Chương III. §4. Phương trình tích

1. Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:
a) P(x) = (x2 - 1) + (x + 1)(x - 2)
b) Q(x) = (x - 1)(x2 + 3x - 2) - (x3 - 1)
2. Nêu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học ?
Trả lời:
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học:
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm hạng tử
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
- Thêm và bớt cùng một hạng tử


Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)P(x) = (x2 - 1)+ (x + 1)(x - 2)
b)Q(x) = (x - 1)(x2 + 3x - 2) – (x3 -1)
Bài giải
a) P(x) = (x2 – 1) + (x + 1)(x – 2)
= (x + 1)(x – 1) + (x + 1)(x – 2)
= (x + 1)(x – 1+ x – 2)
= (x + 1)(2x – 3)
b) Q(x) = (x – 1)(x2 + 3x – 2) – (x3 – 1)
= (x – 1)(x2 + 3x – 2) – (x –1)(x2 + x + 1)
= (x –1)(x2 + 3x – 2 – x2 – x – 1)
= (x –1)(2x – 3)


Toán 8

1. Phương trình tích và cách giải

?2 Hãy nhớ lại một tính chất của

Ví dụ1. Giải phương trình:
phép nhân các số, phát biểu tiếp
(2x – 3)(x + 1) = 0
(1)
các khẳng định sau :
Giải:
- Trong một tích, nếu có một thừa
(2x – 3)(x + 1) = 0
số bằng 0 thì tích
… bằng 0
⇔ 2x – 3 = 0 hoặc x + 1 = 0
Trong bài này, chúng ta chỉ- Ngược
xét các
trình
lại,phương
nếu tích bằng
0 thì
1) 2x – 3 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 1,5
mà hai vế của nó là hai biểuít nhất
thứcmột
hữu
tỉ của
ẩn và
trong
các thừa
số của
2) x + 1 = 0 ⇔ x = - 1

… bằng 0
tích phải
không
chứa
ẩnnghiệm
ở mẫu.
Phương
trình
đã phương
cho
có hai
là
Tập
nghiệm
của
trình
đã cho
và -1
x =} - 1.
làxS==1,5
{1,5;
a.b = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0

. Phương trình (1) được gọi là phương
trình tích.

(a và b là 2 số)


Toán 8

1. Phương trình tích và cách giải

Ví dụ1. Giải phương trình:
(2x – 3)(x + 1) = 0 (1)
Giải:
(2x – 3)(x + 1) = 0
⇔ 2x – 3 = 0 hoặc x + 1 = 0 B 1
1) 2x – 3 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 1,5
B2
2) x + 1 = 0 ⇔ x = - 1
Tập nghiệm của phương trình đã cho
B3
là S = {1,5; -1 }
*Xét
phương
trình
cógọi
dạng:
A(x)B(x) = 0
. Phương
trình
(1)tích
được
là phương
(trong
A(x), B(x) là những biểu thức hữu tỉ
trình đó
tích.
của ẩn và không chứa ẩn ở mẫu).

Cách giải
Bước 1:
A(x)B(x) = 0
⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
Bước 2: Giải A(x) = 0 và B(x) = 0
Bước 3: Kết luận nghiệm
(lấy tất cả các nghiệm của chúng).

A(x) . B(x) = 0
Em hãy lấy ví dụ về
phương trình tích?


Toán 8

1. Phương trình tích và cách giải

Bài tập:

Ví dụ1. Giải phương trình:
Bài 1. Hãy chỉ ra phương trình
(2x – 3)(x + 1) = 0 (1)
tích trong các phương trình sau:
Giải:
a) (2x + 1)(x - 1, 5) = 1
(2x – 3)(x + 1) = 0
(x - 1)(x - 3)
⇔ 2x – 3 = 0 hoặc x + 1 = 0 B 1
b)
=0

2
x -4
1) 2x – 3 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 1,5
B2
c) (3, 5 - 7x)(0,1x + 2, 3) = 0
2) x + 1 = 0 ⇔ x = - 1
Tập nghiệm của phương trình đã cho
d) (x + 1)(x + 4) = (2 - x)(2 + x)
B
3
là S = {1,5; -1 }
2
*Xét phương trình tích có dạng: A(x)B(x) = 0 e) (4x + 2) - (x + x) = 0
(trong đó A(x), B(x) là những biểu thức hữu tỉ
của ẩn và không chứa ẩn ở mẫu).
Bài 2.Giải phương trình:
Cách giải
Bước 1:
A(x)B(x) = 0
⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
Bước 2: Giải A(x) = 0 và B(x) = 0
Bước 3: Kết luận nghiệm
(lấy tất cả các nghiệm của chúng).

a) (3, 5 - 7x)(0,1x + 2, 3) = 0
2
b) (4x + 2)(x + 1) = 0


Toán 8

1. Phương trình tích và cách giải
Ví dụ1. Giải phương trình:
(2x - 3)(x + 1) = 0
Giải:
( 2x – 3 )( x + 1) = 0
⇔ 2x – 3 = 0 hoặc x + 1 = 0
1) 2x – 3 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 1,5

2) x + 1 = 0 ⇔ x = - 1
Tập nghiệm của phương trình đã cho
là S = {1,5; -1 }
*Xét phương trình tích có dạng:
A(x)B(x) = 0
Cách giải
Bước 1:
A(x)B(x) = 0
⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
Bước 2: Giải A(x) = 0 và B(x) = 0
Bước 3: Kết luận nghiệm
(lấy tất cả các nghiệm của chúng).

2. Áp dụng
Ví dụ 2. Giải phương trình
(x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)
Giải:
(x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)
⇔ (x + 1)(x + 4) – (2 – x)(2 + x) = 0
⇔ ( x2 + x + 4x + 4) – (22 – x2) = 0
⇔ x2 + x + 4x + 4 – 4 + x2 = 0

⇔ 2x2 + 5x = 0
⇔ x(2x + 5) = 0
⇔ x = 0 hoặc 2x + 5 = 0
1) x = 0 ;
2) 2x + 5 = 0 ⇔ 2x = - 5 ⇔ x = - 2,5
Vậy tập nghiệm của phương trình
đã cho là S = { 0 ; - 2,5 }


Toán 8

1. Phương trình tích và cách giải
2. Áp dụng

A(x)B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

Ví dụ 2. Giải phương trình (x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)
Giải:
(x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)
⇔ (x + 1)(x + 4) – (2 – x)(2 + x) = 0
⇔ x2 + x + 4x + 4 – ( 4 – x2)= 0
Bước 1. Đưa phương trình đã
2
2
⇔ x + x + 4x + 4 – 4 + x = 0
cho về dạng phương trình tích.
2
⇔ 2x + 5x = 0
⇔ x(2x + 5) = 0
⇔ x = 0 hoặc 2x + 5 = 0

1) x = 0 ;
Bước 2. Giải phương
2) 2x + 5 = 0 ⇔ 2x = - 5 ⇔ x = - 2,5
trình tích rồi kết luận.
Vậy tập nghiệm của phương trình
đã cho là S = { 0 ; - 2,5 }
Nhận xét:
Bước 1. Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích.
Bước 2. Giải phương trình tích rồi kết luận.


Toán 8

1. Phương trình tích và cách giải
A(x)B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

2. Áp dụng

Ví dụ 2. Giải phương trình
(x + 1)(x + 4) = (2 – x)( 2 + x)
Giải:
(x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)
⇔ (x + 1)(x + 4) – (2 – x)(2 + x) = 0
⇔ x2 + x + 4x + 4 – 22 + x2 = 0
⇔ 2x2 + 5x = 0
⇔ x(2x + 5) = 0
⇔ x = 0 hoặc 2x + 5 = 0
1) x = 0 ;
2) 2x + 5 = 0 ⇔ 2x = - 5 ⇔ x = - 2,5
Vậy tập nghiệm của phương trình

đã cho là S = { 0 ; - 2,5 }
Nhận xét:
B1. Đưa PT đã cho về dạng PT tích.
B2. Giải PT tích rồi kết luận.

?3 Giải phương trình

(x - 1)(x2 + 3x - 2) - (x3 - 1) = 0
Giải:
(x - 1)(x2 + 3x - 2) - (x3 - 1) = 0
⇔ (x - 1)[(x2 + 3x - 2) - (x2 + x +1)] =
0
⇔ (x – 1)(x2 + 3x – 2 – x2 – x – 1) = 0
⇔ (x - 1)(2x - 3) = 0
⇔ x - 1 = 0 hoặc 2x - 3 = 0
1) x - 1 = 0 ⇔ x = 1
2) 2x - 3 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 1,5
Vậy tập nghiệm của phương trình đã
cho là S = { 1 ; 1,5 }


Toán 8

1. Phương trình tích và cách giải
A(x)B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

2. Áp dụng
?3 Giải phương trình

(x - 1)(x2 + 3x - 2) - (x3 - 1) = 0

Cách 1

Giải:

(x - 1)(x2 + 3x - 2) - (x3 - 1) = 0
⇔ (x - 1)[(x2 + 3x - 2) - (x2 + x +1)] =
0
⇔ (x – 1)(x2 + 3x – 2 – x2 – x – 1) = 0
⇔ (x - 1)(2x - 3) = 0
⇔ x - 1 = 0 hoặc 2x - 3 = 0
1) x - 1 = 0 ⇔ x = 1
2) 2x - 3 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 1,5
Vậy tập nghiệm của phương trình đã
cho là S = { 1 ; 1,5 }

Cách 2
(x - 1)(x2 + 3x - 2) - (x3 - 1) = 0
⇔ x3 + 3x2 - 2x - x2 - 3x + 2 - x3+1 = 0
⇔ 2x2 - 5x + 3 = 0
⇔ 2x2 - 2x - 3x + 3 = 0
⇔ (2x2 - 2x) - (3x - 3) = 0
⇔ 2x(x - 1) - 3(x - 1) = 0
⇔ (x - 1)(2x - 3) = 0
⇔ x - 1 = 0 hoặc 2x - 3 = 0
1) x - 1 = 0 ⇔ x = 1
2) 2x - 3 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 1,5
Vậy tập nghiệm của phương trình đã
cho là S = { 1 ; 1,5 }

Toán 8

1. Phương trình tích và cách giải
2. Áp dụng

A(x)B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

Ví dụ 2. Giải phương trình (x + 1)(x + 4) = (2 – x)( 2 + x)
Nhận xét: Bước 1. Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích.
Bước 2. Giải phương trình tích rồi kết luận.
Ví dụ 3: Giải phương trình 2x3 = x2 + 2x – 1
Giải:
3
2
2x = x + 2x - 1
⇔ 2x3 - x2 - 2x + 1 = 0
⇔ (2x3 - 2x) - (x2 - 1) = 0
Bước 1. Đưa phương trình đã cho
2
2
⇔ 2x(x - 1) - (x - 1) = 0
về dạng phương trình tích.
2
⇔ (x - 1) (2x - 1) = 0
⇔ (x + 1)(x - 1)(2x - 1) = 0
⇔ x + 1 = 0 hoặc x - 1 = 0 hoặc 2x - 1 = 0
1) x + 1 = 0 ⇔ x = - 1
Bước 2. Giải phương
2) x - 1 = 0 ⇔ x = 1
trình tích rồi kết luận.

3) 2x - 1 = 0 ⇔ x = 0,5
Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là: S = {-1; 1 ; 0,5}


Toán 8

Nhận dạng phương trình tích.

Phương
trình tích

Cách giải
phương
trình tích
A(x)B(x)=0

Cách giải
phương
trình đưa
được về
phương
trình tích

Bước 1:
A(x)B(x) = 0
⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
Bước 2: Giải A(x) = 0 và B(x) = 0
Bước 3: Kết luận nghiệm
(lấy tất cả các nghiệm của chúng).

Bước 1: Đưa phương trình
đã cho về dạng
phương trình tích.
Bước 2:

Giải phương trình
tích rồi kết luận.


Toán 8

1.Phương trình tích và cách giải
A(x)B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

2. Áp dụng
Ví dụ 2. Giải phương trình
(x + 1)(x + 4) = (2 – x)( 2 + x)
Nhận xét:
B1. Đưa PT đã cho về dạng PT tích.
B2. Giải PT tích rồi kết luận.
Ví dụ 3: Giải phương trình
2x3 = x2 + 2x – 1

.Trong trường hợp vế trái là tích
của nhiều hơn hai nhân tử, ta cũng
giải tương tự.

Bài 3. Giải phương trình:
x2 (x – 86) = (x – 86)(5x – 6)
Bạn Hoa giải phương trình trên

như sau:
x2 (x – 86) = (x – 86)(5x – 6)
⇔ x2 = 5x – 6
⇔ x2 – 5x + 6 = 0
⇔ (x – 2)(x– 3) = 0
⇔ x - 2 = 0 hoặc x - 3 = 0
1) x – 2 = 0 ⇔ x = 2
2) x – 3 = 0 ⇔ x = 3
Vậy tập nghiệm của phương trình
đã cho là : S = { 3 ; 2}
Theo
em bạn
Hoavìgiải
hay
sai,
Bạn Hoa
giải sai,
đã đúng
chia cả
2 vế
tại
củasao?
phương trình cho x – 86.


Toán 8

1.Phương trình tích và cách giải
A(x)B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

2. Áp dụng
Ví dụ 2. Giải phương trình
(x + 1)(x + 4) = (2 – x)( 2 + x)
Nhận xét:
B1. Đưa PT đã cho về dạng PT tích.
B2. Giải PT tích rồi kết luận.
Ví dụ 3: Giải phương trình
2x3 = x2 + 2x – 1

.Trong trường hợp vế trái là tích
của nhiều hơn hai nhân tử, ta cũng
giải tương tự.

Bài 3. Giải phương trình:
x2 (x – 86) = (x – 86)(5x – 6)
⇔ x2 (x – 86) – (x – 86)(5x – 6) = 0
⇔ (x – 86)[x2 – (5x – 6)] = 0
⇔ (x – 86)(x2 – 5x + 6) = 0
⇔ (x – 86)(x – 2)(x– 3) = 0
⇔ x - 86 = 0 hoặc x - 2 = 0
hoặc x - 3 = 0
1) x - 86 = 0 ⇔ x = 86
2) x – 2 = 0 ⇔ x = 2
3) x – 3 = 0 ⇔ x = 3
Vậy tập nghiệm của phương trình
đã cho là : S = { 3 ; 2 ; 86 }


Toán 8

1.Phương trình tích và cách giải
A(x)B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

2. Áp dụng
?4 Giải phương trình :

Bài 22(SGK/17). Giải phương trình:

(x3 + x2) + (x2 + x) = 0
⇔ x2 (x + 1) + x(x + 1) = 0
⇔ x(x + 1) (x + 1) = 0
(5,0 điểm)

f ) x2 – x – (3x – 3) = 0
⇔ (x2 – x ) – (3x – 3) = 0
⇔ x(x – 1) – 3(x – 1) = 0 (5,0 điểm)

⇔ x(x + 1)2 = 0
⇔ x = 0 hoặc x + 1 = 0

⇔ (x – 1)(x – 3) = 0
HOẠT ĐỘNG NHÓM
(1,5THEO
điểm) BÀN
⇔ x – 1 = 0 hoặc x – 3 = 0 (1,5 điểm)

1) x = 0

Dãy(2,0
1:điểm)

?4 - Dãy 2: ý f)

2) x +1 = 0 ⇔ x = - 1

Vậy tập nghiệm của phương trình
đã cho là : S = { 0 ; - 1 } (1,5 điểm)

1) x – 1 = 0 ⇔ x = 1
(2,0 điểm)
2) x – 3 = 0 ⇔ x = 3
Vậy tập nghiệm của phương trình
đã cho là : S = { 1 ; 3 }
(1,5 điểm)


Toán 8

1. Phương trình tích và cách giải
2. Áp dụng

A(x)B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

Ví dụ 2. Giải phương trình (x + 1)(x + 4) = (2 – x)( 2 + x)
Nhận xét: Bước 1. Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích.
Bước 2. Giải phương trình tích rồi kết luận.
Ví dụ 3: Giải phương trình 2x3 = x2 + 2x – 1
(3)

Bài 4 : Cho phương trình (ẩn x)
x 3 + kx 2 - 4x - 4 = 0

a) Giải phương trình khi k = 1
b) Tìm các giá trị của k sao cho phương trình nhận x = - 2
….là nghiệm.


Toán 8

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ:
- Học kỹ bài, nhận dạng được phương trình tích
nắm được cách giải phương trình tích.
- Làm bài tập 21; 22 (các ý còn lại); 23 SGK /17.
Học sinh giỏi và khá làm thêm bài 30; 32 SBT/10
- Giờ sau : Luyện tập.


Kính chúc các thầy cô giáo
mạnh khỏe – hạnh phúc !
Chúc các em chăm ngoan - học giỏi !
Xin trân trọng cảm ơn !