Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua các bài toán tính khoảng cách.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đồng hành cùng sự phát triển của xã hội và thực hiện theo mục
tiêu mà Bộ GD đề ra, ở nhà trường cũng đã nhanh chóng từng bước đổi
mới phương pháp dạy và học hướng tới đào tạo thế hệ học sinh thành
những con người lao động tích cực, chủ động, sáng tạo bắt nhịp với xu
thế phát triển của toàn cầu hóa. Mục tiêu đó chủ yếu được thực hiện
thông qua hoạt động giáo dục và giảng dạy ở nhà trường phổ thông.
Trong giảng dạy thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học
sinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng kỹ xảo
đồng thời rèn luyện trí tuệ. Vì vậy nó được quan tâm nhiều trong dạy
học. Chủ đề khoảng cách trong không gian được trình bày cụ thể và
chú trọng, tuy nhiên bài tập về vấn đề này đã gây ra không ít khó
khăn, vướng mắc cho những người học toán. Trong sách giáo khoa,
sách bài tập, và các tài liệu tham khảo, loại bài tập về chủ đề khoảng
cách này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải,
chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các phương pháp tính
khoảng cách trong không gian.
Đối với các giáo viên , thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận
các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn
một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn

1


Trước các lí do trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện
tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học các bài toán
tính khoảng cách trong không gian ” nhắm cung cấp cho học sinh
một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính khoảng cách

trong không gian, một hệ thống bài tập đã được phân loại một cách
tương đối tốt, qua đó giúp học sinh khong phải e sợ phần này và quan
trọng, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách
giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho
mỗi bài toán.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng, sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống,
thông qua đó để góp phần phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho
học sinh THPT trong việc dạy học các bài toán tính khoảng cách trong
không gian.

3. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình và cách tổ chức dạy học các bài toán tính khoảng cách
trong không gian ở trường THPT
4. Giả thuyết khoa học
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Tìm hiểu, nghiên cứu một số yếu tố của tư duy sáng tạo qua đó
đề xuất một số biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trong
dạy học các bài toán tính khoảng cách trong không gian.
+Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc của tư duy tích cực, tư duy sáng
tạo.
+Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi
và tính thực tiễn của sáng kiến kinh nghiệm.
6. Phương pháp nghiên cứu
2


+ Phương pháp nghiên cứu lí luận
+ Phương pháp điều tra, khảo sát
7. Dàn ý nội dung công trình

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN (sai cách đánh mục: 1.1. Cơ sở lí luận/ 1.2. Cở
thực tiễn/…)
1.1. Tư duy là gì?
Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật
chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh
tích cực thế giới khách quan trong các khả năng, phán đoán, lý luận …
Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và
bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối
liên hệ hợp quy luật của thực tại”.
1.2. Tư duy sáng tạo
3


Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới
độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thề hiện ở
chỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen
thuộc hoặc duy nhất.
Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói “Người có óc sáng tạo là
người có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết được vấn đề đặt
ra”.
Tùy theo mức độ của tư duy, người ta đã chia thành ba loại hình:
Tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi
trước là tiền đề tạo nên mức độ tư duy đi sau.
Có thể biểu thị mối quan hệ giữa ba loại hình tư duy như sau:
Ba vòng tròn đồng tâm về tư duy của V.A Krutexcki
Tư duy sáng tạo tạo tạo

Tư duy độc lập

Tư duy tích cực
Như vậy có thể hiểu tư duy sáng tạo là sự kết hợp cao nhất của tư
duy độc lập và tư duy tích cực, tạo ra cái mới độc đáo và có hiệu quả
giải quyết vấn đề cao
1.3. Các thành phần của tư duy sáng tạo
Nhiều nhà nghiên cứu về tâm lý học, giáo dục học đã đưa ra các
cấu trúc khác nhau của tư duy sáng tạo. Tuy nhiên theo các tác giả
Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân thì tư duy sáng tạo có
những thành phần cơ bản sau đây.
1.3.1. Tính mềm dẻo

4


Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí
tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác , từ thao tác tư duy này sáng thao
tác tư duy khác, vận dụng các hoạt động phân tích, suy diễn , tương tự,
dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp
thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh
chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan điểm này
sang góc độ quan điểm khác, định nghĩa là sự vật. hiện tượng , gạt bỏ
sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới , tạo ra sự
vật mới trong những quan hệ mới , hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận
ra bản chất sự vật và điều chỉnh phán đoán. Suy nghĩ không rập khuôn
, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn
vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố thay đổi ,
có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm những kinh nhiệm, những

phương pháp , những cách suy nghĩ đã có từ trước . Đó là nhận ra vấn
đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thây chức năng mới của đối
tượng quen biết.
Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của
tư duy sáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có
thể cho các em giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính
mềm dẻo của tư duy.
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các
yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý
tưởng mới. Là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và
tình huống khác nhau. Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng
tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng càng nhiều thì
càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo. Trong trường hợp
này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng.
1.3.3 Tính độc đáo
5


Tính độc đáo của tư duy được đắc trưng bởi các khả năng.
-

Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới.
Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sựu kiện mà bên

-

ngoài liên tưởng như không có liên hệ với nhau .
Khả năng tìm ra những giải pháp lạ lụy đã biết những giải pháp khác.
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có

quan hệ mật thiết với nhau , hỗ trợ bổ sung cho nhau . Khả năng dễ
dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác ( tính
mềm dẻo ) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều
góc độ và tình huống khác nhau.
1.3.4. Tính hoàn thiện
Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát
triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề
Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn,
những sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu,...và từ đó đưa ra những đề xuất
hướng giải quyết, tạo ra cái mới.
Ngoài ra tư duy sáng tạo còn có những yếu tố quan trọng khác
như: Tính chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại, khả
năng phán đoán.
Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng
có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ
dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính
mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ
và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất được
nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được phương án lạ, đặc sắc
(tính độc đáo). Các yếu tố cơ bản này lại có mối quan hệ khăng khít với
các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm
vấn đề... Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư
duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.
6


Hoạt động giải toán là một hoạt động đặc biệt kích thích học sinh
tìm tòi, khám phá, giải những bài toán khó thông qua việc huy động
các tri thức của mình đã có với mong muốn tiếp thu tri thức mới, qua

đó giúp HS rèn luyện tư duy sáng tạo toán học, bởi mỗi dạng bài tập
đều có tác dụng nhất định đối với từng thành phần cơ bản của tư duy
sáng tạo.
Để thực hiện tốt các biện pháp trên, mỗi giáo viên cần thường
xuyên trau dồi kiến thức toán học phổ thông, trên cơ sở kiến thức toán
học hiện đại có liên quan và đầu tư phương pháp dạy học tốt.
1.4. Một số hạn chế, khó khăn mà học sinh và giáo viên thường
gặp khi giải một bài toán khoảng cách trong không gian.
1.4.1. Thực trạng chung
Hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung
phong phú, là môn học đòi hỏi học sinh có tính trừu tượng, trí tưởng
tượng không gian, đòi hỏi tính sáng tạo cao. Phương pháp dạy học
chưa phù hợp với từng nội dung và năng lực học sinh. Giáo viên còn
hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng phương tiện, chất lượng
công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học bộ môn… Từ các nguyên nhân trên
dẫn đến học sinh chưa hứng thú học tập môn hình học không gian, kết
quả học tập của học sinh còn hạn chế.
1.4.2. Thực trạng đối với giáo viên
Qua thời gian ngồi trên ghế nhà trường năm cấp 3, cùng trao đổi
với bạn bè và thầy cô về dạy học bộ môn hình học không gian với
những nội dung cơ bản để vận dụng giải toán, cho thấy trong quá trình
dạy học bộ môn, phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý
thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể mà
chưa khai thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau. Do khả năng giáo
viên còn có phần hạn chế về bộ môn dẫn tới chưa thu hút được học
sinh say mê học tập, chất lượng dạy và học bộ môn còn có những hạn
chế nhất định: Giáo viên đã cố gắng đưa ra hệ thống các câu hỏi gợi
mở để dẫn dắt học sinh tìm hiểu các vấn đề nêu ra, học sinh tập trung
7

đọc sách giáo khoa, quan sát hình vẽ, tích cực suy nghĩ, phát hiện và
giải quyết các vấn đề theo yêu cầu của câu hỏi.
Tuy kết quả là học sinh thuộc bài, nhưng hiểu chưa sâu sắc về kiến
thức, kĩ năng vận dụng vào thực tế chưa cao, đặc biệt sau một thời
gian không thường xuyên ôn tập hoặc khi tiếp tục học thêm các nội
dung tiếp theo thì học sinh không còn nắm vững được các kiến thức đã
học trước đó.
1.4.3. Thực trạng đối với học sinh
Trong quá trình dạy học môn Toán, nhất là môn Hình học thì quá
trình học tập của học sinh còn khá nhiều em học tập chưa tốt. Đặc
điểm cơ bản của môn học là môn yêu cầu các em có trí tưởng tượng
phong phú. Cách trình bày chặt chẽ, suy luận logic của một bài hình
học làm cho học sinh khó đạt điểm cao trong bài tập hình không gian.
Ở trường các em học sinh được học sách Hình học cơ bản, các bài
tập tương đối đơn giản so với sách nâng cao nhưng khi làm các bài tập
trong đề thi khảo sát chất lượng thì bài tập có yêu cầu cao hơn nên
cũng gây một phần lúng túng cho học sinh. Nhiều em không biết cách
trình bày bài giải, sử dụng các kiến thức hình học đã học chưa thuần
thục, lộn xộn trong bài giải của mình. Cá biệt có một vài em vẽ hình
quá xấu, không đáp ứng được yêu cầu của một bài giải hình học.Vậy
thì nguyên nhân nào cản trở quá trình học tập của học sinh? Khi giải
các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường gặp
một số khó khăn với nguyên nhân như là :
+ Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian tốt khi gặp một
bài toán hình không gian.
+ Do đặc thù môn hình không gian có tính trừu tượng cao nên việc
tiếp thu, sử dụng các kiến thức hình không gian là vấn đề khó đối với
học sinh
+ Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái

niệm của hình không gian hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy các kết quả
của hình học phẳng được sử dụng trong hình không gian, chưa biết vận
dụng các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian
8


+ Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ của giả thiết và
kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng
cách .
+ Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định
đúng đắn động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ
môn, từng phân môn hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp
cho học sinh. Cũng có thể do chính các thầy cô chưa chú trọng rèn
luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tôt làm
giảm nhận thức của học sinh...
1.5. Phương pháp chung để giải một bài toán tính khoảng cách
trong không gian
Ta đã biết dạy toán là dạy hoạt động toán học, trong đó giải toán
là hoạt động chủ yếu. Giải toán giúp học sinh nắm vững tri thức, hình
thành kỹ năng kỹ xảo, phát triển tư duy tích cực, độc lập sáng tạo.
Nghiên cứu hoạt động của sự phát triển trí tuệ con người, người ta
đã rút ra nhận xét: Có hai phạm trù khác nhau của ý nghĩ:
Phạm trù thứ nhất bao gồm những cái do chúng ta sản sinh ra một
cách tích cực bằng hành vi, tư duy, bằng sự suy ngẫm.
Phạm trù thứ hai gồm những cái tự phát lóe lên trong ý thức của
chúng ta”.
Vì vậy việc giải toán nói chung, dạy bài tập tìm khoảng cách nói
riêng đều phải cung cấp hệ thống tri thức, những kỹ năng giải bài tập
từ đó kích thích hoạt động tích cực của học sinh. Đồng thời thông qua
hoạt động hướng dẫn làm lóe lên những ý tưởng mới khi giải toán, đó

là cơ sở để học sinh có được những phát kiến mới, nói cách khác tư duy
sáng tạo của học sinh có điều kiện phát triển lên cao.
Theo “sáng tạo toán học” của PÔLIA(1975) phương pháp chung để
giải một bài tập toán gồm 4 bước như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Bước 2: Tìm cách giải
Bước 3: Trình bày lời giải theo trình tự các bước thích hợp
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
9


Ta có thể xét ví dụ cụ thể sau:
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì nằm
trong một tam giác đều tới 3 cạnh của tam giác đó là một hằng số.
Ta sẽ giải quyết bài toán theo từng bước cụ thể.
A

K

H

M

B

I

I'

C

Hình 1
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Để hiểu được nội dung đề bài ta sẽ phát biểu bài toán một cách cụ
thể: “Cho tam giác đều ABC, gọi M là 1 điểm nằm trong tam giác đó.
Hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, BC, CA lần lượt là H, I, K.
Chứng minh rằng MH + MI + MK không đổi khi M di chuyển trong tam
giác ABC”.
Bước 2: Tìm cách giải
Việc giải bài toán sẽ dễ hơn nếu ta xác định được hằng số MH + MI
+ MK. Muốn vậy, ta có thể đặc biệt hóa bằng cách lấy M trùng điểm A,
I tới vị trí I’. Khi đó:
MH + MI + MK = 0 + AI’ + 0 = AI’
Như vậy hằng số cần tìm là độ dài đường cao h của tam giác đều
ABC. Ta đưa về bài toán chứng minh : MH + MI + MK = h.
Để chứng minh tổng MH + MI + MK = h ta nghĩ tới sắp đặt 3 đoạn
thẳng này liên tiếp trên 1 đường thẳng nào đó để tạo thành 1 đoạn
thẳng có độ dài h, nhưng điều này khó thực hiện khi M di chuyển trong
tam giác ABC. Hướng khác có thể biểu thị h qua những đại lượng không
10


đổi khác như S(diện tích), cạnh của tam giác đều,…Ta nghĩ đến biểu
thức:

S ∆MAB + S ∆MBC + S ∆MCA = S ∆ABC

Hay

⇔

1
1
1
1
a.MH + a.MI + a.MK = a.h
2
2
2
2
1
1
a.( MH + MI + MK ) = a.h
2
2

Do đó MH + MI + MK = h (*)

Để kiểm tra lời giải trước hết ta thử M ở vị trí khác chẳng hạn M là
giao điểm của 3 đường cao thì đẳng thức (*) có đúng không?
Do MH = MI = MK = nên ta có (*) đúng.
Bước 3: Trình bày lời giải
Gọi M là điểm bất kì trong tam giác đều ABC, hình chiếu của M lên
AB, BC, CA lần lượt là H, I, K. Cạnh và đường cao của tam giác đó lần
lượt là a và h. Ta có:

S ∆MAB + S ∆MBC + S ∆MCA = S ∆ABC

Hay

⇔

1
1
1
1
a.MH + a.MI + a.MK = a.h
2
2
2
2
1
1
a.( MH + MI + MK ) = a.h
2
2

Do đó MH + MI + MK = h
Đẳng thức này chứng tỏ tổng MH + MI + MK không đổi khi M di
chuyển trong tam giác ABC.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
11


Từ bài toán này ta có thể phát biểu và giải những bài toán khái
quát hoặc mở rộng sau đây:
1. Mở rộng bài toán ra trường hợp đa giác đều: “ Chứng minh rằng
tổng các khoảng cách từ 1 điểm bất kì trong 1 đa giác đều tới các cạnh
của đa giác đó là hằng số”.
2. Mở rộng bài toán cho trường hợp tứ diện đều: “Chứng minh rằng

tổng các khoảng cách từ 1 điểm bất kì nằm trong tứ diện đều tới các
mặt của tứ diện đó là 1 hằng số”.
Như vậy quá trình học sinh học phương pháp chung để giải toán là
một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh
nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt các
bài toán cụ thể. Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một
bài toán cụ thể, áp dụng vào từng trường hợp nhất định là cả một
chặng đường đòi hỏi phải có lao động tích cực của người.
Chủ đề “khoảng cách không gian” chứa đựng nhiều tiềm năng to
lớn trong việc phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh. Bên
cạnh giúp các em giải quyết các bài toán cơ bản về khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng, khoảng học sinh trong đó có nhiều yếu
tố sáng tạo. Theo PÔLIA thì “tìm được cách giải một bài toán là một
phát minh”.cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, hai
mặt phẳng song song, khoảng cách mới trên cơ sở những bài tập cơ
bản, tạo cơ hội cho học sinh phát giữa hai đường thẳng chéo nhau thì
người giáo viên cần xây dựng hệ thống bài tập triển năng lực sáng tạo
của mình. Phục vụ mục đích đó, khóa luận đưa ra một số bài tập về
tính khoảng cách nhằm phát triển tính tích cực, tư duy sáng tạo cho
học sinh.
1.6. Một số khái niệm về khoảng cách trong không gian
1.6.1. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt
phẳng song song với nó
12


Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α),
khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ
một điểm bất kì của
a

là d(a, (α)).

α

O

A

A'

a đến mp(α), kí hiệu

H

Hình 2
Nhận xét:
- Việc tính toán khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng (α)
được quy về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
1.6.2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Định nghĩa: Cho điểm O và đường
thẳng a. Trong mặt phẳng (O,a) gọi H là hình
chiếu vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng
cách giữa hai điểm O và H được gọi là
khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a,
kí hiệu là d(O,a).
Hì
nh 3

Nhận xét:

- Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a ta có thể
+ Xác định hình chiếu H của O trên a và tính OH
13


+ Áp dụng công thức
1.6.3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Định nghĩa: Cho điểm O và mặt
O

phẳng (α). Gọi H là hình chiếu vuông
góc của O lên mặt phẳng (. Khi đó
khoảng cách giữa 2 điểm O và H được
gọi là khoảng cách từ điểm O đến mp(
), kí hiệu là d(O, (α)).

H
α

Hình 4

Nhận xét:
1.6.4.

Khoảng cách giữa 2 mặt

phẳng song song

A
α

Định nghĩa: Khoảng cách giữa 2 mặt
phẳng song song là khoảng cách từ một điểm
bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia,

A'
β

kí hiệu là d((α),(β)).

Hình 5
Nhận xét:
- M ∈ (α), N ∈ (β), MN ≥ d((α); (β))
Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về
việc tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng.
1.6.5 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
14


Định nghĩa: Đường vuông góc chung: Đường thẳng ∆ cắt 2 đường
thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là
đường vuông góc chung của 2 đường thẳng a và b.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Nếu đường vuông góc
chung ∆ cắt 2 đường thẳng chéo

∆

nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ

a

M

dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng
cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
b

a và b. Kí hiệu là d(a,b).

N

Hình 6
Nhận xét:
- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách
giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó
chứa đường thẳng còn lại.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
M

a

b
α

a'

N

Hình 7

- M ∈ a, N ∈ b, MN ≥ d(a;b)
- Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm
như sau:
+ Tìm H và K từ đó suy ra d(a;b) = HK
+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó d(a;b)
= d(b,(P))
15


+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P) và (Q) lần lượt chứa a và b.
Khi đó d(a;b) = d((P),(Q))
+ Sử dụng phương pháp tọa độ.
NHẬN XÉT TỔNG QUÁT:
Để tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (α) ta có thể sử dụng
một trong các cách sau:
Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của O trên (α)
và tính OH
* Phương pháp chung
- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với (α)
- Tìm giao tuyến của (P) và (α)
- Kẻ . Khi đó d(O, (α))=OH. Đặc biệt :
+ Trong hình chóp đều , thì chân
đường cao trùng với đáy

a

M

α

+ Hình chóp có một mặt bên vuông
goc với đấy thì chân đường cao chính là
giao tuyến của hai mặt bên này

b
β

N

Hình 8
+ Hình chóp có các cạnh bằng nhau ( hoặc tạo với đáy những góc
bằng nhau ) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đấy những góc bằng nhau thì
chân đường cào là tâm đường tròn nội tiếp đáy.

Cách 2. Sử dụng công thức thể tích

16


Thể tích của khối chóp . Theo cách này , để tính khoảng cách từ
đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S
Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh
Ý tưởng của phương pháp này là : bằng cách trượt đỉnh O trên
đường thẳng đến 1 vị trí thuận lợi O’, ta quy việc tính về việc tính . Ta
thường sử dụng những kết quả sau :
Kết quả 1. Nếu đường thẳng

∆

song song với mặt phẳng () và M, N
d ( M ,( α ) )

thuộc đường thẳng

∆

(không trùng với I)

d ( N,( α ) )

=

MI
NI

thì

Đặc biệt:
•
•

Nếu M là trung điểm của NI thì
Nếu I là trung điểm của MN thì

Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông
Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau : Giả sử OABC là tứ
diện vuông tại

và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó

đường cao OH được tính bằng công thức :

Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau
đó sử dụng các công thức sau :
với
với là đường thẳng đi qua A và có vecto chỉ phương
với là đường thẳng đi qua A’ và có vecto
Cách 6. sử dụng phương pháp tọa độ vectơ trong không
gian
17


Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

cho :

v = x.i + y. j + z.k ⇔ v = ( x; y; z )
OM = x.i + y. j + z.k = M ( x; y; z )

Với :

a = (a1; a2 , a3 )

và

b = (b1; b2 ; b3 )

, ta có :

a.b = a . b . cos(a, b)
•
•

a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
r
a = a12 + a22 + a32

•
•

a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Tích có hướng của hai vectơ

•

•
•

•

[

a, b = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )

]

r r
r
 a, b  ⊥ a
 
a

;

r r
r
 a, b  ⊥ b
 

cùng phương với

r r r
a , b, c

đồng phẳng

r
b ⇔ a, b = 0

[

]

r r r
⇔  a, b  c = 0

18


Hình 9

 Một số lưu ý khi chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian

Ta có :

Ox, Oy, Oz

vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình

chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt
thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :
 Với

hình

lập

phương

hoặc

hình

hộp

chữ

nhật

ABCD. A' B ' C ' D'
•

Với hình lập phương

Chọn hệ trục tọa độ sao cho
A(0;0; 0) ; B( a; 0;0) ; C ( a; a;0) ; D(0;a;0)

A '(0;0; a) ; B '( a;0; a) ; C '( a; a; a) ; D'(0;a;a)
•

Với hình hộp chữ nhật.
19


Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A(0; 0;0) ; B( a; 0;0) ; C ( a; b; 0) ; D(0;b;0)

Hình
10
A '(0; 0; c) ; B '(a; 0; c) ; C '( a; b; c) ; D'(0;b;c)

Với

•

hình

hộp

đáy

là

hình

thoi

ABCD. A' B' C ' D'

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai
đường chéo của hình thoi ABCD
Oz

- Trục

đi qua 2 tâm của 2 đáy
Hình 11

•

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và

đường cao

SO = h

Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông

Khi đó :

 a 2
 a 2

A −
;0;0 ; C 
;0;0 
2

  2



a 2   a 2 
B  0; −
;0 ÷
÷; D  0; 2 ;0 ÷
÷; S (0;0; h)
2

 

•

Hình 12

Với hình chóp tam giác đều S.ABC
20


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao

bằng

h

.

Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
I(0;0;0)

Khi đó :

 a
 a

A  − ;0;0 ÷; B  ; 0; 0 ÷
 2
 2

 a 3   a 3 

C  0;
;0÷
÷; S  0; 6 ; h ÷
÷
2

 

Hình 13

•

Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA
⊥

(ABCD)
AB = a; AD = b

ABCD là hình chữ nhật
chiều cao bằng

h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
A(0;0;0)
Khi đó :

B ( a;0; 0 ) ; C ( a; b;0 )
D ( 0; b; 0 ) ; S (0;0; h)

Hình 14
•

Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và

SA

⊥

(ABCD)
ABCD là hình thoi cạnh

a

, chiều cao bằng

h
21


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0)

Hình 15

•

Với hình chóp S.ABC có SA

⊥

(ABC) và

∆

ABC vuông tại

A
Tam giác ABC vuông tại A có

AB = a; AC = b

đường cao bằng

h

.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)
Khi đó :

B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b; 0 )
S ( 0;0; h )

Hình 16
•

Với hình chóp S.ABC có SA

⊥

(ABC) và

∆

ABC vuông tại

B
Tam giác ABC vuông tại B có

BA = a; BC = b

đường cao bằng

h

.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0)
Khi đó :

A ( a;0;0 ) ; C ( 0; b; 0 )

22


Hình 17
•

Với hình chóp S.ABC có (SAB)
và

∆

∆

⊥

∆

(ABC),

SAB cân tại S

ABC vuông tại C

ABC vuông tại C,

CA = a; CB = b

, chiều cao bằng

h

. H là trung điểm

của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho C(0;0;0)

Khi đó :

A ( a;0; 0 ) ; B ( 0; b;0 )

;

a b
S ( ; ; h)
2 2

Hình 18
•

Với hình chóp S.ABC có (SAB)
và

∆

∆

⊥

(ABC),

∆

SAB cân tại S

ABC vuông tại A

ABC vuông tại A

AB = a; AC = b

, chiều cao bằng

h

.H là trung điểm

của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)

Khi đó :

a
B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 ) S (0; 2 ; h)

23


Hình 19
•

⊥
∆
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S

và

∆

ABC vuông cân tại C

Tam giác ABC vuông cân tại C có

CA = CB = a

đường cao bằng

h

. H là

trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0)

Khi đó :

 a

 a

C
;0;0 ÷; A  0;
;0 ÷
2 
 2



;

a


B  0; −
;0 ÷; S ( 0;0; h )
2 


Hình 20

CHƯƠNG 2. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
2. BIỆN PHÁP (Sai)
2.1. Rèn luyện tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo cho học
sinh trong dạy học bài toán tính khoảng cách
Theo tôi, GV cần rèn luyện tính nhuần nhuyễn, thành thạo cho HS
khi dạy bài toán tính khoảng cách theo các dạng sau:
24


- Nhuần nhuyễn trong việc tính khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng.
- Nhuần nhuyễn trong việc tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng.
- Nhuần nhuyễn trong việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau.
Khi thực hành giải toán, để rèn luyện tính nhuần nhuyễn, ta cần
phân tích cho HS thấy rõ các bước để giải một bài toán, tìm sự quan hệ
gần gũi giữa bài toán đã cho với các bài toán đã biết.... Qua đó thể

hiện được tính nhuần nhuyễn của tư duy, tính độc lập trong suy nghĩ
của HS.
2.1.1. Nhuần nhuyễn trong việc tính khoảng cách từ một
điểm đến một đường thẳng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O
cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi I là
trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của cạnh AB.
a) Chứng minh rằng đường thẳng IO vuông góc với mặt phẳng
(ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM.
Giải
a) Ta có SA

⊥

(ABCD) mà IO//SA

do đó
IO

⊥

(ABCD).

b) Trong mặt phẳng (ABCD) dựng
H là hình chiếu vuông góc của O trên
CM, ta có
25