07 tich vo huong cua hai vec to p1 BG

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

07. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
1. Góc giữa hai vectơ
Cho a , b ≠ 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA = a , OB = b .

a
a

Khi đó ( a , b ) = AOB với 00 ≤ AOB ≤ 1800.
Chú ý:
+) ( a , b ) = 900 ⇔ a ⊥ b

b

A

O
b

B

+) ( a , b ) = 00 ⇔ a , b cùng hướng

+) ( a , b ) = 1800 ⇔ a , b ngược hướng

+) ( a , b ) = ( b , a )
2. Tích vô hướng của hai vectơ

• Định nghĩa: a.b = a . b .cos ( a , b ) .
2

Đặc biệt: a.a = a 2 = a .
• Tính chất:
Với a , b , c bất kì và ∀k∈R, ta có:

a ( b + c ) = a.b + a.c ;

+) a.b = b .a ;

( ka ) .b = k ( a.b ) = a. ( kb ) ;

+) a 2 ≥ 0; a 2 = 0 ⇔ a = 0 .
2

2

( a − b ) = a 2 − 2a.b + b 2 ;
+) ( a + b ) = a 2 + 2a.b + b 2 ;
a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) .
+) a.b > 0 ⇔ ( a, b ) nhọn; a.b < 0 ⇔ ( a, b ) tù;
a.b = 0 ⇔ ( a, b ) vuông.
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
• Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2).
Khi đó: a.b = a1b1 + a2 b2 .
• a = a12 + a22 ;

cos(a , b ) =

a1b1 + a2 b2
a12

+ a22 .

b12

+ b22

;

a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 = 0

• Cho A( x A ; y A ), B( x B ; yB ) . Khi đó: AB = ( x B − x A )2 + ( yB − y A )2 .

Bài 1: [ĐVH]. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:
a) AB. AC

b) AC.CB

c) AB.BC

Bài 2: [ĐVH]. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
a) AB. AC

b) AC.CB

c) AB.BC

Bài 3: [ĐVH]. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh DA.BC + DB.CA + DC. AB = 0 .

Bài 4: [ĐVH]. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF.
Chứng minh: BC. AD + CA.BE + AB.CF = 0 .
Bài 5: [ĐVH]. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai
đường thẳng AM và BN.
a) Chứng minh: AM . AI = AB. AI , BN .BI = BA.BI .
Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH!


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

b) Tính AM . AI + BN .BI theo R.
Bài 6: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.
a) Tính AB. AC , rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính CA.CB .
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD.CB .
Bài 7: [ĐVH]. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) AB. AC

b) ( AB + AD)( BD + BC )

d) AB.BD

e) ( AB + AC + AD)( DA + DB + DC )

Đ/s: a) a2

b) a2

c) 2a2

c) ( AC − AB )(2 AD − AB )

d) − a2

e) 0

Bài 8: [ĐVH]. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a, G là trọng tâm tam giác. Tính giá trị biểu
thức GA.GB + GB.GC + GC.GA

Đ/s: GA.GB + GB.GC + GC.GA = −

4a 2
3

Bài 9: [ĐVH]. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ADM.

(

Tính giá trị biểu thức CG. CA + CA

(

)

Đ/s: CG. CA + CA =

)

21a 2
4

Tham gia khóa TOÁN 10 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH!