giao an hinh hoc 12 Chuong II

Ch ơng II
Phơng pháp toạ độ trong không gian
Tiết 25,26,27,28
Đ1: hệ toạ độ trong không gian
I/ Mục tiêu
1. Kiến thức:
- Biết các khái niệm: hệ toạ độ trong không gian, toạ độ của một vectơ, toạ độ của một điểm,
khoảng cách giữa hai điểm trong không gian
- Biết phơng trình mặt cầu
2. Kĩ năng:
- Tính đợc toạ độ của tổng, hiệu hai vectơ, tích của vectơ với một số, tính đợc tích vô hớng của
hai vectơ
- Tính đợc khoảng cách giữa hai điểm có toạ độ cho trớc
- Xác định đợc toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu có phơng trình cho trớc
- Viết đợc phơng trình mặt cầu
3. T duy, thái độ:
- Rèn kĩ năng t duy hình học, tính toán
- Giáo dục tính chính xác, khoa học
- Thấy đợc ứng dụng hình học trong thực tế
II/ Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
Giáo viên: Thớc kẻ, phấn mầu
Học sinh: Ôn lại các kiến thức về hệ toạ độ, toạ độ của một vectơ, toạ độ của một điểm,
khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng
III/ Tiến trình bài dạy học
Tiết 25
Ngày dạy: Lớp C1
Lớp C2
Lớp C3
1. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi: Nêu khái niệm hệ toạ độ, toạ độ của vectơ, toạ độ của một điểm trong mặt phẳng
2. Bài mới:

Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung
Hoạt động 1: Khái niệm hệ toạ độ
Giáo viên:
- Nêu khái niệm hệ toạ độ trong không gian và
các khái niệm có liên quan
- Hớng dẫn học sinh vẽ hình
- Yêu cầu học sinh nêu đặc điểm của các vectơ
,i j
r ur
và
k
r
- Cho học sinh thảo luận nhóm hđ 1
(sgk-trang 63)
I/ Toạ độ của điểm và của vectơ
1. Hệ toạ độ
x
y
z
Học sinh:
- Ghi nhớ khái niệm hệ toạ độ
- Vẽ hệ toạ độ Oxyz
- Nêu đặc điểm của các vectơ
,i j
r ur
và
k
r
- Thảo luận nhóm hđ 1(sgk-trang 63)
Hoạt động 2: Toạ độ của một điểm

Giáo viên:
- Từ hđ 1(sgk-trang 63) và từ định lí 2(sgk
hình học 11-trang 90) nêu khái niệm toạ độ
điểm trong không gian
- Hớng dẫn học sinh cách viết toạ độ của điểm
M
Học sinh:
- Ghi nhớ khái niệm toạ độ điểm trong không
gian
- Biết cách viết toạ độ một điểm
Hoạt động 3: Toạ độ của vectơ
Giáo viên:
- Từ định lí 2(sgk hình học 11-trang 90) nêu
khái niệm toạ độ vectơ trong không gian
- Hớng dẫn học sinh cách viết toạ độ của vectơ
a
r
- Nêu mối quan hệ giữa toạ độ điểm M và toạ
độ vectơ
OM
uuuur
Học sinh:
- Ghi nhớ khái niệm toạ độ vectơ trong không
gian
- Biết cách viết toạ độ một vectơ
- Tìm mối quan hệ giữa toạ độ điểm M và toạ
độ vectơ
OM
uuuur
Trong không gian, cho ba trục

' ' '
, ,x Ox y Oy z Oz

vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi
, ,i j k
r r r

lần lợt là các vectơ đơn vị trên các trục
'
x Ox
,
' '
,y Oy z Oz
.
=> Hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz
Trong đó:
+ O gọi là gốc toạ độ
+ Trục
'
x Ox
gọi là trục hoành
+ Trục
'
y Oy
gọi là trục tung
+ Trục
'
z Oz
gọi là trục cao
+ (Oxy), (Oyz), (Ozx) gọi là các mặt phẳng

toạ độ
Chú ý:
2 2 2
1i j k= = =
r r r
và
. . . 0i j j k k i= = =
r r r r r r
2. Toạ độ của một điểm
Trong không gian Oxyz, cho điểm M tuỳ ý
=> Tồn tại duy nhất bộ ba số (x; y; z) sao cho

OM xi y j zk= + +
uuuur r r r
Ngợc lại: Với mỗi bộ ba số (x; y; z) có một
điểm M duy nhất trong không gian thoả mãn
hệ thức
OM xi y j zk= + +
uuuur r r r
Khi đó: (x; y; z) gọi là toạ độ của M
Viết: M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z)
3. Toạ độ của vectơ
Trong không gian Oxyz cho vectơ
a
r
=>Tồn tại duy nhất bộ ba số
1 2 3
( ; ; )a a a
sao cho

1 2 3
a a i a j a k= + +
r r r r
Khi đó:
1 2 3
( ; ; )a a a
gọi là toạ độ của vectơ
a
r
Viết:
a
r
=
1 2 3
( ; ; )a a a
hoặc
a
r
1 2 3
( ; ; )a a a
Nhận xét: Trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của
điểm M chính là toạ độ của vectơ
OM
uuuur
Ta có: M = (x; y; z)
( )
; ;OM x y z =
uuuur
3. Củng cố: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật
' ' ' '

ABCDA B C D
có đỉnh
A
trùng với
gốc toạ độ O, có
'
, ,AB AD AA
uuur
uuur uuur
theo thứ tự cùng hớng với
, ,i j k
r r r
và có
'
; ;AB a AD b AA c= = =
.
Hãy tính toạ độ các vectơ
'
, ,AB AC AC
uuuur
uuur uuur
và
AM
uuuur
với M là trung điểm của
' '
C D
Giải: Cho hình hộp chữ nhật
' ' ' '
ABCDA B C D

nh hình vẽ
Ta có :
'
, ,AB ai AD b j AA ck= = =
uuur
uuur r uuur r r
=>
AC AB AD ai b j= + = +
uuur uuur uuur r r

' '
AC AC AA ai b j ck= + = + +
uuuur uuur
uuur r r r

' ' '
1 1
2 2
AM AD D M AD AA AB ai b j ck= + = + + = + +
uuuur uuuuur uuur
uuuur uuur uuur r r r
Vậy:
( )
;0;0AB a=
uuur

( )
; ;0AC a b=
uuur

( )
'
; ;AC a b c=
uuuur

; ;
2
a
AM b c

=
ữ

uuuur
4. Hớng dẫn học bài: Học bài và xem lại các phép toán toạ độ trong mặt phẳng
Tiết 26
Ngày dạy: Lớp C1
Lớp C2
Lớp C3
1. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi: Nêu khái niệm hệ toạ độ, toạ độ của vectơ, toạ độ của một điểm trong không gian
2. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung
Hoạt động 4: Định lí về các phép toán vectơ
Giáo viên:
- Nêu nội dung định lí
- Cho học sinh thảo luận nhóm cách chứng
minh định lí
Nhóm 1 và 2: ý a
Nhóm 3 và 4: ý b

Nhóm 5 và 6: ý c
- Lấy ví dụ minh hoạ
Học sinh:
- Ghi nhớ định lí
- Thảo luận nhóm cách chứng minh định lí
II/ Biểu thức toạ độ của các phép toán vetơ
Định lí: Trong không gian Oxyz cho hai
vectơ
( )
1 2 3
; ;a a a a=
r
và
( )
1 2 3
; ;b b b b=
r
. Ta có
a)
( )
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b+ = + + +
r r
b)
( )
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b =
r r
c)
( ) ( )

1 2 3 1 2 3
; ; ; ; ,la l a a a la la ka l= =
r
Ă
Chứng minh: Theo giả thiết ta có

( )
1 2 3 1 2 3
; ;a a a a a i a j a k= = + +
r r r r
và
( )
1 2 3 1 2 3
; ;b b b b b i b j b k= = + +
r r r r
a)
1 2 3 1 2 3
( ) ( )a b a i a j a k b i b j b k+ = + + + + +
r r r r r r r uur

1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( )a b i a b j a b k= + + + + +
r r r
Nhóm 1 và 2: ý a
Nhóm 3 và 4: ý b
Nhóm 5 và 6: ý c
- Vận dụng giải ví dụ minh hoạ
Hoạt động 5: Một số hệ quả đợc suy ra từ
định lí
Giáo viên:

- Gợi ý, hớng dẫn học sinh lần lợt phát hiện
các hệ quả
Học sinh:
- Theo sự hớng dẫn của giáo viên lần lợt phát
hiện các hệ quả của định lí
- Tự chứng minh các hệ quả vừa tìm đợc
Vậy
( )
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b+ = + + +
r r
b)
1 2 3 1 2 3
( ) ( )a b a i a j a k b i b j b k = + + + +
r r r r r r r uur

1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( )a b i a b j a b k= + +
r r r
Vậy
( )
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b = +
r r
c)
1 2 3 1 2 3
( )la l a i a j a k la i la j la k= + + = + +
r r r r r r r
Vậy
( ) ( )

1 2 3 1 2 3
; ; ; ; ,la l a a a la la ka l= =
r
Ă
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ
( )
5;7;2a =
r
,
( )
3;0; 4b =
r
và
( )
6;1; 1c =
r
.
Hãy tìm các vectơ sau
a)
3 2m a b c= +
ur r r r
b)
5 6 4n a b c= + +
r r r r
Giải:
a) Ta có:

( )
3 15;21;6a =
r

,
( )
2 6;0;8b =
r
,
( )
6;1; 1c =
r
Do đó
( )
3 2 3;22; 3m a b c= + =
ur r r r
b) Tơng tự
( )
5 25;35;10a =
r
,
( )
6 18;0; 24b =
r
,
( )
4 24;4; 4c =
r
Do đó
( )
5 6 4 19;39;30n a b c= + + =
r r r r
Hệ quả: Trong không gian Oxyz
a) Cho hai vectơ

( )
1 2 3
; ;a a a a=
r
và
( )
1 2 3
; ;b b b b=
r

Ta có:
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= =


=

r r
b) Vectơ
0
r
có toạ độ là

( )
0;0;0
c) Với
0b
r r
thì hai vectơ
a
r
và
b
r
cùng phơng
khi và chỉ khi có một số k sao cho:

1 1 2 2 3 3
; ;a kb a kb a kb= = =

d) Nếu cho hai điểm
( )
; ;
A A A
A x y z
và
( )
; ;
B B B
B x y z
thì
i)
( )

; ;
B A B A B A
AB OB OA x x y y z z= =
uuur uuur uuur
ii) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là

; ;
2 2 2
B A B A B A
x x y y z z
M
+ + +

ữ

Chứng minh (hs tự chứng minh)
3. Củng cố: Cho tứ diện ABCD có
( )
1 2 3
; ;A a a a
,
( )
1 2 3
; ;B b b b
,
( )
1 2 3
; ;C c c c
và
( )

1 2 3
; ;D d d d
. Gọi E
và F lần lợt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của EF (G đợc gọi là trọng tâm
của tứ diện). Hãy tìm toạ độ của G
Giải:
Vì E là trung điểm của AB nên
3 3
1 1 2 2
; ;
2 2 2
a b
a b a b
E
+
+ +

ữ

Tơng tự: F là trung điểm của CD nên
3 3
1 1 2 2
; ;
2 2 2
c d
c d c d
F
+
+ +

ữ

Khi đó toạ độ của điểm G là

3 3 3 3
1 1 1 1 2 2 2 2
; ;
4 4 4
a b c d
a b c d a b c d
G
+ + +
+ + + + + +

=
ữ

4. Hớng dẫn học bài:
BTVN : Bài 1,2,3 (sgk-trang 68)
Tiết 27
Ngày dạy: Lớp C1
Lớp C2
Lớp C3
1. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi: Nêu biểu thức toạ độ của tích vô hớng của hai vectơ trong hình học phẳng
2. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung
Hoạt động 6: Biểu thức toạ độ của tích vô
hớng
Giáo viên:

- Nêu định lí và hớng dẫn học sinh chứng
minh
- Lấy ví dụ minh hoạ
Học sinh:
- Ghi nhớ nội dung và chứng minh định lí theo
hớng dẫn của giáo viên
- Vận dụng định lí giải ví dụ minh hoạ
Hoạt động 7: Một số ứng dụng của định lí
Giáo viên:
- Hớng dẫn học sinh tìm hiểu một số ứng dụng
của định lí: Tính độ dài của một vectơ, tính
khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai
vectơ
- Lấy ví dụ minh hoạ
Học sinh:
- Ghi nhớ các công thức tính độ dài của một
vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính
góc giữa hai vectơ
- Vận dụng giải ví dụ minh hoạ
III/ Tích vô h ớng
1. Biểu thức toạ độ của tích vô hớng
Định lí: Trong không gian Oxyz, tích vô hớng
của hai vectơ
( )
1 2 3
; ;a a a a=
r
và
( )
1 2 3

; ;b b b b=
r
đ-
ợc xác định bởi công thức

1 1 2 2 3 3
.a b a b a b a b= + +
r r
Chứng minh: (sgk-trang 65)
Ví dụ: Tính
a)
.a b
r r
với
( )
2;3;1a =
r
và
( )
1;4;0b =
r
Ta có
. 2.( 1) 3.4 1.0 10a b = + + =
r r
b)
.c d
r ur
với
1
;6; 2

2
c

=
ữ

r
và
1
2; ;1
3
b

=
ữ

r
Ta có
1 1
. .( 2) 6. ( 2).1 1
2 3
c d = + + =
r ur
2. ứng dụng
a) Độ dài của một vectơ:
Cho vectơ
( )
1 2 3
; ;a a a a=
r

. Ta có

2
2 2
a a a a= =
r r r r
Do đó:
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
b) Khoảng cách giữa hai điểm:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
( )
; ;
A A A
A x y z
và
( )
; ;
B B B
B x y z

Ta có
AB AB=
uuur
Vậy
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A

AB x x y y z z= + +
c) Góc giữa hai vectơ:
Gọi

là góc giữa hai vectơ
( )
1 2 3
; ;a a a a=
r
và
( )
1 2 3
; ;b b b b=
r
với
a
r
và
b
r
khác
0
r
thì
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos
.

.
a b a b a b
a b
a b
a a a b b b

+ +
= =
+ + + +
r r
r r
Đặc biệt:
1 1 2 2 3 3
0a b a b a b a b + + =
r r
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ
( )
3;0;1a =
r
,
( )
1; 1; 2b =
r
và
( )
2;1; 1c =
r
. Hãy
tính
a)

( )
( ) ( ) ( )
( )
. 3. 1 2 0. 1 1 1. 2 1a b c+ = + + + + +
r r r
3.3 0 1.( 3) 6= + + =
b)
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
3 1 0 1 1 2a b+ = + + + + +
r r

16 1 1 18 3 2= + + = =
c) Góc giữa hai vectơ
a
r
và
c
r
Gọi

là góc giữa hai vectơ
a
r
và
c

r
. Ta có
( )
( )
2
2 2
3.2 0.1 1. 1
. 5
cos
2 15
.
3 0 1. 2 1 1
a c
a c

+ +
= = =
+ + + +
r r
r r
0 ' ''
49 47 49


3. Củng cố: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A (a; 0; 0),
B (0; b; 0) và C (0; 0; c). Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Giải: Ta có
( )
; ;0AB a b=
uuur

và
( )
;0;AC a c=
uuur
Khi đó
( )
2
. . .0 0. 0AB AC a a b c a= + + = >
uuur uuur

=> Góc
ẳ
BAC
là góc nhọn hay góc A nhọn
Tơng tự:
2
. 0BA BC b= >
uuur uuur
và
2
. 0CA CB c= >
uuur uuur

=> các góc B và C đều nhọn
=> đpcm
4. Hớng dẫn học bài:
BTVN : Bài 4 (sgk-trang 68)
Tiết 28
Ngày dạy: Lớp C1
Lớp C2

Lớp C3
1. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi: Nêu định nghĩa và các cách xác định mặt cầu
2. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung
Hoạt động 8: Phơng trình mặt cầu
Giáo viên:
- Nêu định lí và hớng dẫn học sinh
chứng minh
- Hớng dẫn học sinh viết phơng trình
mặt cầu
- Lấy ví dụ minh hoạ
Học sinh:
- Ghi nhớ nội dung và chứng minh định
lí theo hớng dẫn của giáo viên
- Nắm đợc cách viết phơng trình mặt cầu
khi biết toạ độ tâm và bán kính
- Vận dụng giải ví dụ minh hoạ
Hoạt động 9: Cách xác định tâm và
bán kính của mặt cầu
Giáo viên:
- Yêu cầu học sinh khai triển phơng trình
(1) và nêu nhận xét về phơng trình dạng
2 2 2
2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + =
với điều kiện
2 2 2
0A B C D+ + >
- Yêu cầu học sinh xác định tâm và bán
kính của mặt cầu có phơng trình (2)

- Yêu cầu học sinh nhận xét đặc điểm
của phơng trình mặt cầu
- Lấy ví dụ minh hoạ
Học sinh:
IV/ Phơng trình mặt cầu
Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I
(a; b; c) bán kính r có phơng trình là

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c r + + =
(1)
Chứng minh: (sgk-trang 67)
Ví dụ : Viết phơng trình mặt cầu
a) Tâm I (1; -2; 3) có bán kính r = 5
b) Đờng kính AB biết A (1; 4; 3) và
B (-1; 4; 1)
Giải:
a) Mặt cầu tâm I (1; -2; 3) bán kính r = 5 có phơng
trình là

( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2
1 2 3 5x y z + + =
( ) ( ) ( )

2 2 2
1 2 3 25x y z + + + =
b) Mặt cầu đờng kính AB có tâm I là trung điểm của
AB, bán kính r =
2
AB
Do đó I (0; 4; 2)
và r =
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
1 1 4 4 1 3 2
2
+ + =

Vậy phơng trình mặt cầu là

( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
0 4 2 2x y z + + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 4 2 2x y z + + =
Nhận xét:
1. Phơng trình mặt cầu (S) có thể viết dới dạng

2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + =

với
2 2 2 2
d a b c r= + +
=> Phơng trình dạng

2 2 2
2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + =
(2)
với điều kiện
2 2 2
0A B C D+ + >
là phơng trình của
mặt cầu tâm I (-A; -B; -C) bán kính
r =
2 2 2
A B C D+ +
Chứng minh: Phơng trình

2 2 2
2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + =
( ) ( ) ( )
(
)
2
2 2 2
2 2 2
x A y B z C A B C D + + + + + = + +