File c chuyên đề 3 nguyên hàm tích phân ứng dụng

3A. Nguyên hàm

3A. NGUYÊN HÀM

 Dạng 39. Nguyên hàm hàm đa thức, phân thức
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2 
x2
C.

4
x2
C.  f  x  dx x3 
C.
2
f  x  dx x3 

A.

x
.
2

B.



D.



x3 x 2


C.
3
4
x2
f  x  dx x3 
C.
2

f  x  dx 

5

 x3

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x   1  .
 18

2

6

A.



 x3

f  x  dx    1   C .
 18






1  x3
f  x  dx    1   C .
6  18


6

B.



 x3

f  x  dx  6   1   C .
 18





1  x3
f  x  dx    1   C .
2  18


6

C.

6

D.

2

Câu 3. Cho f   x   3  x  2  , f  0   8. Hàm số y  f  x  là hàm số nào trong các hàm sau
đây?
3

2

A. f  x   2  x  2   8.

B. f  x    x  2   4 .

C. f  x   6  x  2   4 .

D. f  x    x  2  .

3

Câu 4. Tìm giá trị của tham số m để hàm số F  x   mx 3   3m  2  x 2  4 x  3 là một
nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x 2  10 x  4 .
A. m  3 .

B. m  0 .

Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
1

A.

 f  x  dx   2 x

C.

 f  x  dx   2 x

1

2
2

C. m  1 .

D. m  2 .

1
.
x3
1

C.

B.

 f  x  dx  x

C.

D.

 f  x  dx  ln

C.

4

3

x C.

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A.
C.

1

 f ( x)dx  x  x  1  C .



f ( x)dx 

x2
 ln x  1  C .
2

File word liên hệ qua

x2  x  1
.
x 1

1

B.

 f ( x)dx  1  ( x  1)

D.

 f ( x)dx  x

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

2

2

C .

 ln x  1  C .

[ Nguyễn Văn Lực ] | 1


3A. Nguyên hàm

Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 

1
.
x  3x  2

x2
C.
x1

A.

 f ( x)dx  ln

C.

 f ( x)dx  ln x  2  C .

x1

2

x2
C .
x1

B.

 f ( x)dx  ln

D.

 f ( x)dx  ln x  2  C .

x1

x 4  2 x3  1
thoả mãn F  1  2 .
x2
x3
1 5
B.
 x2   .
3
x 3
3
x
1
D.
 x2   9 .
3
x

Câu 8. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  
x3

1 5
 x2   .
3
x 3
3
x
1 5
C.
 x2   .
3
x 3
A.

Câu 9. Hàm số nào sau đây không là một nguyên hàm của hàm số y 
x2  x  1
A. y 
.
x1

x2  x  1
B. y 
.
x1

x2
C. y 
.
x1

x(2  x)

?
( x  1)2

x2  x  1
D. y 
.
x1

Câu 10. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   thoả mãn f '  x   ax+

b
, f '  1  0,
x2

f  1  4, f  1  2 .

A.

x2 1 5
  .
2 x 2

B.

x2 1 5
  .
2 x 2

x2 1 5
  .

2 x 2

C.

Câu 11. Tìm giá trị của tham số a để hàm số F( x) 
hàm số f ( x) 

6

 x  2

2

D. Kết quả khác.

ax  a 2  3
là một nguyên hàm của
x2

.

A. a  1 .
C. a  3 .

B. a  1 hoặc a  3 .
D. a  1 hoặc a  3 .

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
1

A.

 f  x  dx   ln x  x  C .

C.

 f  x  dx  ln x  x  C .

1

x 1
.
x2
1

B.

 f  x  dx  ln x  x  C .

D.

 f  x  dx   ln x  x  C .

1

5

Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)   3 x  1 .
A.
C.

1

 f ( x)dx  3  3x  1


f ( x)dx 

6

C.

5
1
3 x  1  C .

18

File word liên hệ qua

B.
D.

1

 f ( x)dx  18  3x  1


f ( x)dx 

6

C.

6
1
3 x  1  C .

6

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 2


3A. Nguyên hàm

 Dạng 40. Nguyên hàm hàm căn thức
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 
x3
4 3
 3 ln x 
x C.

3
3
x3
4 3
C.  f  x  dx   3 ln x 
x C.

3
3
A.

f  x  dx 

3
2 x.
x

B.



D.



x3
4 3
 3 ln x 
x .
3
3
x3
4 3
f  x  dx   3 ln x 
x C.
3
3

f  x  dx 

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 1  x 2 .
3
A.  f  x dx  1  x2
2
2
C.  f  x dx  1  x2
3





3
2




3
2

C.
C.

1
B.  f  x dx  1  x 2
3

1
D.  f  x dx  1  x2
3







3
2



3
2

C.
C .

Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3x+2 .
2

A.

 f  x  dx  9  3x  2 

C.

 f ( x)dx  2  3x  2 

9

3x+2  C .
3x+2  C .

2

B.

 f  x  dx  3  3x  2 

D.

 f ( x)dx  2  3x  2 

3

3x+2  C .
3x+2  C .

Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 1  x 2 .
2
1
2
1

x
C.


2
2
x2
C.  f  x  dx 
1  x2  C .
2

A.





f  x  dx 





B.



D.



1
3

1
f  x  dx 
3

f  x  dx 




3

 C.
1 x  C .

1  x2

2

2

Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3 3x  1 .
A.

 f  x  dx (3x  1)

C.

 f  x  dx  4 (3x  1)

1

3

3x  1  C .
3

3x  1  C .

1

B.

 f  x  dx  3

D.

 f  x  dx 

Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2 

3

3

3x  1  C .

14
.
1 x

5

3

x 5  14 ln 1  x  C .

B.

 f  x  dx   5

3

3

x 5  14 ln 1  x  C .

D.

 f  x  dx  5

A.

 f  x  dx  3

C.

 f  x  dx  5

File word liên hệ qua

3x  1  C .

3

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

3

3

3

x 5  14 ln 1  x  C .

x 5  14 ln 1  x  C .

[ Nguyễn Văn Lực ] | 3


3A. Nguyên hàm

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

 f  x  dx 2
C.  f  x  dx  2
A.

1
1 x

.

 f  x  dx 2 ln x  1  C.
D.  f  x  dx  2 x  2 ln x  1  C.

x  C.

B.

x  2 ln

x  1  C.

Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

1
2x  1  4

. nào sau đây là đúng?

 f  x  dx  2x  1  2 ln  2x  1  4   C.
B.  f  x  dx  2 x  1  ln  2 x  1  4   C.
C.  f  x  dx  2 x  1  4 ln  2 x  1  4   C.
D.  f  x  dx  2 2 x  1  ln  2 x  1  4   C.
A.

Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

 f  x  dx 2 ln 

C.

 f  x  dx 2 ln 

x

 f  x  dx  

C.

 f  x  dx  

2
xx
2

.

1

B.

 f  x  dx 2 ln

1 
  C.
x

D.

 f  x  dx 2 ln x 

Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

x x



x  1  C.



1

C .

x  x1

C.

1
2x  x x  x

x 1

 C.

x  C.

.

2

B.

 f  x  dx  

D.

 f  x  dx   2

x 1
2

C.

xx

C.

Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  k với k  0 .
k
ln x  x 2  k  C .
2
1 2
x
x  k  ln x  x 2  k  C .

B.  f  x  dx 
2
2
k
C.  f  x  dx  ln x  x 2  k  C .
2
1
D.  f  x  dx 
C.
2
x k

A.

x

 f  x  dx  2

x2  k 



Câu 25. Cho F  x   3 x  1  ax 2  bx  c
f  x 

10 x 2 - 7 x  2

2x - 1
A. S  3 .

File word liên hệ qua



2 x - 1 là một nguyên hàm của hàm số

1

trên khoảng  ;   . Tính S  a  b  c .
2

B. S  0 .
C. S  4 .
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D. S  2 .
[ Nguyễn Văn Lực ] | 4


3A. Nguyên hàm

Câu 26. Tìm các giá trị của tham số a , b , c để F  x   ( ax 2  bx  c ) 2 x - 3 là một nguyên
hàm của hàm số f  x  

20 x2 - 30 x  7
2x - 3

A. a  4, b  2, c  2 .

3


trong khoảng  ;   .
2

B. a  1, b  2, c  4 .

C. a  2, b  1, c  4 .

D. a  4, b  2, c  1 .

Câu 27. Trong các hàm số sau:

I

f  x   x2  1

 III  f  x  

1
x2  1

 II 

f  x   x2  1  5

 IV 

f  x 

1

x2  1

-2

Hỏi hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F( x)  ln x  x 2  1 ?
A.Chỉ  I  .

B. Chỉ  III  .

C. Chỉ  II  .

D. Chỉ  III  và (IV).

2


1 
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    3 x 
 .
x

3

13
1 
 f  x  dx  3  x  x   C .
3
12 5 6
x C.
D.  f  x  dx  x 3 x 2  ln x 

5
5

3
12 6 5
f  x  dx  x 3 x 2 
x  ln x  C . B.
5
5

A.



C.

 f  x  dx   x

3

x x



2

C.

Câu 29. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

 f  x  dx 
C.  f  x  dx 

1  x2  C .

A.

a2  x 2  C .

x
a2  x 2

.

 f  x  dx  ln a  x  C .
D.  f  x  dx  ln a  x  C .
2

B.

2

2

 Dạng 41. Nguyên hàm hàm lượng giác
Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x .
x

sin 2 x
C .

2
x sin 2 x
f  x  dx  
C .
2
4

x

sin 2 x
C.
4
x sin 2 x
f  x  dx  
C.
2
2

A.

 f  x  dx  2 

B.

 f  x  dx  2 

C.



D.



Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   sin  2 x  1 .
A.

 f  x  dx  cos(2x  1)  C .

C.

 f  x  dx  2 cos(2 x  1)  C .

1

File word liên hệ qua

1
cos(2 x  1)  C .
2

B.

 f  x  dx 

D.

 f  x  dx   cos(2x  1)  C .

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 5


3A. Nguyên hàm

 
Câu 32. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   1  sin 3 x thoả mãn F    0 .
6
1

1

A. F( x)  x  cos 3 x  .
B. F( x)   cos 3 x  .
3
6
3
6
1

1

C. F( x)  x  cos 3 x  .
D. F( x)  x  cos 3 x  .
3
6
3
6
Câu 33. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x 3  3 x 2  1  sin 2 x thoả mãn

F 0  1 .

x4
x3
1
1
 3  x  . cos 2 x  .
4
3
2
2
4
3
x
x
1
1
C. F  x   2  3  x  . cos 2 x  .
4
3
2
2
A. F  x   2

x4
x3
1
1
 3  x  . cos 2 x  .
4

3
2
2
4
3
x
x
1
1
D. F  x   2  3  x  . cos 2 x  .
4
3
2
2
B. F  x   2

Câu 34. Cho f   x   3  5 sin x và f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. f  x   3 x  5 cos x  2 .

B. f    3 .

   3
C. f   
.
2 2

D. f  x   3 x  5 cos x .

Câu 35. Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A.  cos x dx  sin x  C .

C.

e

x

B.  sin x dx   cos x  C .

dx  e x  C .

D.

1

 sin

2

x

dx   tan x  C .

Câu 36. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   1  cot 2 x .

 f  x  dx  tan x  C .
C.  f  x  dx  cot x  C .

 f  x  dx   tan x  C .
D.  f  x  dx   cot x  C .

A.

B.

Câu 37. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x cos x .

 f  x  dx x sin x – cos x  C .
C.  f  x  dx x sin x  cos x  C .
A.

 f  x  dx   x sin x – cos x  C .
D.  f  x  dx   x sin x  cos x  C .
B.

Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   sin 3 x.cos5 x .
1

1

1

1

A.

 f  x  dx  4 cos2x  16 cos8 x  C .

C.

 f  x  dx  4 cos2 x  16 sin 8x  C .

Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
1

2

1

1

A.

 f  x  dx  4 cos x  C.

C.

 f  x  dx  4 cos x  C.

File word liên hệ qua

1

1

B.

 f  x  dx  4 sin 2 x  16 cos8x  C .

D.

 f  x  dx   4 cos2x  16 cos8x  C .

1

1

1
1
1
sin cos .
2
x
x
x
1

1

1

2

B.

 f  x  dx  4 sin x  C.

D.

 f  x  dx  4 sin x  C.

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 6


3A. Nguyên hàm

1
thoả mãn F  0   1.
cos 2 x
C. 1  tan x .
D. tan x  1 .

Câu 40. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   
A. – tan x .

B. 1 – tan x .

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 41. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

 f  x  dx x tan x+ ln cosx  C .
C.  f  x  dx x tan x- ln sin x  C .
A.

Câu 42. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
1

1
C.

x cos x
1
1
f  x  dx 

C.
3
3 cos x cos x

A.

 f  x  dx  3 cos

C.





3

Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

 f  x  dx  cot x  tan x  C.
C.  f  x  dx   cot x  tan x  C.
A.





1





A.

 f  x  dx   2 tan  x  4   C.

C.

 f  x  dx   2 tan  x  4   C.

Câu 45. Cho I  
A. A  B 

D.

 f  x  dx x tan x- ln cosx  C .

sin 3 x
.
cos 4 x
1

1
C.
x cos x

1
1
f  x  dx 

C.
3
3 cos x cos 2 x

B.

 f  x  dx   3 cos

D.



3



1
.
sin x cos2 x
B.  f  x  dx   cot x  tan x  C.
2

D.

Câu 44. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
1

x
.
cos 2 x
B.  f  x  dx x tan x+ ln sin x  C .

 f  x  dx  cot x  tan x  C.
1

 cos x  sin x 

2

.
1





1





B.

 f  x  dx  2 tan  x  4   C.

D.

 f  x  dx  2 tan  x  4   C.


s inx
 cos x  s inx  
dx    A  B 
 dx . Tính giá trị A , B .
cos x  s inx
 cos x  s inx  


1
.
2

1
B. A  B   .
2
1
1
D. A  , B   .
2
2

1
1
C. A   , B  .
2

2

Câu 46. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x sin 1  x2 .
2

2

2

 f  x  dx   1  x cos 1  x  sin 1  x  C.
B.  f  x  dx   1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2  C.
C.  f  x  dx  1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2  C.
D.  f  x  dx  1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2  C .
A.

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 7


3A. Nguyên hàm

Câu 47. Xét các mệnh sau đây:

x
x
 I  F  x  x  cos x là một nguyên hàm của f  x    sin - cos 
2

2

3
x4
 II  F  x   6 x là một nguyên hàm của f  x  x3 
4
x
 III  F  x  tan x là một nguyên hàm của f  x    ln cos x
Mệnh đề nào sai?
A.  I  và  II  .

B. Chỉ  III  .

Câu 48. Cho hàm số

F  x   e x 2 ( a tan 2 x  b tan x  c )

C.Chỉ  II  .

2

D. Chỉ  I  và  III  .
là một nguyên hàm của

  
tan 3 x trên khoản   ;  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 2 2
1
2
2

A. F  x   e x 2  tan 2 x 
tan x 
 .
2
2
2


1
2
1
B. F  x   e x 2  tan 2 x 
tan x   .
2
2
2 

1
2
1
C. F  x   e x 2  tan 2 x 
tan x   .
2
2
2 

1
2
2
D. F  x   e x 2  tan 2 x 

tan x 
.
2
2
2 


f  x  ex

2

Câu 49. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   tan 2 x .

 f  x  dx  tan x  x  C .
C.  f  x  dx   tan x  x  C .
A.

 f  x  dx  tan x  x  C .
D.  f  x  dx   tan x  x  C .
B.

 

Câu 50. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   xcos x2 .
1

1

 f  x  dx  2 s inx  C .

B.

 f  x  dx   2 s inx  C .

1
C.  f  x  dx   s in x 2  C .
2

D.

 f  x  dx  2 s in  x

A.

 

1

2

C .

Câu 51. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x sin 2 x .
A.

1

 f  x  dx  2 x

C.  f  x  dx 

2

 x sin 2 x 

1
cos 2 x  C .
2

1 2 
1
x   x   cos 2 x C .
4
2


1

1
cos 2 x  C .
2
1
1
f  x  dx  x 2  x sin 2 x  cos 2 x  C .
4
2

B.

 f  x  dx  4 x

D.



2

 x sin 2 x 

Câu 52. Cho a  0 , C là hằng số. Mệnh đề nào dưới đây sai?
1
1
A.  sin  ax  b dx   cos  ax  b   C .
B.  cos  ax  b dx   sin  ax  b   C .
a
a

 1
1
1
C.   ax  b  dx 
ax  b   C . D.  e axb dx  e axb  C .

a
   1

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 8


3A. Nguyên hàm

Câu 53. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x  cos x .

 f  x  dx  cos 2 x  sin x  C .
C.  f  x  dx   cos 2 x  sin x  C .
A.

1
 f  x  dx   2 cos 2 x  sin x  C .
D.  f  x  dx  sin x  sin x  C .

B.

Câu 54. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 

2

1
 sin 2 x .
x

x3
1
x3
1
A.  f  x  dx   ln | x |  cos 2 x  C . B.  f  x  dx   ln | x |  cos 2 x  C .

3
2
3
2
3
3
x
1
x
1
C.  f  x  dx   ln | x |  cos 2 x  C . D.  f  x  dx   ln | x |  cos 2 x .
3
2
3
2

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 9


3A. Nguyên hàm

 Dạng 42. Nguyên hàm hàm mũ – lôgarit
Câu 55. Mệnh đề nào sau đây là sai?
1
 F  x   e  x  C .
x

e
1
D. y   x  F  x    e  x  C .
e

A. y  e  x  F  x    e  x  C .

B. y 

C. y  e  x  F  x   e  x  C .

Câu 56. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x.e x .

 f  x  dx x.e – e  C .
C.  f  x  dx   x.e – e  C .
x

A.

 f  x  dx xe  e  C .
D.  f  x  dx e  x.e  C .

x

x

x

B.

x

x

x

x

2

Câu 57. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 xe x .
A.

2

f  x  dx  2e x  C .


C.  f  x  dx e

x2


D.  f  x  dx  2 xe

C.

Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

 f  x  dx  x  ln  e  1  C .

C.  f  x  dx   x  ln  e  1  C .
x

A.

A.

 f  x  dx 2e

x

C.

x2

C .

1
.
e 1
B.  f  x  dx   x  ln  e x  1  C .
x

x

Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

2

f  x  dx 2 x2 e x  C .

B.

D.

e

 f  x  dx  x  ln  e

x



1  C .

x

x

.

B.

 f  x  dx e

2 x

C.

e x

D.  f  x  dx e x  C .
C.

2
Câu 60. Mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng?
1
xdx
1
 ln  x 2  4  C
I   2
 II   cot xdx  - 2  C
sin x
x 4 2
1
 III   e2cos x sin xdx  - e2cos x  C
2
A.Chỉ  I  .
B. Chỉ  III  .

C.

f  x  dx 

C.Chỉ  I  và  II  .

D. Chỉ  I  và  III  .

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 61. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
A.  f  x  dx 

ln 2  ln 2 x 

C.  f  x  dx  
File word liên hệ qua

2

C.

ln 2  ln 2 x 
2

C.

ln  ln x 
x ln x
B.
D.



.

f  x  dx 

ln 2  ln x 

 f  x  dx 

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

2



ln 2 ln 2 x
2

C.

 C.

[ Nguyễn Văn Lực ] | 10


3A. Nguyên hàm

Câu 62. Tìm giá trị của tham số a , b để F  x    ax  b  e x là một nguyên hàm của hàm số
f  x    xe x .

A. a  1, b  1 .

B. a  1, b  2 .

C. a  2, b  1 .

Câu 63. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   xe x
2

2

e x 1
e.
A.
2

e x 1
 e.
B.
2

2

D. a  1, b  1 .

thoả mãn F  0  

1

2

3e
.
2

2

e x 1
e.

C.
4

e x 1
 e.
D.
4

Câu 64. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x (2 x  e 3 x ) .
1 4x
e C.
4
1
f  x  dx  2 xe x  2 e x  e 4 x  C .
4

A.

 f  x  dx 2xe

C.



x

 2e x 

1 4x
e C.

4
1
f  x  dx  2 xe x  2e x  e 4 x  C .
4

B.

 f  x  dx 2xe

D.



x

 2e x 

Câu 65. Cho a  0 và a  1 . C là hằng số. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a2 x
A.  a x dx  a x . ln a  C .
B.  a2 x dx 
C.
2 ln a
C.  a2 x dx  a2 x  C .
D.  a2 x dx  a2 x . ln a  C .

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 11


3A. Nguyên hàm

 Dạng 43. Bài tập tổng hợp về nguyên hàm
Câu 66. Nguyên hàm nào dưới đây không tồn tại?
x2  x  1
A. 
dx .
B.   x 2  2 x  2dx .
x 1
C.  sin 3 xdx .
D.  e 3 x xdx .
Câu 67. Cho

F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên khoảng  a; b  . Giả sử

G( x) cũng là một nguyên hàm của f  x  trên khoảng  a; b  . Mệnh đề nào dưới đây là

đúng?
A. F  x   G  x  trên khoảng  a; b  .
B. G  x   F  x  – M trên khoảng  a; b  với M là một hằng số nào đó.
C. F  x   G  x   C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định.
D. F  x  và G  x  là hai hàm số không có sự liên quan.
Câu 68. Nguyên hàm nào dưới đây không tồn tại?

x2  x  2
.
A. f  x  

x3
C. f  x   s in3x.

File word liên hệ qua

B. f  x    x 2  2 x  2.
D. f  x   xe3 x .

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 12


3B. Tích phân

3B. TÍCH PHÂN

 Dạng 44. Tích phân hàm đa thức, phân thức
b

 (2 x  4)dx  5 .

Câu 1. Tìm các giá trị của b sao cho

0

A. 5 .

B. 1;5 .

C. 1 .

D. 1;4 .

1

Câu 2. Cho I  3 x 2  2 x  ln(2 x  1) dx . Tìm giá trị của a biết I  b ln a  c với a , b , c là


0

các số hữu tỉ.
A. a  3 .

B. a  3 .

C. a 

2
.
3

D. a  

2
.
3

C. I 

2
.
15

D. I 

1
.
60

1
C. I   .
6

D. I 

1
.
6

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
0

Câu 3. Tính tích phân I 

2

3

 x ( x  1) dx .

1

A. I 

7
.
70

B. I 

1
.
60

1

Câu 4. Tính tích phân I  x(1  x)5 dx .


0

A. I  

1
.
42

B. I 

1
.
42

1

Câu 5. Tính tích phân I 

x

3

 3x

1000



.( x 2  1)dx .

0

1001

A. I 

4
.
3003

B. I 

31001
.
3000

C. I 

41000
.
3000

D. I 

31001
.
3003

C. I 

11
.
2

D. I 

29
.
2

2

x2  4 x
dx .
Câu 6. Tính tích phân I  
x
1

A. I 

29
.
2
5

Câu 7. Cho

B. I 

11
.
2

dx

 2x  1  ln a . Tính giá trị của a .
1

A. 2.

File word liên hệ qua

B. 3.

C. 4.

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D. 5.

[ Nguyễn Văn Lực ] | 13


3B. Tích phân

Câu 8. Tính tích phân I  

1
.
1  x2

1

0

A. I 


4

.

B. I  



.

4

C. I 


2

.

D. I 

4
.
21

D. P 


6

.

1

Câu 9. Cho

2 x 2  3x  6
0 2 x  1 dx  a  b ln 3 . Tính P  a.b .

A. P  

21
.
4

B. P 

21
.
4

C. P  

4
.
21

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1

1016
dx .

2x
1

e
0

Câu 10. Tính tích phân I  

1 16
1 16
2e 2
A. I  10 ln e .
B. I  10 ln 2
.
2
2
e 1
1
2e 2
1
e2
C. I  1015 ln 2
.
D. I  1016 ln 2
.
2
2
e 1
e 1
2

1
15
Câu 11. Cho  2
dx  ln . Tính giá trị của k .
7
0 x  2x  k

A. k  1 .

B. k  4 .

C. k  2 .

D. k 

3
.
4

 x  38
I 
dx .
10
2
x

1

0
1

Câu 12. Tính tích phân
A. I 

318  29
63.39

.

B. I 
e2

Câu 13. Tính tích phân I 


1

318  29
63.39

.

C. I 

318  29
63.39

.

D. I  

318  29
63.39

.

2 x  5  7x
dx .
x

A. I  4 e  7e  8 .
C. I  8 e  7e  4 .

B. I  7 e  4e  8 .
D. I  4 e  7e  8 .
2
5

Câu 14. Tính tích phân I  x. 1  x  dx .


1

42
A. I  
.
13

File word liên hệ qua

B. I 

13
.
42

C. I  

13
.
42

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D. I 

42
.
13

[ Nguyễn Văn Lực ] | 14


3B. Tích phân

 Dạng 45. Tích phân hàm căn thức
1

Câu 15. Tính tích phân I  x 2 1  x 2 dx .


0

A. I 



B. I 

.

2


8

C. I 

.





.

D. I 

408
.

15

D. I 

378
.
15

D. I 

1 
 .
4 8

4

16

.

4

Câu 16. Tính tích phân I 

478
.
15

A. I 

2 x2  4 x  1
0 2 x  1 dx .
448
B. I 
.
15
2
2

Câu 17. Tính tích phân I 

C. I 

x2

dx.
1  x2
 1
B. I   .
8 4


0

A. I 



1
 .

4 2

3

Câu 18. Tính tích phân I 

x3



x2  1

0

A. I 

5
.
3

C. I 



1
 .
8 4

dx .

5
3

B. I   .

4
.
3

C. I 

4
3

D. I   .

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
7

Câu 19. Tính tích phân I 

x3 dx

.
1  x2
141
B. I 
.
10



3

0

A. I  

141
.
10

2

C. I 



141
.
20

D. I  

47
.
10



Câu 20. Tính tích phân I   min x; 3 2  x dx .
0

A. I 

4
.
5

B. I  

4
.
5

C. I  

5
.
4

D. I 

5
.
4

19
.
3

D. I  

.

D. I   .

5

Câu 21. Tính tích phân I 

x

x 2  4dx.

0

A. I 

19
.
3

B. I  1 .

C. I  

28
.
3

2

Câu 22. Tính tích phân I   4  x 2 dx.
0

2

A. I 

 1
2

.

File word liên hệ qua

B. I 

 2 1
2

.

C. I 


2

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 15


3B. Tích phân
1

Câu 23. Tính tích phân I  x 3x 2  1dx.


0

7
A. I  .
3

B. I 

8
.
9

7
.
9

C. I 

D. I  1 .

 Dạng 46. Tích phân hàm lượng giác

6

Câu 24. Tính tích phân I   tanxdx .
0

3
A. I  ln .
2

3
.
2

B. I  ln

C. I  ln

2 3
.
3

D. I  ln 2 .



Câu 25. Tính tích phân I  x.sin xdx .



0

A. I 


2

C. I   .

B. I  0 .

.

D. I  1 .


2

3

Câu 26. Tính tích phân I    cosx  1 sin xdx .
0

A. I 

15
.
4

B. I  

15
.
4

C. I 

15
.
2

D. I  

15
.
2



Câu 27. Tính tích phân I   4  2 x  3  . sin 4 x.dx .
0

A. I 





8

3
.
2

B. I 


2



3
.
8

C. I 



3
.
2



8

D. I 



 3.

8


2

Câu 28. Tính tích phân I  x cos xdx.


0

A. I 


2

B. I  1 

 1.


2

.

C. I 



2

D. I 

.


2

 1.


4

Câu 29. Tính tích phân I   e s inx cos xdx .
0

A. I  e

2
2

B. I  e

.

2
2

 1.

C. I  e

2
2

1.

D. I  e

2
1
2

.


2

Câu 30. Tính tích phân I 

 sin 2x cos xdx .


2

A. I  0 .

File word liên hệ qua

B. I  1 .

C. I 

1
.
3

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D. I 

1
.
6

[ Nguyễn Văn Lực ] | 16


3B. Tích phân


Câu 31. Tính tích phân I   sin 2 x.cos 2 xdx .
0

A. I 


6

B. I 

.



C. I 

.

3



D. I 

.

8



.

4


2

Câu 32. Tính tích phân I   sin 2 x cos 3 xdx .

0

A. I 

2
.
15

B. I 

3
.
15

C. I 

2
.
13

D. I  

2
.
15

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 


Câu 33. Tính tích phân I   ( x  sin x) 2 dx .

0

A. I 



3

3





.

2

B. I 


2
3




2

.

C. I 

3
3



5
.
2

D. I 

2
3



5
.
2

sin x

Câu 34. Tính tích phân I   3

.dx .
1  6 cos x
1

7 2 .
B. I 
3
0

A. I 

1
3







7 2 .



C. I 

1
2





7 2 .

D. I 





7 2 .


3

Câu 35. Để tính I   tan 2 x  cot 2 x  2dx . Một bạn giải như sau:


6


3

Bước 1: I  


3

2

 tan x  cot x  dx

Bước 2: I   tan x  cot x dx





6

6





3

3

Bước 3: I    tan x  cot x  dx

Bước 4: I   2





6

cos2x
dx
sin2x

6



Bước 5: I  ln sin 2 x

3



 2 ln

6

A. 2.

3
. Bạn này làm sai từ bước nào?
2

B. 3.

C. 4.



D. 5.



cos 2 x
cos 2 x
dx  m . Tính giá trị của I  
dx .
Câu 36. Biết 
x
x
 1  3
 1  3
A. I    m .

B. I 


4

 m.



C. I    m .

D. I 

C. I  5 ln 3.

D. I  3 ln 5 .

4

m.



Câu 37. Tính tích phân I 

5
3

A. I  ln .

File word liên hệ qua

2 cos x
dx .
3  2sin x
3
B. I  ln .
5
2
0



Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 17

3B. Tích phân


1  sin 3 x
dx .
Câu 38. Tính tích phân I  
sin 2 x

4

6

32
.
2
3 2
C. I 
.
2

3 2 2
.
2
32 2 2
D. I 
.
2

A. I 

B. I 


3

Câu 39. Tính tích phân I  
0

A. I 

3
.
2

s inx
dx .
cos3 x

3
2

B. I   .



sin  x  
4

Câu 40. Cho 
dx  m.

3
cos x
0
1
A. P   .
B. P 
4

3
2

3
2

C. I   .

D. I   .



4

1
2
1
.
4

. Tính P  m 

1
.
2

C. P  0 .

D. P  1 .


2

Câu 41. Tính tích phân I   max sin x; cosxdx .
0

A. I  1 .

B. I  2 .

C. I   .

D. I  2 .


2

Câu 42. Tính tích phân  cos 2 xdx .
0

A.


2

.

B.


4

.

C.

2
3

.

D.


3

.

 Dạng 47. Tích phân hàm mũ – lôgarit
2

Câu 43. Tính tích phân

 2e

2x

dx .

0

4

B. e 4  1 .

A. e .
1

C. 4e 4 .

D. 3e 4 .

2

Câu 44. Cho I   e  x xdx . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
0

A. I 

e 1
.
2

B. I 

Câu 45. Tính tích phân I  

0

2

A. I  3e 2  1 .

File word liên hệ qua

2e  1
.
2e

e 1
.
2

D. I 

e 1
.
2e

5
 3.
e2

D. I 

1
 1.
e2

C. I  

 x  2  e dx .
x

B. I  2(1  e 2 ) .

C. I 

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 18


3B. Tích phân
e

Câu 46. Tính tích phân I   ln xdx .
1

A. I  4 .

B. I  3 .

C. I  2 .

D. I  1 .

e2  3
C. I 
.
4

3  e2
D. I 
.
4

e

Câu 47. Tính tích phân I   x. ln x.dx .
1

2

e2  1
B. I 
.
4

1 e
A. I 
.

4

e

Câu 48. Tính tích phân I 



x ln xdx .

1

2
e e2 .
3
2
e e2 .
C. I 
9




A. I 

2
e e2 .
6
2
e e 2 .

D. I 
7







B. I 




e

Câu 49. Tính tích phân I   x 2 ln xdx .
1

3

A. I 

2e  1
.
9

B. I 

2e 3  1

.
9

C. I 

e3  2
.
9

D. I 

e3  2
.
9

e

Câu 50. Tính tích phân I   ( x  1) ln x d x .
1

2

e2  3
B. I 
.
3

e 3
A. I 
.

2

e2  3
C. I 
.
4

e2  3
D. I 
.
6

e

Câu 51. Cho I   x 2 . ln( x  1)dx . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1

5 2
 ln 2.
18 3
5 2
 ln 2.
C. I 
18 3

5 3
 ln 2.
18 2
5 2
D. I    ln 2.

18 3

A. I  

B. I  

4

Câu 52. Tính tích phân I   2 x.ln  3x  6  .dx .
3

11
.
2
11
C. I  12 ln 6  5 ln 3  .
2

A. I  12 ln 6  5 ln 3 

File word liên hệ qua

11
.
2
11
D. I  12 ln 6  5 ln 3  .
2

B. I  12 ln 6  5 ln 3 

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 19


3B. Tích phân

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
m

Câu 53. Cho m là một số dương và I   (4 x ln x  2 x ln 2)dx . Tìm m khi I  12.
0

A. m  4 .

B. m  3 .

C. m  1 .

D. m  2 .

e

ln x
dx .
x
1

Câu 54. Tính tích phân I  

A. I 

e2  1
.
2

B. I 

e2  1
.
2

C. I 

1
.
2

1
D. I   .
2

e

1  ln x
dx .
x
1

Câu 55. Tính tích phân I  

1
B. I  .
e

A. I  2 .

3
.
2

C. I  e .

D. I 

1
C. I  2  .
e

1
D. I  2  .
e

e

ln x
dx .
2
1 x

Câu 56. Tính tích phân I  
A. I  1 

2
.
e

B. I  1 

2
.
e

2

ln x
dx .
5
1 x
14  3 ln 2
B. I 
.
256

Câu 57. Tính tích phân I  
A. I 

15  4 ln 2
.
256

C. I 

13  3 ln 2
.
256

D. I 

15  4 ln 2
.
256

e x 1  x 
dx .
x
1

xe
0
1

Câu 58. Tính tích phân I  
A. I  ln 1  e 2  .

B. I  ln  e 2  1 .

C. I  ln 1  e  .

1

D. I  ln  e  1 .

1

x2
x2
dx  a. Tính giá trị của tích phân I  
dx.
Câu 59. Biết 
1  e x
1  ex
0
0
1
1
A. I   a .
B. I  1  a .
C. I   a .
D. I  1  a .
2
3
e

Câu 60. Tính tích phân I  
1

A. I  ln( e  1) .

B. I  ln( e  1) .

e

Câu 61. Tính tích phân I  
1

A. I 

ln x  1
dx .
x ln x  1

3 22 3
.
3

C. I   ln( e  1) .

D. I  ln(1  e ) .

2  ln x
dx .
2x

B. I 

3 32 2
.
3

C. I 

3 32 2
.
2

D. I 

3 32 2
.
3

C. I 

e2  1
.
4

D. I 

1
.
4

1

Câu 62. Tính tích phân I   x 2 e 2 x dx .
0

2

A. I 

e
.
4

File word liên hệ qua

B. I 

e2  1
.
4

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 20


3B. Tích phân
3

3  ln x
dx .
2
1 ( x  1)

Câu 63. Tính tích phân I  

3

(1  ln 3)  ln 2 .
4
3
C. I  (1  ln 3)  ln 2 .
4

3
(1  ln 3)  ln 2 .
4
3
D. I  (1  ln 3)  ln 2 .
4

A. I 

B. I 


2

Câu 64. Tính tích phân I    esin x  x  .cos xdx .
0

A. I  e 



B. I  e 

 2.

2

ln 5

Câu 65. Tính tích phân I 



ln 2

A. I 

22
.
3

e2x
ex  1

B. I 



C. I  e 

 2.

2


2

 2.

D. I  e 


2

2.

dx .

19
.
3

C. I 

23
.
3

D. I 

20
.
3

D. I 

e2  3
.
2

D. a 

3
.
2

e

Câu 66. Tính tích phân I   (2 x  1) ln xdx .
1

A. I  e 2  3 .

B. I 

e2  1
.
2

C. I  e 2 

3
.
2

 Dạng 48. Bất đẳng thức tích phân
a

Câu 67. Tìm giá trị a dương để

  x  x  dx đạt giá trị lớn nhất.
2

0

A. a  1 .

B. a 

1
.
2

C. a  2 .


Câu 68. Tìm các giá trị thực m  1 sao cho

  ln x  1 dx  m.
1

A. m  e  1.

2

B. m  e .

C. m  2 e.
1

Câu 69. Tìm số dương k nhỏ nhất thỏa mãn

D. m  e.

dx

 2x  k  0 .
0

A. k  3 .

B. k  4 .

C. k  1 .

D. k  2 .
e

Câu 70. Gọi S là tập hợp các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện

k

 ln x dx  e  2 . Tìm
1

S.

A. S  1; 2;3 .

B. S  1; 2 .

C. S  2;3 .

D. S   .

1

dx
, với m  0 . Tìm các giá trị của tham số m để I  1 .
2x  m
0
1
1
1
1
A. 0  m  .
B. m  .
C.  m  .
D. m  0 .
4
4
8
4

Câu 71. Cho I  

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 21


3B. Tích phân

 Dạng 49. Bài tập tổng hợp về tích phân
4

Câu 72. Tính tích phân I 

x

2

 3 x  2 dx.

1

A. 

19
.
2

B.

19
.
2

28
.
6

D. 19.

C. I  ln 2 .

D. I 

C. 9.

D.

C.

1

Câu 73. Tính tích phân I 

2

x

 2  x dx.

1

A. I  2 ln 2 .

B. I 

2
.
ln 2

1
.
ln 2

2

Câu 74. Tính tích phân J 



x 2  1 dx.

2

A. 3.

B. 4.
10

Câu 75. Cho

8

9
.
2

10

 f ( z) dz  17,  f (t) dt  12 . Tính  3 f ( x) dx .
0

0

A. -15.

B. 29.

8

C. 15.

D. 5.
10

Câu 76. Cho hàm số f  x  liên tục trên  0; 10  thỏa mãn

6

 f ( x)dx  7;  f ( x)dx  3 . Tính
0

2

2

10

P   f ( x)dx 
0

 f ( x)dx .
6

A. P  3 .

B. P  2 .

C. P  4 .

D. P  1 .

a

Câu 77. Cho

 f ( x)dx  0 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

a

A. f ( x) là hàm số chẵn.

B. f ( x) là hàm số lẻ.

C. f ( x) không liên tục trên đoạn 
 a; a  . D. Các đáp án đều sai.

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 22


3B. Tích phân

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1
và đồ thị hàm số y  F  x  đi
sin 2 x

Câu 78. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số
 
qua M  ; 0  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
3 
1
 cot x .
A. F  x  

3

3
 cot x .
2

C. F  x  
Câu 79. Cho

e

2x

B. F  x   3  cot x .
D. F  x    cot x  C .

cos 3 xdx  e 2 x  a cos 3 x  b sin 3 x   c , trong đó a , b , c là các hằng số. Tính

tổng a  b .
A. a  b  

1
.
13

B. a  b  

5
.
13

C. a  b 

5
.
13

D. a  b 

1
.
13

Câu 80. Trong Giải tích, với hàm số y  f ( x) liên tục trên miền D  [a , b] có đồ thị là một
đường cong C thì độ dài của C được xác định bằng công thức
L

b

a

Tính độ dài của đường cong C cho bởi y 
A.

3
 ln 2 .
8

B.

31
 ln 4 .
24

2

1   f ( x)  dx.

x2
 ln x trên 1; 2  .
8
3
C.  ln 2 .
8

D.

55
.
48

3

3  ln x
dx  a(ln 3  1)  ln b với a , b   . Tính giá trị biểu thức T  4 a  2b .
2
1 ( x  1)
B. 7 .
C. 5 .
D. 6 .

Câu 81. Cho I  
A. 4 .

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 23


3B. Tích phân

1000001530132041000001530132041000001530132041000001530132041000001530132041000
1000001530132041000001530132041000001530132041000001530132041000001530132041000

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 24


3C. Diện tích hình phẳng

3C. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
 
 

 Dạng 50. Tính diện tích hình phẳng

  
Câu 1. Cho hàm số  y  f  x   liên tục trên đoạn   a; b  . Gọi  S  là diện tích hình phẳng giới 
hạn bởi  hàm số  y  f  x    trục hoành và  hai  đường  thẳng  x  a , x  b.   Mệnh đề  nào  sau 
đây là đúng? 
b

b

A. S   f  x  dx.   

b

2

a

B.  S    f ( x)  dx.    C.  S   f  x  dx.   

a

a

a

D.  S   f  x  dx.  
b

Câu 2. Gọi  S  là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số  y  f  x  ,  
y  g  x   và các đường thẳng  x  a , x  b . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
b

b

A.  S    f  x   g  x   dx .  

 

B.  S   f  x   g  x  dx . 

 

a

a

b

b

C.  S   f  x   g  x  dx .  

 

2

D.  S    f  x   g  x   dx . 

 

a

a

1
Câu 3. Cho hàm số  f  x   xác định và đồng biến trên  0; 1  và có f    1 . Công thức tính 
2
2

diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số  y1  f  x  ;   y2   f ( x)  ; x1  0;  
x2  1 ? 
1
2

1





A.   f  x  (1  f ( x))dx   f  x  f  x   1 dx .        
1
2

0

1



C.    f ( x)   f  x  dx .  

2

B.   f  x    f ( x)  dx . 
0

1

2

0

1
2

1

D.   f  x   1  f ( x)  dx   f  x  f ( x)  1 dx . 
1
2

0

Câu 4. Tính diện tích  S  của hình phẳng giới hạn bởi các đường  y  x 2  và  y  x  2 . 
A.  S 

3
.  
2

 

B.  S 

9
.  
2

 

C.  S 

7
.  
2

 

D.  S 

15
. 
2

Câu 5. Tính diện tích  S  của hình phẳng giới hạn bởi các đường  y  x 2  và đường thẳng 

y  2 x . 
A. S 

4
.  

3

File word liên hệ qua

 

B.  S 

3
.  
2

 

C.  S 

5
.  
3

 

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D.  S 

23
. 
15

[ Nguyễn Văn Lực ] | 25