CÔNG THỨC TỌA DỘ 12

Toán 12

GV: Vũ T Nga

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.Hệ tọa độ

- Gồm r3rtrục
xOx’, yOy’, zOz’ đôi một vuông góc với nhau
r
- Các i; j; k lần lượt là các vecto đơn vị của Ox, Oy, Oz
r

r

r

( i = j = k = 1)

2.Tọa độ vecto
Tọa độ điểm

3. Tính chất

4. Độ dài của một vecto
5. Tích vô hướng của 2vecto

6. Tích có hướng của 2 vecto

r
r

r r
r
a = ( x; y; z ) ⇔ a = xi + y j + zk
uuuu
r
r
r r
M ( x; y; z ) ⇔ OM = x.i + y. j + zk
r
0 = ( 0;0;0 )
r
Cho và b = ( x '; y '; z ')
r
r
-Cộng 2vecto: a + b = ( x + x '; y + y '; z + z ')
r r
- Trừ 2vecto:
a - b = ( x − x '; y − y '; z − z ' )
r
- Nhân vecto với 1 số:
k. a = ( kx; ky; kz )
x = x'
r r

-Hai vecto bằng nhau:
a = b ⇔ y = y'
z = z'

r
r

Cho a = ( x; y; z ) Có a = x 2 + y 2 + z 2
r r
a . b = x.x’+y.y’+z.z’
r
r
r r
• a ⊥ b ⇔ a. b= 0
⇔ x.x’+y.y’+z.z’= 0
r r  y z z x x y 
 a, b  = 
;
;
÷ = ( yz '− zy '; zx '− xz '; xy '− yx ' )
 
 y' z' z' x' x' y' 
r r
r
r r
r
 a; b  ⊥ a và  a; b  ⊥ b
 
 
r r
r r
r r


a
;
b

=
a
.
b
.sin
a
;b
Độ dài của tích có hướng :  
r
r
• PP1: a và b cùng phương
r r
x
y z
= = = k (với b ≠ 0 )
⇔ ∃ k sao cho
x' y' z'
r r
r
r
r
r r
• PP2: a và b cùng phương ⇔  a, b  = 0 (với b ≠ 0 )
r
• 0 cùng phương với mọi vecto

( )

7. Hai vecto cùng phương

r r r

r r r
⇔  a; b  c = 0

8. Ba vecto đồng phẳng

Ba vecto a ; b ; c đồng phẳng

9. Điểm đặc biệt

Cho 3 điểm A ( xA ; y A ; z A ) và B ( xB ; yB ; z B ) ; C ( xC ; yC ; zC )
uuur
1. AB = ( xB − xA ; yB − y A ; zB − z A )
uuur

2. AB= AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A )
2

2

2

3. Tọa độ trung điêm M của AB là
 xB + x A y B + y A z B + z A 
;
;
÷
2
2 

 2
4. Tọa độ trọng tâm G của ∆ABC là G=
 xB + x A + xC yB + y A + yC z B + z A + zC 
;
;

÷
3
3
3



M= 

1


Toán 12

10. Góc

11. Diện tích, thể tích

12.Khoảng cách

GV: Vũ T Nga
rr
a.b
r r

• Góc giữa hai đường thẳng: cos a; b = r r
a.b
rr
u.n
• Góc giữa đt và mp : sin α = r r
u.n
1  uuur uuur 
AB; AC 
1. Tính diện tích ∆ABC : S=
2 

( )

2. Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng ta có
r uuur uuur
1 uuu
tứ diện ABCD. VABCD =  AB; AC  . AD
6
3. Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là
uuu
r uuur uuur
VABCD =  AB; AD  . AA '
• Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến ( α ) là
d ( M0;( α ) ) =

Ax0 + By0 + Cz0

A2 + B 2 + C 2
• Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến đt ∆ là
uuuuur r

M 0M , u 
r


d ( M 0; ∆ ) =
r
Với M ∈ ∆ ; u là VTCP
u

• Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau là

•

r ur uuuuur
u , u ' .MM '


d ( ∆; ∆ ' ) =
r ur
 u , u '


r
Với M ∈ ∆ ; ur là VTCP của ∆
Với M’ ∈ ∆ ' ; u ' là VTCP của ∆ '

2


Toán 12

GV: Vũ T Nga

BÀI TÂP
1. Xác định tọa độ điểm: Sử dụng các công thức + pt mặt phẳng+ pt mặt cầu+ pt đường
thẳng
- Tọa độ các đỉnh của tam giác, tứ giác
- Tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác,...
- Tọa độ điểm đối xứng
- Tọa độ điểm là hình chiếu của 1 điểm
- Tọa độ điểm cách đều 2 điểm, 3 điểm ,...
- Một số bài toán khác,...
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
2. PT mặt cầu :
2
2
2
• PT MC biết tâm I(a;b;c) và BK r : ( x − a ) + ( x − b ) + ( x − c ) = r 2
• Phương trình : x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là ptmc khi a 2 + b 2 + c 2 > d . Khi đó
mc có tâm I (-a;-b;-c) và bk r = a 2 + b 2 + c 2 − d
• Vị trí tương đối của mc và mp
- Lập pt mc biết tâm và BK
- Lập pt mc biết đi qua 2 điểm
- Lập pt mc biết tâm và điều kiện tiếp xúc
- Lập pt mc biết các yếu tố khác :..
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................

3. PT mặt phẳng
• PTMP tổng quát: Ax + By +Cz + D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 )
r
• PT MP ( α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT n = ( A; B; C ) có dạng là:
A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0

• PT đoạn chắn
• Vị trí tương đối của 2 mp
3


Toán 12

GV: Vũ T Nga

- Lập pt mp biêt đi qua 1 điểm và vuông góc với đt
- Lập pt mp biết đi qua 3 điểm
- Lập pt mp biết đi qua 1 điểm và vuông góc với 2mp
- Lập pt mp biết đi qua 1 điểm và song song mp
- Lập pt mp biết đi qua 2 điểm và vuông góc với mp
- Lập pt mp biết các yếu khác
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................

4