Luận án tiến sĩ nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình vi phân (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGƠ Q ĐĂNG

NGHIỆM TUẦN HỒN
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017


Cơng trình được hồn thành tại:
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp
Trường họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Vào hồi . . . . . . .. giờ, ngày . . . .. tháng . . . .. năm . . . . . . . . .

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

1. Thư viện Tạ Quang Bửu – Trường ĐHBK Hà Nội
2. Thư viện Quốc gia Việt Nam


MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng
điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân là tìm điều kiện tồn tại
nghiệm tuần hoàn (trong trường hợp phần phi tuyến là hàm tuần hoàn theo
thời gian). Bên cạnh một số phương pháp chứng minh tồn tại nghiệm tuần
hoàn mà hầu như chỉ thích hợp cho các phương trình cụ thể như phương pháp
điểm cố định của Tikhonov hoặc phương pháp hàm Lyapunov, cịn có các
phương pháp phổ biến chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hồn là xét tính
bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré thơng qua một số
phép nhúng compact. Mặc dù vậy, trong một số ứng dụng cụ thể, chẳng hạn
như phương trình vi phân đạo hàm riêng trong các miền khơng bị chặn hoặc
phương trình vi phân có nghiệm khơng bị chặn, việc sử dụng các phép nhúng
compact hoặc các phương pháp trên tìm ra nghiệm bị chặn là khó khăn và
khơng đúng nữa. Để khắc phục được khó khăn này, năm 2014, N.T.Huy đã
sử dụng phương pháp Ergodic được Zubelevich mở rộng vào năm 2006 từ mối
liên hệ giữa nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hồn của phương trình vi phân
thường được Massera nghiên cứu vào năm 1950 chỉ ra nghiệm tuần hoàn của
phương trình Navier-Stokes. Tuy nhiên, sử dụng phương pháp Ergodic chỉ ra
tính tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa tuyến
du
tính
= A(t)u + f (t), t ∈ R+ với tốn tử tuyến tính A(t) (có thể khơng bị
dt
chặn) sinh ra họ tiến hóa và trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ đến nay

vẫn cịn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu.
Một vấn đề quan trọng khác khi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận nghiệm
cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà tốn học đó là nghiên cứu về
tồn tại đa tạp tích phân. Nghiên cứu này mang lại cho chúng ta bức tranh
1


hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu
phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác
định. Mặt khác nó cịn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm của
những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giản
hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm của
phương trình đang xét. Những kết quả đầu tiên nghiên cứu về sự tồn tại đa
tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường được Hadamard, Perron
đưa ra. Sau đó, Daleckii và Krein đã mở rộng các kết quả đó cho phương
trình vi phân trong không gian Banach.... Năm 2009, N.T. Huy cùng một số
cộng sự đã sử dụng không gian hàm chấp nhận được, định lý hàm ẩn,... xây
dựng đa tạp ổn định địa phương, đa tạp ổn định bất biến mà không cần dùng
điều kiện hằng số Lipschitz đủ nhỏ của toán tử phi tuyến theo nghĩa cổ điển.
Cụ thể các tác giả đã xét điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi
xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, ở đó hệ số Lipschitz của phần phi
tuyến là hàm phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp
nhận được. Việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã mang
đến một số kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố
trong thời gian gần đây. Tuy nhiên, các nghiên cứu này mới xét cho trường
hợp xung quanh quỹ đạo cân bằng, một số dạng phương trình vi phân đạo
hàm riêng khơng trễ hoặc có trễ hữu hạn.
Từ những phân tích ở trên, trong luận án này, chúng tơi sử dụng phương
pháp Ergodic để nghiên cứu và chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần
hồn của phương trình tiến hóa tuyến tính; sau đó, áp dụng kết quả này kết

hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức nón
chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hồn, ổn định có điều kiện
của nghiệm tuần hoàn, đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần
hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
* Mục đích nghiên cứu của Luận án:
2


Luận án nhằm:
- Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hồn của các phương
trình vi phân.
- Nghiên cứu một số tính chất định tính của các nghiệm khác xung
quanh nghiệm tuần hoàn.
- Xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn
đối với các phương trình vi phân.
* Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:
Các phương trình vi phân đạo hàm riêng;
Tính chất nghiệm tuần hồn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các
phương trình trên.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp lý thuyết đặt chỉnh của các phương trình khơng ô-tô-nôm
và khái niệm nghiệm đủ tốt để xây dựng các họ tiến hóa biểu diễn nghiệm
của phương trình vi phân...
- Phương pháp trung bình ergodic, phương pháp sử dụng tơpơ *-yếu và
Định lý Banach-Alaoglu, Nguyên lý điểm bất động.
- Sử dụng lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được để xây dựng đa
tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn cho phương trình tiến
hóa nửa tuyến tính, phương trình vi phân hàm có trễ hữu hạn hoặc vô hạn.

4. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Đây là hướng nghiên cứu mới, nó đã góp phần làm phong phú thêm
về lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,...
Các kết quả và ý tưởng của luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu
dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình vi phân, phương trình
đạo hàm riêng.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
3


làm bốn chương:
• Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về nửa nhóm liên tục
mạnh, một số tính chất của nửa nhóm, khái niệm về họ tiến hóa, khơng
gian hàm Banach chấp nhận được, khơng gian giảm nhớ, nhị phân mũ
của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân.
• Chương 2: Nghiên cứu tồn tại duy nhất nghiệm tuần hồn của phương
trình tiến hóa tuyến tính khơng thuần nhất và tồn tại duy nhất nghiệm
tuần hồn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính; tính tồn tại duy
nhất và ổn định điều kiện nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa
nửa tuyến tính trong trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ.
• Chương 3: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hồn của
phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần phi tuyến thỏa mãn
điều kiện ϕ-Lipschitz địa phương; sự tồn tại duy nhất, ổn định có điều
kiện của nghiệm tuần hoàn và tồn tại đa tạp ổn định địa phương xung
quanh nghiệm tuần hồn.
• Chương 4: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hồn của
phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ hữu hạn hoặc vô hạn với
phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz địa phương, ϕ thuộc
không gian hàm chấp nhận được, sau đó với họ tiến hóa tuần hồn có

nhị phân mũ chúng tơi chứng minh tính ổn định có điều kiện và tồn tại
đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn.
Nội dung chính của luận án dựa vào bốn bài báo, được liệt kê ở
"Danh mục cơng trình đã cơng bố của luận án", trong đó các bài
[1],[3] được đăng trên tạp chí thuộc nhóm (SCI), bài [2] đăng trên tạp
chí thuộc nhóm (SCIE) (thuộc tạp chí Quốc tế chuyên nghành trong
danh mục ISI) và bài báo [4] đã gửi.

4


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được

1.1.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được

Định nghĩa 1.1.1. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được
nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho mọi [a, b] ⊂ R+ và mọi ϕ ∈ E ta có
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

E.

t+1

(ii) E là bất biến với toán tử Λ1 , trong đó Λ1 ϕ(t) =

ϕ(τ )dτ .
t

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+ , với
Tτ+ ϕ(t) =

ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0
nếu 0 ≤ t < τ

0

Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0.
Hơn nữa tồn tại N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+

E

≤ N1 , Tτ−

E

≤ N2 với mọi

τ ∈ R+ .
Ví dụ 1.1.2. Không gian Lp (R+ ), 1 ≤ p ≤ ∞, và không gian
t+1

M :=

f ∈ L1, loc (R+ ) : f

M

|f (τ )|dτ < ∞

:= sup
t≥0

t

là các không gian hàm Banach chấp nhận được.
5

(1.1)


Mệnh đề 1.1.3. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có
các khẳng định sau
(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác
định Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau:
∞

t

Λσ ϕ(t) =

e

−σ(t−s)

e−σ(s−t) ϕ(s)ds.

ϕ(s)ds, và Λσ ϕ(t) =

0

t

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M thì Λσ ϕ và Λσ ϕ bị chặn
và ta có đánh giá
Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 T1+ ϕ
−σ
1−e

∞,

Λσ ϕ

∞

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞,

(1.2)

trong đó Λ1 , T1+ và N1 , N2 được xác định trong Định nghĩa 1.1.1.
(b) Với mọi α > 0, e−αt ∈ E.
(c) Với mọi b > 0, ebt ∈
/ E.
Trong không gian M xác đinh như (1.1) xét tập các hàm tuần hồn với
chu kì 1 như sau
P := f ∈ M : f tuần hồn với chu kì 1 .

(1.3)

Khi đó, với mỗi hàm dương ϕ thuộc P. Thì, với 0 ≤ t ≤ 1 chúng ta có
Λσ ϕ

∞

≤

N1
ϕ
1 − e−σ

M

và Λσ ϕ

∞

≤

N2
ϕ
1 − e−σ

M.

(1.4)

Kí hiệu khơng gian Banach
M := {f : R+ → X | f (·) ∈ M} với chuẩn f

1.2

M

:=

f (·)

M.

(1.5)

Nhị phân mũ của họ tiến hố

Định nghĩa 1.2.1. Một họ các tốn tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s≥0
trên không gian Banach X được gọi là họ tiến hoá nếu
6


(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s,
(ii) ánh xạ (t, s) → U (t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,
(iii) tồn tại các hằng số K, α ≥ 0 sao cho U (t, s)x ≤ Keα(t−s) x với mọi
t ≥ s và x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.2. Cho U := (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hóa trên khơng gian X.
(1) Họ tiến hố U được gọi là có nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các toán
tử chiếu tuyến tính bị chặn P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0
sao cho
(a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s),

t ≥ s ≥ 0;

(b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0, là đẳng cấu,
chúng ta biểu diễn ánh xạ ngược là U (s, t)| := (U (t, s)| )−1 , 0 ≤ s ≤ t;
(c) U (t, s)x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0;

(d) U (s, t)| x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0.
(2) Họ tiến hoá U được gọi là ổn định mũ trên [0, ∞) nếu U có nhị phân mũ
với phép chiếu nhị phân P (t) = Id, t ≥ 0. Tức là, tồn tại các các hằng
số N, ν > 0 sao cho U (t, s) ≤ N e−ν(t−s) với t ≥ s ≥ 0.
Bổ đề 1.2.3. Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũ với các tốn tử
chiếu nhị phân P (t). Khi đó, họ các toán tử chiếu (P (t))t≥0 là bị chặn đều
và liên tục mạnh (H := supt≥0 P (t)).
Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũ với họ toán tử chiếu
P (t), t ≥ 0. Chúng ta định nghĩa hàm Green như sau
G(t, τ ) =

P (t)U (t, τ )

nếu t > τ ≥ 0,

−U (t, τ )| (I − P (τ ))

nếu 0 ≤ t < τ.

(1.8)

Khi đó, chúng ta có đánh giá
G(t, τ ) ≤ (1 + H)N e−ν|t−τ | với t = τ ≥ 0.
7

(1.9)


Chương 2
SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CÓ ĐIỀU

KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA NỬA TUYẾN TÍNH

2.1

Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến
hóa tuyến tính

Với X là khơng gian đối ngẫu của khơng gian khả ly Y (tức là, X = Y
Y là không gian Banach khả ly), xét phương trình tiến hóa tuyến tính khơng
thuần nhất

du
= A(t)u(t) + f (t), t ∈ R+
(2.1)
dt
trong đó họ các tốn tử tuyến tính (A(t))t≥0 có thể khơng bị chặn sinh
ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 . Nghiệm đủ tốt của (2.1) với điều kiện đầu

u(0) = u0 ∈ X là hàm u liên tục thỏa mãn phương trình tích phân
t

U (t, τ )f (τ )dτ với mọi t ≥ 0.

u(t) = U (t, 0)u0 +

(2.3)

0

Giả thiết 2.1.1. Giả sử A(t) là tuần hoàn với chu kì T , tức là A(t+T ) = A(t)
với hằng số T > 0 cố định và mọi t ∈ R+ . Khi đó, (U (t, s))t≥s≥0 là hàm tuần
hồn với chu kì T tức là U (t + T, s + T ) = U (t, s) với mọi t ≥ s ≥ 0.
Giả thiết 2.1.2. Giả sử không gian Y xem như là không gian con của không
gian Y

(qua phép nhúng chính tắc) bất biến dưới tác động của toán tử

U (T, 0), với toán tử U (T, 0) là đối ngẫu của U (T, 0).

8


Định lý 2.1.3. Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y , f ∈
Cb (R+ , X). Giả sử tồn tại u0 ∈ X sao cho nghiệm đủ tốt u của (2.1) với
u(0) = u0 thỏa mãn u ∈ Cb (R+ , X) và u

Cb (R+ ,X)

M f

Cb (R+ ,X) ;

các Giả

thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn và f là tuần hồn với chu kì T . Khi đó
phương trình (2.1) có nghiệm đủ tốt uˆ tuần hồn với chu kì T thỏa mãn:
uˆ

Cb (R+ ,X)

(M + T )KeαT f

Cb (R+ ,X) .

(2.6)

Hơn nữa, nếu họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 thỏa mãn:
lim U (t, 0)x = 0 với x ∈ X sao cho U (t, 0)x bị chặn trong R+

t→∞

(2.7)

thì nghiệm đủ tốt tuần hồn với chu kì T của phương trình (2.1) là duy nhất.

2.2

Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến
hóa nửa tuyến tính

Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
du
= A(t)u(t) + g(u)(t), t ∈ R+
(2.17)
dt
trong đó tốn tử A(t) thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.1.3, và toán tử
Nemytskii g : Cb (R+ , X) → Cb (R+ , X) thỏa mãn:
(1) g(0)

Cb (R+ ,X)

≤ γ, γ là hằng số khơng âm;

(2) g là ánh xạ biến hàm tuần hồn với chu kì T thành một hàm
tuần hồn với chu kì T ;

(2.18)

(3) tồn tại các hằng số dương ρ và L sao cho
g(v1 ) − g(v2 )

Cb (R+ ,X)

≤ L v1 − v2

Cb (R+ ,X)

với mọi v1 , v2 ∈ Cb (R+ , X) và v1

9

Cb (R+ ,X) ,

v2

Cb (R+ ,X)

≤ ρ.

Nghiệm đủ tốt của phương trình (2.17) là hàm u liên tục thỏa mãn phương
trình sau
t

U (t, τ )g(u)(τ )dτ với mọi t ≥ 0.

u(t) = U (t, 0)u0 +

(2.19)

0

Định lý 2.2.1. Với giả thiết của Định lý 2.1.3, và g thỏa mãn điều kiện
(2.18). Khi đó, nếu L và γ là đủ nhỏ thì phương trình (2.17) có một và chỉ một
nghiệm đủ tốt uˆ tuần hoàn với chu kì T trong hình cầu nhỏ thuộc Cb (R+ , X).

2.3

Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn
trong trường hợp họ tiến hóa có nhị phân
mũ

Bổ đề 2.3.1. Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu
nhị phân tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử
f ∈ Cb (R+ , X) và ánh xạ g thỏa mãn điều kiện (2.18). Khi đó, ta có các
khẳng định sau:
(a) Nếu v ∈ Cb (R+ , X) là nghiệm của phương trình (2.3) thì v có thể biểu
diễn dưới dạng
∞

G(t, τ )f (τ )dτ với ζ0 ∈ X0 := P (0)X,

v(t) = U (t, 0)ζ0 +

(2.22)

0

ở đó G(t, τ ) là hàm Green được xác định trong (1.8).
(b) Nếu u ∈ Cb (R+ , X) là nghiệm của phương trình (2.19) sao cho
sup u(t) ≤ ρ
t≥0

với ρ > 0 cố định thì với t ≥ 0 hàm u(t) có thể biểu diễn dưới dạng
∞

G(t, τ )g(u)(τ )dτ với v0 ∈ X0 ,

u(t) = U (t, 0)v0 +
0

ở đó G và X0 được xác định như trong (a).
10

(2.23)


Định lý 2.3.2. Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y , xét các
phương trình (2.3) và (2.19). Giả sử các Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa

mãn; họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với các phép chiếu nhị phân
P (t), t ≥ 0 và N, ν là các hằng số nhị phân; f ∈ Cb (R+ , X) là hàm tuần
hoàn với chu kì T và g thỏa mãn điều kiện (2.18) với các hằng số ρ, L, γ.
Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(a) Phương trình (2.3) có duy nhất một nghiệm tuần hồn chu kì T .
(b) Với các hằng số L, γ đủ nhỏ thì phương trình (2.19) có duy nhất một
nghiệm tuần hồn chu kì T trong hình cầu nhỏ thuộc Cb (R+ , X).

2.4

Ổn định có điều kiện

Kí hiệu Ba (x)(Br (v)) là hình cầu trong X (tương ứng Cb (R+ , X)) có tâm
tại x (tương ứng v) và bán kính a, tức là
Ba (x) := {y ∈ X : x ∈ X và x − y ≤ a};
Ba (v) := {u ∈ Cb (R+ , X) : v ∈ Cb (R+ , X) và u − v

Cb (R+ ,X)

≤ a}.

Giả sử tồn tại hằng số dương L1 sao cho:
g(v1 ) − g(v2 )

Cb (R+ ,X)

≤ L1 v1 − v2

Cb (R+ ,X)

với mọi v1 , v2 ∈ B2ρ (0). (2.26)

Định lý 2.4.1. Với các giả thiết của Định lý 2.3.2 và điều kiện (2.26); xét uˆ
là nghiệm tuần hồn chu kì T của phương trình (2.19) đạt được trong phần
(b) của Định lý 2.3.2; Bρ (0) là hình cầu chứa uˆ. Khi đó, nếu L1 là đủ nhỏ thì
u(0)) ∩ P (0)X có một và chỉ một nghiệm
tương ứng với mỗi v0 ∈ B 2Nρ (P (0)ˆ
u(t) của phương trình (2.19) trên R+ thỏa mãn điều kiện P (0)u(0) = v0 và
u ∈ Bρ (ˆ
u). Hơn nữa với u(t) và uˆ(t) ta có ước lượng:
u(t) − uˆ(t) ≤ Ce−µt P (0)u(0) − P (0)ˆ
u(0) với t ≥ 0,
trong đó các hằng số dương C và µ là khơng phụ thuộc vào u và uˆ.
11

(2.27)


Chú ý 2.4.2. Khẳng định của định lý trên chỉ ra tính ổn định có điều
kiện nghiệm tuần hồn uˆ, tức là, với bất kì nghiệm u sao cho P (0)u(0) ∈
u(0)) ∩ P (0)X và u thuộc hình cầu có bán kính nhỏ Bρ (ˆ
u) thì
B 2Nρ (P (0)ˆ
u(t) − uˆ(t) → 0 theo cấp mũ khi t → ∞.
Hệ quả 2.4.3. Giả sử uˆ là nghiệm tuần hoàn của phương trình (2.19) đạt
được trong khẳng định (b) của Định lý 2.3.2. Họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 là ổn
định mũ. Khi đó, nghiệm tuần hồn uˆ của phương trình (2.19) ổn định mũ tức
là mọi nghiệm u ∈ Cb (R+ , X) của phương trình (2.19) sao cho u(0) − uˆ(0)
là đủ nhỏ thì
u(t) − uˆ(t) ≤ Ce−µt u(0) − uˆ(0) với mọi t ≥ 0

(2.28)

trong đó các hằng số dương C và µ khơng phụ thuộc vào u và uˆ.

Kết luận Chương 2:
Trong chương này, chúng tôi đã sử dụng Phương pháp trung bình ergodic,
phương pháp sử dụng tôpô *-yếu và Định lý Banach-Alaoglu, Nguyên lý điểm
bất động chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hồn thơng qua sự tồn tại của nghiệm
bị chặn trên nửa trục thời gian và tồn tại nghiệm bị chặn trong trường hợp
họ tiến hóa có nhị phân mũ, từ đó kéo theo tồn tại nghiệm tuần hoàn và
mở rộng các kết quả của phương trình tuyến tính sang cho phương trình nửa
tuyến tính.
Nội dung của chương này dựa vào bài báo [1], trong Danh mục cơng
trình đã cơng bố của luận án.

12


Chương 3
NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
NỬA TUYẾN TÍNH VỚI PHẦN PHI TUYẾN
ϕ-LIPSCHITZ

3.1

Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến
hóa nửa tuyến tính

Định lý tồn tại duy nhất nghiệm tuần hồn 2.1.3 đối với phương trình

du
= A(t)u(t) + f (t), t ∈ R+
dt

(3.1)

trong trường hợp hàm đầu vào f thuộc không gian M := {f : R+ → X |
f (·) ∈ M} với chuẩn f

M

:=

f (·)

M.

Với điều kiện đầu u(0) = u0 ∈

X nghiệm đủ tốt của (3.1) là hàm u liên tục thỏa mãn phương trình tích
phân
t

U (t, τ )f (τ )dτ

u(t) = U (t, 0)u0 +

với mọi t ≥ 0.

(3.2)

0

Định lý 3.1.1. Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y , f ∈ M tồn
tại u0 ∈ X sao cho nghiệm đủ tốt u của phương trình (3.1) với u(0) = u0
thỏa mãn u ∈ Cb (R+ , X) và u

Cb (R+ ,X)

M f

M.

Giả sử với các Giả thiết

2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn và f là hàm tuần hồn với chu kì 1 thì phương
trình (3.1) có nghiệm đủ tốt uˆ tuần hồn với chu kì 1 thỏa mãn:
uˆ

Cb (R+ ,X)

(M + 1)Keα f

13

M.


Hơn nữa, nếu họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 thỏa mãn:
lim U (t, 0)x = 0 với x ∈ X sao cho U (t, 0)x bị chặn trong R+

t→∞

thì nghiệm đủ tốt tuần hồn với chu kì 1 của phương trình (3.1) là duy nhất.
Xét phương trình
du
= A(t)u(t) + g(t, u(t)), t ∈ R+
dt

(3.3)

trong đó tốn tử A(t), t ≥ 0, tác động trên X và thỏa mãn giả thiết của Định
lý 3.1.1, và toán tử phi tuyến g : [0, ∞) × X → X thỏa mãn:
(1) g thuộc lớp (L, ϕ, ρ) với L, ρ > 0 và 0 < ϕ ∈ P,
(2) g(t, x) là hàm tuần hồn theo t chu kì 1 với mỗi x ∈ X cố định.

(3.4)

Nghiệm đủ tốt của phương trình (3.3) với điều kiện đầu u(0) = u0 ∈ X là
hàm u liên tục thỏa mãn phương trình sau
t

U (t, τ )g(τ, u(τ ))dτ với mọi t ≥ 0.

u(t) = U (t, 0)u0 +

(3.5)

0

Định lý 3.1.2. Với giả thiết của Định lý 3.1.1, và hàm g thỏa mãn điều
kiện (3.4). Khi đó, nếu γ :=

ϕ

M

là đủ nhỏ thì phương trình (3.3) có

một và chỉ một nghiệm đủ tốt uˆ tuần hoàn với chu kì 1 trong hình cầu nhỏ
thuộc Cb (R+ , X).

3.2

Phương trình tiến hóa với họ tiến hóa có
nhị phân mũ

Bổ đề 3.2.1. Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu
nhị phân tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Cho f ∈ M
và g thỏa mãn điều kiện (3.4). Khi đó, ta có các khẳng định sau:
14


(a) Nếu v ∈ Cb (R+ , X) là nghiệm của phương trình (3.2) thì v có thể biểu
diễn dưới dạng
∞

G(t, τ )f (τ )dτ, t ≥ 0,

v(t) = U (t, 0)ζ0 +

(3.8)

0

với mỗi ζ0 ∈ X0 := P (0)X, G(t, τ ) là hàm Green xác định trong (1.8).
(b) Nếu u ∈ Cb (R+ , X) là nghiệm của phương trình (3.5) sao cho supt≥0 u(t)
ρ với ρ > 0 cố định thì hàm u(t) có thể biểu diễn dưới dạng
∞

G(t, τ )g(τ, u(τ ))dτ với t ≥ 0, v0 ∈ X0 ,

u(t) = U (t, 0)v0 +

(3.9)

0

ở đó G và X0 được xác định như trong (a).
Định lý 3.2.2. Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y , xét các
phương trình (3.2) và (3.5). Giả sử các Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2
thỏa mãn; họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với các phép chiếu nhị
phân P (t), t ≥ 0 và N, ν là các hằng số nhị phân; f ∈ M là tuần hồn với chu
kì 1 và g thỏa mãn điều kiện (3.4) với với các hằng số ρ, L và hàm ϕ ∈ P.
Khi đó, ta có các khẳng định sau.
(a) Phương trình (3.2) có duy nhất một nghiệm tuần hồn với chu kì 1 trong
Cb (R+ , X).
(b) Với ϕ

M

đủ nhỏ thì phương trình (3.5) có duy nhất một nghiệm tuần

hồn với chu kì 1 trong hình cầu nhỏ thuộc Cb (R+ , X).

3.3

Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định
địa phương

Giả sử rằng tồn tại một hàm dương ϕ1 ∈ P sao cho
g(t, v1 (t)) − g(t, v2 (t))

ϕ1 (t) v1 − v2 với mọi v1 , v2 ∈ B2ρ (0).
15

(3.11)


Định lý 3.3.1. Với các giả thiết của Định lý 3.2.2 và điều kiện (3.11); xét uˆ
là nghiệm tuần hoàn với chu kì 1 của phương trình (3.5) đạt được trong phần
(b) của Định lý 3.2.2; Bρ (0) là hình cầu chứa uˆ. Khi đó, nếu ϕ1

M

là đủ nhỏ

u(0))∩P (0)X có một và chỉ một nghiệm
thì tương ứng với mỗi v0 ∈ B 2Nρ (P (0)ˆ
u(t) của phương trình (3.5) trên R+ thỏa mãn các điều kiện P (0)u(0) = v0

và u ∈ Bρ (ˆ
u). Hơn nữa với u(t) và uˆ(t) ta có ước lượng:
u(t) − uˆ(t)

Cµ e−µt P (0)u(0) − P (0)ˆ
u(0) với t ≥ 0,

(3.12)

trong đó các hằng số dương Cµ và µ là khơng phụ thuộc vào u và uˆ.
Định lý 3.3.2. Với giả thiết của các Định lý 3.2.2 và Định lý 3.3.1. Cho uˆ
là nghiệm tuần hồn với chu kì 1 của phương trình (3.5) đạt được trong Định
lí 3.2.2. Khi đó, nếu ϕ1

M

là đủ nhỏ, thì tồn tại một đa tạp địa phương S

xung quanh nghiệm tuần hoàn uˆ. Hơn nữa, với mọi nghiệm u(t) trên đa tạp
S là hút cấp mũ về nghiệm uˆ(t) tức là, tồn tại các hằng số dương µ và Cµ
độc lập với t0 ≥ 0 sao cho
u(t) − uˆ(t)

Cµ e−µ(t−t0 ) P (t0 )u(t0 ) − P (t0 )ˆ
u(t0 )) , ∀t ≥ t0 .

(3.18)

Kết luận Chương 3: Trong chương này chúng tơi đã đạt được kết quả:
• Chỉ ra được tính tồn tại duy nhất nghiệm tuần hồn của phương trình

tiến hóa nửa tuyến tính với phần phi tuyến là ϕ-Lipschitz địa phương
• Chỉ ra được tính tồn tại duy nhất, ổn định có điều kiện, đa tạp ổn định
địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa
nửa tuyến tính với phần tuyến tính sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ
và phần phi tuyến là ϕ-Lipschitz địa phương;
Nội dung của chương này dựa vào bài báo [2], trong Danh mục cơng trình
đã công bố của luận án.

16


Chương 4
NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN CĨ TRỄ

4.1

Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hồn
của phương trình có trễ hữu hạn

Kí hiệu:
C := C([−r, 0], X) = φ : [−r, 0] → X|φ là hàm liên tục trên [−r, 0], r > 0
ˆ là hình cầu
là khơng gian Banach với chuẩn φ C = sup−r≤s≤0 φ(s) . Ba (φ)
ˆ bán kính a trong C như sau: Ba (φ)
ˆ := {φ ∈ C : φ − φˆ C ≤ a}
tâm φ,
Định nghĩa 4.1.1 (Hàm ϕ-Lipschitz địa phương). Cho E là không gian hàm
Banach chấp nhận được, ϕ ∈ E là hàm khơng âm. Hàm g : [0, ∞) × Bρ (0) →
X được gọi là thuộc lớp (L, ϕ, ρ)C với các hằng số dương L, ρ nếu g thỏa mãn

(i) g(t, φ)

Lϕ(t) hầu khắp nơi với t ∈ R+ và φ ∈ Bρ (0),

(ii) g(t, φ1 ) − g(t, φ2 )

ϕ(t) φ1 − φ2 hầu khắp nơi với t ∈ R+ và với mọi

φ1 , φ2 ∈ Bρ (0).
Xét phương trình
du
= A(t)u(t) + F (t)(ut ) + g(t, ut ), t ≥ 0,
dt

(4.1)

trong đó tốn tử A(t), t ≥ 0, tác động trên X và thỏa mãn giả thiết của
Định lý 3.1.1, tốn tử tuyến tính F : [0, ∞) → L(C, X) và toán tử phi tuyến
17


g : [0, ∞) × X → X thỏa mãn:
(1) ánh xạ t → F (t)(vt ) biến hàm tuần hồn với chu kì 1 thành một
hàm tuần hồn với chu kì 1 với mỗi v ∈ Cb ([−r, ∞), X);
(2) ánh xạ t → F (t) thuộc P;

(4.2)

(3) g thuộc lớp (L, ϕ, ρ)C với L, ρ > 0 và 0 < ϕ ∈ P;
(4) ánh xạ t → g(t, vt ) biến hàm tuần hồn với chu kì 1 thành một

hàm tuần hồn với chu kì 1 với mỗi v ∈ Cb ([−r, ∞), X).

Nghiệm đủ tốt của phương trình (4.1) với điều kiện đầu u0 = φ ∈ C là hàm
u liên tục thỏa mãn phương trình sau

u(t) = U (t, 0)u(0) + t U (t, τ )(F (τ )(uτ ) + g(τ, uτ ))dτ, ∀t ≥ 0,
0
u = φ ∈ C.

(4.3)

0

Định lý 4.1.2. Giả sử tồn tại hằng số M sao cho với mỗi f ∈ M phương
trình (3.1) có nghiệm đủ tốt u thỏa mãn u ∈ Cb (R+ , X), u

Cb

≤M f

M,

và họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 thỏa mãn:
lim U (t, 0)x = 0 với x ∈ X sao cho U (t, 0)x bị chặn trong R+ .

t→∞

Xét các hàm F và g thỏa mãn điều kiện (4.2). Khi đó, nếu γ := F (·)
ϕ

M

M

+

đủ nhỏ thì phương trình (4.1) có một và chỉ một nghiệm đủ tốt uˆ tuần

hồn với chu kì 1 trong hình cầu thuộc Cb ([−r, ∞), X).

4.2

Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định
địa phương

Xác định họ các toán tử P (t), t ≥ 0 trên C như sau.
P (t) : C → C, (P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với mọi θ ∈ [−r, 0].
18

(4.6)


Toán tử P (t), t ≥ 0 là phép chiếu nhị phân trên C và ImP (t) = {φ ∈ C :
φ(θ) = U (t − θ, t)η với θ ∈ [−r, 0] và η ∈ ImP (t)}
Bổ đề 4.2.1. Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu
nhị phân tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0; F và g thỏa
mãn điều kiện (4.2). Nếu u ∈ Cb ([−r, ∞), X) là nghiệm của phương trình
(4.3) sao cho supt≥−r u(t) ≤ ρ với ρ > 0 cố định thì hàm u(t) có thể biểu
diễn dưới dạng


u(t) = U (t, 0)η +
u = φ ∈ C

∞
0 G(t, τ )(F (τ )(uτ )

+ g(τ, uτ ))dτ, t ≥ 0

(4.7)

0

với η = P (0)φ(0) ∈ X0 , G và X0 được xác định như trong Bổ đề 3.2.1(a).
Định lý 4.2.2. Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y , xét phương
trình (4.3). Giả sử các Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn; họ tiến hóa
(U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với các phép chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0 và
N, ν là các hằng số nhị phân; F và g thỏa mãn điều kiện (4.2) với các hằng
số ρ, L và hàm ϕ ∈ P. Khi đó, nếu ϕ

M+

F (·)

M

đủ nhỏ thì phương trình

(4.3) có duy nhất một nghiệm tuần hồn chu kì 1 trong hình cầu nhỏ thuộc
Cb ([−r, ∞), X).
Với vˆ ∈ Cb ([−r, +∞), X) kí hiệu:

Ba (ˆ
v ) := {v ∈ Cb ([−r, +∞), X) : v − vˆ

Cb

≤ a} .

Xét Bρ (0)(Bρ (0)) là hình cầu chứa nghiệm tuần hoàn uˆ(ˆ
ut , t ≥ 0) đạt được
trong Định lý 4.2.2.
Giả sử tồn tại một hàm dương ϕ˜ ∈ P sao cho:
g(t, φ1 ) − g(t, φ2 ) ≤ ϕ(t)
˜
φ1 − φ2 C , ∀φ1 , φ2 ∈ B2ρ (0), ∀t ≥ 0.

(4.8)

Định lý 4.2.3. Với các giả thiết của Định lý 4.2.2, xét uˆ là nghiệm tuần
hoàn với chu kì 1 của phương trình (4.3) đạt được trong Định lý 4.2.2; g thỏa
19


mãn các điều kiện trong (4.8). Nếu F (·)
ζ ∈ C sao cho ζ − uˆ0

C

M

+ ϕ˜

M

là đủ nhỏ thì với mỗi

u(0)) ∩ P (0)X có
≤ ρ/2 và P (0)ζ(0) ∈ B 2Nρ (P (0)ˆ

một và chỉ một nghiệm u(·) của phương trình (4.3) trên [−r, ∞) thỏa mãn
điều kiện u0 = ζ và u ∈ Bρ (ˆ
u). Hơn nữa, với u(t) và uˆ(t) ta có ước lượng:
ut − uˆt

C

≤ Cµ ρe−µt với mọi t ≥ 0,

(4.9)

trong đó các hằng số dương Cµ và µ là khơng phụ thuộc vào u và uˆ.
Định lý 4.2.4. Với giả thiết của các Định lý 4.2.2 và Định lý 4.2.3, xét uˆ là
nghiệm tuần hồn với chu kì 1 của phương trình (4.3) đạt được trong Định lí
4.2.2. Khi đó, nếu F (·)

M+

ϕ˜

M

là đủ nhỏ thì tồn tại một đa tạp ổn định

địa phương S xung quanh nghiệm tuần hoàn uˆ.

4.3

Trường hợp phương trình có trễ vơ hạn:
Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hồn

φ(s)
= 0, trong đó ν > 0} là
e−νs
Cν ˆ
khơng gian giảm nhớ với chuẩn φ ν = sups≤0 eφ(s)
−νs . Ba (φ) là hình cầu tâm
ˆ bán kính a trong Cν như sau: BCν (φ)
ˆ := {φ ∈ Cν : φ − φˆ ν ≤ a}
φ,
a
Kí hiệu: Cν = {φ : φ ∈ CR− và lims→−∞

Định nghĩa 4.3.1 (Hàm ϕ-Lipschitz địa phương). Cho E là không gian hàm
Banach chấp nhận được, ϕ ∈ E là hàm không âm. Hàm g : [0, ∞) × BCρν (0) →
X được gọi là thuộc lớp (L, ϕ, ρ)Cν với các hằng số dương L, ρ nếu g thỏa mãn
(i) g(t, φ)

Lϕ(t) hầu khắp nơi với t ∈ R+ và φ ∈ BCρν (0),

(ii) g(t, φ1 ) − g(t, φ2 )

ϕ(t) φ1 − φ2

ν

hầu khắp nơi với t ∈ R+ và với

φ1 , φ2 ∈ BCρν (0).
Xét phương trình
du
= A(t)u(t) + g(t, ut ), t ≥ 0,
dt
20

(4.20)


trong đó tốn tử phi tuyến g : [0, +∞) × Cν → X thỏa mãn:
(1) g thuộc lớp (L, ϕ, ρ)Cν với L, ρ > 0 và 0 < ϕ ∈ P;
(2) ánh xạ t → g(t, vt ) biến hàm tuần hồn với chu kì 1 thành một (4.21)
hàm tuần hồn với chu kì 1 với mỗi v ∈ Cb (R, X).
Nghiệm đủ tốt của phương trình (4.20) với điều kiện đầu u0 = φ ∈ Cν là hàm
u liên tục thỏa mãn phương trình

t

u(t) = U (t, 0)u(0) + U (t, τ )g(τ, uτ )dτ với mọi t ≥ 0,

(4.22)

0


u = φ ∈ C .
0
ν
Định lý 4.3.2. Giả sử tồn tại một hằng số M sao cho với mỗi f ∈ M phương
trình (3.1) có nghiệm đủ tốt u thỏa mãn u ∈ Cb (R+ , X), u

Cb

≤M f

M,

và họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 thỏa mãn:
lim U (t, 0)x = 0 với x ∈ X sao cho U (t, 0)x bị chặn trong R+ .

t→∞

Với hàm g thỏa mãn điều kiện (4.21). Khi đó, với γ := ϕ

M

đủ nhỏ thì

phương trình (4.20) có một và chỉ một nghiệm đủ tốt uˆ tuần hồn với chu kì
1 trong hình cầu nhỏ thuộc Cb (R, X).
Xác định họ các toán tử P (t), t ≥ 0 trên Cν như sau.
P (t) : Cν → Cν , (P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0), ∀θ ∈ (−∞, 0].

(4.25)

Toán tử P (t), t ≥ 0, là phép chiếu trên Cν , và ImP (t) = {φ ∈ Cν : φ(θ) =
U (t − θ, t)v0 với θ ∈ (−∞, 0] và v0 ∈ ImP (t)}
Bổ đề 4.3.3. Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu
nhị phân tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0; g thỏa mãn
điều kiện (4.21). Nếu u(t) liên tục và là nghiệm của phương trình (4.22)
sao cho
max

u0 ν , sup u(t)
t∈R+

21

≤ρ


với ρ > 0 cố định thì hàm u(t) có thể biểu diễn dưới dạng

∞

u(t) = U (t, 0)η + G(t, τ )g(τ, uτ )dτ

(4.26)

0


u = φ ∈ C

0
ν
với t ≥ 0, η = P (0)φ(0) ∈ X0 , G và X0 được xác định như trong Bổ đề
3.2.1(a).
Định lý 4.3.4. Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y , xét phương
trình (4.22). Giả sử các Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn; họ tiến
hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với các phép chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0 và
N, ν là các hằng số nhị phân; g thỏa mãn điều kiện (4.21) với các hằng số ρ,
L và hàm ϕ ∈ P. Nếu ϕ

M

đủ nhỏ thì phương trình (4.22) có duy nhất một

nghiệm tuần hồn với chu kì 1 trong hình cầu nhỏ thuộc Cb (R, X).

4.4

Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định
địa phương đối với phương trình có trễ vơ
hạn

Với vˆ ∈ Cb (R, X) kí hiệu:
BaCν (ˆ
v) : =

v ∈ C(R, X) : vt , vˆt ∈ Cν và
max

v0 − vˆ0 ν , sup v(t) − vˆ(t)

≤ a, t ≥ 0 .

t∈R+

Xét BρCν (0)(BCρν (0)) là hình cầu chứa nghiệm uˆ(ˆ
ut , t ≥ 0) tuần hồn với chu
kì 1 đạt được trong Định lý 4.3.4.
Giả sử tồn tại một hàm dương ϕ˜ ∈ P sao cho:
g(t, φ1 ) − g(t, φ2 ) ≤ϕ(t)
˜
ut − vt ν , ∀φ1 , φ2 ∈ BC2ρν (0), t ≥ 0.
22

(4.28)


Định lý 4.4.1. Với các giả thiết của Định lý 4.3.4; xét uˆ là nghiệm tuần
hồn với chu kì 1 của phương trình (4.22) đạt được trong Định lý 4.3.4; cho
g thỏa mãn điều kiện trong (4.28). Khi đó, nếu ϕ˜
ζ ∈ Cν sao cho ζ − uˆ0

ν

M

là đủ nhỏ thì với mỗi

u(0)) ∩ P (0)X có
≤ ρ/2 và P (0)ζ(0) ∈ B 2Nρ (P (0)ˆ

một và chỉ một nghiệm u(·) của phương trình (4.22) trên R thỏa mãn điều
kiện u0 = ζ và u ∈ BρCν (ˆ
u). Hơn nữa, với u(t) và uˆ(t) ta có ước lượng:
ut − uˆt

ν

≤ Cµ ρe−µt với mọi t ≥ 0,

(4.29)

trong đó các hằng số dương Cµ và µ là khơng phụ thuộc vào u và uˆ.
Định lý 4.4.2. Với giả thiết của các Định lý 4.3.4 và Định lý 4.4.1, xét uˆ là
nghiệm tuần hồn với chu kì 1 của phương trình (4.22) đạt được trong Định
lí 4.3.4. Khi đó, nếu ϕ˜

M

là đủ nhỏ, thì tồn tại một đa tạp địa phương S

xung quanh nghiệm tuần hồn uˆ đối với phương trình (4.22).
Kết luận Chương 4: Trong chương này, chúng tôi đã giải quyết được
một số bài toán mở về sự tồn tại nghiệm tuần hồn của phương trình tiến
hóa khơng ơ-tơ-nơm có trễ. Cụ thể như sau:
• Chỉ ra được tính tồn tại duy nhất nghiệm tuần hồn của phương trình
vi phân hàm có trễ hữu hạn với phần phi tuyến là ϕ-Lipschitz địa
phương.
• Chỉ ra được tính tồn tại duy nhất nghiệm tuần hồn của phương trình
vi phân hàm có trễ vô hạn với phần phi tuyến là ϕ-Lipschitz địa phương

trong khơng gian giảm nhớ.
• Cũng trong chương này chúng tơi chỉ ra tính ổn định có điều kiện của
nghiệm tuần hoàn và đa tạp bất biến ổn định địa phương xung quanh
nghiệm tuần hồn của các phương trình trên.
Nội dung của chương này dựa vào bài báo [3] và [4], trong Danh mục cơng
trình đã cơng bố của luận án.
23