2  0; a 2  0  a  0 .

 a  b 2  a2  2a.b  b 2 ; a 2  b 2   a  b  a  b  .

+ a.b < 0   a, b  tù

a.b = 0   a, b  vuông.
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
 Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi đó:
 a  a12  a22 ;

cos(a , b ) 

 Cho A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) . Khi đó:

a.b  a1b1  a2b2 .
a1b1  a2 b2
a12  a22 . b12  b22

;

a  b  a1b1  a2b2  0

AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2 .

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:
a) AB. AC
b) AC .CB
c) AB.BC
Câu 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
a) AB. AC
b) AC .CB
Câu 3. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.

c) AB.BC

a) Chứng minh: DA.BC  DB.CA  DC. AB  0 .
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Câu 4. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:

3
www.vmathlish.com

Hình học 10

www.vmathlish.com

BC. AD  CA.BE  AB.CF  0 .
Câu 5. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai
đường thẳng AM và BN.

a) Chứng minh: AM . AI  AB. AI , BN .BI  BA.BI .
b) Tính AM . AI  BN .BI theo R.
Câu 6. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.
a) Tính AB. AC , rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính CA.CB .
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD.CB .
Câu 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) AB. AC

b) ( AB  AD )(BD  BC )

d) AB.BD

e) ( AB  AC  AD )(DA  DB  DC )

HD: a) a2
b) a2
c) 2a2
Câu 8. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.

c) ( AC  AB)(2 AD  AB)
d) a2

e) 0

a) Tính AB. AC , rồi suy ra cosA.
b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Tính AG.BC .
c) Tính giá trị biểu thức S = GA.GB  GB.GC  GC.GA .
d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D  BC). Tính AD theo AB, AC , suy ra AD.
3
1
5
29
HD: a) AB. AC   , cos A  
b) AG.BC 
c) S  
4
3
6
2
54
AB
3
2
.DC  AD  AB  AC , AD 
AC
5
5
5
0

Câu 9. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60 . M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.

d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB 

b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2 IA  IB  0, JB  2 JC .
HD: a) BC = 19 , AM =

7
2

b) IJ =

2
133
3

Câu 10. Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh AB2  BC 2  CD2  DA2  2 AC.DB .
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:

AB2  CD2  BC 2  DA2 .
Câu 11. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
1
MH .MA  BC 2 .
4
Câu 12. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
a) MA2  MC 2  MB2  MD2

b) MA.MC  MB.MD

c) MA2  MB.MD  2 MA.MO (O là tâm của hình chữ nhật).
Câu 13. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ điểm M biết CM  2 AB  3 AC .

4
www.vmathlish.com


Hình học 10
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 14. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).

www.vmathlish.com

a) Tính AB. AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA  2TB  3TC  0
k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC.
Câu 15. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a) MA2  2 MA.MB

b) ( MA  MB)(2 MB  MC )  0

c) ( MA  MB)( MB  MC )  0
d) 2 MA2  MA.MB  MA.MC
Câu 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a) MA.MC  MB.MD  a2

b) MA.MB  MC.MD  5a2

c) MA2  MB2  MC 2  3MD2
d) ( MA  MB  MC)( MC  MB)  3a2
Câu 17. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao
1
cho: MA.MB  MC .MD  IJ 2 .
2

§3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
VÀ GIẢI TAM GIÁC
Cho ABC có:
– độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc
– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1. Định lí côsin

a2  b2  c2  2bc.cos A ;

b2  c2  a2  2ca.cos B ;

c2  a2  b2  2ab.cos C

2. Định lí sin

5
www.vmathlish.com


Hình học 10

www.vmathlish.com

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

3. Độ dài trung tuyến
2(b2  c2 )  a2
2(a2  c2 )  b2
mb2 
;
;
4
4
4. Diện tích tam giác

1
1
1
S = aha  bhb  chc
2
2
2
1
1
1
= bc sin A  ca sin B  ab sin C
2
2
2
abc
=
4R
= pr
ma2 

=

p( p  a)( p  b)( p  c)

mc2 

2(a2  b2 )  c2
4

(công thức Hê–rông)

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao.
A
 BC 2  AB2  AC 2 (định lí Pi–ta–go)
 AB2  BC.BH ,
 AH 2  BH .CH ,

AC 2  BC.CH
1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

B

H

C

 AH .BC  AB.AC
 b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C
6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
 Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.

M
PM/(O) = MA.MB  MC.MD  MO2  R2
 Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
2

2

PM/(O) = MT  MO  R

2

T
B
A

R
O

C
D

Câu 1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;
a) a  b.cos C  c.cos B
b) sin A  sin B cos C  sin C cos B
3
c) ha  2 R sin B sin C
d) ma2  mb2  mc2  (a2  b2  c 2 )

4
2
1
AB 2 . AC 2   AB. AC 
2
Câu 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
2
1 1


a) Nếu b + c = 2a thì
b) Nếu bc = a2 thì sin B sin C  sin2 A, hb hc  ha2
ha hb hc

e) S ABC 

c) A vuông  mb2  mc2  5ma2

6
www.vmathlish.com


Hình học 10
www.vmathlish.com
Câu 3. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi  là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD.
1
a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S  AC.BD.sin  .
2
b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Câu 4. Cho ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH.

a) Chứng minh AH  a.sin B.cos B, BH  a.cos2 B, CH  a.sin2 B .
b) Từ đó suy ra AB2  BC.BH , AH 2  BH .HC .
Câu 5. Cho AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a, AOH
a) Tính các cạnh của OAK theo a và .
b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và .
c) Từ đó tính sin 2 , cos 2 , tan 2 theo sin  , cos  , tan  .
Câu 6. Giải tam giác ABC, biết:
a) c

14; A

600 ; B

400

b) b

4,5; A

300 ; C

c) c

35; A

400 ; C

1200

d) a

137,5; B

b) b

32; c

45; A

870

d) b

14; c

10; A

1450

.

750

830 ; C

57 0

Câu 7. Giải tam giác ABC, biết:
a) a

6, 3; b

c) a

7; b

6, 3; C
23; C

540
1300

Câu 8. Giải tam giác ABC, biết:
a) a  14; b  18; c  20

b) a  6; b  7,3; c  4,8
d) a  2 3; b  2 2; c  6  2

c) a  4; b  5; c  7

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
Câu 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

sin x
1  cos x
2


1  cos x

sin x
sin x

b)

sin3 x  cos3 x
 1  sin x.cos x
sin x  cos x

2

 tan2 x  1 
cos2 x  sin2 x
1
 1  tan2 x
c) 
d)
 1
 
4
4
2
 2 tan x  4sin2 x.cos2 x
sin x  cos x  sin x
2
2
sin x
cos x

 sin x  cos x

e)
cos x (1  tan x ) sin x(1  cot x )

cos x  
sin x 
1
f)  tan x 
 .  cot x 

1  sin x  
1  cos x  sin x.cos x


g) cos2 x(cos2 x  2sin2 x  sin2 x tan2 x )  1
5 1
. Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080, tan720.
4
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 2. Biết sin180 

7
www.vmathlish.com


Hình học 10

www.vmathlish.com

a) A = cos4 x  cos2 x  sin2 x

b) B = sin4 x  sin2 x  cos2 x
Câu 4. Cho các vectơ a , b .
a) Tính góc  a, b  , biết a , b  0 và hai vectơ u  a  2b , v  5a  4b vuông góc.
b) Tính a  b , biết a  11, b  23, a  b  30 .

c) Tính góc  a, b  , biết (a  3b )  (7a  5b ), (a  4b )  (7a  2b ) .
d) Tính a  b , 2a  3b , biết a  3, b  2, (a, b )  1200 .
e) Tính a , b , biết a  b  2, a  b  4, (2a  b )  (a  3b ) .
Câu 5. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 6.
a) Tính AB. AC và cosA.
b) M, N là hai điểm được xác định bởi AM 
Câu 6. Cho hình bình hành ABCD có AB =

2
3
AB, AN  AC . Tính MN.
3
4

3 , AD = 1, BAD

600 .

a) Tính AB. AD, BA.BC .

b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Tính cos  AC, BD  .
Câu 7. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân đỉnh
A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AIDE.
Câu 8. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các
tam giác ABO và CDO. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh HK  IJ.

Câu 9. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB. Trên đường chéo AC
3
lấy điểm N sao cho AN  AC .
4
a) Chứng minh DN vuông góc với MN.
b) Tính tổng DN .NC  MN .CB .
Câu 10. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) AB. AM  AC. AM  0

b) AB. AM  AC . AM  0

c) ( MA  MB)( MA  MC )  0
d) ( MA  MB  2 MC )( MA  2 MB  MC )  0
Câu 11. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
a) b2  c2  a(b.cos C  c.cos B)
b) (b2  c2 )cos A  a(c.cos C  b.cos B)
b) sin A  sin B.cos C  sin C .cos B  sin(B  C )
Câu 12. Cho ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu (a  b  c)(b  c  a)  3bc thì A
b) Nếu

b3  c 3  a3
 a2 thì A
bca

600 .

600 .

c) Nếu cos( A  C )  3cos B  1 thì B

600 .

d) Nếu b(b2  a2 )  c(a2  c2 ) thì A

600 .

Câu 13. Cho ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu

b2  a2
 b cos A  a cos B thì ABC cân đỉnh C.
2c

8
www.vmathlish.com


Hình học 10

www.vmathlish.com

sin B
 2 cos A thì ABC cân đỉnh B.
sin C
c) Nếu a  2b.cos C thì ABC cân đỉnh A.
b
c
a



d) Nếu
thì ABC vuông tại A.
cos B cos C sin B.sin C

b) Nếu

e) Nếu S  2R2 sin B.sin C thì ABC vuông tại A.
Câu 14. Cho ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc
với nhau là: b2  c2  5a2 .
Câu 15. Cho ABC.
a) Có a = 5, b = 6, c = 3. Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM = 2,
BK = 2. Tính MK.
5
16
b) Có cos A  , điểm D thuộc cạnh BC sao cho ABC DAC , DA = 6, BD  . Tính chu
9
3
vi tam giác ABC.
HD:

a) MK =

8 30
15

b) AC = 5, BC =

25
, AB = 10

3

Câu 16. Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: x 2  x  1; 2 x  1; x 2  1 .
a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên.
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng 120 0 .
Câu 17. Cho ABC có B

900 , AQ và CP là các đường cao, S ABC  9SBPQ .

a) Tính cosB.
b) Cho PQ = 2 2 . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC.
1
9
HD: a) cos B 
b) R 
3
2
Câu 18. Cho ABC.
a) Có B
tiếp ACI.

600 , R

2, I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính bán kính của đường tròn ngoại

b) Có A 900 , AB 3, AC 4, M là trung điểm của AC. Tính bán kính đường tròn
ngoại tiếp BCM.
c) Có a 4,b 3, c 2, M là trung điểm của AB. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp
BCM.
5 13

8 23
c) R 
6
3 30
Câu 19. Cho hai đường tròn (O1, R) và (O2, r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một đường thẳng tiếp
xúc với hai đường tròn tại C và D. Gọi N là giao điểm của AB và CD (B nằm giữa A và N). Đặt

HD:

AO1C

b) R 

a) R = 2

, AO2D

.

a) Tính AC theo R và ; AD theo r và .
b) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ACD.


HD: a) AC = 2 R sin , AD = 2r sin
b) Rr .
2
2

9
www.vmathlish.com

Hình học 10

www.vmathlish.com

Câu 20. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, BD = a, CAB
CAD

.
a) Tính AC.
HD:

a) AC =

,

b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, , .
a
sin(   )

b) S 

a2 cos(    )
.
2 sin(   )

Câu 21. Cho ABC cân đỉnh A, A
, AB m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho BC 3BD.
a) Tính BC, AD.

b) Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau. Tính cos
1
để bán kính của chúng bằng
bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC.
2

m
11
5  4 cos 
HD: a) BC = 2 m sin , AD =
b) cos    .
16
2
3

www.vmathlish.com
VanLucNN

www.facebook.com/VanLuc168

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

10
www.vmathlish.com