Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán (áp dụng từ năm 2015) t1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (24.98 MB, 300 trang )
ĐẶNG THÀNH NAM
TÀI LIỆUÔNTHỈTHPTQutfc filA
t
t
THẦY ĐẶNG THÀNH NAM
- Á khoa Đọi học Kinh Tế
Quốc Dân nõm 2009.
môn
- Thủ khoa Toán sinh viên
Toàn quốc nõm 2012.
I
(ÁP DỤNG Tữ NĂM 2015)
o m
H> Mdl
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
- Huy chương vàng Toán
sinh viên toàn quoc năm
2012 va năm 2013.
- Tác giả của nhiều cuốn
sách luyện thì đại học và
chuyên khảo dành bồi
dưỡng học sinh giỏi.
Đ ẶNG TH ÀN H NAM
T À I T I Ệ U Ô»T T l l l
THPT QUỐC GIA
MÔN TOÁN TỪ NĂM 2015
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Bản quyền thuộc Công ty TNHH Sách Sư Phạm
M ã S Ố .1 L -1 4 0 Đ H 2 0 1 5
LỜI NÓI ĐẦU
Các em học sinh thân m êhỉ
Để giúp các om học sinh cũng như quý thầy cô giáo có lài liệu hộ thôhg đẩy đú
kiêh thức cần nắm vững kèm đề thi mẫu để rèn luyện nâng cao kỹ năng làm bài cũng
như phản xạ yới các câu hỏi khó chuẩn bị tốt nhâì cho kỳ thi l ’H P 'r Quốc Gia tác giả
đã viê't cuốn "Tài liệu ôn thi TH PT Quô'c G ia m ôn T oán từ năm 2015". Nội dung cuốn
sách gồm 2 nội dung chính: N ội dung thứ nhâ't để cập đến 12 chuyên dê' kiến thức
kèm phương pháp giải với đầy đủ ví dụ và phương pháp giái nhanh, hiệu quà đi song
song là hệ thống bài tập ròn luyện có đáp số để học sinh tiện đối chiếu kê't quả. Nội
dung thứ 2 gồm 38 đề thi thử để học sinh rèn luyện kèm đáp án chi tiết.
Cụ thế cuốn sách chia làm bốn chương
C H Ư Ơ N G 1. Đ Ạ I SỐ V Ả Ĩ.Ư Ợ NG G IẤ C
C H Ư Ơ N G 2. G IẢ I T ÍC H
C H Ư Ơ N G 3. H ÌN H H Ọ C
C H Ư Ơ N G 4. ĐỂ T H I T H Ử QUỐC G IA V À DẤP ÁN
Mặc dù râ't cố gắng nhưng chắc chắn cuốn sách sẽ khó tránh khói các thicli sót.
Vì vậy rât mong nhận được những ý kiến phán hổi cũng như đóng góp dô cuốn sách
hoàn thiện hơn.
M ọi góp ý xin gửi theo hòm thư điện tử:
Hà Nội, n^àỵ 15 thán<ị 1 năm 2015
Tác g iả
ĐĂNG THẢNH NAM
CHƯƠNG 1
ĐẠĨ SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC
C H U Y Ê N Đ Ể 1. P H Ư Ơ N G T R ÌN H - B Ấ T p h ư ơ n g t r ì n h v ô t ỷ
X-
vấn đề 1. Phép nâng luỹ thừa giải phương trình - bất phương trình vô tỷ
* Các dinh
l ý CO'
bản
'B
Định lý 1. \ / a = B o
A
li'
Một số phương trình cùng dạng:
Loai I: n/ a - 7
b
Loại II: n/ a ± V b
Loại IU : n/ a ± V b
ỊA : B
.
Jc .
7c ị J d .
Sử dụng phép cluiyển vế bình phương (ưu tiên khử phần chung trong các căn thức và đưa được về hai
vế không âm) đưa về định lý CO' bản.
Chú ý: Uu tiên phép khử căn đưa về phương trình đa thức bậc 4 trờ xuống. Có nghiệm đẹp bậc 5, 6 có
thổ bình phương được.
Ví dụ l.(D /2006)G iải phương trinh síĩx - 1 + X" - 3 x f I - 0 .
Lời íiiải:
Cách / ; Diều kiện: X > - .
-x ' t 3 x - l > 0
Phưong trinh tưong đương vó'i: \Í2 \ - I = -X" t 3x - I Cí> •
í -x' +-3x- !> 0
< >ị
Ịx ' 6x' t l l x ’
>x--l = ( x ' t 3x
X ' 3x l.>0
< :>
Ị
X .. 2 - n/2
l) { x ' - 4 x + 2 ) - 0
< ><
8 x i 2 :0
(x
Vậy phưong trình có hai nghiệm là X = l;x = 2 - \/2 .
Cách 2: Phương trình tương đương với: ị^síỸK - I - I j + X'’ - 3x + 2 = 0
2(x-l)
<->
n/2 x
^ + ( x - l ) ( x - 2 ) = 0c:>(x-|)
-+ X
^ 2 \- I + 1
- I f I
X-
< > (x
l)
(x -
2)\Ỉ 2\
I 4- X
-0<>
(x
x -l
[x(x
2)<0
( x - 2 ) ’ (2x
<>
l) = x =
X :- 2 - / 2
2)V2x
Í4X-0
=0
l) '
Bài tâp tươnợ tư
Giái các phưong trình
I ) \Í3\ - 2 r
2) \J\ -1
X" -
3x -( 1“ 0 . Đáp số:
9x’ ( 28x
1
X =
21 “ 0 . Đáp số:: ^X - i; x -•
25 - sj\3
18
Chú ý. Neii bậc sau khi bình phương quá cao (lớn hơn 5) hoặc chưa nhẩm được nghiệm dọp nên tìm
cách khác.
Ví dụ. Giải phương trinh \Tx - \ + x ’ - 4x - 1= 0 . Đáp số:
Nếu binh phương sẽ đưa về phưong trinh: x'’ - Sx'* - 2x'
X
= 2.
t 1 6 x’ 4
7x + 2 - 0
< = > (x-2 )(x' f 2x‘* - 4 x ' - I 0 x ' - 4 x - l ) = 0
l'a thực hiện như sau: x ’ - 4 x + ịy f ỉí - 1-1 j = 0
<-> x(x
2)(x 4 2) t
x -2
Ví dụ. Giài phương trinh (x
0 <> X
:( x 4 2)
- = 0 o (x - 2)
v x - ■1 4 1
n/ x"
1i 1
1)“ 4 2yjĩ - 2\[5 - 2x = 3 . Đáp số:
Ví dụ. Giải phương trình \/x -1 - ( x
-
Ví dụ 2. Giái phưong trình \ \ [ \ " 4
4 1 = 1-
X
!)■ = 8 - x \ Đáp số:
X
X
X
- 2.
=2.
X".
Lời íỉicii:
Bình phương 2 vế phưong trình ta được:
X ' ( x ’ 4 X 4 l) - (l - X - X “ )
o x ’ - 2 x ' - 2x 4 I = 0
X =-
X =-
'l'hư lại chi có duy nhất nghiệm
X =
3 - n/5
Vậy phương trinh có nghiệm dưy nhất
X
3 4 /5
■ thoả măn.
.
Bài tâp tương tư
Giai phưoiui trình xV3x'
1 =1
- X -
4 X -
x’ . Đáp số:
X
Ví dụ 3. Giải phương trinh yfx~ 4 4x 4 1 = ịfx ' 4 6x" - 6x
Lời ựiải:
Điềư kiện; x ’
4
4x
4
1> 0
X
> -2
4
^/3
X<~2-S
Khử căn hai vế cùa phương trình ta được; ( x " 4 4 x t - l ) = ( x ’ 4 6 x “
óx-l)
-■ 2
x=0
<-> 27x' + 162x’ f2 7 x - = 0 c > 2 7 x '’ (x - +6x + l)=:0c:> x = -3 -2 x /2 .
X = -3 +■2 V 2
Thứ lại chí nhận hai nghiệm X -- -3 - 2s/2\ \ = -3 + 2^/2 .
Bài tảo tương tư
Giai các phương trình
1) \/x ■+ 2x - 2 “
4x ’
x ' • 2x" . Đáp số: X - 1;X =: 1i. \/3 .
2) \ Ị \ + 2 - Vx I 6 . Dáp số: X - 2 .
Ví dụ 4. Giải phưong trinh \ f \ f l - \ - \ [ \ - \fx + ^ .
Lời eidi:
íx > - 1
Diều kiện:
[ x - n/ x + 8 > 0
Phương trinh tương đương với: Vx + I = I ( ' Ị x - Vx + 8 <:> X +1 = 1+ X Vx + 8 + 2\Ịx - \ ị \ + s
<-> \/x + 8 : ■2 ^ j \ - \fx~+ 8 o X + 8 - 4^x - Vx + sỊ o 4\/x + 8 = 3x - 8
8
[3x-8>0
X>
3
<-> i
, <>
16(x + 8 ) - ( 3 x - 8 )
9x ’ - 6 4 X - 6 4 - 0
X= 8
Vậy phương trình có nghiệm dưy nhất X - 8 .
Bài tâo tương tư
Giài phương trinh \/2x + I
I : v^x - \/lOx + 24 . Đáp sổ; x = 4.
Ví dụ 5. Giải phương trinh 2x - 3 I-
3x-l
=0
S - 2x- + 2 - X
L(yị íiiái:
Điêu kiện
á X<
[J
.
( 3 x - l ) í x / 3 - 2 x - - 2 + xỊ
Phương trình đirơc viết lai dưới dang 2x - 3 -t----------^ ;— —-------------= 0
-3 x + 4x -1
<> 2x - 3 ^
I
X
0 <-> /3 - 2x-
2x'’ ( 6x
5- 0
/3 '2 x ^ -- 2x’ - 6x t 5 .
Nhẩm được nghiệm x,| - 1 nên ta cứ binh phương phương trình một cách bình thường
Í2x--6x + 5>0
Í 2 x - - 6 x + 5>0
<r><^
•>/ ,
,<r>x-l.
[ 4x' - 24x' + 58x- - 60x + 22 - 0
[(x - 1) (4x“ - 16x + 22 ) - 0
Dối chiếu thấy nghiệm thoả mãn. Vậy phưong trinh có nghiệm duy nhất X = I .
c/íú ự. Ta có thể quy đồng rút gọn ngay đưa về phương trình: (2x - 3 )xÍ3 - 2x' = 2x" - lOx r 7.
Thực hiện binh phương hai vế ta có kết quả tương tự.
Ví du 6. Giải phương irinh
-------= 2x
x /3 -2 x- + 2 - X
3
Lời íiỉdi:
Điều kiện - y — < X <
. Phương trình đã cho tương đương vói;
3 x - 5 - ( 2 x - 3 ) V 3 - 2 x ' +(2x
(2x
3)(2x’
(2x
3)’ (3
3 ) ( 2 - x ) o ( 2 x - 3 ) V 3 ' 2x^ : -- 2x- 4x
4x + l ) > 0
í ( 2 x - 3 ) ( 2 x ' - 4 x t - ] ) >0
<>
0 X
2x’ ) - : (2x'
[2(x - l) ( 6 x '' - 14x’ - X + 13)
4x t l)
I
0
Vậy phương trinh có nghiệm duy nhất X - 1.
Ví du 7. Giải phươnu trinh
5 \ +.... + 12 - /x I IIgx
-ix
Lừ/ ỉỉidi:
Plurơng trinh đã cho tirơng đirong vói: J5x +
2x
•+ 12-1 I |x — -- f
V
2x
2x + - > 0
o 5x + --■- + 12 = 12 + 2 J x - - - - + 1 I + X — *- o
2x
2x + — = J x — ^ -I-1 I <-> ■
X
2x
X
2x ị V
C:> i
2x +
X
>0
8x^ - 2x'
<->
14x’ + x + 2 = 0
X=
2x + - > 0
X
X
\ ( /3
o
X
3 I n/4 I
(2x' - 2 x - l )(4x' -I 3 x - 2 ) = i
8
Vậy phương trình có hai nghiệm là X =
\
Chi/ ý. Đc giải phưong trinh đa thức trên chứ ý làm nhanh như sau: í o2x. .f -J- ì
l
<::> 2x
xy
+ 8 = -Ì |Í 2 x. -- Ì- l + l I c > 2 | ^ 2 x - 2
I
X
^
í
'x
1
2x - - I - 6 = 0 C->
X
Bài tâp tương tư
Gicái
các phưong trình sau
1) \/4x + 15
l
2\
2) J 3 \ - --- + 6 - 1 =
- il4.Dápsố:>
-
l i^ v r í + J l6 f 27ĩ3
—+ 5 . Dáp số: X =
1+ n/2Ị_± x/30 ■+■2721
4
t I1
X -
Xj
2x - - = 2
X
2x
2
2
2x
I
Ví dụ 8. Giải phưoim trinh X J \ ■=]- ^ 2 ( x ’ -■ X t l) .
Lời íỉiải:
Điều kiện:
j
1-
X
> 0. Phương trinh tương đương với: ^
X
( \/x > 0
Ị 2( x'
x -tl): (x- 1)" -2(x -l ) \ / x + x
- 1f
( \A x
I-
X t V X
>. 0
1)" t 2(x
l)\/x I X
0
/5
3 +
c > x = ——
t VX =
Vậy phương trinh có nghiệm duy nhât
Ví dụ 9. Giải phương trình
L
X
Ị(x
Ị 1- X t s í\ > 0
<><
Vx I = 0 [ X - I
•- X + l )
^ x ’
j 1-
1 - X 'f x / x > 0
,
ỊX
2
0
2
3
\Í5
X - - — - -
.
- X + 2 ■yílx" (- 4x = X - 2 .
2.
Phương trình đă cho tương đương vói: 2 ^ \ ' - X + 2 - (x - 2) + \/2x + 4x
2 )' - 2(x • 2)\/2x" + 4x
Binh phương 2 vế ta được: (x
X ^2
c> Ị>^^2
<>
•--2n/2 x ' i' 4 x
o x = 2.
| ( x - 2 ) ' -4 (2 x -' + 4x)
Vậy phương trình có ngliiệm duy nhất X = 2 .
Ví dụ 10. Giải phương trình sVsx" - 3x - 1 - 2\/3x -t I = X
Lời siải:
3 ■+• n/29
3x
Điẽu kiện: <
[3x + l> 0
l> 0
X
>
10
<>
1
3 - V 29
-- < x < ---3
Nhận thấy
X
-
10
không ihoả mãn phương trinh.
Phương trình tương đương vói: 5 \ ls \ ' - 3x - 1 -
X
+ 2 \l3 \ + 1
>25(5x' - 3x - l ) - x - ( 4(3x I I) t 4 x73 x71 cg> 124x' - 87x - 2 9 4 x 7 3 x 7 7
<:> I24x' -29(3x + I ) - 4x77x4 I = 0 <■> 124
_ _ x _ _ J_
o
_
29
7 3 7 7 7 "'
62
29(/22945 - 8?)
7688
X
V 73 x +1;
X = I
/3 x 7 T ~2
X
^
-4 - ^ ^ ^
73 X + I
29 = 0
Đối chiếu điều kiện hai nghiệm đều thoả mãn
29(^/229'15 - 8 7 )
Vậy phirong trinh có hai nghiệm là X = l;x = ■
7688
Ví dụ 11. Giải phương trình \Í2\' I 16x + 18 1 %/x" - 1 = 2(x f 2).
Lời iiiái:
Điều kiện:
' X" -f
8x -( 9 > 0
[x-^-l>0
Chuyển vế binh phương ta được: >/2x' + 16x + 1 8 - 2(x + 2 ) - v / x * - - í
>2x' t 16x t 18 - 2(x
ị ĩ) -
\[\~
-
I
<->
2x’
I
16x
4T[x -t 2)"
t 18
4(x + 2)v/x"
14 x ’ - 1
<=> 4(x 4- 2)v/x" - I - 3 x " - 3 C:ì> \/x ‘ - 1 4(x 4 2 )-3 v /x ‘ - 1 = 0
x = ±l
=0
o
X =±1
<=i> í X > -2
4(x 4 2) = 3>/x" -
o
3n/ 5 7 - 3 2
I6( x 4-2)- r.9(x- -1 )
Dối chiếu cá ba mỉhiệm đều thoả mãn phương trinh.
Vậy phương trình có ba nghiệm là X-
l;x-h x-
ì S i -2 1
Ví dụ 12. Giải phương trình X 4 v/x ■- 3 - yỊlx' - 1 4 v/2x’
4
Lời íỉiâì:
Điều kiện:
. Phương trình tương đương với: \ - \ f l \ ' - 7 - \ l l \ ' - 4 - \ f x ' - 3 .
Binh phương hai vế của phương trình ta được:
x ' - 2xa/2 x ' - 7 4 2x' - 7 - 2x- - 4 - l Ặ l x - - 4) ( x' - 3] 4 X" - 3
,--------«
I----------------------- íx > 0
-4 )(x -' - 3 ) «
- 4 ) ( x ^ - 3)
o
X
= 2 (thoả
Vậy phương trinlt đã cho có nghiệm duy nhất X = 2 .
Ví dụ 13. Giải phương trình Ậ x ~\)[2x ị 7) ị yj3[x
Lời íỉiái:
(x
Điều kiện:
I )(2 x 4 7 ) > 0
(x - l ) ( x - 6 ) > 0
(x
I)(7x4l)>0
X > 6
o
X= 1
.
7
X< - 2
Nhận thấy X = I là nghiệm của phương trinh.
10
])[x - 6) = Ậ x
l)(7x 4 1) .
mãn).
Nếu
o
X
2x
> 6 phương trình Urong đương vói:
+ 7 + 3 ( x - 6) H- 2 ^ 3 {X - 6 j ( 2 x I
X
X == —
Nốii
X
X
-
7x
7 + ^3(x
+ 1c>
-- 6) - s / l\ f 1
/3 (2 x ’
-
5x
- 42) -
X
+6
9
o 5 x - - 2 7 x - 162 = 0 <n>
Chỉ nhận nghiệm
7)
f
s j2 \
18
=9.
+ 7 ) + y j - 3 [ \ - 6) -- ■y/-(7x + 1) .
< — - phương trình lương đươnư vói:
Giải tương tự trên có kết luận phươnư trình này vô nghiệm.
Vậy phương trinh có hai nghiệm là
V í d ụ 14.
Giải phương trình Ị\/l
X
^ 1; X = 9 .
+ X + Vl +
3x j \ / l
f
2x
=
2\f\
+
4x .
Lời uíái:
Cách I : Diều kiên: x > —* .
Phương trình tương đương với: (2x + l)Ị4 x f 2 f 2\Ỉ3\~ + 4x + I j = 4(4x + 1)
I______
í - 8x - + 8x - t 2 > 0
o 2 { 2 x + l)V3x= ■+4x + l = - 8 x ' f 8 x + 2o<^
4(2x f l ) ( 3 x = 4 4 x + l ) = ( - 8 x ' t - 8 x + 2)
- 8 x ' f 8x ) 2 > 0
<>i
-8x' + 8x t 2 > 0
16x^ - 2 4 0 x ' - 60x’ - 0
X= 0
0
X
=0
x = — + 2 /15
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất X = 0 .
Cách 2: Đăt a = Vl ) x.b = \ A^+3x,(a, b> 0). Suy ra 4x t I =
Khi đó phương trình trỏ' thành: (a t h)
3b- - a '
-;3a'
b' = 2.
= 2 ^ ^ ---- - -
o (a + b)" (a' + b’ ) = 4^3b“ - a") Cí> (a + b)" (a‘ + b") = 2(3a" - b")(3b" - a " )
o (a - b)“ (7a~ f 16ab r 7b") = 0 ct> a = b <=i> \/l + X = ^/ỉ + 3x <=> X = 0
Bài tâp tương tư
Giải các phương trinh
1) ị\[\ 4 2x -t \ỉ\ ^ 4x Ị \/ l t- 3x -■2 V 1 + 6x . Dáp số:
2) Ị\/r~(
X
X
= 0.
t \/ỉt~ 5x j \ / l + 3 x = 2 V l r6 x . Đáp số: x = 0.
11
Ví dụ 14. (ìiái phưong trinh
1 \
Lời íỉìcìì:
Phưong trinh tưong đirơnu với: ỉ Ị l x
1-t ỉj2 \ + \ = \ ị f \ 6 <:> ị ĩ l i x
1 t ĩ / l x 4 1j - 16x^
<^4x + 3 (ự 27--ĩ ( V~2x-t’l ) . ự ' ( 2 x - l ) ( 2 x 7 l ) = l6x'’ o 3 ( 7 2 x~~ĩ + ^ 2 7 + ì ).74x-''7 1 ^ 4 x ( 4 x ' - l)
rhay ^2x
I 4 ỉịlx - ị i
X ^I6 vào phương trình cuối ta đưọc: 3.x7l6.V4x"
X --,0
1 - 4x(4x"
l)
X- 0
1
<-> X = ± 1
X —± -
37 i 6 7 - 4 ^ x -^-1)"
.........................
CÍIÚ ý. Vì phép thế trên đưa vồ phương trình hộ quả nên cần thừ lại nghiệm, thử lại đều thơả mãn.
Vậy phương trinh có 5 nghiệm là X
-0;x - :4; * ;x L=
Dạng tống quát cùa phương trình trên có dạng: V a 4- V b
Ví dụ 15. Giải phương trình 2 ỊV 2 .X f 4 + 2 V 2 ~
Vc .
= v ^ x ’ (16.
/-r>/ ư/7/i:
Lởi
íỉìâi:
Điều kiện: -2 < X < 2
Phương trình lương đương với: 4 Ị 2 X 4 4 4- 4(2 - x) 4 4\/8 - 2x~ j - 9x’ I 16
9x- + 8 x - 3 2 > 0
o I óVs - 2x' = 9 x' 4 8x - 32 c> <
256( 8- 2x^) = (9x' + 8 x - 3 2 ) ‘
Í9x-’ +8x - 32>0
(9x^
32)(9x’ H 6 x 4 32 )
^ 4x7
0
3
Ví dụ 16. Giãi phương trinh 2 ^ [ 2 - x ) [ 5 - x ) - x + Ậ l
x) ( l 0 - x ) .
ỉ.òi íiiíii:
Diều kiện:
x>10
x<2
Phương trình tương đương với: 4(2 - x)(5 - x) ^ x 7 ( 2 - x) ( l 0 - x) -4 2 x Ậ 2
X'
-8x +
10 > 0
<-4> x Ặ 2 - X j ( l 0 - x) - x' - 8x ( 10 c->
x ' ( 2 - x ) ( l 0 - x ) = ( x- - - 8x 4 10)'
í x ’ - 8x -4 I 0 > 0
Cí> •
( x - l ) ( x - - l 5 x + 25)-0
12
x:: 1
15 + 5x/5
x) ( l 0 - x) .
Ví (lụ 17. Giải phưontĩ trình ịx ' f 4 ^ \Ỉ2 \ + 4 = 3 x ’ t 6x - 4 .
I.ời ỉỉiủi:
Đicii kiện: X >
2.
Bình phưong hai vế cùa phương trình ta dược: (x" + 4 ) ( 2x + 4 ) = ( 3 x ’ f 6x - 4 ^ ,
3
X -■
<->( x ’ 4 4) ( 2 x f 4
4)
x " ) ^ ( 3 x ’ + 6x
x ’ ( x ’ I 4 ] o (2x + 3)(x ■- 2x
4) - 0 o
2
X -
1 n/ s
X
1 f /5
Thứ lại chí có duy nhất một nghiệm X - I + V.5 thoà mãn.
Vậy phương trinh có nghiệm duy nhất X = 1+ n/ s .
Ví dụ 18. Giải phương trình x ’ - 3 x + 1= \ f s - 3 x ' .
Lời sỉdi:
[s
Điều kiện:
o(x'
X
(vi 4(x^ t x '
^
Ỉ8
l ) ( x ' t x'
4x’
'
“í J “ • Bình phương hai vế cùa phương trình ta được: ^x^
4x'"
X I
7)
0 <c> X"
X I 7 ) - ( 2x’ t X
Vậy phương trình có hai nghiệm là X
X
X
3x + 1)
8 3x .
I -0
5)' t 3(x I ])■’ > 0 ) < ■> X
*
(thứ lại thấy thơá mãn).
±ự5
1
Ví du 19. Giãi phirơng trình , —-----------V3 4x 2 7 x
Lời siải:
Điều kiện: 0 < X < - .
4
.....
, ,
, ......... , ..........,.
Xsjx
I
/2x'--\/3-4x
/;
Phirơng trình đã cho tương đương với: — ----- y= - \ l x <-> — 7— -—
=: Vx
Is R
2jx(3-4x)
<->2x’ - 7.3 '4x
2x73
4.xo2x'
7.3 4x (2x t 1) 0 4xG (2x + 1)' (3 ■4x)
1
X -■ ):
<>( 2x'
l ) ( 2 x ’ + 8x t 3 )
0: >
72
= -2 ±
Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm duy nhất X =
72
13
Bài tâp rèn ỉ uyên
Bài 1. Giải các phương trình
1) y f x~ t lOx + 7 = 5 - X . Đáp số: X - I .
2) -^^(x--3) (x - l)
3)
X- 3 . Đáp sổ: x = 3 .
________
+ 2 x " - 2 = 1 - x \ Đáp số: X =
/r
n/ x '*
4)
- X + I = - 2 - 3 x . Đáp số: X = --1.
5) \ [4 - 3\f\ 0 - 3 x = X -- 2 . Đáp sổ: X = 3 .
6) V? - X" + X \f\ + 5 = XỈ3- 2x - X" . Đáp số: X = -1 .
7) \[2x + n/ óx" f 1 : X 4 1. Dáp sổ: X
8)
|2 —
n/2
--
V
X
0; X = 2 .
. Dáp số; X - 1.
X
9) y ỉx '+ 4x + \ - ịfx'' + 8 x " - 6 x - l . Đáp số: Vô nghiệm.
Bài 2. Giải các phương trình
1) \Jì + 2x + sfx + \ = sỊỹx + 4 . Đáp số: X = - l ; x =
.
2) X 4 yfx~ ■■3 = \ f x - 1 + n/ x 4- 2 . Đáp số: X = 2 .
3) \Í3~X ~\lx + I - -J3x f 7 . Đáp số; X = -1.
4) Vx" - X 4 I 4- \/x"
4-
■Vl85
X 4-1 = V4 - X . Đáp số: X = 0; X = —
I 4 x/l õ
5) \fx'' - X 4 \fx~ 4- 2x = \Ỉ2 x' . Dáp số: X = 0;x =
6) V i Ox 4 I r V3x - 5 " V9x 4 4 4 y/Ỹx - 2 . Đáp số: X -O .
7) Vx 4 7 4 \A x 4-1 = y/sx - 6 4 2 V 2 X - 3 . Dáp số: X 8) V x“ - 3 x 4 2 4 yfx'' ~ 4x 4-3 = 2^Jx~ - 5x4-4. Đáp số:
9) Ị V x T Ĩ 4 V3x
4
1jV 2 x 4 1 = 2V^x 4 1 . Đáp số:
10) V4 4VĨÕ~- 3x =\fl - 2x ^vrt
- X
X
4V 3 -
X
X
2) ^/?^4 Vx
f
X
=3.
I I 4 \ f x - VV-f 1 1 - 4 . Dáp số:
X
=5.
3) V2x 4Ĩ - 1= •\/2x 4 2 - Vx 4 5 . Đáp số: x = -^ .
4) V2x 4 1■ 1- \/2x
14
I
2 - 2\[x ( 5 . Đáp sổ:
X
X
=I.
= 0.
Ị.Đáp số: =3
Bài 3. Giải các phương trình
1) Vx 4 I - - \ - y f x - v v v 1 . Đáp số:
.
4
==4 .
X
5) \j3x + 4
2 - Vsx
9
Ị ....
,
3
4x t- -• - Vx I . Dáp sô: X = .
2
4
3x
6) 6
4 ' \/x 't 12 . Đáp số: X = 4.
7) \Ịs ^
\f2\ - 2 \ / Ĩ 3 ( 1 3 - x ) . Đáp sổ: x = -— .
8) 2\l\~ - 7x + 10 - X f \f\~ - 12x + 20 . Dáp số: X = 1;X --
.
Bài 4. Giải các phương trình
1) V4x + 5 - 2 x ’ + 6x + I = 0 . Đáp số: X = 1- \/2;x - 2 + \/3 .
2) (x + 3)s/x‘ + 1 = X" +• 3x + 1 . Dáp số: X = ±2\Ỉ2 .
3) (3x + l)x/x’ - 7x f 6 = -X' - 3 x ' + 7x + 1. Đáp số: X =:~^/5;x =
4) 2(x ^ \)yjx + 3 :■■x ’ ■+ 5x’ + 7x + 4. Đáp số: X = —
5) x'' - 2x’ ■+ X -■ ^ 2 ( x “ -
.
.
x) . Dáp số;X - 0;x ■l;x = 2 .
6) (3x’ f 7 x ’ f 9x + 5)\/x“ f 3 -3x^ 4 9x'' ) 17x’ t 1Ix r8. Đáp số: X
-4 4-yi3
l;x = .
Bài 5. Giải các phương trình
1) V sx’ - 3x 4 2
2)
a/ x
\Ỉ2x - 2 = X . Dáp số: X
l;x = 2 .
f 3x 4 2 4 \í\ X' “ X 4 1. Đáp số: X = - 1 .
"
3) xíx~ - 4 x 4-3
\Ỉ2x~ - 3x 4 I -■ X - 1 . Đáp sổ: X = 1.
4) yfx' - 9 x 4 24 - x/óx" - 59x 4 149 - 5 - X . Đáp số: X = 5;x = ~ .
5) y/Ầx f X 4 \/8 - X
Ậ 4 4 x)(^8 - x) - 3 . Đáp số: X = - 4; X ^ 8; X =- 2 4 2ylĩ .
6) V x " 4 4 x - 5 4 x/9
X
7)
n/2 x " 4
16x 4 18 4 x/x’
\/ x " I 3x 44 . Đáp số: X = - 5 ; x = I; x = 9.
1 - 2x 4 4 . Dáp số: X = - l;x = l;x = —
.
Bài 6. Giải các phương trinh
1)
p
VX
2)
4
3
-
4
X 4 1 \ n/ x 4 1 . Dáp số: X - 1 4 / 3 .
\ỉx ị 2 ~ x íx ' - 2 \
4
4
4
\Ỉ2x
4
1 . Đáp sổ: X - I .
- -- - ự x 4 1 - \ A x " 4 2x 4 I - \Ỉ2x - 1 . Đáp số: X = 2 .
3)
4)
V
5)
4 Vx 4 3 : \/x ’
X 4
nA x ’
2
4 1 - \Ỉ4 x ' - 2 x 4 1 - \fx ^- 2 . Đáp số:
X
- --I ;x = —
4 2 x 4 1 - ^ 2 x 4 3 - J — - - - ^ - - V 2 x - ĩ . Đáp số: X = - —
V 2x 4 3
42
15
Bài 7. Giải các phương trình
1) V x - ĩ + V x - 2 =
- 3 . Đáp số: X = l;x = 2;x =
.
2) \Í2 \ - \ + ỉ f \ - ỉ f \ - \ . Dáp sổ: X = 0 .
3)
n/2 x
-1 f \/.\
1 : ịỈ3 \ I 1 . Đáp số:
6
.
4) \J2\ f 1 + ị Ị lx f 2 ■■( i Ị lx ■+-3-^0. Dáp số: X -- -1.
5) Vx f 5
t
ĩj\
I
6
---
^2x
+
I I . Dáp số:
6; X
X
-5; X -
■
I1
Bài 8. Giái các phương' trình
I) _
----
n/ 3
-2
x'
- ^ 2x - 3 . Đáp số: X - - 1.
+2 - X
__ I T x t l
,
4+710
V3-2X-+2-X
6
3) --y_-=llí=—^------ = 2 x - 3 . Đ á p s ố : x = - l .
x/s -4x~ +2 -- X
3x-l
4)
: 3 - 2x . Đáp số: X :
7 5 - '4x- + 2 - X
7x 1 X + 7 T - X ” ]
5) _ : X . _ . . ị _ : X ^ l . D á p s Ố :
x 7 x t i 7 x " 7 ’'
,
6)
2x'+
■
X +
374 - x ’ - 12
_ I I
A’
X
X 2
—
,
. Đáp so: X - - 1 ; X G .
7 4 - X-' + x - - 2
JA>0
Đinh lý 2. 7 a > B o
-
|
b
<0
ÍB>.0
|
a
> B’
Ví dụ 1. Giải bất phương trình ' Ị l x ' - 3 x f I > 2x - 3 .
Uri íỉiíìi:
X <
2x' - 3 x + 1>0
Bất phương trinh < >
2x
3<0
2x
3> 0
|2x’
3x+l>(2x-3)'
X <
< X <
< ->
<>
X >
2x’ ■ 9x t 8 < 0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là s =
16
u
9 + 7l 7
’
4
9 r 7l 7
Ví dụ 2. Giải bất phương trinh yịịx + 3)(x - 8 ) > X + 2 .
Lời siăi:
X < -2
[x + 2 < 0
x>8
[(x + 3 ) ( x - 8 ) > 0
Bất phương trinh tương đương vói:
o
íx + 2 > 0
x<-3
o X < -3
x > -2
Ị(x + 3)(x - 8 ) > (x ■+2)"
28
X< -—
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là X < -3 .
Ví dụ 3. Giải bất phương trình \/x + -v/ĩ - x ’ > \ Ỉ 2 - 3 \ - 4 x " .
Lời íỉiải:
'\>0
Điều kiện: ■1 2 -
x ' >0
o
0 .< X <
-3 + %/4Í
3 x - 4 x - >0
Bất phương trinh tương đương vói: X + 2^x(l - X' ) + l - x ‘ > 2 - 3 x - 4x".
<I>3x’ + 4 x -1 + 2 ^ ( l - x’ ) >0 o 2^(x" + x)(l - x) + 3(x' + x) + ( x - l ) > 0
<=>
+ X + \f] - x ^ ị 3 \ [ x ' + X - \ Ị V ^ x ^ > 0 o 3^Jx~ + x -^/! - X > 0 o 3Vx" + X > y f \ - x
-5 + 2 ^
X^ —
o 9 x ' + l Ox- 1 > 0 o
X<
9
-5 -/3 4
......
-5 f V 3 4 ^ ^ -3 + >/41
Kêt hợp với điêii kiện suy ra ---- ------- < X < --------- — .
, ,
,______ . . . . , . - 5 + 734
-3 + V 4 Ĩ
Vây tâp nghiêm cùa bát phương trình là - — - — < X < ------- ^—
Bài tâp rèn luvên
Bài 1. Giải các bất phương trinh sau
1) 7 - 3 x ‘ + 1O x - 3 > 3 x - 5 . Đáp số; s =
11
3'3
2) >/2x‘ - 7x + 5 > 3(x - 2). Đáp số: X < I .
3) V 4x’ - 6 x -(-1 > 3(x - 1). Đáp số; x < ^ —
4) V4x" - 3 x - 7 > 5 - 2x . Đáp số: X >
32
17
5) -2x" -t 3x + 2 > (2 - x ) ^ 2 x ' - 5x + 2 . Đáp số: s :
- 9 \_
17
A >0
Định lý 3. \[a < B o
B>0
.
A
Lời ữiải:
x>5
x<-3
X- - 2 x - l 5 > 0
Bất pluroníỉ trình tưoiig đưong vói: X - 4 > 0
x>4
X- - 2 x - 1 5 < ( x - 4 ) "
Vậy tập nghiệm cùa bất phương trình là s = 5;
X<
C: >5
31
31
31
2x ( n/ ^ - 5 + V 4 x - 3
inh — ^
..... ’ + l 5<5V2x + 9 .
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
V2x +- 9 f 3
Lời íiìái:
Điền kiện: X > —.
3
Bất phương trinh tương đương với: 2xỊ^/3x - 5 + Vĩx - 3 j + 45 < 5(2x + 9)
<I> 2 \ ị s j 3 x ^ f ^ / 4 x * ^ - 5) < 0 Ci> 73 x - 5 + V ĩ x ^ <5 o 7x - 8 + 2 Ặ 3 x - 5)(4x - 3 ) < 25
o
33-7x>0
x/l2x' - 2 9 x + 15 <33 - 7x o <
,
[ l 2x' - 2 9 x + l 5 < ( 3 3 - 7 x )
Vậy tập nghiệm của bất phương trình s ==
<-> X ■
3
'JB>0
Định lý 4. A.nAb > 0 0
|
a
>0.
B: u
0
, , Vl 2 + X - X“
nh ----------------Ví dụ 1. Giải bất phương trình
x(x-2)
>
0.
Lời íỉiải:
[x(x-2)^0
Bất phương trinh tương đương với:
12 + x - x ' =0
12 + x - x - >0
<=>
-3 < X < 0
2
x(x-2)>0
Vậy tập nghiệm của bất phưong trình là s = [-3 ;0 )u (2 ;4 ]
18
—< X < 3
3
2x + 4
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
X - -
0x-3x--3>0.
2x-5
Lời siải:
,
Điêu kiện:
X
Í2x-5^0
,
<=>
IOx-3x=-3>0
5
2
< X
<3
Bất phương trình tương đương với:
(3-x)(3x-l) = 0
( x - 4 ) ( 2 x + l) 7 ( 3 '- xy ( 3 .x - l)
2x-5
>0 o
[(3-x)(3x-l)>0 ^
( x - 4 ) ( 2 x + l)
2x-5
- - < X < -~
3
x-3
>0
2
Ví dụ 3. Giải bất phương trình (4x“ f 6x)V2x + 4 > 2x'^ + 7x’ + 14x + 12 .
L('ri ỉỉiải:
Điều kiện: 2x + 4 > 0 <=> X > -2 .
Bất phương trinh tương đương vói: (2x + 3) 2xV2x
X
<=>(2x + 3 )Ị x - V2 x + 4 Ị ' < 0 o
+
= \l2 x + 4
X
4-
2x
X" -
-
4 >0
= 1+ n/5
^ ^/2x + 4
-2 <
X < --
2x+3<0
Ví dụ 4. Giải bất phương trình X f 2sfi - X > 2v/x - 1 + \f-x~ r 8x -- 7 + 1.
Lời ỉỉìái:
Điều kiện: 1<
X
< 7.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
X
-1 + 2\/7 -
X -
2 \ lx - 1 - ^ ( x - l ) ( 7 - x ) >0
- V 7 - x ) + 2 ( V 7 - x - n/)T g ) > 0 c:>(V x^ - 7 7 2x-8
X
-5
>0<=>(x-4)(x-5)>0<=>
\fx~— II +
-ì- yỊY\
\X \J x
\ —\ ỉ -+
r Ẩ.
2
M \
Ví dụ 5. Giải bất phương trinh v/dx" f 38x - 1 -2\Zóx
-
x)
( / x^ - 2 ) > 0
X
>5
1
LX
<4
5
1> X + 1
/.r>/ siãi:
Điều kiện:
o
nA x '
X > — .
6
+■38x - 1 >
X
4-1 f 2^ỊGx - 1 C-> 4x" +38x
-
I > x N 2x -f 1+ 4(6x - 1) 4 4(x + \ )yj 6x- 1
<::> 3x‘ + 12x 4- 2 > 4 (x + 1) Vbx - 1 <;-> 3(x + 1)” 4 6x - 1> 4(x 4 ] ) J ^ ~ 1
X
<=> ^x 4 I - \/6x -1 j( 3 ( x + I) ■^/6x - 1) >
^ 0C2>
> 2 4- V 2
■
Lờì siải:
Điều kiện: X
2
.
Bất phương trinh đã cho tương đương với: 8 \l2 x -3 + sVx + 1 > ỏ Ậ ĩ x - 3)(x + l) + 4
o 6 4 ( 2 x - 3 ) + 48ự(2x-3)(x + l) + 9(x + l ) > 3 6 ( 2 x - 3 ) ( x + l) + 4 8 j ( 2 x - 3 ) ( x + l ) + 16
o
7
13 „ '
'
'
3
72x’ - 173x - 9 1 < 0 c : > ^ < x < — . Đối chiếu với điều kiện suy ra 4
9
8
2
3
Vậy tập nghiệm của bât phương trinh là —<
2
13
< X < —
.
8
13
X < —
8
.
Bài tảp rèn luyện
Bài 1. Giải các bất phương trinh
1)
2)
I X-
3x‘ + 1Ox -- 3 > 0 . Đáp số; s
5x- 2
Vó + X - X"
Vó 4 X - X”
2x + 5
X+4
X" - -
3)
4)
2x + l
n/ 4
4x + 4
V V - 8 X - X"
5- X
^
’‘ = -'0 )
U |l;3]^
. Đáp số: -2 < X < - 1 .
> 0 . Đáp số:
7 -x
Vx-3
3 '5
X
= 1,-9 < X
— 2 ^ ^
.
. Đáp số: X > 1 0 - VĨ 4 .
VX-3
5) ( x ' - 3 x ) V ^ 2 x ' - 3 x - 2 > 0 . Đ á p s ố : s = {0;2}u —oo;---- U[3;+co).
2
Bài 2. Giải các bất phương trình sau
1) V - x ‘ + 9 x - 8 + 2> 2V8 2)
X
+ 2V8 -
3)
X
+V^-
4) 2x + 2V8 -
+ Vx~^ . Đáp số: 5 < x < 7 .
- 2V x " ^ > 8 - V - x " + 9 x - 8 . Đáp số: 4 < x < - .
X
X
X
- V^x - 1 > 8 - v~x" +9x - 8 . Đáp số: 3 < X < 7 .
X
- V3x + 1 > 1 6 - V-3x" + 23x + 8 . Đáp số: — < X < 7 .
5) 3x + 4V4x - I + 1> 2yj3x + 1Ụ
ax
-1 + l Ị . Đáp số: — < x < :
* Phát hiên hằng đắng thức
Chú ý biểu thức trong căn là các hằng đẳng thức quen thuộc;
[ a“ + 2ab + b" = (a + b)"
la’ - 2ab + b’ = ( a - b)’
Khi đó sử dụng
20
= |A| .
Chẳng hạn; yỊx + 8 + 4\Tx + 4 = ^ ( x + 4) + 4Vx + 4 + 4 =
_
.
V
. ' _
í
'
4
VI
2
Vx + n/ x ^ . V
x
+I =
+ 4 ^ 2 = Vx + 4 + 2
X + ■
( x - l ) + ( x + l) + 2 V x - l . V x + I _ V x - I + V x + I
_
_
.
Jụ 1. (D/2005) Giải phi
Ví dụ
phưong trinh 2-\/x + 2 + 2Vx + I - \/:x + 1- 4 .
L ot g/Vr/';
Điều kiện:
X >
- 1 . Phương trinh tương đương vói: 2 ^ (x + l) + 2 ^ x + 1 + 1- ^/x + 1 =4
o 2Ậ\/x + 1+ l)" - V x + 1 = 4 o 2 ỊV x + 1 + l j - V x +1 = 4 <=> Vx +1 = 2 <=> X = 3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
= 3.
X
Ví dụ 2. Giải phương trình ^ x - 1 = J x - 7 + 2 y f x ^ .
Lời siải:
Điều kiện;
X > 8.
Phương trình tương đương với: y f x - 1 = Ậ \ /x - 8 + 1j
c=> ỷ/x- 1 = V x - 8 + 1o u -1 = Vu’ - 7 , Ị u = ỷ /x-ì'j <=> (u - ] ) ’ = u’ - 7 <=> u’ - u’ + 2u - 8 = 0
o (u - 2)(u“ r LM 4) 0 c-> u = 2 <=> X
Ví dụ 3. Giải bât phương trình
=
9
Vx + 24 + V ^ 27(l2 + x - V ^ 2 4 x )
.— ^— -■---- < —ỷ----------------------------- .
Vx + 2 4 - V x
8Ị i 2 + x + V x ’ + 24x Ị
Lời siải:
X
,
X.
V^TT^ + X ^
Điêu kiện; X > 0 . Bât phương trình tương đương với: ■ '
---- ~
Vx + 2 4 - V x
<rx>
Vx + 24 +- Vx
27 V5^+ 24 - Vx '
Vx + 24 + Vx
Vx + 24 - Vx
8 ( >/x + 24 + Vx
Vx + 24 - Vx
J
j
2 7 (2 4 + 2 x - 2 V x ( x + 24))
---------------------— ----8(24 + 2x + 2Vx{x + 24))
27
Vx + 24 + Vx
3
8
Vx + 24 - Vx
2
Cí> 2(Vx + 24 + V x ) < 3 ( V x + 2 4 - V x ) <=> Vx + 24 > sVx <=> X + 24 > 25x C5> X < 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là s = [0 ;l).
Ví dụ 4. Giải phương trinh ^ 2 5 - ( x +
1
) ^
( x -1 1 )7 i + (x - 6 ) ( x -8 )
- x ' + 9 X -1 8
Lờ i siải:
Điều kiện có nghiệm của phương trình là: - x ’ + 9 x - l 8 > 0 < = > 3 < x < 6 .
21
Khi đó ^\ + { x - 6 ) { \ - ẵ) =^Ị\~ - \ A x + A9 =^^Ị [ \ - l ) ' = 7 - X
o j4 -( x - ll) 7 l + (x-6)(x-8) = ^ 4 -(x -ll)(7 -x )= 9 -x
< » ^ 2 5 - ( x + l ) ^ 4 - ( x - l l ) ự l + ( x - 6 ) ( x - 8 ) = ^2 5- ( x + l ) ( 9 - x ) - |x - 4|
4
í •
I
Do đó phương trinh tương đương vói: |x -
X=5
4i 9x 1 4| = ----------------o
-
8
X
ll-> /Ỉ7 ■
2
1l-^ /Ĩ7
V C iJ
Ị J I M. I w 1 I g ,
I I 11 11 I
I1« I
II
IIV ^ IIIIU /V
-----
Ví dụ 5. Giải phương trình
2 j x ‘ - —+ J x ‘ - — + +
ỵ
4
ỵ
4
J x " - — + , / x ’ + X + — = 2 x % 3 x ’ + 3x I I (có n dấu căn).
V
4 V
4
Lò/ ỉiiái:
Điều kiện có nghiệm: 2x^ + 3x" + 3x + 1= (2x + l ) ( x ' + x + l ) > 0 c í > x > —^ .
Khidó J x = - i + 3 x = + X 4 l = J x = - j 4
X+ —
.
ỵ
X - —+ , X - —+ Jx
4
4 \
'
„ 2
+ X + — = ,/x
4
V
= ,|x
2y
V
>
:- —
I + X + 1— = x + •—
4
2
2
1
'
2
2
- —+ X+ — = x + — .
4
Hoàn toàn tương tự cho các căn thức tiếp theo và đưa về phương trình tưong đương vói:
I
X -f-
= 2x^ + 3x" +3x + l<=>x(x + l)(2x + l) = 0:
2.
X
=0
Vậy phương trinh có hai nghiệm là X = 0;x = - —.
Ví dụ 6. Giải phương trinh Vx + \fx'' - 1 = 32(x - !)■ V2x - 2 .
Lử/ siải:
Điều kiện:
X
> 1.
Phương trinh tương đương với: yỊx-ị- \fx~ - 1 = 32(x - 1)"s/ĩx - 2
o yỊlx + 2\lx~ - 1 = 64(x - \Ý\íx- \ <=> ^ị^\fx + ĩ + \Ịx-\ Ị' = 64(x ■
o s/x + i + Vx - 1 = 64(x - l)"\/x - I <=>
<=>
22
X - 1
x +1
( 6 4 ( x - l ) " - l ) = l <=> X = ■
1 =Ị^64( x - 1)’ - l] \ / x ^
X - 1
Chú ý. Đẻ phương trình có nghiệm ta phải có 64(x -1)" -1 > 0 khi đó vế phải là hàm sổ đồng biến nên
có tối đa môt nghiêm, dễ tìm đươc nghiêm
■
Ta có thể đặt t =
X
+ x/x"
I -> (t - x )“ =
Phương trình trở thành: \ft =32
t- + I
2t
X - —
4
bàng máy tính bỏ túi.
V
- I
X”
+
\_
~ 2 t'”
t- + 1
-1
o t^ =8(t -1)^ o , . . o
2t
X = -
Bài tâp rèn luyén
Bài 1. Giải các phương trình sau
1) ^/^ + 4 + 2\J\ + 3 - \ỉx + 3 = I . Đáp số:
X
= 6.
2) v/x + 2 4 2\ỉx + \ + y[x^¥ 2 - 2\/x -+ 1 = 3 . Đáp sổ:
X
3) ' Ị x - \ lx ' - \ + yfx + yjx~ - \ = -y2Õ<^'^t~í) . Đáp sổ:
4) y[x~ yfx' - 1 + ■\[x^+ yf>c - 1 = 3 . Đáp số:
X
= —.
4
X
= 1.
= —.
5) 3v/^ + 3 + 2yfx + 2 - 2V^v^ĩ"3^-^2V^>^ = 7 . Đáp số:
6) yjx - 2 \ lx -1 -i \[x + 3 -4 ^ /x - 1 = 1 . Đáp số:
X
X
=2.
= 2;x = 5 .
7) ^|x + 5 - 4\Jx + 1 + yjx + 2 -2 \J x + 1 = I . Đáp số: X = 0;X = 3
8) v/X + 2yJx- \ + 3ylx + 8 - 6 \ / x - 1 = I -
X
. Đáp số:
9)
=
X
/—- x ' + \ / í - x " +■ /—'4
V4
X" -
Vi -
X"
X
=5.
+ I . Đáp số:
X
Bài 2. Giái các phương trình sau
I ) 4\[x + yfx~ - \ = 9(x - l)V2x - 2 . Đáp số;
2 ) \[x + \fx~
3) \[x + \fx '
21
(x 8
= — {x
16
-
X = —
.
- 2 . Đáp số: x = —
3
1)’ V2x - 2 . Dáp số:
X = -
3
4) Vx + \f>c -1 = ^ ^ ( x -1 ) “*V2x - 2 . Đáp số: x = —
32
5) yjx +
= - ^ ( x + I)W 2x - 2 . Đáp số; x = —.
128
6) yjx +• V x“ - I = — (x + 1)" V2x - 2 . Đáp số:
81
X
=—
4
23
Bài 3. Giải các phương trình sau
1) ^1 + (5 - x ) ^ l + ( 6 - x ) ^ 4 + (x - 6 ) ( x -1 0 ) = ——- ỉ .
. Dáp số;
X
=: 6 .
2) 2 ^ + ( l - x)^^9+~(2 - x ) ^ ^ 4 ^ 6 - x ) ^ 4 4 (x + 2 ) ( x - 8 ) - - x ‘ f l 3 x - 22 . Đáp sổ: vô nghiệm.
3) \j4x~ + 2x + V^X” 4- 2x + V ix " 4-4x4-! = 2x’ 4 9 x N -12x 4-4 . Đáp sổ: x = —
Bài 4. Giải các bất phương trinh
1
A T S t/x
8(|2+
Vx 4 2 4 - V x
------------ ,■... :■.2 -T -r- ■Đáp SỔ; s = [0 ;3 ) .
ị l 2 + x 4 V x ' 4-24x Ị
Vx + 8 - n/ x
\ + 4+ J\~+8x
yJx + 8 + ^ịx
8Íx 4 4 - V x- + 8 x
)
x
-^
x =+
24 x’ )
í
2) 7 7 ^ ... -A < - 7 ----------
3)
Vx + 4
-
\/x Ỵ
X 4-
\Tx + 4 + ^fx
2 4- V
x ' 4-
o
\
/1
s = (l;+oo).
4x
. Đáp số: s -
32|x 4- 2 - \/x ' + 4x j
rI
A
-;4-co
v2
y
Bài 5. Giải các pliưong trinh
1) 2\ Jx+J2x - 1 - ^ 2 ( x - l ) - 2.^(x - 3 ) . Đáp số:
X
- 5.
2) \Ị\ + yj2x-x~ +\j\-\Ỉ2x-x^ - ij6x 4 4 . Đáp số: x = 2;x = -*-ỉ—
3) -\/2x -2\Ĩ2x- I - 2\/2x 4 3 - 4 \ / 2 x
-
1 +3yj2x + 8 -6 \ ỉĩx - 1 =4 . Đáp số:
X =
I;x
* Một số bài toán chon ioc
Bài 1. Giải bất phương trình . /x - — 4 — > I 4 /l - — .
V
X
X
V
X
z,r)7 g/ã/:
x>l
Điều kiện;
-l
I , 1
T H I: Nếu - l < x < 0 k h i đ ó l - — > x - —, 1 > — bất phương trình vô nghiệm
X
,
TH2: Nêu
X
X
,
X
> I . Bât phương trình tương đương với:
Ị^
_ị
^_ 1
---- (x f I) > “ — 4
X
X>1
<->
x -1
x -1
X
V
_ 1
— X
X>1
>0 <=>
/
24
/ X
v ;r r ĩ- j^ - i> 0
X 4
I>
4 l
=
2;x = 13
<“> i
X> 1
X>1
1> ------‘+
' ‘ 11"f 2*
o
X+ 1
x '-x +l
X
X
X>
, [x-ĩ
X
X-
( x'
- X
+ l)" > 4x( x - l )
X>1
o i , .
,2
<
<->
^ >•^s ,,
o l\<<Xxí t^. -----Ị(x '-x -1 j> 0
[ x ‘ -x-l;>í:0
2
Bài 2. Giải bất phương trinh 1+ 2 J l - — >
+ 4^x - -
L('rí íỉiải:
X
0
Điều kiện: ■ l - - > 0
X
X>1
-1 < x < 0 '
X- - - > 0
X
Bất phương trinh tương đương với: 1+ 4 yl - — + 4
TH I: Nẻu -1 < x <0=> 1- —> 1;,/1
X
V
X
>
1
1
>1 + 4, X - - < = > 1 -- + J l - - > , / x - - .
X)
v x
x V x V x
\
X - — bất phương trình luôn đúng.
V
X
f
r
Ị X —1
X —1 íx “ 1
TH2: Neu X > 1bất phương trình tương đương với: J ------(x + I) < — - + J ‘
X> \
X >
x -1
c>
< 0 o X = I hoặc
c>
<=> <
< . l ^ ~ +I
X>I
x>l
o <
v :rn -,-i_ i< 0
- I <^-> X” - X 4 I ^ / X - I
X - I
------ —- <2
X + 1< — - + 1+ 2
X
V X
ÍX>1
1+x
<=>‘^/
x:
o ị ,
<=>x= —
Ị(x "-x + lj < 4 x(x-l)
Ị ( x " - x - l j <0
[x '-x -l =0
2
Vây tâp nghiêm của bất phương trình là X =
■hoặc X = 1hoặc - 1< X < 0 .
, 9
9
Bài 3. Giải bât phương trình ,|9 - — < X - J x - —
ụ y ị ưiải;
9
9-->0
Điều kiện:
X
9 „
x-->0
x>3
-3 <
X
<0
X
25
