Luận án tiến sĩ nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGƠ Q ĐĂNG

NGHIỆM TUẦN HỒN
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGƠ Q ĐĂNG

NGHIỆM TUẦN HỒN
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TSKH. NGUYỄN THIỆU HUY

Hà Nội - 2017

MỤC LỤC
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

MỞ ĐẦU

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

1.2

12

Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và nhị phân mũ . . . . 12
1.1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.2

Tính ổn định và nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . 14

Không gian hàm Banach chấp nhận được và không gian giảm
nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được . . . . . . . . 16

1.2.2

Không gian giảm nhớ (fading memory space) . . . . . . 19

1.2.3

Bất đẳng thức nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3

Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4

Đa tạp ổn định địa phương đối với phương trình tiến hóa nửa
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chương 2. SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CĨ ĐIỀU KIỆN
CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA

28

NỬA TUYẾN TÍNH

2.1

Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa tuyến tính . . . 28

2.2

Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . 35

2.3

Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn trong trường hợp họ
tiến hóa có nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4

Ổn định có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
i


Chương 3. NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH NỬA TUYẾN
51

TÍNH VỚI PHẦN PHI TUYẾN ϕ-LIPSCHITZ

3.1

Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . 51

3.2

Phương trình tiến hóa với họ tiến hóa có nhị phân mũ

3.3

Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương . . . . . . 58

. . . . 55

Chương 4. NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
69

CĨ TRỄ

4.1

Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hồn của phương trình có
trễ hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2

Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương . . . . . . 73

4.3

Trường hợp phương trình có trễ vơ hạn: Sự tồn tại duy nhất
nghiệm tuần hoàn

4.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương đối với
phương trình có trễ vơ hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . 113

ii


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi, hồn thành dưới
sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy. Tất cả các kết quả được
trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai cơng
bố trong bất kỳ cơng trình nào.
Hà Nội, ngày 06 tháng 9 năm 2017
Người hướng dẫn khoa học

Tác giả

PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy

1

Ngô Quý Đăng


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH.
Nguyễn Thiệu Huy-người thầy vô cùng mẫu mực đã tận tình giúp đỡ tơi trên
con đường khoa học. Thầy đã chỉ bảo tôi trong suốt q trình nghiên cứu,
giúp tơi tiếp cận một lĩnh vực tốn học đầy thú vị và ln tạo ra những thử
thách giúp tơi tự học hỏi, tìm tịi, sáng tạo. Đó là những gì tơi may mắn được
tiếp nhận từ người thầy đáng kính của mình. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô và các bạn trong xemina
Dáng điệu tiệm cận nghiệm thuộc Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học
Bách khoa Hà Nội do PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy chủ trì. Đây là môi
trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này.
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Viện Đào tạo
Sau đại học, Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách
khoa Hà Nội, đặc biệt là các thầy, cơ giáo trong Bộ mơn Tốn cơ bản, Viện
Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động
viện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.
Tác giả xin cũng bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Lãnh đạo và
các đồng nghiệp trong Khoa GD Tiểu học, Phịng Khảo thí và Đảm bảo chất
lượng, Khoa Tự nhiên Trường CĐSP Thái Bình đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người ln u
thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.
Tác giả

2


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

N

: tập các số tự nhiên.

R

: tập các số thực.

R+

: tập các số thực không âm.

R−

: tập các số thực không dương.

C

: tập các số phức.

Lp (R)

:=

u:R→R u

p

|u(x)|p dx)1/p < +∞ , 1 ≤ p < ∞.

=(
R

L∞ (R)

:= u : R → R u

∞

= ess sup |u(x)| < +∞ .
x∈R

L1,loc (R)

:= u : R → R u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R ,
trong đó ω ⊂⊂ R nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R.

X, Y

: không gian Banach.

L(X), L(C, X) : không gian các tốn tử tuyến tính bị chặn.


t+1



M
:= ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sup |ϕ(τ )|dτ < ∞ ,


t≥0
t

t+1

với chuẩn ϕ

M

|ϕ(τ )|dτ.

:= sup
t≥0
t

P

:= ϕ ∈ M ϕ tuần hoàn với chu kì 1 .

E

: khơng gian hàm Banach chấp nhận được trên R+ .

M

:= f : R+ → X f (·) ∈ M

3

với chuẩn f

M

:=

f (·)

M.


C

:= C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], r > 0,
nhận giá trị trong X với chuẩn u

C

= sup

u(t) .

t∈[−r,0]

C R−

:= C(R− , X) không gian các hàm liên tục trên R− ,
nhận giá trị trong X với chuẩn u

Cν

Cb (R+ , X)

CR−

= sup u(t) .
t∈R−

φ(s)
= 0, ν > 0 ,
s→−∞ e−νs
φ(s)
với chuẩn u ν = sup −νs .
s∈R− e

:= φ ∈ CR−

lim

:= v : R+ → X | v liên tục và sup v(t) < ∞ ,
t∈R+

với chuẩn v
Cb (R, X)

Cb (R+ ,X)

:= sup v(t) .
t∈R+

:= v : R → X | v liên tục và sup v(t) < ∞
t∈R

với chuẩn v

Cb (R,X)

:= sup v(t) .
t∈R

Cb ([−r, ∞), X) := v : [−r, ∞) → X | v liên tục và

sup
t∈[−r,∞)

với chuẩn v

Cb

:= sup
t∈[−r,∞)

4

v(t) .

v(t) < ∞, r > 0


MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng
điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân là tìm điều kiện tồn tại
nghiệm tuần hoàn (trong trường hợp phần phi tuyến là hàm tuần hoàn theo
thời gian). Bên cạnh một số phương pháp chứng minh tồn tại nghiệm tuần
hoàn mà hầu như chỉ thích hợp cho các phương trình cụ thể như phương pháp
điểm cố định của Tikhonov (xem [21]) hoặc phương pháp hàm Lyapunov (xem
[57]), cịn có các phương pháp phổ biến chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần
hồn là xét tính bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré
thông qua một số phép nhúng compact (xem [10, 20, 21, 22, 56, 57] và các tài
liệu tham khảo trong đó). Mặc dù vậy, trong một số ứng dụng cụ thể, chẳng
hạn như phương trình vi phân đạo hàm riêng trong các miền khơng bị chặn
hoặc phương trình vi phân có nghiệm khơng bị chặn, việc sử dụng các phép
nhúng compact hoặc các phương pháp trên tìm ra nghiệm bị chặn là khó khăn
và khơng đúng nữa. Để khắc phục được khó khăn này, năm 2014, N.T.Huy
(xem [42]) đã sử dụng phương pháp Ergodic được Zubelevich mở rộng (xem
[51]) vào năm 2006 từ mối liên hệ giữa nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hồn
của phương trình vi phân thường được Massera (xem [16]) nghiên cứu vào
năm 1950 chỉ ra nghiệm tuần hồn của phương trình Navier-Stokes. Tuy
nhiên, sử dụng phương pháp Ergodic chỉ ra tính tồn tại và duy nhất nghiệm
du
= A(t)u + f (t), t ∈ R+
tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính
dt

với tốn tử tuyến tính A(t) (có thể khơng bị chặn) sinh ra họ tiến hóa và
trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần
được nghiên cứu.
Một vấn đề quan trọng khác khi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận nghiệm
5


cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà tốn học đó là nghiên cứu về
tồn tại đa tạp tích phân. Nghiên cứu này mang lại cho chúng ta bức tranh
hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu
phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác
định. Mặt khác nó cịn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm
của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn
giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm
của phương trình đang xét. Những kết quả đầu tiên nghiên cứu về sự tồn tại
đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường được Hadamard (xem
[13]), Perron (xem [49, 50]) đưa ra. Sau đó, Daleckii và Krein (xem [27]) đã
mở rộng các kết quả đó cho phương trình vi phân trong khơng gian Banach....
Năm 2009, N.T. Huy cùng một số cộng sự đã sử dụng không gian hàm chấp
nhận được, định lý hàm ẩn,... xây dựng đa tạp ổn định địa phương, đa tạp
ổn định bất biến mà không cần dùng điều kiện hằng số Lipschitz đủ nhỏ của
toán tử phi tuyến theo nghĩa cổ điển (xem [40]). Cụ thể các tác giả đã xét
điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp
ổn định bất biến (xem [35]), ở đó hệ số Lipschitz của phần phi tuyến là hàm
phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận được.
Việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã mang đến một số
kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian
gần đây (xem [4, 28, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45]). Tuy nhiên,
các nghiên cứu này mới xét cho trường hợp xung quanh quỹ đạo cân bằng,
một số dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng khơng trễ hoặc có trễ hữu

hạn.
Từ những phân tích ở trên, trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương
pháp Ergodic để nghiên cứu và chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần
hồn của phương trình tiến hóa tuyến tính; sau đó, áp dụng kết quả này kết
hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức nón
chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, ổn định có điều kiện

6


của nghiệm tuần hoàn, đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần
hồn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.
Chúng tơi xin trình bày cụ thể như sau: Trước tiên, xét phương trình
tuyến tính
du
= A(t)u + f (t), t ≥ 0,
(1)
dt
trong đó với mỗi t ∈ R+ , A(t) là tốn tử có thể khơng bị chặn trên không
gian Banach X sao cho họ (A(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 tuần
hồn trên X, f (t) là hàm tuần hoàn theo t lấy giá trị trong X. Chúng tôi
sử dụng phương pháp Ergodic để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hồn
thơng qua sự tồn tại nghiệm bị chặn mà chuẩn sup của nó có thể được đánh
giá bởi chuẩn sup của các hàm đầu vào f . Lưu ý rằng [51] là cơng trình đầu
tiên được O. Zubelevich sử dụng phương pháp này cho nghiên cứu nghiệm
tuần hồn.
Tiếp theo, chúng tơi sử dụng ngun lý điểm bất động kết hợp với kết
quả tồn tại nghiệm tuần hồn của phương trình (1) để chứng minh tính tồn
tại duy nhất nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
trừu tượng với các dạng sau:

•

du
= A(t)u(t) + G(t, u(t)), t ≥ 0,
(2)
dt
trong đó G(t, x) là hàm tuần hoàn theo t với mỗi x cố định và là toán
tử Lipschitz hoặc ϕ-Lipschitz địa phương theo x, với ϕ thuộc lớp khơng
gian hàm chấp nhận được.

•

du
= A(t)u(t) + G(t, ut ), t ≥ 0,
(3)
dt
trong đó G(t, ut ) là hàm phi tuyến tuần hoàn theo t xác định trên không
gian Banach C hoặc Cν , thỏa mãn điêu kiện ϕ-Lipschitz địa phương, với
ϕ thuộc lớp không gian hàm chấp nhận được.
7


Sau đó, trong trường hợp tốn tử tuyến tính (A(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa
U (t, s) có nhị phân mũ, chúng tôi sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và
đặc trưng của nhị phân mũ (xem [34]) đối với phương trình tiến hóa để xây
dựng cấu trúc nghiệm theo nghĩa đủ tốt. Từ đó chỉ ra tính tồn tại duy nhất
nghiệm đủ tốt tuần hồn của các phương trình trên. Cũng trong trường hợp
này, chúng tôi áp dụng một số nguyên lí cơ bản trong giải tích tốn học như
ngun lí ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, Bất đẳng thức nón,... để chứng
minh sự ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hồn.

Cuối cùng, chúng tơi nghiên cứu sự tồn tại đa tạp ổn định địa phương
xung quanh nghiệm tuần hồn đối với các phương trình (2) và (3).
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
* Mục đích nghiên cứu của Luận án:
Luận án nhằm:
- Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của các phương
trình vi phân.
- Nghiên cứu một số tính chất định tính đối với các nghiệm khác xung
quanh nghiệm tuần hồn của các phương trình vi phân.
- Xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn
của các phương trình vi phân.
* Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:
Các phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Tính chất nghiệm tuần hồn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các
phương trình trên.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp lý thuyết đặt chỉnh của các phương trình khơng ô-tô-nôm
và khái niệm nghiệm đủ tốt để xây dựng các họ tiến hóa biểu diễn nghiệm
của phương trình vi phân...
- Phương pháp trung bình ergodic, phương pháp sử dụng tơpơ *-yếu và
8


Định lý Banach-Alaoglu, Nguyên lý điểm bất động.
- Sử dụng lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được để xây dựng đa
tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn cho phương trình tiến
hóa nửa tuyến tính, phương trình vi phân hàm có trễ hữu hạn hoặc vơ hạn.
4. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Đây là hướng nghiên cứu mới, nó đã góp phần làm phong phú thêm

về lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,...
Các kết quả và ý tưởng của luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu
dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình vi phân, phương trình
đạo hàm riêng.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương:
• Chương 1: Chúng tơi trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Trước tiên
là khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nửa
nhóm. Tiếp theo là khái niệm về họ tiến hóa và một số tính chất của
nó. Sau đó là khơng gian hàm Banach chấp nhận được (xem [35, 40]),
không gian giảm nhớ (Fading memory spaces (xem [9, 10, 14, 58])).
Cuối cùng là tính nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của
phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (xem [34, 35, 37]).
• Chương 2: Chúng tơi nghiên cứu tồn tại duy nhất nghiệm tuần hồn
của phương trình tiến hóa tuyến tính khơng thuần nhất có dạng
du
= A(t)u(t) + f (t), t ∈ R+
dt

(4)

và tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa
tuyến tính có dạng
du
= A(t)u(t) + g(u)(t), t ∈ R+
dt
9

(5)

Ở đây, tốn tử tuyến tính A(t) có thể khơng bị chặn sinh ra họ tiến hóa
(U (t, s))t≥s≥0 trên khơng gian Banach X; tốn tử f lấy giá trị trong
khơng gian Banach và tốn tử Nemytskii g(u)(t) là hàm tuần hồn với
chu kì T thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương. Trong trường hợp
A(t) sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ, chúng tơi xây
dựng cơng thức nghiệm bị chặn Lyapunov-Perron. Từ đó nghiên cứu
tính tồn tại duy nhất và ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn của
phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (5).
• Chương 3: Trong chương này, chúng tơi chứng minh sự tồn tại duy
nhất nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng
du
= A(t)u(t) + g(t, u(t)), t ∈ R+
dt

(6)

trong đó, hàm g(t, u) tuần hồn theo t với chu kì 11 , thỏa mãn điều
kiện ϕ-Lipschitz địa phương, ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được.
Chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất, ổn định có điều kiện của
nghiệm tuần hồn và tồn tại đa tạp ổn định địa phương xung quanh
nghiệm tuần hoàn của phương trình (6) trong trường hợp A(t) sinh ra
họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ.
• Chương 4: Đầu tiên chúng tơi xét phương trình vi phân hàm có trễ
du
= A(t)u + F (t)(ut ) + g(t, ut ),
dt

t ∈ R+ ,

(7)

trong đó, F (t) ∈ L(C, X) với C := C([−r, 0], X); g : R+ × C → X liên
tục ϕ-Lipschitz địa phương; ut là hàm lịch sử thỏa mãn ut (θ) = u(t + θ)
với θ ∈ [−r, 0].
Tiếp theo chúng tơi xét phương trình vi phân hàm có trễ với khơng
gian pha là khơng gian giảm nhớ (fading memory space)
du
= A(t)u + g(t, ut ),
dt
1

t ∈ R+ ,

Để tiện cho việc tính tốn, trong chương 3 và 4 chúng tơi sử dụng chu kì 1

10

(8)


trong đó, g : R+ × Cν → X liên tục ϕ-Lipschitz địa phương với
Cν := {φ : φ ∈ CR− = C((−∞, 0], X) và lim eνs φ(s) = 0, ν > 0};
s→−∞

ut là hàm lịch sử thỏa mãn ut (θ) = u(t + θ) với θ ∈ (−∞, 0]. Với các
phương trình trên chúng tơi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm
tuần hoàn và trong trường hợp họ tiến hóa tuần hồn có nhị phân mũ
chúng tơi chứng minh tính ổn định có điều kiện, tồn tại đa tạp ổn định

địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn.
Nội dung chính của luận án dựa vào bốn bài báo được liệt kê ở
"Danh mục cơng trình đã cơng bố của luận án", trong đó các bài
[1],[3] được đăng trên tạp chí thuộc nhóm (SCI), bài [2] đăng trên tạp
chí thuộc nhóm (SCIE) (thuộc tạp chí Quốc tế chun nghành trong
danh mục ISI) và bài báo [4] đã gửi. Các kết quả này đã được báo cáo
tại:
– Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên, tổ chức tại Quy
Nhơn Bình Định, tháng 8 năm 2015.
– Hội nghị Phương trình tiến hóa, tổ chức tại Viện Nghiên cứu Cao
cấp về Toán (VIASM), tháng 10 năm 2015.
– Hội nghị Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa và
ứng dụng, tổ chức tại Trường Đại học Hải Phòng, tháng 11 năm
2016.
– Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, tổ chức tại Viện Toán ứng
dụng và Tin học – Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 11
năm 2016.
– Seminar "Phương pháp định tính và xấp xỉ đối với phương trình
tiến hóa" ,Viện nghiên cứu cao cấp về Tốn (VIASM).
– Seminar "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân
và ứng dụng", Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
11


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm và tính chất của
nửa nhóm liên tục mạnh, họ tiến hóa, khơng gian hàm Banach chấp nhận
được trên nửa đường thẳng R+ , không gian giảm nhớ (fading memory space),
tính nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định địa phương của phương

trình tiến hóa nửa tuyến tính.

1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và
nhị phân mũ

1.1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian Banach X, họ (T (t))t≥0 ⊂ L(X) gọi là
một nửa nhóm liên tục mạnh nếu:
(i) T (t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ 0.
(ii) T (0) = I toán tử đồng nhất.
(iii) lim+ T (t)x = T (0)x, ∀x ∈ X.
t→0

Định nghĩa 1.1.2. Toán tử A : D(A) ⊆ X → X xác định bởi
1
Ax := lim+ (T (h)x − x)
h→0 h
trên miền xác định D(A) =

x ∈ X : lim+ h1 (T (h)x − x) tồn tại
h→0

gọi là toán

tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên khơng gian Banach X.

12


Định lý 1.1.3. Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0
ta có:
(i) A : D(A) ⊂ X → X là tốn tử tuyến tính;
(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A)
và

d
dt T (t)x

= T (t)Ax = AT (t)x, ∀t ≥ 0;
t

T (s)xds ∈ D(A);

(iii) ∀t ≥ 0, x ∈ X ta có
0

(iv) ∀t ≥ 0 ta có
t

T (t)x − x = A

T (s)xds nếu x ∈ X
0

t

T (s)Axds nếu x ∈ D(A).

=
0

Định nghĩa 1.1.4. Cho (A, D(A)) là tốn tử đóng trong khơng gian Banach
X. Tập các giá trị chính quy (tập giải) của A là
ρ(A) = λ ∈ C | (λI − A) là song ánh

.

Khi đó
R(λ, A) := (λI − A)−1 , λ ∈ ρ(A) là giải thức của A,
σ(A) := C \ ρ(A) gọi là tập phổ của A.
Định lý 1.1.5. Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian
Banach X, lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho T (t) ≤ M eωt , ∀t ≥ 0. Khi đó
với tốn tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0 ta có các tính chất sau:
∞

(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x :=

e−λs T (t)xds tồn tại, ∀x ∈ X thì

0

λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).
13


(ii) Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).

(iii) R(λ, A) ≤

M
Reλ−ω , ∀Reλ

> ω.
+∞

Chú ý rằng, công thức R(λ, A)x =

e−λs T (s)xds gọi là biểu diễn tích

0

phân của giải thức. Tích phân ở đây là tích phân Riemann suy rộng
+∞

t

e−λs T (s)xds = lim

e−λs T (s)xds.

t→+∞

0

1.1.2

0

Tính ổn định và nhị phân mũ

Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về ổn định mũ, nhị
phân mũ của nửa nhóm liên tục mạnh, đặc trưng phổ cho tính ổn định và
nhị phân của nửa nhóm (xem[29, 30]).
Trước hết là khái niệm ổn định mũ đều:
Định nghĩa 1.1.6. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh
(A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại > 0 sao cho
lim e t T (t) = 0.

t→∞

Tiếp theo là khái niệm nhị phân mũ của nửa nhóm.
Định nghĩa 1.1.7. Nửa nhóm (T (t))t≥0 trên khơng gian Banach X được gọi
là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổng trực tiếp
X = Xs ⊕ Xu , các khơng gian con đóng Xs , Xu bất biến đối với (T (t))t≥0
sao cho hạn chế của (Ts (t))t≥0 trên Xs , và (Tu (t))t≥0 trên Xu thỏa mãn các
điều kiện:
(i) Nửa nhóm (Ts (t))t≥0 là ổn định mũ đều trên Xs ;
(ii) Nửa nhóm (Tu (t))t≥0 có nghịch đảo trên Xu và (Tu (t)−1 )t≥0 ổn định mũ
đều trên Xu .
14


Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và nhị phân mũ
của nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ của tốn tử đóng và cận tăng
của nửa nhóm được xác định trong các định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.1.8. Cho A : D(A) ⊂ X → X là tốn tử đóng trên khơng
gian Banach X. Khi đó

s(A) := sup{Reλ : λ ∈ σ(A)}
được gọi là cận phổ của A.
Định nghĩa 1.1.9. Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 với tốn tử
sinh (A, D(A)). Khi đó, số thực
ω0 := ω0 (T ) := ω0 (A)
:= inf ω ∈ R : ∃M > 1 sao cho T (t) ≤ M eωt , ∀t ≥ 0
được gọi là cận tăng của T .
Chú ý 1.1.10. Nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi ω0 (A) < 0.
Tuy nhiên, ta muốn đặc trưng tính ổn định mũ theo phổ của tốn tử sinh
vì trong thực tế nửa nhóm rất khó xác định tường minh, cịn tốn tử sinh có
thể xác định cụ thể. Để làm điều đó ta cần đến khái niệm "Định lý Ánh xạ
phổ (Spectral Mapping Theorem - SMT)" sau đây.
Định nghĩa 1.1.11. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh
(A, D(A)) được gọi là thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ (SMT) nếu:
σ(T (t))\{0} = etσ(A) với t ≥ 0.

(SMT)

Lưu ý: trong trường hợp tổng qt điều kiện s(A) < 0 khơng kéo theo
tính ổn định mũ của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 sinh bởi A (chẳng
15


hạn xem [24, Ví dụ 1.2.4]). Tuy nhiên, nếu (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh
xạ phổ thì ta có đặc trưng sau:
(T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi s(A) < 0.
Để đặc trưng cho tính nhị phân mũ ta có định lý sau đây (xem [30]).
Định lý 1.1.12. Đối với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , các mệnh đề
sau là tương đương:
(i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ;

(ii) σ(T (t)) ∩ D = ∅ với một/ mọi t > 0, trong đó D là đường tròn đơn vị.
Trường hợp (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ (SMT) và A là toán tử
sinh của nó, thì ta có các mệnh đề trên tương đương với
(iii) σ(A) ∩ iR = ∅.
Trong định lý trên, lưu ý rằng giả thiết (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh
xạ phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là: σ(A) và σ(T (t)) thỏa mãn
σ(T (t)) ⊂ D.etσ(A) := {z.etλ : λ ∈ σ(A), |z| = 1}, ∀t ≥ 0.

1.2

Không gian hàm Banach chấp nhận được
và không gian giảm nhớ

1.2.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian hàm
chấp nhận được (xem [34]).
Định nghĩa 1.2.1. Một không gian vector E gồm các hàm thực đo được
Borel trên R+ được gọi là không gian hàm Banach trên (R+ , B, λ), trong đó
B là đại số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R+ , nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau:
16


(1) E là dàn Banach với chuẩn ·

E,

tức là, (E, ·

E)

là không gian Banach,

nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được Borel sao cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)|, λ-hầu
khắp nơi thì ψ ∈ E, ψ

E

≤ ϕ

E;

(2) hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và
supt≥0 χ[t,t+1]

E

< ∞, inf t≥0 χ[t,t+1]

E

> 0;

(3) E → L1,loc (R+ ), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R+ tồn tại βJ > 0 sao
|f (t)|dt ≤ βJ f

cho

E

với mọi f ∈ E.

J

Định nghĩa 1.2.2. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được
nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho mọi [a, b] ⊂ R+ và mọi ϕ ∈ E ta có
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

E.

t+1

(ii) E là bất biến với toán tử Λ1 , trong đó Λ1 ϕ(t) =

ϕ(τ )dτ .
t

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+ , với
Tτ+ ϕ(t) =

ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0
nếu 0 ≤ t < τ

0

Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0.
Hơn nữa tồn tại N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+

E

≤ N1 , Tτ−

E

≤ N2 với mọi

τ ∈ R+ .
Ví dụ 1.2.3. Khơng gian Lp (R+ ), 1 ≤ p ≤ ∞, và không gian


t+1


M := f ∈ L1, loc (R+ ) : sup |f (τ )|dτ < ∞


t≥0
t

17

(1.1)


t+1

với chuẩn f

M

|f (τ )|dτ là các không gian hàm Banach chấp

:= supt≥0
t

nhận được. Ngồi ra, một số các khơng gian hàm trong lý thuyết nội suy như
là không gian Lorentz Lp, q , 1 < p < ∞, 1 < q < ∞ cũng là không gian hàm
Banach chấp nhận được.
Chú ý 1.2.4. Nếu E là không gian hàm Banach chấp nhận được thì E → M.
Dưới đây là một số tính chất của khơng gian hàm Banach chấp nhận được.
Mệnh đề 1.2.5. (xem [34]) Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận
được. Ta có các khẳng định sau:
(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác
định Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau:
t

e−σ(t−s) ϕ(s)ds,

Λσ ϕ(t) =

0

∞

e−σ(s−t) ϕ(s)ds.

Λσ ϕ(t) =
t

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M (điều này được thoả mãn
nếu ϕ ∈ E (xem Chú ý 1.2.4) thì Λσ ϕ và Λσ ϕ bị chặn và ta có đánh giá
Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 T1+ ϕ
−σ
1−e

∞,

Λσ ϕ

∞

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞

(1.2)

trong đó Λ1 , T1+ và N1 , N2 được xác định trong Định nghĩa 1.2.2.
(b) Với mọi α > 0, e−αt ∈ E.
(c) Với mọi b > 0, ebt ∈
/ E.
Trong không gian M xác đinh như (1.1) xét tập các hàm tuần hồn với
chu kì 1 như sau
P := f ∈ M : f tuần hồn với chu kì 1 .
18

(1.3)


Khi đó, với mỗi hàm dương ϕ thuộc P. Thì, với 0 ≤ t ≤ 1 chúng ta có
t+1

(Λ1 T1+ ϕ)(t) =

t+1

(T1+ ϕ)(τ )dτ =

(T1+ ϕ)(τ )dτ

t
t+1

1
t+1

ϕ(τ − 1)dτ =

=

ϕ(τ )dτ

1
t+1

≤

1

ϕ(τ )dτ = (Λ1 ϕ)(t),
t

Mặt khác, với t > 1 chúng ta có
t+1

(Λ1 T1+ ϕ)(t) =

t+1

(T1+ ϕ)(τ )dτ =
t
t+1

ϕ(τ − 1)dτ
t

ϕ(τ )dτ = (Λ1 ϕ)(t).

=
t

Do đó, (Λ1 T1+ ϕ)(t) ≤ (Λ1 ϕ)(t) với mọi t ∈ R+ . Vậy, từ (1.2) chúng ta có
Λσ ϕ

∞

≤

N1
ϕ
1 − e−σ

M

và Λσ ϕ

∞

≤

N2
ϕ
1 − e−σ

M

(1.4)

với mọi hàm dương ϕ ∈ P.
Không gian
M := {f : R+ → X | f (·) ∈ M}
với chuẩn f

1.2.2

M

:=

f (·)

M.

(1.5)

Dễ thấy rằng M là không gian Banach.

Không gian giảm nhớ (fading memory space)

Định nghĩa 1.2.6. Cho X là không gian Banach. Không gian giảm nhớ là
không gian Banach (Γ; ·

Γ)

gồm tập các hàm từ (−∞, 0] vào X thỏa mãn

các tiên đề sau (xem [9, 10, 14, 58]):
19


A1) Tồn tại hằng số dương H, các hàm liên tục không âm bị chặn địa
phương K(·) và M (·) trên [0, ∞) và hàm u : (−∞, a) → X liên tục
thỏa mãn σ < a, uσ ∈ Γ. Khi đó, với mọi t ∈ [σ, a) ta có
(i) ut ∈ Γ,
·

(ii) ut liên tục theo t (đối với chuẩn
(iii) H u(t) ≤ ut

Γ

Γ ),

≤ K(t − σ) supσ≤s≤t u(s) + M (t − σ) uσ

Γ.

A2) Nếu {φk }, φk ∈ Γ, hội tụ đều đến hàm φ trên tập compact thuộc
(−∞, 0], {φk } là dãy Cauchy trong Γ, thì φ ∈ Γ và φk → φ trong Γ,

khi k → ∞.
Ví dụ 1.2.7. (xem [10, Chương 5]) Với hàm h : (−∞, 0] → (0, ∞), cho
Ch := φ : φ ∈ CR− và lim

s→−∞

với chuẩn
φ

h

:=

sup
−∞
φ(s)
=0
h(s)

φ(s)
.
h(s)

Trong trường hợp đặc biệt h(s) = e−νs , chúng ta có ví dụ sau.
Ví dụ 1.2.8. Khơng gian
Cν := φ : φ ∈ CR− và lim

s→−∞

φ(s)
= 0 , trong đó ν > 0
e−νs

với chuẩn
φ

ν

:=

sup
−∞
φ(s)
e−νs

thỏa mãn các tiên đề trên với K(t) = 1, M (t) = e−νt , t ≥ 0. Vậy Cν là không
gian giảm nhớ.
Chú ý 1.2.9. Xét x(·) là hàm xác định và liên tục trên R lấy giá trị trong X
sao cho x(·)|R+ ∈ Cb (R+ , X) và xt ∈ Cν với mọi t ≥ 0. Khi đó, ta có
20


xt

ν

= sup eνθ x(t + θ) = e−νt sup eνθ x(θ)
θ≤0

θ≤t

= e−νt max sup eνθ x(θ) , sup eνθ x(θ)
θ≤0

0≤θ≤t

= max e−νt x0 ν , sup e−ν(t−θ) x(θ)
0≤θ≤t

≤ max e−νt x0 ν , sup x(θ)
0≤θ≤t

≤ e−νt x0

ν

+ sup x(θ) với mọi t ≥ 0.
0≤θ≤t

Trong trường hợp x(·) là hàm tuần hồn chu kỳ 1, ta có
x0

ν

= sup
θ≤0

x(θ)

≤ sup x(s) = sup x(s) = sup x(s) .
e−νθ
0≤s≤1
s≥0
s∈R

do đó,
xt

ν

≤ sup x(s) ≤ x(·)
s∈R+

1.2.3

Cb (R,X)

với mọi t ≥ 0.

Bất đẳng thức nón

Định nghĩa 1.2.10. Một tập đóng K trong khơng gian Banach W được gọi
là nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) x ∈ K thì λx ∈ K với mọi λ ≥ 0,
(ii) x1 , x2 ∈ K thì x1 + x2 ∈ K,
(iii) ±x ∈ K thì x = 0.
Cho nón K trong khơng gian Banach W . Với x, y ∈ W ta xác định quan
hệ x ≤ y nếu y − x ∈ K. Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận trên W .
Định lý 1.2.11 (Bất đẳng thức nón). Cho nón K trong khơng gian Banach

W sao cho K là bất biến với toán tử A ∈ L(W ), A có bán kính phổ rA < 1.
Giả sử x, z ∈ W thoả mãn x ≤ Ax + z. Khi đó, tồn tại y ∈ W là nghiệm của
phương trình y = Ay + z và thoả mãn x ≤ y.
21