SKKN rèn luyện cho học sinh lớp 12 phương pháp giải bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những nội dung quan trọng
và thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào Cao đẳng – Đại học
trong những năm gần đây. Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT cũng như giảng
dạy ở một số lớp luyện thi đại học tôi nhận thấy nhiều học sinh chưa có phương pháp
giải quyết bài toán này, nhiều em còn mơ hồ và lúng túng hoặc giải sai với yêu cầu đề
ra. Bài toán viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thường
mắc sai lầm giữa bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm và viết phương
trình tiếp tuyến tại một điểm. Học sinh không có phương pháp làm bài tập viết phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vì các em mới chỉ được biết sơ qua ở cuối năm lớp
11 và lại được luyện tập rất ít. Hơn nữa các em không biết phân loại bài tập để có cách
giải hữu hiệu, trong quá trình làm bài tập rất nhiều bài giải học sinh còn bỏ sót trường
hợp như chưa tìm hết tiếp điểm; đánh tráo đề bài…
Mặt khác, do trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 học
sinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số ở mức độ cơ bản; chưa hiểu sâu về lý thuyết; chưa được rèn luyện nhiều về kĩ
năng. Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn luyện cho học
sinh lớp 12 phương pháp giải bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số”, với mong
muốn giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán này và được rèn kĩ năng nhiều hơn, vận
dụng vào giải toán thành thạo hơn, giải quyết bài toán một cách tốt nhất.
2. Mục tiêu nghiên cứu:
Rèn luyện cho học sinh có được năng lực giải các bài toán tiếp tuyến với đường
cong, qua đó nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo,
rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức

1


vào những tình huống khác nhau để có thể chủ động giải quyết các bài toán về tiếp
tuyến với đường cong một cách tốt nhất.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Về phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 12 trường THCS & THPT Trần Ngọc
Hoằng, xã Thới Hưng, huyện Cờ Đỏ, thành phố Cần Thơ.
- Về đối tượng nghiên cứu:
+ Nghiên cứu các dạng toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu SGK, sách tham khảo và các tài liệu có liên quan
trực tiếp đến đề tài.
- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp thống kê toán học.

2


NỘI DUNG
1. Thực trạng vấn đề:
Qua thực tiễn giảng dạy cho thấy đa phần học sinh không cảm thấy khó khăn
trong việc khảo sát hàm số. Tuy nhiên học sinh gặp phải khó khăn khi làm bài tập về
tiếp tuyến của đồ thị hàm số, thường mắc phải những khó khăn và sai lầm sau:
- Chưa có những phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài
- Nhầm giữa hai khái niệm tiếp tuyến đi qua một điểm và tiếp tuyến tại một
điểm thuộc đồ thị của hàm số
- Trong quá trình giải học sinh còn mắc phải sai lầm khi tính toán, biến đổi…
trong bước trung gian. Lập luận không chặt chẽ; đánh tráo đề bài…Chẳng hạn, khi
3
2
gặp bài toán sau: Cho hàm số y = x − 3x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp

tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;3).
Các em thường giải như sau:

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(0;3), phương trình của d có dạng y = kx + 3
d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình

 x 3 − 3x 2 + 2 = kx + 3 (1)
có nghiệm x
 2
3 x − 6 x = k (2)
Thay k ở (2) vào (1) ta được

x 3 − 3x 2 + 2 = (3x 2 − 6 x) x + 3
⇔ ( x − 1)(2 x 2 − x − 1) = 0 (*)
Bây giờ ở phương trình (* ) học sinh không chú ý: Từ phương trình (*) ta có

x −1 = 0
mà lại viết
 2
2
x
−
x
−
1
=
0


x −1 = 0
⇔ x =1
 2
2

x
−
x
−
1
=
0


Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −3x + 3
Khi đó lời giải bị sai ngay từ bước trung gian nên thiếu một phương trình tiếp tuyến.
3


Như vậy lời giải đúng là

x = 1
 k = −3
x −1 = 0

⇔
⇒
Từ phương trình (*) ta có  2
1
x =
 k = 15
2x − x − 1 = 0

2


4
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −3x + 3 và y =

15
x+3
4

Có những học sinh lại đánh tráo đầu bài đi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
tại điểm A(0;3)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A có dạng y − y0 = f '( x0 )( x − x0 )
Theo đầu bài ta có x0 = 0, y0 = 3

y '( x0 ) = f '( x0 ) = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 3
Hoặc có học sinh lại bỏ sót trường hợp trong quá trình giải…
2. Giải quyết vấn đề:
Để giúp học sinh tránh được những khó khăn, sai lầm, thiếu sót nêu trên khi
giải bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số. Tôi nhận thấy rằng, việc làm đầu tiên là
phải trang bị cho các em nắm vững cơ sở lý thuyết. Tiếp theo đó, đưa các dạng bài
toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài để
các em rèn luyện , với mức độ bài tập từ dễ đến khó dần. Từ đó, các em không còn
phải lúng túng trong việc lựa chọn cách giải mà sẽ có được cách giải chính xác khi đã
xác định được yêu cầu bài toán.
Kinh nghiệm hai năm gần đây trong phần dạy bài tập về tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tôi đã cố gắng giúp học sinh biết cách nhận dạng bài tập, chỉ ra phương pháp
giải từng dạng. Từ đó các em tự tin và có hứng thú học tập hơn khi gặp dạng toán này.

4

2.1.

Cơ sở lý thuyết

2.1.1. Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C): y = f(x) và M0(x 0 ; f (x0)) ∈ (C )
Kí hiệu M(x; f(x)) là điểm di chuyển trên ( C).
Đường thẳng M0M là một cát tuyến của ( C).
Khi x →x0 thì M(x; f(x)) di chuyển
trên ( C) tới M0(x 0 ; f (x 0 )) và ngược lại.

y
f(x)

M

Giả sử M0M có vị trí giới hạn, kí hiệu là
M0T thì M0T được gọi là tiếp tuyến của
( C) tại M0. Điểm M0 được gọi là tiếp điểm
Sau đây ta không xét trường hợp tiếp

f(xo)

M0

O

tuyến song song hoặc trùng với Oy.

xo

T
x

2.1.2. Định lý 1:
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị là (C)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( xo ; yo ) ∈ (C ) có dạng:
y = f '( xo )( x − xo ) + yo
Với: f '( xo ) là hệ số góc của tiếp tuyến và y 0 = f (x0)
2.1.3. Định lý 2:
Cho hàm số (C) y = f(x) và đường thẳng (d) có phương trình: y = kx + b
 f ( x) = kx + b
Đường thẳng d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 
k = f '( x)
Khi đó nghiệm x của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm
Ta cũng có thể định nghĩa tiếp tuyến của đồ thị như sau:
5

x


Đường thẳng ( d ) : y = kx + m được gọi là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x )
nếu (d) tiếp xúc với đồ thị y = f ( x) tại điểm xo
Khi đó:

d: y = kx+m

+ (d) được gọi là tiếp tuyến

y = f(x)

+ xo gọi là tiếp điểm
+ k là hệ số góc của tiếp tuyến
+ k = f '( xo )
k = tan α với α = (·d , Ox )

α
xo

2.1.4. Định nghĩa hai đường cong tiếp xúc nhau

Cho hai đường cong (C1), C2) lần lượt có phương trình y = f1(x), y = f2(x).
Vì (C1) và C2) có đạo hàm tại M(x, y) nên (C 1) và (C2) được gọi là tiếp xúc với nhau
tại M0 nếu M là một điểm chung của chúng và chúng có chung một tiếp tuyến (d) tại
điểm M.
6


Điểm M được gọi là tiếp điểm của (C1) và C2).
Điều kiện cần và đủ để (C1), (C2) tiếp xúc nhau tại điểm M(x; y) khi và chỉ khi hệ:
 f1 ( x) = f 2 ( x)
 '
'
 f1 ( x) = f 2 ( x)

2.2.

có nghiệm

Rèn luyện cho học sinh các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2.2.1. Dạng 1: Bài toán tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số
Phương pháp:
- Phương trình đường thẳng đi qua M o ( xo ; yo ) : (d ) : y = k ( x − xo ) + yo
- Nếu (d) là tiếp tuyến tại M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) thì k = f '( xo )
- Phương trình tiếp tuyến tại M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) là (d ) : y = f '( xo )( x − xo ) + yo
* Chú ý:
- Trường hợp biết hoành độ tiếp điểm thì ta thay x = x 0 vào hàm số y = f(x) để tìm
tung độ tiếp điểm y0.
- Trường hợp biết tung độ tiếp điểm thì ta thay y = y 0 vào hàm số y = f(x) để tìm
hoành độ tiếp điểm x0.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) tại A(2; 4).
Giải
Vì điểm A(2;4) nằm trên đồ thị hàm số ( C): y = f ( x) = x 3 − 3x + 2
Suy ra: Phương trình tiếp tuyến (d ) : y = f '(2)( x − 2) + 4
Với f '( x ) = 3x 2 − 3 f '(2) = 9
Vậy tiếp tuyến: (d ) : y = 9( x − 2) + 4 hay (d ) : y = 9 x − 14

7


Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) = x 4 − 3x 2 − 4 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) tại M (0; −4).
Giải
Vì điểm M (0; −4) nằm trên đồ thị hàm số (C): y = f ( x ) = x 4 − 3x 2 − 4
Suy ra: Phương trình tiếp tuyến (d ) : y = f '(0)( x − 0) − 4
Với f '( x) = 4 x 3 − 6 x 2 suy ra f '(0) = 0
Vậy tiếp tuyến: (d ) : y = −4
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị (C) tại điểm có hoành độ hoành độ x = −2.
Giải
Ta có: y ' = 4 x3 − 4 x
Với x = −2 ⇒ y = 8 và y '( −2) = −24
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(-2;8) là:
y = −24( x + 2) + 8 hay y = −24 x − 40

Ví dụ 4: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 5 (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có
tung độ y = 5.
Giải

 xo = 0

3
Với y = 5 ⇒ x − 3 x + 5 = 0 ⇔  xo = 3

 xo = 3
Với M(0; 5) ⇒ Tiếp tuyến là y = f '(0)( x − 0) + 5 = −3 x + 5
Với N( 3 ; 5) ⇒ Tiếp tuyến là y = f '( 3)( x − 3) + 5 = 6 x − 6 3 + 5
Với P( − 3 ; 5) ⇒ Tiếp tuyến là y = f '( − 3)( x + 3) + 5 = 6 x + 6 3 + 5

8


x2 − 2x − 2
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị là (C).
x +1
(C) cắt trục hoành tại A và B. Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A và B.
Giải

- Tập xác định: D = R\{- 1}
- Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm phương trình.
x2 − 2x − 2
= 0 ⇔ x2 − 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ± 3
x +1
⇒ (C) cắt Ox tại điểm A (1 + 3; 0) và B(1 − 3; 0) .

x 2 + 2x
y' =
⇒ y ' = (1 + 3) = 2 3 (2 − 3 )
( x + 1) 2
y ' = (1 − 3) = −2 3 (2 + 3)
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
y = 2 3 (2 − 3) ( x − 1 − 3)
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B có dạng:
y = −2 3 (2 + 3) ( x − 1 + 3)
* Nhận xét: Qua ví dụ 5 cho thấy học sinh sẽ lúng túng không viết được phương trình
tiếp tuyến nếu không tìm được tọa độ của A và B. Vì vậy. giáo viên cần hướng dẫn học
sinh tìm tọa độ tiếp điểm A, B trước rồi mới viết phương trình tiếp tuyến theo công thức.

x2 + 2x + 2
(C ) . Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến tại M
Ví dụ 6: Cho hàm số y =
x +1
tạo với Ox góc 45o.
Giải
Giả sử M ( xo ; yo ) thuộc (C)
2 xo2 + 2 xo
Suy ra tiếp tuyến tại M có hệ số góc: k = y '( xo ) =
( xo + 1) 2

9


Do tiếp tuyến tạo với Ox góc 45o suy ra hệ số góc k = tan 45o = 1
2 xo2 + 2 xo
= 1 ⇔ 2 xo2 + 2 xo = ( xo + 1) 2 (vô nghiệm)
Do đó:
2
( xo + 1)

Kết luận: Không có điểm M ∈ (C ) để tiếp tuyến tại đó tạo với Ox góc 45o
Ví dụ 7: Cho hàm số y =

x2 + 2x + 2
(C ) . Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến tại M
x +1

tạo đường thẳng y = −2 góc 45o.
Giải
Giả sử M ( xo ; yo ) thuộc (C)
2 xo2 + 2 xo
Suy ra tiếp tuyến tại M có hệ số góc: k = y '( xo ) =
( xo + 1) 2

Do đường thẳng y = −2 song song Ox nên tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = −2
góc 45o ⇒ tạo với Ox góc 45o . Do đó hệ số góc k = ±1
2 xo2 + 2 xo
Nếu k = 1 ⇒
= 1 ⇔ 2 xo2 + 2 xo = ( xo + 1) 2 (vô nghiệm)

2
( xo + 1)
2 xo2 + 2 xo
Nếu k = −1 ⇒
= −1 ⇔ 2 xo2 + 4 xo − 1 = 0
2
( xo + 1)

Viết y = x − 2 +

xo =

−2 ± 6
6
= −1 ±
2
2

 6
1
2 
⇒ y0 = −3 ± 
+
÷
x +1
6
 2

Kết luận: có 2 điểm thỏa yêu cầu bài toán



6 6
2 
6
6
2 
M 1  −1 +
;
−3+
;−
−3−
÷; M 2  −1 −
÷
2 2
2
2
6
6



10


x2
(C ) . Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) có hoành độ lớn
Ví dụ 6: Cho hàm số y =
x −1
hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi
bé nhất.

Giải
y = x +1+

1
⇒ tiệm cận đứng x = 1 ; tiệm cận xiên y = x + 1
x −1

⇒ giao điểm hai tiệm cận là điểm I (1;2)
Giả sử M ( xo ; yo ) ∈ (C ) ⇒ yo =

xo2
⇒ tiếp tuyến tại M ( xo ; yo ) ∈ (C )
xo − 1

xo2 − 2 xo
xo2
(d ) : y =
( x − xo ) +
( xo − 1) 2
xo − 1
 2x 
A = d ∩ x = 1 ⇒ A 1; o ÷
 xo − 1 
B = d ∩ y = x + 1 ⇒ B ( 2 xo − 1;2 xo )
Có IA = y A − yI =

2 xo
2
−2=
xo − 1

xo − 1

IB = ( xB − xI ) 2 + ( y B − yI ) 2 = 2 2( xo − 1)

AB 2 = AI 2 + BI 2 − 2 AI .BI .cos 45o
Với BĐT Côsi a + b ≥ 2 ab
Và chu vi C = AI + BI + AB

 2

 4

⇔ C =
+ 2 2( xo − 1) ÷+ 
+ 8( xo − 1) 2 ÷− 8
 xo − 1

 ( xo − 1)

Côsi

⇒ C ≥ 2 4 2 + 2 32 − 8
⇒ Chu vi bé nhất C min = 4 4 2 + 2 32 − 8 đạt được khi
11


2
1
= 2 2( xo − 1) ⇔ ( xo − 1) 2 =
Vì

xo − 1
2

xo > 1 ⇒ xo = 1 +

1
1
1 4 

nên M 1 + 4 ;2 + 4 + 2 ÷
2
2
2



4

2.2.2. Dạng 2: Bài toán tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc
Phương pháp:
- Tính f '( x) ⇒ f '( xo ) = ? (chứa ẩn xo )
- Hệ số góc của tiếp tuyến là: f '( xo ) = k ⇒ xo = ? → yo = f ( xo ) = ?
- Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số: y = f ( x) có hệ số góc là k có dạng:
y = k ( x − xo ) + yo
* Chú ý:
- Số nghiệm xo của pt f '( xo ) = k chính là số phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = kx + b ⇒ f '( xo ) = k
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = kx + b ⇒ f '( xo ) = −

1

k

- Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc α thì - Tiếp tuyến song song với
đường thẳng f '( xo ) = tan α
- Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b một góc α . Khi đó:

k −a
= tan α .
1 + ka

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 − 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
biết hệ số góc của tiếp tuyến k = −3.
Giải
Ta có: y ' = 3x 2 − 6 x
Do hệ số góc của tiếp tuyến k = −3 nên: 3 x 2 − 6 x = −3 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1

12


Với x = 1 ⇒ y = −2 . Pttt cần tìm là: y = −3( x − 1) − 2 ⇔ y = −3 x + 1
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1 (C). Biết
tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 2014.
Giải
Ta có y ' = 3 x 2 − 6 x
Do tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 2014 nên tiếp tuyến có hệ số
góc k = 9 ⇔ 3x 2 − 6 x = 9 .

 x = −1
⇔ x 2 − 2x − 3 = 0 ⇔ 
.

x = 3
+ Với x = −1 ⇒ y = −3. Pttt của (C) tại x = - 1 là: y = 9( x + 1) − 3 ⇔ y = 9 x + 6
+ Với x = 3 ⇒ y = 1 . Pttt của (C) tại x = 3 là: y = 9( x − 3) + 1 ⇔ y = 9 x − 26
Vậy, có 2 tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 9x + 2014 là:
y = 9x + 6 và y = 9x - 26.
Ví dụ 3: Cho y =

2 x2 − 5x
(C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến
x−2

đó vuông góc với d : x + 4 y − 1 = 0
Giải:
1
1
1
Viết lại d : y = − x + ⇒ hệ số góc kd = −
4
4
4
Gọi

xo

là hoành độ tiếp điểm ⇒ tiếp tuyến tại

kt = f '( xo ) =

xo

có hệ số góc

2 xo2 − 8 xo + 10
(1)
( xo − 2) 2

Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến kt .kd = −1 ⇔ kt = 4 (2)
 xo = 1 ⇒ yo = 3
2 xo2 − 8 xo + 10
2
⇔
2
x
−
8
x
+
6
=
0
⇔
Từ (1) và (2) ⇒ 4 =
o
o
x = 3 ⇒ y = 3
( xo − 2)2
o
 o

13

Kết luận: Có 2 tiếp tuyến vuông góc với (d) là:
d1 : y = 4( x − 1) + 3 = 4 x − 1 ; d 2 : y = 4( x − 3) + 3 = 4 x − 9
Ví dụ 4: Chứng minh rằng trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm mà tại mỗi điểm đó kẻ
được 2 tiếp tiếp tuyến tạo với nhau góc 45o tới đồ thị hàm số y =

2x2 − x + 1
= f ( x)
x −1

Giải
Nhận xét y = 7 là 1 tiếp tuyến của hàm số
Gọi xo là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M (a;7) thuộc đường thẳng
y = 7 và tạo với y = 7 góc 45o
Vì đường thẳng y = 7 song song với Ox ⇒ tiếp tuyến tạo với y = 7 tạo với trục Ox
góc ±45o do đó có hệ số góc k = ±1
Đồng thời tiếp tuyến tại xo có hệ số góc k = f '( xo ) =

2 xo2 − 4 xo
( xo − 1) 2

2 xo2 − 4 xo
⇔ xo2 − 2 xo − 1 = 0
Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k = 1 thì : 1 =
2
( xo − 1)

(1)

Phương trình (1) có 2 nghiệm tức là có 2 điểm trên đường thẳng y = 7 mà tại mỗi
điểm kẻ được 1 tiếp tuyến tạo với y = 7 góc 45o
Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k = −1 thì : −1 =

2 xo2 − 4 xo
⇔ 3 xo2 − 6 xo + 1 = 0
2
( xo − 1)

(2)

Phương trình (2) có 2 nghiệm tức là có 2 điểm trên đường thẳng y = 7 mà tại mỗi
điểm kẻ được thêm 1 tiếp tuyến tạo với y = 7 góc 45o
Kết luận: Trên y = 7 có 4 điểm mà tại mỗi điểm kẻ được 2 tiếp tuyến với nhau góc
45o (Trong đó có 1 tiếp tuyến chính là y = 7 )
Ví dụ 5: Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 3 (C). Chứng minh rằng trong số các tiếp
tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.

14


Giải
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị (C) là:
k = y' = 3x 2 + 6 x − 9
y ' ' = 6 x + 6 ⇒ y ' ' = 0 ⇔ 6 x + 6 = 0 ⇔ x = −1

Xét dấu y” tìm được điểm uốn U(-1; 14).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là: k1 = -12.
Bảng biến thiên của hàm số y ' = 3 x 2 + 6 x − 9
x

y’’

−∞
+∞

+∞

-1
0

-

+

+∞

y’
-12
Từ bảng biến thiên suy ra k ≥ −12 . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = - 1
(hoành độ điểm uốn) (Điều phải chứng minh)
Ví dụ 6: Cho hàm số: y =

mx 2 + (m − 1) x + m 2 + m
x−m

(C ) . Tìm điểm x0 để với mọi m ≠ 0

, tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm x 0 song song với một đường thẳng cố định.
Tìm hệ số góc của đường thẳng đó.
Giải

Ta có: y ' =

mx02 − 2m 2 x 0 − 2m
mx 2 − 2m 2 x − 2m
⇒
y
'
(
x
)
=
.
0
( x − m) 2
( x 0 − m) 2

Yêu cầu bài toán là tìm x0 để y’(x0) = k ( hằng số) ∀m ≠ 0

15


mx02 − 2m 2 x0 − 2m
⇔
= k ∀m
( x 0 − m) 2
⇔ (2 x 0 + 2 + k ) m 2 − (2kx0 + x 02 )m + kx02 = 0 ∀m ≠ 0
2 x 0 + 2 + k = 0 (1)

⇔ 2kx0 + x02 = 0 (2)
 2

kx0 = 0 (3)
k = 0

Ta có : (3) ⇔ 
 x0 = 0
+ Với x0 = 0 suy ra k = -2 (thoả mãn).
 x 0 = −1
(vô nghiệm)
 x0 = 0

+ Với k = 0 ⇒ 

Vậy, x0 = 0 và k = - 2 thì thì tiếp tuyến của (C) tại x 0 song song với một đường thẳng
cố định.
Chú ý: Đối với bài toán tiếp tuyến mà từ yêu vầu của đề bài ta xác định hệ số góc của
tiếp tuyến là kt . Khi đó trong lời giải chúng ta cần giả sử xo là hoành độ tiếp điểm và
ta đi tìm hoành độ xo bằng việc giải phương trình f '( xo ) = kt và từ đó suy ra tiếp
tuyến.
2.2.3. Dạng 3: Bài toán tiếp tuyến đi qua điểm M0(x0;y0) cho trước
Phương pháp :
- Phương trình đường thẳng qua điểm M ( xo ; yo ) : ( d ) : y = k ( x − xo ) + yo
 f ( x ) = k ( x − xo ) + yo
- (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ pt sau: 
(*) có nghiệm.
k = f '( x)

Chú ý: Số tiếp tuyến qua điểm M ( xo ; yo ) bằng số nghiệm của hệ phương trình (*)
Ví dụ 1: Cho y = x3 − 3 x + 1 (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm
2
M ( ; −1).

3

16


Giải
2
2

Phương trình đường thẳng đi qua M ( ; −1) : (d ) : y = k  x − ÷− 1
3
3


 3
2

 x − 3 x + 1 = k  x − ÷− 1
3

(d) là tiếp tuyến: hệ điều kiện tiếp xúc 
k = 3x 2 − 3


(1)
(2)

2

3

2
Thế pt(2) và pt(1) được: x − 3 x + 1 = 3( x − 1)  x − ÷− 1
3

x = 0
⇔ x3 − 3 x + 1 = 3x 2 − 2 x 2 − 3x + 1 ⇔ 2 x3 − 2 x 2 = 0 ⇔ 
x = 1
2

Với xo = 0 ⇒ k = −3 ⇒ tiếp tuyến: (d ) : y = −3  x − ÷− 1 = −3 x + 1
3


Với xo = 1 ⇒ k = 0 ⇒ tiếp tuyến: (d ) : y = −1
Ví dụ 2: Cho hàm số y =

3x − 2
(C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi
x −1

qua điểm A (2; 0).
Giải
Ta có y ' =

−1
, ∀x ≠ 1
( x − 1)2

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0) và có hệ số góc k là y = k ( x − 2).

17


- Hoành độ tiếp điểm xo và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương trình:

 x = 0
 3x − 2
=
k
(
x
−
2)

 x −1
 k = −1
 f ( x) = k ( x − x A ) xy A
 1
⇔
⇔ 

4 .
=k
 x =
f x' = k
2

 ( x − 1)
3




 x ≠ 1
 k = −9
 y = −x + 2

- Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua A(2; 0) là 

 y = −9 x + 18

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x) =

.

1 4
3
x − 3x 2 + (C ) .Lập phương trình tiếp tuyến với
2
2

 3
đồ thị (C) hàm số (2) biết tiếp tuyến đó đi qua A  0; ÷ .
2




Giải
3
- Pt đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 3/2) và có hệ số góc k là y = kx + .

2
- Để đường thẳng (d) trở thành tiếp tuyến của đồ thị hàm số (2) thì hệ phương trình:
3
3
1 4
2
 x − 3x + = kx +
2
2 có nghiệm
2
3

2x − 6x = k

x = 0

⇔

 x = ±2 2

k = 0

⇒

 k = ±2 2

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần viết là: y =

3
3

3
; y = −2 2 x + ; y = 2 2 x +
2
2
2

Nhận xét: Đối với các bài toán trên học sinh thường lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi
qua và tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C).

18


Vì vậy qua bài tập này phải cho học sinh nhận rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác
nhau rõ rệt.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1 (C). Từ một điểm bất kì trên đường thẳng
x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải
Gọi điểm B(2; b) là điểm bất kì nằm trên đường thẳng x = 2.Phương trình đường
thẳng qua B(2; b) có dạng: y = k(x - 2) + b (d).
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
 x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1 = k ( x − 2) + b
 2
3 x − 12 x + 9 = k

⇒ x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1 = (3 x 2 − 12 x + 9)( x − 2) + b
⇔ −b = 2 x 3 − 12 x 2 + 24 x − 17 (*)

Số tiếp tuyến cần tìm bằng số nghiệm của phương trình (*)
Xét hàm số y = 2 x 3 − 12 x 2 + 24 x − 17
Tập xác định: D = R.

y ' = 6 x 2 − 24 x + 24 = 6( x − 2) 2 ≥ 0∀x ∈ R . Do đó hàm số đồng biến.

Vì hàm số đã cho luôn đồng biến nên đường thẳng y = - b cắt đồ thị hàm số :
y = 2 x 3 − 12 x 2 + 24 x − 17 tại duy nhất một điểm hay pt (*) có duy nhất một nghiệm.

Vậy, từ một điểm nằm trên đường thẳng x = 2 kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến
đến đồ thị (C).
Ví dụ 5: Cho y =

x2 + x + 2
. Tìm trên Oy các điểm mà từ đó kẻ được đúng 1 tiếp
x −1

tuyến tới đồ thị.
Giải
Gọi A(0; a ) ∈ Oy ⇒ đường thẳng qua A(0; a) ∈ Oy : (d ) : y = kx + a

19


 x2 + x + 2
 x − 1 = kx + a

(d) là tiếp tuyến ⇒ 
2
k = x − 2 x − 3

( x − 1) 2

(1)

(2)

x2 + x + 2 x2 − 2x − 3
=
.x + a
⇒
x −1
( x − 1) 2
⇔ ( x 2 + x + 2)( x − 1) = x 3 − 2 x 2 − 3x + a ( x 2 − 2 x + 1)
⇔ (a − 2) x 2 − 2(a + 1) x + a + 2 = f ( x) = 0 (3)

Để từ A(0; a ) ∈ Oy kẻ được đúng 1 tiếp tuyến thì pt (3) có đứng 1 nghiệm x ≠ 1
Nếu a = 2 ⇒ (3) có 1 nghiệm x =

2
3

 (a + 1) 2 − ( a 2 − 4) = 0
 ∆ ' = 0


f
(1)
≠
0

  f (1) = −2 ≠ 0
⇔
Nếu a ≠ 2 ⇒ (3) có 1 nghiệm x ≠ 1 ⇔ 
 ∆ ' ≠ 0

(a + 1) 2 − ( a 2 − 4) ≠ 0



  f (1) = −2 = 0
  f (1) = 0

(loai)

 2a + 5 = 0
−5
⇔
⇔a=
2
 f (1) = −2 ≠ 0

Kết luận: Điểm A(0;

−5
) ∈ Oy từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
2

Ví dụ 6: Cho y = − x 3 + 3x 2 − 2 (C) . Tìm tập hợp các điểm M thuộc đường thẳng
y = 2 mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số.

Giải
Gọi M (a;2) ∈ y = 2
Phương trình đường thẳng qua M (a;2) : (d ) : y = k ( x − a) + 2
3
2


− x + 3 x − 2 = k ( x − a) + 2
(d) là tiếp tuyến ⇒ 
2

k = −3x + 6 x = −3x ( x − 2)

20

(1)
(2)


Thế (2) vào (1) ⇒ − x 3 + 3 x 2 − 4 = −3 x( x − 2)( x − a)

x = 2
⇔ ( x − 2)(2 x 2 − (3a − 1) x + 2) = 0 ⇔  2
 2 x − (3a − 1) x + 2 = 0

(3)

Để từ M (a;2) kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt thị hệ điều kiện có 3 nghiệm phân biệt
⇒ phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2

 ∆ = (3a − 1) − 16 > 0
⇔
8 − 2(3a − 1) + 2 ≠ 0
2

 3a − 1 < 4


⇔  3a − 1 > 4
6a ≠ 12


  a < −1


5
⇔ a >
3

 a ≠ 2

5

Kết luận: M (a;2) ∈ y = 2 với a ∈ (−∞; −1) ∪  ; +∞ ÷\ { 2} thì từ M (a;2) ∈ y = 2 kẻ
3


được 3 tiếp tuyến phân biệt tới (C)
Ví dụ 7: Cho hàm số: y =

x2 + x +1
x +1

(C ). CMR: Có hai tiếp tuyến của (C) đi qua

A(1;0) và vuông góc với nhau.
Giải

Phương trình đường thẳng qua A(1; 0) với hệ số góc k có dạng:
y = k(x -1) (d).
Ta có: y =

1
x2 + x +1
= x +1+
(C).
x +1
x +1

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
1

 x + 1 + x + 1 = k ( x − 1) (1)
(I ) 
có nghiệm.
1
1 −
=
k
(
2
)
 ( x + 1) 2

Từ (2) ⇔ x + 1 −

1
= k ( x + 1) (3)

x +1

21


Lấy (1) – (3) ta được:

1
= −k
x +1

 1
 x + 1 = − k
Do đó ( I ) ⇔ 
. Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi
1
1 −
=k
 ( x + 1) 2
k ≠ 0

k = − 1 − 5 (t / m)
k ≠ 0
k ≠ 0
⇔ 2
⇔  1

2
2


1 − k = k
k + k − 1 = 0

k = − 1 + 5 (t / m)
 2
2

Vì k1k2 = - 1 nên hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) vuông góc với nhau.
Ví dụ 8: Cho hàm số: y =

x+2
(C) và điểm A(0; a). Xác định a để từ A kẻ được hai
x −1

tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía so với trục Ox
Giải
Phương trình đường thẳng qua A(0; a) có dạng: y = kx + a (d)
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
x + 2
 x − 1 = kx + a
có nghiệm.
 −3

=k
 ( x − 1) 2
⇒

x+2
−3
=

x + a ⇔ (a − 1) x 2 − 2(a + 2) x + a + 2 = 0 (*) (x = 1 không là nghiệm).
2
x − 1 ( x − 1)

Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) khi và chỉ khi phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt
a − 1 ≠ 0
a ≠ 1
a ≠ 1
⇔
⇔
⇔
(**)
∆ ' > 0
3(a + 2) > 0
 a > −2

22


Gọi x1; x2 là các tiếp điểm. Do hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành nên
y(x1).y(x2) < 0 (x1; x2 là các nghiệm của phương trình (*))
⇔

x1 + 2 x 2 + 2
x x + 2( x1 + x 2 ) + 4
.
<0⇔ 1 2
<0
x1 − 1 x 2 − 1

x1 x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1

2(a + 2)

 x1 + x 2 = a − 1 = 2t
Theo định lí viet ta có: 
 x .x = a + 2 = t
 1 2 a − 1

t > 1
t + 4t + 4
5t + 4
⇒
<0⇔
<0⇔
t. < − 4
t − 2t + 1
1− t
5


+ t >1⇔
+t<

a+2
3
>1⇔
> 0 ⇔ a − 1 > 0 ⇔ a > 1 (thoả mãn (**)).
a −1
a −1

−4
a+2 −4
9a + 6
−2
⇔
<
⇔
<0⇔
< a < 1 (thoả mãn (**)).
5
a −1
5
5(a − 1)
3

a > 1
Vậy,  − 2
thì yêu cầu bài toán được thoả mãn.
< a <1
 3

Ví dụ 9: Cho hàm số y =

x
(C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ
x +1

thị hàm số. CMR: không có tiếp tuyến nào đi qua I.
Giải

Ta có tiệm cận đứng x = -1.
Tiệm cận ngang y = 1. Do đó toạ độ giao điểm của hai đường tiệm cận là: I(-1; 1).
Phương trình đường thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + 1 (d).
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

23


 x
 x + 1 = k ( x + 1) + 1
x
1
x
1
⇒
=
( x + 1) + 1 ⇔
=
+1⇒ x = x + 2
 1
2
x + 1 ( x + 1)
x +1 x +1

=
k
2
 ( x + 1)

(vô

nghiệm). (điều phải chứng minh).
Ví dụ 10: Cho hàm số y =

x2 − x −1
(C). Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ
x +1

được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải
Viết lại y dưới dạng y = x − 2 +

1
(C).
x +1

Gọi B(0; b) ∈ Oy , Phương trình đường thẳng qua B có dạng: y = kx + b (d).
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
1

1

x
−
2
+
= kx + b
x−2+
= kx + b



x +1

x +1
⇔
(I) 
1
1 −
 x + 1 − 1 = kx + k
=k
2

 ( x + 1)
x +1

⇒ −3 +

2
1
b +3− k
=b−k ⇔
=
x +1
x +1
2

b +3− k
 1
(1)
 x + 1 =

2
Do đó (I) ⇔ 
1
1 −
= k (2)
 ( x + 1) 2

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn (2)
b + 3 − k
≠0

k ≠ b + 3
2
⇔
⇔ 2
2
k − 2(b + 1)k + (b + 3) − 4 = 0 (*)
1 − ( b + 3 − k ) 2 = k

2

Yêu cầu bài toán thoả mãn khi phương trình (*) có hai nghiệm khác b + 3

24


∆ ' > 0
(b + 1) 2 − ((b + 3) 2 − 4) > 0
b < −1
⇔

⇔
⇔

2
2
b ≠ −2
(b + 3) − 2(b + 1)(b + 3) + (b + 3) − 4 ≠ 0
4b + 8 ≠ 0

Vậy, Các điểm trên trục tung có tung độ bé hơn -1 và khác -2 thì từ đó kẻ được 2
tiếp tuyến đến đồ thị (C).
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
2.4.1 Khảo sát thực tế:
Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm , trong năm học 2013 - 2014 tôi đã
khảo sát chất lượng của học sinh lớp 12A2 mà tôi được phân công dạy, thông qua
kiểm tra viết gồm 3 bài toán viết phương trình tiếp tuyến như sau:
3
Bài toán 1: (4 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + 2 có đồ thị (C).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A (2;4)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng -1
Bài toán 2: ( 3 điểm) Cho hàm số y =

2x +1
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
x−2

(C) của hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.
3
Bài toán 3: (3điểm) Cho hàm số y = 4 x − 3 x có đồ thị (C).

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3).
Kết quả như sau:
Không có học sinh đạt điểm giỏi; chỉ 2 em đạt điểm khá; điểm trung bình trở lên
chưa đạt 50%, còn lại là yếu, kém.
Cụ thể:
Lớp

TS

12A2

30

Giỏi
SL
0

%
0

Khá
SL
2

%
6,7

T bình
SL

11

%
36,7

Yếu
SL
12

%
39,9

Chất lượng bài làm của học sinh thấp, kĩ năng giải toán còn yếu.
2.4.2 Kết quả sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

25

Kém
SL
5

%
16,7