02 BDT co si p3 BG

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

02. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P3
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
DẠNG 3. KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI
Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra.
Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:
Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm
Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên
Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các
trường hợp trên.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 3 .
Chứng minh rằng: 3 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a ≤ 33 3
Lời giải:
Phân tích:
Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi:
a + 2b = 3

a = b = c = 1 ⇒ b + 2c = 3
c + 2a = 3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
1
1 (a + 2b ) + 3 + 3 6 + a + 2b
3
=
(1)
a + 2b = 3 3 (a + 2b ).3.3 ≤ 3
3

9
9
33 9
6 + b + 2c
3
(2)
b + 2c ≤
33 9
6 + c + 2a
3
(3)
c + 2a ≤
33 9
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
18 + 3(a + b + c )
3
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a ≤
= 33 3 (đpcm)
3
3 9
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 (*).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 2 + b 2 + c 2
Lời giải:

Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức a 2 + b 2 + c 2 và a + b + c gợi cho ta sử dụng bất đẳng
thức Cauchy để hạ bậc a 2 + b 2 + c 2 . Nhưng ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào
bậc của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức
Cauchy lần lượt cho a 2 , b 2 và c 2 cùng với 1 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện a, b và c . Do
a, b, c dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a = b = c , từ (*) ta có
1

a = b = c = . Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau.
3
Khi đó ta có lời giải như sau:
Lời giải:
1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: a 2 và
ta có:
9

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1
1 2
1
1
≥ 2 a 2 . = a (1) Dấu “=” xảy ra ⇔ a 2 = ⇔ a =
9
9 3
9
3
Tương tự:
1 2
1
b2 + ≥ b
(2) Dấu “=” xảy ra ⇔ b =

9 3
3
1 2
1
c2 + ≥ c
(3) Dấu “=” xảy ra ⇔ c =
9 3
3
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
1 2
2
1
a 2 + b 2 + c 2 + ≥ (a + b + c ) = ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≥ .
3 3
3
3
1
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c =
3
1
Vậy GTNN của A là
3
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa ab + bc + ca = 3 . CMR: a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3
Lời giải:
a2 +

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a 3 + b 3 + 1 ≥ 33 a 3b 3 = 3ab (1) ; b 3 + c 3 + 1 ≥ 3bc (2) ; c 3 + a 3 + 1 ≥ 3ca (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

2 a 3 + b 3 + c 3 + 3 ≥ 3(ab + bc + ca )

(

(

)

)

⇔ 2 a + b + c 3 + 3 ≥ 3.3
3

3

⇔ a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3 (đpcm)

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a2
b2
c2
a+b+c
Chứng minh bất đẳng thức sau:
+
+
≥
2b + c 2c + a 2a + b
3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a2
2b + c
a 2 2b + c 2a
+
≥2
.
=
(1) ;
2b + c
9
2b + c 9
3
b2
2c + a 2b
c2
2 a + b 2c
+
≥
(2) ;
+
≥
(3)
2c + a
9
3
2a + b
9
3
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
a2

b2
c2
3(a + b + c ) 2(a + b + c )
+
+
+
≥
2b + c 2c + a 2a + b
9
3
2
2
2
a
b
c
a+b+c
⇒
+
+
≥
(đpcm)
2b + c 2c + a 2a + b
3
Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi và kỹ thuật hạ
bậc để tìm hạng tử cho phù hợp.
Ví dụ:
Đối với bài 1 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a = b = c .
a
a

1
1
Khi đó 2 = 2 = , ta chọn
.
a
a
b
a
Đối với bài 2 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a = b = c .
a2
a2
a
2b + c
=
= , muốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để làm mất mẫu thì ta cộng thêm
.
Khi đó
2b + c 2a + a 3
9
2b + c 2a + a a
Chọn mẫu là số 9 vì
=
= .
9
9
3
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
ab
bc
ca
11 1 1
Chứng minh bất đẳng thức sau: 2
+ 2
+ 2
≥  + + 
c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) 2  a b c 
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
ab
a+b
ab
a+b 1
+
≥2 2
.
=
(1)
2
c
c (a + b ) 4ab
c (a + b ) 4ab
bc
b+c 1

ca
c+a 1
+
≥
(2) ;
+
≥
(3)
2
2
a (b + c ) 4bc a
b (c + a ) 4ca b
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
ab
bc
ca
a+b b+c c+a 1 1 1
+ 2
+ 2
+
+
+
≥ + +
2
4bc
4ca a b c
c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) 4ab
ab
bc
ca

1
1
1
1
1
1 1 1 1
⇔ 2
+ 2
+ 2
+
+
+
+
+
+
≥ + +
c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) 4b 4a 4c 4b 4a 4c a b c
ab
bc
ca
11 1 1
⇒ 2
+ 2
+ 2
≥  + +  (đpcm)
c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) 2  a b c 
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc = 1 .
a3
b3
c3

3
Chứng minh bất đẳng thức sau:
+
+
≥
(1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b ) 4
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a3
1+ b 1+ c
a3
1+ b 1+ c 3
+
+
≥ 33
.
.
= a (1) ;
8
(1 + b )(1 + c ) 8
(1 + b )(1 + c ) 8 8 4
b3
1+ c 1+ a 3
+
+
≥ b (2) ;
8
4
(1 + c )(1 + a ) 8

3
c
1+ a 1+ b 3
+
+
≥ c (3)
(1 + a )(1 + b ) 8
8
4
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
a3
b3
c3
1
3 3
+
+
+ (a + b + c ) + ≥ (a + b + c )
(1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b ) 4
4 4
a3
b3
c3
1
3 3
3 3
+
+
≥ (a + b + c ) − ≥ 3 abc − =
(1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b ) 2

4 2
4 4
(đpcm)

⇒

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3
Chứng minh bất đẳng thức sau:
+
+
≥ 2(a + b + c )
ab
bc
ca
Lời giải:
a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2
+
+
=
+
+
+
+
+
ab
bc
ca
b
a

c
b
a
c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Ta có:

a2
a2
b2
b2
+b ≥ 2
.b = 2a (1);
+ a ≥ 2b (2) ;
+ c ≥ 2b (3) ;
b
b
a
c
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

c2
c2
a2

+ b ≥ 2c (4) ;
+ a ≥ 2c (5) ;
+ c ≥ 2a (6)
b
a
c
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1) đến (6) ta được:
a 2 b2 b2 c2 c2 a2
+
+
+
+
+
+ 2(a + b + c ) ≥ 4(a + b + c )
b
a
c
b
a
c
a2 b2 b2 c2 c2 a 2
⇒
+
+
+
+
+
≥ 2(a + b + c )
b
a

c
b
a
c
a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3
+
+
≥ 2(a + b + c ) (đpcm)
⇒
ab
bc
ca
Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a 2 b2 c2 1 1 1
Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 + 3 + 3 ≥ + +
a b c
b
c
a
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a2 1 1
a2 1 1 3
b2 1 1 3
c2 1 1 3
3
+
+
≥
3

.
.
=
(1)
;
+
+
≥
(2);
+ + ≥ (3)
c3 b b c
a3 c c a
b3 a a
b3 a a b
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
a2 b2 c2
 1 1 1  1 1 1
+ 3 + 3 + 2 + +  ≥ 3 + + 
3
b
c
a
a b c a b c
2
2
2
a
b
c
1 1 1

⇒ 3 + 3 + 3 ≥ + + (đpcm)
a b c
b
c
a
Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a3 b3 c3
Chứng minh bất đẳng thức sau:
+
+
≥ a2 + b2 + c2
b
c
a
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a3 a3
a3 a3 2
+
+ b 2 ≥ 33
. .b = 3a 2 (1) ;
b
b
b b
3
3
b
b
c3 c3
+

+ c 2 ≥ 3b 2 (2) ;
+ + a 2 ≥ 3c 2 (3)
c
c
a
a
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
 a 3 b3 c3 
2 +
+  + a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 a 2 + b 2 + c 2
c
a
 b

(

⇒

) (

)

a3 b3 c3
+
+
≥ a 2 + b 2 + c 2 (đpcm)
b
c
a

Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a4
b4
c4
Chứng minh bất đẳng thức sau:
+
+
≥ a+b+c
bc 2 ca 2 ab 2
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a4
a4
4
+
b
+
c
+
c
≥
4
.b.c.c = 4a (1)
bc 2
bc 2
b4
+ c + a + a ≥ 4b (2)
ca 2
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

c4
+ a + b + b ≥ 4c (3)
ab 2
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
a4
b4
c4
+
+
+ 3(a + b + c ) ≥ 4(a + b + c )
bc 2 ca 2 ab 2
a4
b4
c4
⇒ 2 + 2 + 2 ≥ a + b + c (đpcm)
bc
ca
ab
Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2 + b 2 + c 2 = 3 .
a3
b3
c3
3
Chứng minh rằng:
+

+
≥
b+c c+a a+b 2
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a3
a (b + c )
a 3 a (b + c )
+
≥2
.
= a 2 (1) ;
b+c
4
b+c
4
b3
b(c + a )
c3
c (a + b )
2
+
≥ b (2) ;
+
≥ c 2 (3)
c+a
4
a+ b
4

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
ab + bc + ca
a3
b3
c3
+
+
+
≥ a 2 + b 2 + c 2 (1' )
b+c c+a a+b
2
Mặt khác ta có: a m + n + b m + n + c m + n ≥ a m b n + b m c n + c m a n
m = 1
ta được:
Chọn 
n
=
1


a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca
≥
(2' )
2
2
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:
a3
b3
c3

ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2
ab + bc + ca
⇒
+
+
+
+
≥ a2 + b2 + c2 +
b+c c+a a+b
2
2
2
3
3
3
2
2
2
a
b
c
a +b +c
3
⇒
+
+
≥
= (đpcm)
b+c c+a a+b
2

2
⇒

Ví dụ 12: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a5 b5 c5
Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 + 2 + 2 ≥ a 3 + b 3 + c 3
b
c
a
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a5
a5
2
+
ab
≥
2
.ab 2 = 2a 3 (1) ;
2
2
b
b
5
b
c5
2
3
+
bc

≥
2b
(2)
;
+ ca 2 ≥ 2c 3 (3)
c2
a2
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
a5 b5 c5
+ 2 + 2 + ab 2 + bc 2 + ca 2 ≥ 2 a 3 + b 3 + c 3 (1' )
2
b
c
a
Mặt khác ta có: a m + n + b m + n + c m + n ≥ a m b n + b m c n + c m a n

(

)

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

m = 1
ta được:
Chọn 

n = 2
a 3 + b 3 + c 3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2 (2' )
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:
a5 b5 c5
+ 2 + 2 + ab 2 + bc 2 + ca 2 + a 3 + b 3 + c 3 ≥ 2 a 3 + b 3 + c 3 + ab 2 + bc 2 + ca 2
2
b
c
a
5
5
a
b
c5
⇒ 2 + 2 + 2 ≥ a 3 + b 3 + c 3 (đpcm)
b
c
a

(

)

Ví dụ 13: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a3
b3
c3
1
+
+

≥ a2 + b2 + c2
Chứng minh bất đẳng thức sau:
a + 2b b + 2c c + 2a 3
Lời giải:

(

)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a3
a (a + 2b )
a 3 a (a + 2b ) 2 2
+
≥2
.
= a (1) ;
a + 2b
9
a + 2b
9
3
3
3
b
c
b(b + 2c ) 2 2
c(c + 2b ) 2 2
+

≥ b (2) ;
+
≥ c (3)
b + 2c
9
3
c + 2b
9
3
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
a3
b3
c3
1
2
2
+
+
+ a 2 + b 2 + c 2 + (ab + bc + ca ) ≥ a 2 + b 2 + c 2
a + 2b b + 2c c + 2a 9
9
3
3
3
3
a
b
c
2
5

+ (ab + bc + ca ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 (1' )
⇔
+
+
a + 2b b + 2c c + 2a 9
9
Mặt khác ta có: a m + n + b m + n + c m + n ≥ a m b n + b m c n + c m a n
m = 1
Chọn 
ta được:
n = 1

(

)

(

(

)

)

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
2
2
⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≥ (ab + bc + ca ) (2' )
9
9

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:
a3
b3
c3
2
2
5
2
+
+
+ (ab + bc + ca ) + a 2 + b 2 + c 2 ≥ a 2 + b 2 + c 2 + (ab + bc + ca )
a + 2b b + 2c c + 2a 9
9
9
9
3
3
3
a
b
c
1
⇒
+
+
≥ a 2 + b 2 + c 2 (đpcm)
a + 2b b + 2c c + 2a 3

(

)

(

(

)

(

)

)

Ví dụ 14: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
b+c c+a a+b 2 2 2
Chứng minh bất đẳng thức sau:
+ 2 + 2 ≥ + +
a b c
a2
b
c
Lời giải:

b+c
4
b+c 4
4
+
≥2

=
.
(1) ;
2
2
b+c
a
a b+c a
c+a
4
4
a+b
4
4
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
+
≥
(2) ;
+
≥
(3)
2
2
c+a b
a+b c
b
c
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
b+c c+a a+b
4

4
4
4 4 4
+ 2 + 2 +
+
+
≥ + +
(1' )
2
a+b b+c c+a a b c
a
b
c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1 1
1 1
4
4
+ ≥2 . =
≥
(2' ) ;
a b

a b 2 ab a + b
1 1
4
1 1
4
+ ≥
(3' ) ;
+ ≥
(4' )
b c b+c
c a c+a
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’), (2’), (3’) và (4’) ta được:
b+c c+a a+b
4
4
4
2 2 2 4 4 4
4
4
4
+ 2 + 2 +
+
+
+ + + ≥ + + +
+
+
2
a+b b+c c+a a b c a b c a+b b+c c+a
a
b

c
b+c c+a a+b 2 2 2
⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + + (đpcm)
a b c
a
b
c
Mà ta có:

Ví dụ 15: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a 2 b 2 4c 2
Chứng minh bất đẳng thức sau:
+
+
≥ a + 3b
b
c
a
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a2
a2
b2
4c 2
+b ≥ 2
.b = 2a (1);
+ 4c ≥ 4b (2) ;
+ a ≥ 4c (3)
b
b

c
a
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
a 2 b 2 4c 2
+
+
+ a + b + 4c ≥ 2a + 4b + 4c
b
c
a
a 2 b 2 4c 2
⇒
+
+
≥ a + 3b (đpcm)
b
c
a
Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi a = b = 2c
Ví dụ 16: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a2
b2
16c 2 1
Chứng minh bất đẳng thức sau:
+
+
≥ (64c − a − b )
b+c c+a a+b 9
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a2
4(b + c ) 4a
b2
4(c + a ) 4b
16c 2
+
≥
(1);
+
≥
(2) ;
+ (a + b ) ≥ 8c (3)
b+c
9
3
c+a
9
3
a+b
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
a2
b2
16c 2 13
8
4
+
+
+ (a + b ) + c ≥ (a + b ) + 8c
b+c c+a a+b 9
9

3
2
2
2
a
b
16c
1
⇒
+
+
≥ (64c − a − b ) (đpcm)
b+c c+a a+b 9

Ví dụ 17: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a
b
c 1 1 1
Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 + 2 + 2 ≥ + +
b
c
a
a b c
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a 1
a 1 2
b 1 2
c 1 2
+ ≥ 2 2 . = (1) ;

+ ≥
(2);
+ ≥ (3)
2
2
b
a
b a b
c
b c
a2 c a
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
a
b
c 1 1 1 2 2 2
+ 2 + 2 + + + ≥ + +
2
a b c a b c
b
c
a
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a b
c 1 1 1

+ 2 + 2 ≥ + + (đpcm)
2
b
c
a
a b c
3
Ví dụ 18: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a + b 3 + c 3 = 3 . CMR: a 5 + b 5 + c 5 ≥ 3
Lời giải:
⇒

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số: 3 số a 5 và 2 số 1, ta có: 3a 5 + 2 ≥ 55 a 15 1.1 = 5a 3 (1)
Tương tự: 3b 5 + 2 ≥ 5b 3 (2) ;
3c 5 + 2 ≥ 5c 3 (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
3 ( a 5 + b5 + c 5 ) + 6 ≥ 5 ( a 3 + b3 + c 3 ) ⇔ 3 ( a 5 + b5 + c5 ) + 6 ≥ 5.3 ⇔ a 5 + b 5 + c 5 ≥ 3 (đpcm)

Ví dụ 19: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 3 b 3 + b 3 c 3 + c 3 a 3 = 3 . CMR: a 7 + b 7 + c 7 ≥ 3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số: 3 số a 7 , 3 số b 7 và số 1, ta có:

3a 7 + 3b 7 + 1 ≥ 77 a 21 .b 211 = 7a 3b 3 (1)
Tương tự: 3b 7 + 3c 7 + 1 ≥ 7b 3 c 3 (2) ; 3c 7 + 3a 7 + 1 ≥ 7c 3 a 3 (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
6 ( a 7 + b 7 + c 7 ) + 3 ≥ 7 ( a 3b3 + b3c3 + c3 a 3 ) ⇔ 6 ( a 7 + b 7 + c 7 ) + 3 ≥ 7.3 ⇔ a 7 + b 7 + c 7 ≥ 3 (đpcm)
Ví dụ 20: [ĐVH]. Cho 2 số thực dương a, b. CMR: a 2 + b 2 + 4 ≥ 2a + 2b + ab
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

a 2 + 4 ≥ 2 a 2 .4 = 4 a (1); b 2 + 4 ≥ 4b (2) ; a 2 + b 2 ≥ 2ab (3)

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 2a 2 + 2b 2 + 8 ≥ 4a + 4b + 2ab
⇔ a 2 + b 2 + 4 ≥ 2a + 2b + ab (đpcm)
Ví dụ 21: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. CMR: a 3 + b 3 + c 3 ≥ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: 4 số a 3 ,1 số b 3 và 1 số c 3 ta có:

4a 3 + b 3 + c 3 ≥ 66 a 12 .b 3 .c 3 = 6a 2 bc (1)
Tương tự: 4b 3 + c 3 + a 3 ≥ 6b 2 ca (2) ;
4c 3 + a 3 + b 3 ≥ 6c 2 ab (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
6(a 3 + b 3 + c 3 ) ≥ 6 a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab

(

⇔ a +b +c ≥ a
3

3

3

2

bc + b

)

2

ca + c

2

ab (đpcm)

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!