Tóm tắt toán hình học lớp 11 h17 hai đường thẳng vuông góc

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Góc giữa hai vectơ

 

Góc giữa hai vectơ u và v được kí hiệu là u, v .

 

00  u, v  1800 .

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa



 

 



các cặp vectơ: AB, AC , CD,DA , CH,BC .

2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Tích của hai vectơ u và v khác 0 là một số, kí hiệu u.v , được xác định bởi

 

u.v  u . v .cos u, v .

Nếu u  0 hoặc v  0 thì u.v  0 .

Ví dụ 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và
OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB.
Tính góc giữa hai vectơ OM,BC .
II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Định nghĩa
Vectơ a  0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vecto a
song song hoặc trùng với đường thẳng d.

2. Nhận xét
Nếu a là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì k.a,k  0 cũng là vectơ chỉ
phương của đường thẳng d.
Ta xác định được duy nhất đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nhận a
làm vecto chỉ phương.
Hai đường thẳng a và b song song khi và chỉ khi hai vecto chỉ phương của chúng
cùng phương.


III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng
a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b. Nếu gọi  là
góc giữa hai đường thẳng thì 00    900 .

2. Nhận xét
Ta có thể xác định góc giữa hai đường thẳng a và b như sau: Chọn điểm O

trên đường thẳng b, qua điểm O dựng đường thẳng a’ song song với a. Khi đó
góc giữa hai đường thẳng a và b bằng với góc giữa hai đường thẳng a’ và b.
Gọi u, v lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b. Nếu

 

 

 

00  u, v  900 thì góc giữa a và b bằng góc u, v . Nếu u, v  90 0 thì

 

góc giữa a và b bằng 1800  u, v .

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng
sau đây: AB và B’C’; AC và B’C’.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a 2 .
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa
Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
Kí hiệu a  b .

2. Nhận xét:
Gọi u, v lần lượt là vecto chỉ phương của hai đường thẳng a và b.
Khi đó: a  b  u.v  0 .

Cho hai đường thẳng b và c song song, nếu đường thẳng a vuông góc
với đường thẳng c thì hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau.
Hai đường thẳng vuông góc trong không gian có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB  AC; AB  BD . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm
của AB và CD. Chứng minh hai đường thẳng AB và PQ vuông góc với nhau