Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán (áp dụng từ năm 2015) t2

,

\y

\ 4 V

Cách 2: Từ aiái tliiêt suy ra ~ = ——jL . Khi đó p =
z
z
K z
Đ ặ tt^ ^ = > t =^ <

^X+ y ^

)

_2

' , z j x

+y

— - o t > 4 . Khi đó p = f( t) = t ' - 2 t + 4
t

v~2z y

I
^ 2 "* ]
Xét hàm số f(t) - t" - 2t + - vói t > 4 ta có f'(t) = — —^------> 0, Vt > 4 nên f(t) là hàm đồng biến trên
33

'
33
[4;+oo) suy ra p = f( t ) > f(4) = — . Vậy giá trị nhỏ nhất của p bằng — đạt tại X = y - 2 z .
, i ,
,
, .
. , a b c a+ b b+c ,
Ví dụ 3. Cho a, b, c là các sô thực dương chứng minh —+ —+ —> -------- h-------- h1 .
b c a b + c a + b
U ri giải
, a + b x + l b+ c y + 1
Đặt a = x.b;c = y.b (x ,y > 0) khi đós ____ —___ ♦____ — ___
bt-c y + T a + b x + 1
Bất đắng thức trở thành: X + — + — >
+ — -í. + 1 o x ’y" + X" + X + y ' + y" > x ’ y + 2xy" f 2xv
y X y + 1 X+ 1
Bất đẳng thức cuối đúng vì là tổng cúa ba bất đang
x’ y' -t X
--------- 2 .

>

X

x V " + X + y'’ + y^ ^ 2 2
2
2------- -2----- 2_ > 2xy ;x + y > 2xy

y ;- —

Bất đăng thức được chửng minh. Đăng thức xảy ra khi và chi khi a = b = c .
Ví dụ 4. Cho X, y, z là các số thực thuộc đoạn [l;2 ] . Tim giá trị giá trị lớn nhất của biểu thức
X + z +4xz
V

' y- + 2yz - 5zyz - 4z‘

y

- V3x - X'

Lờ i sìải
r1
Ị b’ + 2 b - 5 ^
a’ + 4a + 1\
-'J3x-x~ .
Đặt X = a.z;y = b.z;a,be - ; 2 . Khi đó p = — 4 - —
+
l a-’ f l
)
l
b-4
J
[2 J
Xét hàm sô f(a ) = ----- ;--------;g(b) = —------------- trên đoạn
b -4
a’ +1
ta có f'(a ) =

-;2 và h(x) = -\j3 x - X

trên đoạn [l;2]

ib T ') 2
, . ;.f,’(a) = 0 <=> a = 1e
2
( a C l)

- 1 ^ 13
Suy ra m axf(a) = f ( l) = 3;min f(a ) = f(2) = f I — = —•
2J 5
g'(b) = -^ị— ^ ^ < 0 , V b e
(b -4 r
h'(x) =

3 -2 x
lyỊìx - x~

-;2 => maxg(b) = g|

;h '(x) = 0 o x = —
2

0

15
" 14 '

"

3
~2

maxh(x) = h(l) = h(2) - \/2;m in h(x) = h í —^
V 2 y

Do vậy p - ( f ( a ) ) '+ ( g ( b ) ) '+ h(x)

301


Vi vậy

/ Ịr y
= (m a xf(a ))^+ (m a xg (b ))% maxh(x) = 3% — - 4 2 .
vI4 y

a= 1
Dấu bàng xảy ra khi và chi khi

X= z

1

b = — <=> -^ y

x=2

— z <=> ■; y

2

2

X = 1

X = 1

X = 2

X = 2

=l .

z=2

Ví dụ 5. Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện 4 a - c + 4 b - c =

. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức p = •—^—
H-—
^— h-—-—
1--- .^
--------1
-------1----------1
b+c c+a a+b a + b
Lở/ íiiải
Đặt a = x.c,b = y.c,(x,y > l) khi đó theo giả thiết ta có:
V x -1 + s Ị y - \ = yỊxỹ o ( 7 ( x - l ) ( y - l ) - !)■ = 0 <=> xy = X + y > 2^f>4 => xy > 4

Ta viết lại biểu thức p dưới dạng; p =

^ + - - + —!— f
y+1 x+1 x + y
x+y

.

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có;
p=

XX'

yy"

1

xy + x

xy + y

x +y

+

I
--------- L-------- > (x-i-y)“
— LZ2—
(x + y) - 2 x y 2xy + x + y

4-

1
xy

1------x y -2 x y

x 'y ’
I
I
xy 1
1
— -----1----- ^ —;—;---------- —------1------ 1
;-------3xy xy x‘ y " - 2 x y 3
xy x ‘ y '- 2 x y
Đặt t = xy,(t > 4) => p > f( t ) = 1
^ ^
’
3

t

t- - 2 t

■

X
t 1
1
r

^
t = ( t - - 4 t + l) + 6 ( t - l )
Xét hàm sô f( t) = - + - + - r - — trên |4;+oo)tacó: f'( t) = —
—-— - > 0 . Vt > 4
6 t= (t-2 ỵ
Vì vậy f(t) đồng biến với t > 4 = > p > f ( t ) = f(4 ) = I L
2Ã
41

Vậy giá trị nhỏ nhất cùa p bằng — đạt tại

X

= y = 2.

Ví dụ 6. Cho a, b, c là các số thực thoả mãn điều kiện a > b > c > 0 .
u/
r,
(3ab + bc)"
121b“
I im giá tr nhó nhât cua biêu thức p = -------;— — + — - '
--------.
b'
a' + b=+c-+8ac

-T-. _

Lời siảì
Đặt

302

X

= —,y = —,(x > I > y > 0)khi đó; p = (3x + y ) " + —;----- ------------b
b
^
^
’
x=+yH 8xy + l


-

9\

-

121^--------- > x +8xy
o... + y +-6. + — -----ĩ—^
121---------X f y f 8xy + 1
X + y + 8xy + 1

+ 6 x y + y" + —,

Đặt t = X" + 8xy + y" + 1=:í> p > f( t ) = t +

121

+5

121
Ta có; f'( t) = l - 2 ± i ; f '( t ) = 0 o t = l 1
t
Ta có f (t) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua t = 11 nên f(t) đạt cực tiểu tại t = 11
hay p > f( t) > f( l 1) = 27 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
Vậy giá trị nhỏ nhất của p bằng 27 đạt tại a = b = c .
Ví dụ 7. Cho X, y. z là các số thực dương thoả mãn điều kiện 7 (x ' + y"
^1 -

. ,

;

Chứng minh răng
L ( 'r í l ỉ i ả

51
51

X
X

y
y

28

y+z

z+x

z

----- <
'' -------------Ị--------------j---------------

x+y

+z")

= 1l(x y + yz + zx)

<2.

i

Đặt p =

—4— -— f
— khi đó
y 4 z z 4- X X + y

_ p 4- 3 =

X

V

z

- 4- 1+ - 2 1 — 4- I 4 —
4- 1
z 4- X
X 4- y

y 4- z

x4 - y 4 - z

x4-y4z

x +y+z

y+z

Z4- X

X 4- y

= ( x 4- y 4- z)

I
I
I
----4- —^----4-----x+y

y4- z

Z4-X

( x + y + z ) [ ( x 4 y ) ( x + z) + ( y + z ) ( y + x) + ( z + x ) ( z 4 - y ) ]
(x4-y)(y4-z)(z+x)
( x 4 - y 4 - z ) ( x 4-y 4-z ) “ 4-xy + yz + zx

(x + y )(y 4 z)(z + x)
Theo giả thiết ta có: 7(x 4- y 4- z)‘ = 25(xy + yz 4- zx)
( x t y + z ) Ị ( x . y - > z ỵ - - f ^ ''^ ( x - ^ y - t / y j
Suy ra p + 3 = ■
( x + y ) ( y + z ) ( z + x)

Do đó

32

1

( x t y + z)’
25 (x 4- y )(y + z)(z4- x)

z ) ( z 4 x)
_ ( xx + y )) ((yy44 z)(z

P~^ ~ ~

(x + y + z)a + b + c:

Đặt a = -

^

x4- y + z

u _

y

x4-y4-z

_

^

x4- y4- z

ab 4- bc + ca = ■
25

32

— .—-— = (a 4- b)(b 4 c)(c f a) = (l - a ) ( l - b )(l - c) = I - (a 4- b + c) + ab 4- bc 4- ca -abc
7
7
= I - 14- ^ - abc = —— abc
25
25
Vậy đế tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của p ta tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cùa

ọ = abc .
303

Ta có Q = a

,25

- ab - ac

a(b + c) = a
/

25

- a ( l- a )

= a -a - f~ a .
25

b + c = I-a

Ta có:

^
í
7 ì
I
3
7 ;(b + c)~ > 4bc <=> ( l - a ) > 4 a " - a + —- Cí> — < a < bc = a '“ 3 -----V
25 ;
15

5
25
,

Xét hàm số f(a) = a’ -a"H-----a trên đoạn
25

49 ^
Ta có f í ' 1 = f í 2 ) = - ; f
usj
3375
ll5j
3
Suy ra Q,
^ iníix = —
125 ;Ọ,
^ 1^11'

= f í '1

7
ta có: f'(a ) = 3a’ - 2a + - - ; f ' ( a ) - 0 o
Ĩ 5 '5 ,
25

a=•
15

3
~ 125

49
„ 5 1
„ = 2;p
, = —g
3375 => p*4tíix
' inin

* Môt đánh giá hay sử dung
Với điều kiện các số thực a, b, c không âm ta các bất đắng thức tluròng đạt điểm rơi tại một biến bàng 0
nên ta thưòng giả sứ c = min |a.b,c} và tim cách đánh giá đưa bất đắng thức về hai biến.
Ta có các ước lượng hay sử dụng; a‘ + c '<

a" f b" f c’ < ( a -1--l
2j

“
-t-

í.
l

b + 0-

2)

;b" + C“ < Ị^b + —j ;a" + b" < Ị^a + —j +Ị^b-+—j ;

; ab + bc t ca > a f

(ub + —
"ì
l
2)

r - a c + c’ = a’ + c ( c - a ) < a” < Ị^a+ —j ; b ' - bc + C ' = b“ + c(c - b) < b ' < b + —j ;
í
c^
í
c^ í
í
a~ -a b + b" < a + — - [ a + — b + - + b + l

2)

l

2)V

2;

l

2)

Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện a + b + c = 3 . Tim giá trị lón nhất cìia
biêu thức p = (a’ -a b + b'")(b‘ - bc + C")(c" - ca + a’ ) .
Lời ỊỊÌải
Cách I: Giả sử c = min |a, b,cỊ ta có: b' - bc + C" = b + c(c - b) < b’ ;a' - ac + C" - a' -4 c(c - a ) < a’
, ,, ,

p a‘ b‘ (a’ -a b + b ")
Suy ra p < a = b - ( a = - a b + b ') = > - ị< ----- f
^
/
30'
(a + b + c f

. -I +

a” b '(a " -ab + b")
(a + b)'’

fa
b

Đặt t = - + - , ( t > 2 ) = > P < f ( t ) = 3 ".-^—“-y
b a ^ ^
(t + 2)
Xét hàm số f(t) = 3'’.—^— ! - r V Ó i t > 2 ta có: f'(t) = 3'’.-^— ^ ; f ' ( t ) = 0 o t = —
(t + 2ỳ
(t + 2)^
2

304

b

+ 2+^
a

Ta có f ( t ) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua t = — nên f(t) đạt cực đại tại t = — hay
=

P
12 .

Vậy giá trị lớn nhất của p bằng 12 đạt tại a = 2, b = l,c = 0 hoặc các hoán vị.
Cách 2: Thực hiện đánh giá như trên và sử dụng A M -G M ta có:
/ "ỉ
7
\‘
ab + ab + a" - ab + b"
2
.2
p < a’ b' (a" - ab + b ") = — ab.—ab(a" - ab + b ) <

=1

<

9'

4(a

27

+ b + c)‘’ ^ ^2
9.27

Đẳm> thức xảy ra khi và chi khi a + b 1- c = 3,c = 0,—ab = a“ - ab + b' <=>

Cách 3: Giã

sứ

a = 2,b = l.c = 0
a = 1, b = 2,c = 0

^
c^=
c = min |a, b,c| khi đó ta có: a“ - ac + c' = a" + c(c - a ) < a" < a + —
V
2y

b" - bc + c’ = b' + c(c - b) < b' < b + ^ ; a " - a b + b '< Ị^ a + —j -Ị^a + - j
l
2)

í

c^

b + - +
l
2 j
V

b+ 2

Đặt X = a + —,y = b + —,(x .y > 0) :=> X + y = a + b + c = 3 khi đó:
p < x 'y - ( x ' - x y

f

y -) = x - ( 3 - x )'(x = - x ( 3 - x ) + (3 - x ) ') = 3x*’ - 27x' +90x-* - 135x'’ + 8lx= < 12

Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực không âm không có hai số nào đồng thòi bằng 0 thoá mãn
a + b + c = 2 . Tìm giá trị nhò nhất cùa biểu thức p = ■-p
:
ịJ7+b^-

.
y ^ +c ^

.

.

Lời ỊỊÌảÌ
Không mất tính tồng quát giả sử c = min (a.b.cỊ khi đó ta có:
^
c^=
b + —j ; b " f c ' < í b + —I ;a "+ c “ < a + V
2y

^
c^
■*

• T
a' + b" < a + —
V
2y

' •
í ^ +yV
Jấ\ đăng thức AM--GM ta có: xy < -------= 1và
V 2 y
1
/x

1
2y

1
^ x N y-

2

1
^xy

>■
+2— L >
^2xy[\-+y-)
^2

1
/ x ' r y'

if2xy

F 2xỵ+_.\-+ y - Ỵ
m ^

2......

1
ịfx'+y-

[

+ 2 - 4 - = 2 + -)=
^
^

.

305


Dấu bằng xảy ra khi và chi khi x = y = l= > a = b = l,c = 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất cùa p bằng 2 +

đạt tại a = b = l,c = 0 hoặc các hoán vị.
'

ị/2

* M ôt số bài toán chon loc
Bài 1. (A, Al/2013) Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4 c '. Tỉm giá trị
... u:í..
M
32a'
32b'
x/a- + b=
nhó nhât cùa bieu thức p = ---------- r- H--------^ ^ -------------- .
(b + 3c)
(a + 3c)
c
Lời siâi
Đặt a = cx,b = cy,(x,y > 0) từ điều kiện bài toán ta có: (x + l) ( y + l) = 4 o x y + x + y = 3.
Ta có: p =

32x'

32y'

+ y"

{y.3Ỵ

3'rước tiên ta chứng minh bất đẳng thức quen thuộc sau đây:
Với mọi a,b dưong ta luôn có a’ 4- b^ > —(a + b)^.
Thật vậy bất đẳng thức tưong đương với: 4(a 4 b)(a‘ - ab + b ') > (a 4- b ) '.
o 4(a" -a b 4- b’ ) > a’ 4 2ab + b“

3(a - b)" > 0 .

Bất đắng thức luôn đung và bài toán phụ được chứng minh. Áp dụng ta có:
32x^

32y^

í

X

, y

l,y + 3

(y 4 3 ỳ ' ( ; ^

.3

^

-

X4-3;

X + y +3x + 3y

3
-

R

(x 4 -y )' 4 -3 (x 4 -y )-2 x y

xy 4- 3x 4- 3y 4- 9

xy 4- 3(x 4- y) 4-3

Thay xy = 3 - X - y vào biểu thức trên ta được:
32x-

32y-

(y + 3)’’

(x + 3)-

>8

(x + y ) '- 2 ( 3 - x - y) + 3(x + y)
= ( x 4 - y - l) '

3 - X - y + 3(x 4 y) + 9

Do đó p > (x + y - 1)’

4- y ' = (x + y - l) ’

4- y)" - 2xy

= (x + y - l ) ’ - ^ 4 - y ) ' - 2 ( 3 - x - y ) - ( x 4 - y - l) - - ^ 4 - y ) ' 4-2( x 4 y ) - 6
Đặt t = X 4- y ta có p > (t - l) ’ - Vt" 4- 2t - 6 và

3 - x - y = xy<Ị^^^-Ì-^j =:> 3 - 1 < — <í=>(t - 2)(t + 6 )> 0 <=> t > 2
Xét hàm số f(t) = ( l - 1)’ - V t' 4- 2t - 6 vó'i t >2 ta được:
f ’(t) = 3 ( t - l )

t4-l

2 \lv 4- 2t - 6 ( t - !)■ - t - 1
x /r + 2 t - 6

3 ^ / 2 ( t - l) - - t- l
V t' + 2 t - 6

4 ( t - l ) ' - t - l _ 4 t - - 9 t f3
Vt- + 2 t - 6

> 0 ,V t> 2

V t' + 2 t - 6

Vậy f(t) ià hàm đồng biến trên [2;4-oo) do đó f( t) > f(2 ) = 1- \/2 => p > I - \/2
Vậy giá trị nhò nhất cúa p bằng I - ^/2 đạt tại a = b = c .

306


Bài 2. Cho a,b.c là các số thực dương đôi một phân biệt thoả mãn b < 8a < 4c và ab + bc = 2c‘ . Tìm giá

trị lớn nhất và nhỏ nhất của biếu thức p =

a

a -b

b
c
-+ — + ■
b -c C-;

Lời giải
f
\
\' \
2
Đặt a = x.c,b=:y.c, 0 < - y < x < — và xy + y = 2<=>y = -----V
8
2J
X +1

Khi đó p -

y

1

y - 1

l-x

----------- 1----- 1------Ị-----------—

_

X-y

2

+' ■ X
^_ + 1 -(- ■
2

X+1

x‘ + x - 2

X+1

_ X ' + x - 3 ( x + 2) _ X’ - 2 x - 6
~
^
~ X2 + X - 2
1 -x
x' + x -2

^Tacó. -Iy < x < —=
I >xe

I + V2 1
2

2

’2
- lW 2

Xét hàm số f( x ) = ^^-^;—

^ liên tục trên
X + X- 2

f (x) = ----------^ ^

> 0, Vx e

(x- + X - 2 )

Suy ra f

-l + x/2

l-x

3

X" + X

8

,

< f(x )< f

2

-l + ^/2 _Ị_
~~2

'2

'2

ta có

f(x) là hàm đồng biến trên

- I + V 2 Ị_

2

'2

l7 + 6v/2 „ 27
hay ---- — — < p < —
7
5

'
27
.
- ■' ' . i .
6^/2
Vậy giá trị lớn nhát của p băng — đạt tại b = 2a,c = - a và giá trị nhỏ nhât của p băng--------- - đạt

tai
ại a = .. *- — c,b = 4^\/2 - 1jc .
Bài 3. Cho a, b, c là các số thục dương thoả mãn điều kiện a’ + b’ = c^.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p =

a + b -c
(c -a )(c -b )

Lời siải
Nhận xét. Điều kiện đề bài cho đồng bậc 3 và biểu thức p bậc 0 nên ta đặt a = xc,b = yc,(x.y > 0)
,
X' + V " - I
{x + y ) " - 2 x y - l
Khi đó x ’ + y ' = 1và p = -------4------ - =:
— ^2^- .
( l- x ) ( l- y )
x y -(x + y )+ l

Xuât phát từ I = X + y ’ = (x + y) -3 x y (x + y) ::::> xy = —

—y- .

Đặt t = X + y ta có t > 1và (x + y )“ > 4xy => t ' > 4.----- ^ <=> 1< t < ^4 .
Ta có p = -í-t3

thấy đây là hàm nghịch biến với \ < t < ỉ f 4 suy ra p >

Vây giá tri nhỏ nhất của p bằng 2^ --—đạt tại a = b,c = a\Í2 .
•v/4 -1

307


Bài 4. Cho a. b, c là các số thực dưong thoả mãn điều kiện a > b > c .

Tìm giá trị nhỏ nhât của biêu thức M =

(a +c ÌVab + bc + ca
J-------------------.
ac(a + b + c)

Lời sỉảì
Nhận xét. Điều kiện cho a > b > c => ( b - a ) ( b - c ) < 0 và M bậc 0 nên đặt a = x.b; c = y.b
( x > l ; 0 < y < l ) v à ( l - x ) ( l - y ) < 0 o x y - x - y + l< 0 = í> x + y > l + xy.
Khi đó; M =

(x- + y - ) J x + y-t- xỹ
_ ,
xy(x + y + l)

Đây là biêu thức đối xứng vói tống X + y và tích xy nên suy nghĩ ngay đến việc đặt s - X + y, p = xy từ
điều kiện ta có ngay 0 < P < S - l.T a c ó ; M = -

(s ' - 2 P) n/ s + P
P(s + I)

2S’ + S"P + '’ P“
Coi vẻ phải là hàm sô vói p và tham sô s ta đưọc: f'(P ) = ----- ^
- < 0 ,v s ,p >0 do đó f(P)
2(S +1)P -V s 7 p

là hàm nghịch biến trên ( 0 ;S - l].
(s ' -2 S + 2ÌV2S-1
Dođó f ( P ) > f ( S - l) = - ^
’
s = -l
(S '-2 S + 2 )V 2 S -I
Xét hàm số g(S) = ^:---------—--- ----------trên (l;+oo) tađưọc:
S'^+ 2S’ -13S" + P S - 4
(S -2 )(S % 4 S “ -5S + 2)
g'(S) = ^
=
-----^;g'(S) = 0<-^^-US = 2.
7 2 S -1 (S ' - l )
7 2 S -l(S ' - l )
Ta có g'(S) đối dấu từ âm sang dương khi đi qua s = 2nên g(S) đạt cực tiểu tại s = 2trên (l;+oo) hay
g(S)>g(2):

2
s

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng ^

0

đạt tại a = b = c .
' '

Bình luận. Neoài lời giải trên ta có thể xét hàm số trực tiếp bằng cách coi b là ẩn và a, c là tham số ta
,, ị
,

, , , ,
. , b" + 2ac
4ac
, , . ., , , . (a + c)’ \íh ^ + 2ac
2
có kêt quả tương tự hoặc chứng minh --------------—ir khi đó M > ------------------- 7—^--------— > —1= .
(a + b + c)- 3(a + c)ac(a + b f c )
73
Nhưng rỗ ràng vói dấu hiệu đang cấp từ điều kiện cho đến biểu thức M việc sử dụng kỹ thuật giảm về
hai biến X, y tỏ ra hiệu quả. Đây là một bài toán hay đòi hỏi phải tư duy logic khi gặp tổng và tích đối
xứng cùa s = X + y, p = xy .
Bài 5. Cho a.b.c là các sổ thực dưong thay đổi thoả mãn điều kiện (a + b + c)^ = 32abc . Tim giá trị lón
nhất và nhỏ nhất của biểu thức p :

a^ + b^+c"
(a + b + c)

308

4 ■


Lời íỉiăi
-rt
I -A ta c 1ó : ---- -----a
Theo giả1 thiêt
.------------.----- c------= —1
a + b4-c a + b + c a + b + c 32
a
t)

c
^ .
I
Đặt x = -----------, y :^ ------------,z = ------------,x ,y ,z > 0 và xyz = — ,x + y + z = I
a+b+c
a+b+c
a+b+c
32
Khi đó p = x"* + y “* (-z‘* và ta có: p = ( x “ + y" + z") - 2^x“y" + y"z" + Z'X" )
= (x + y + z ) ' - 2(xy + yz + zx)

- 2|^(xy + yz + zx)" - 2xyz(x + y + z)

= (l - 2 ( x y + yz + z x ))' - 2 (xy + yz + zx)'

Đặt t = xy + yz + zx ta có p = 2t" - 4t +

= 2(xy + yz + zx)" - 4 ( x y + yz + zx) + -

8

Ta có: t = x (y + z) f yz = x ( l - x) + - ^ = - X ' + X + - ^
^
^
^ 32x
32x

Mặt khác: (v + z)‘ > 4yz => (l - x)" > ----- o (2x - l)(4 x ” - 6x + l) > 0 <=>
32 X

3-4Ĩ
i
------ < \ < 4
2
3 + Vs

X > — — -~

4

3 -^ /5 J_

Xét hàm số f(x) - - X" + X + ------ trên
32x

4

'2

u

3 + 75

X= —

:ĩ - v 5
4

f'(x ) = - 2 x + l - - ^ ; f ’(x) = 0+32x

Ta có: f

3 -75

32

g'(t) = 4t - 4 < 0,Vt e

X=

1+ 75 ’

3+75Ì

. Xét hàm số g(t) = 2t‘ - 4t + ^ trên
8
5

16’

5 75 - 1

=>g

32

,
'
Vây giá tri lớn nhât của p băng

y
128

sTs + l

2 1 16

32

8

V

Suy ra —- < t <
^
16

4

'2

1+ 7 5 ^ _ 575

=f

ta được:

-;+co

16

^ g ( t) > g

32
5

5 75 - 1

16’

32

s T s -1
32

ta có:

, 383-16575

hay ta có

256

< p < —128

đạt tại a = 2,b = c = 1 hoặc các hoán vị và giá trị nhỏ nhât của p

, .
383-16575 ^
^

1+ 75
băng --------- ^--------- đạt tại a = 3 - v 5 , b = c = ----- ^— .

256

Bài 6. Cho a, b, c là các số thục thoả mãn điều kiện a > b > c > 0 v à 2b + 2 c - a > 0 . Tim giá trị nhở
nhất cùa biểu thức p = 2

2b + 2c - a

309


Lời siảỉ
2 b -a

T H I: Nếu c = 0 => p = 2

Đặt t

íb ^

< t <1

khi đó P = f(t) = 2 t - V 2 t - -

Xét hàm số f(t) = 2t - ^/2t“ -1 liên tục trên
2Ị

^ 22(V2t^ V 2 t --1

- l -- tt Ịj

ta có
2 ( t - - l)

< 0, vt e

f '( t ) - 2 'Ỉ2 v -1

s ỊlV - I

Do đó f(t) là hàm nghịch biến trên

;1

V2t" - 1Ị\/2 t' -1 + t j
I

suy ra p = f( t) > f ( l) = 1

4~2
Trường họp này giá trị nhỏ nhất của p bằng 1 đạt tại a = b,c = 0
TH2: Nếu c > 0 = > a > b > c > 0 đ ặ t c = x.a,b = y.a,(0 < x,y < l)
Khi đó: p = 2
ỵy + l

+ 1- -■■■- - J 2 x + 2 y ~ ì .Ta chứng minh
+ /-. y . ■> J x + y
Vx + l j
v y “'“ '

Vx + 1

Thật vậy bất đẳng thức tương đương với: Vx" + X + \/y - + y > Ặ x + y) { x + \ ){ y + \)
o x " + x + y ' + y + 2 ^ x y (x + l) ( y + l) > ( x + y )(x + l) ( y + l)
<=> 2^ x y [ x + l)(y + l) > x y ( x + y + 2)cí>4(xy + x + y + l) > x y ( x + y + 2)“
Bất đẳng thức luôn đúng do xy(x + y + 2)" < 4xy(x 4- y 4- 2) và
x y 4 -x 4 -y 4 -l-x y (x 4 -y 4 -2 ) = (x4-y4- l) ( l - xy) > 0
Vậy p > 2^x 4- y - ^ 2 x 4- 2y - 1
Đặt t = ^ /x T ỹ ,(o < t < V 2 ) suy ra P > f( t) = 2 t - V 2 t “ -1 . Tacó: f'( t) = 2 — = i = ; f ' ( t ) = 0 <=> t = 1
^
^
V 2 t--1
Do đó p > f( l) = 1. Nhưng trường họp này dấu bằng không xảy ra
Ket họp hai trường họp suy ra giá trị nhỏ nhất của p bằng 1 đạt tại a = b,c = 0.
Bài 7. (A/2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương X, y, z thoà mãn điều kiện x (x 4- y 4- z) = 3yz
ta luôn có (x 4- y)’ 4- (x 4 z)^ 4- 3(x 4- y )(y 4- z)(z4- x) < 5(y 4- zỳ .
Lời siải
Đặt y = a.x,z = b.x,(a,b > 0) ta có a 4- b 4-1= 3ab .
Ta cần chứng minh (a 4-1)^ 4- (b 4-1) ’ 4- 3(a 4- l)(b 4- l)(a 4- b) < 5(a 4- b)^.
«> (a 4- b + 2 )^ -3 (a 4- l)(b + l)(a 4- b 4- 2 ) 4-3(a 4- l)(b + l)(a 4- b) < 5(a 4- b ) \
o (a 4- b 4- 2 )^ - 6 ( a 4- l)(b 4-1) < 5(a 4- b)’ o (a 4- b 4- 2 )’ -6 (a b 4- a 4- b 4-1) < 5(a 4- b ) \
Thay a 4- b + 1= 3ab vào bất đẳng thức ta cần chứng minh

310


(3ab+ 1)’ - 6{ab f 3ab)< 5(3ab- 1)^ o ( 3 a b - l)(a b - l)(6 a b - 1)> 0 (luôn đúng)
Do 3ab = a + b + 1> 2\fãh + I => ị^síah -1 jỊ3^/ab + I j > 0 <=> ab > 1.
Bất đắng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chi khi X = y = z .
B à i tâp t ư ơ n g tư

1) Cho a, b là hai số thực và c không âm thoả mãn điều kiện a" + b‘ + ab = 3 c '.
Chứng minh rằng a^ + b^ + 4abc < 6c^.
2) Cho a,b,c là các số tlụrc dương thoả mãn điều kiện a" + 2a(b + c) = 5bc .
Chứng minh rằng (a -f b)^ f (a -f c)’ + (a f b)(a + c)(b + c) < 3(b + c) .
Bài 8. Cho a,b.c là các số thục dương thoả mãn a + b t c - 6 và a" + b" f C' = 14.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức p =
L(ri siả i
íc (x + y + l) = 6
Đãt a = x.c,b = y.c,(x,y > 0) theo giả thiết ta có: <
,
c" ( X" + y ' + 1j = 14

(x + y)c = 6 - c
o <
<=> i
[( x + y ) c ]’ - 2xyc" = 14 - c'

6 -c

X+ y

xy =
~

Trước hết ta phải có: (x + y)" > 4xy <::>

(6 -c )‘ -(14-C -)

C - - 6 C + II

2c^

?

6-c

>4.

~~

c '- 6 c + l l

-<=>

6 - 2 ^ / 3 ___ 6 + 2 n/3

c

Suy ra X, y là hai nghiệm dưong cùa phương trinh:

1 6- c
c“ - 6c + 11
=0 «
t -------- 1+
c

t, =

6 - c - \l~ ỉc ' + 12c - 8

6 - c + v/-3c' + 1 2 C - 8

t.

2c

Ta có: p = 4x + y .
Tìm giá tr ị ló’n nhất của p.
Để tìm giá trị lớn nhất của p ta xét với X = tỊ,y = t| vi t, > t | .
Khi đó p = 4.
,,,,

,

6 - c + yl-3c" + 12c - 8 + 6 - c - V - 3 c:" + 1 2 c -8
2c
2c

-

-

3 0 -5 c + 3\/-3c"
: + 12c-8

---—-

3 0 - 5 c + 3 7 - 3 c -’ + 1 2 C - 8

.............

Xét hàm sô f(c ) = ----------------------------------- liên tục trên đoạn
2c

2c

6 - 2V3 6 + 2V3

3 Ị5 7 -3 c- + I2 c - 8 + 3 c - 4 Ị
; f ( c ) = Oc:>5V-3c' + 12C-8 +-3c-4 = 0

f'(c) = r V - 3 c - 4 12c - 8

311


Í4 - 3 c > 0
^

6

[25(-3c' f l2 c - 8 ) = ( 4 - 3 c ) ' 7

Ta có f (c) đổi dấu từ dưong sang âm khi đi qua c = —nên f(c) đạt cực đại tại c = —

Ị

hay p < f(c) < f —j = —-. Đẳng thức xảy ra khi và chi khi a = “ ,b = — ,c = —.

Vậy giá trị lon nhât của p băng — đạt tại a = — ,b = — ,c = —.

Tìm giá trị nhỏ nhất của p
Đe tìm giá trị nhỏ nhất của p ta xét với X = t,, y = t , .
Khi đó p = 4.
VA.UA.

6

- c - V-3c" -I 12c - 8 6 - c + x/-3c' f 12c - 8 _ 30 -5 c - 3 \/- 3 c ' + 12c - 8
2c

Á,.. , _ 3 0 - 5

c

- 3 x/^-3c = + 12c - 8

.. [ 6 - 2 7 3

...................

6 f2 V 3
----- — ;— — - 3
3

Xét hàm sô g(c) = ----------- -------------^-------- liên ti^ic trên đoan
2c
3 Í 5 7 - 3 c' + 12c - 8 - 3 c + 4 )

g'(c) = —

_________________

^
------^;g'(c) = 0 <=> 5 v
C" v-3c" + 12c - 8

7?c'

+ I2 c -8

- 3c

+ 4 = 0.

Í3 c -4 > 0
. , o c = 3.
25(-3c' + 12c-8) = ( 3 c - 4 ) “
Ta có g'(c) đôi dấu từ âm sang dương khi đi qua c = 3 nên g(c) đạt cực tiểu tại c = 3
hay p > g(c) > g(3) = 2 . Đắng thức xảy ra khi và chỉ khi a = I, b = 2,c = 3 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của p bàng 2 đạt tại a = l,b = 2,c = 3 .
Bài 9. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện (3a + 2b + c)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức p

1 2
a

h + 2c~^^ỉ ^2ã^+c-

z.r>/ g/Vir/

Càclt I : Đăt

X = —

2a

= x| - + - + 1
X

r-> X <

y

y+1

;

.V

= —3a

i 1
30 = (4x + 3y + 3) í —+
— +11
7x y

^ 1 1 ^
3(x^ y + 1) —+ —+

y

>

x (y + 1)

=> p = 2x + 6 y - 2 l7 y ’ +8 <

+ 28

2y

7
y+1

+ 6 y - 2 \ J y ~ + 8 < -55

Đang thức xảy ra khi và chi khi 6a = 3b = 2 c.

J

Cách 2: Triióc tiên ta biển đổi điều kiện bài toán (3a + 2b + c)
6a

312

3b

2c

b

3
c

= 30.


<=> (6a + 3b + 2c)í --- + —- + - - ì + b í — +
+ — 1 = 10
6a 3b 2c J
v6a 3b 2c J
=> b| — +
6a 3b
4ac
=>p< 3a + c

<1 ^ b

2c

1

I

6a

2c J

+ 2 c - l- Ị l2 a - +c=

4ac
<-<=> b<
3
3a + c

V2c
■+ — - 7 72+ 3a + c a
y
\a J
4c

a

4t
Xét hàm sổ f(t) = — ...f 2t ~7\[ỉ~ + 72 < -55,
3+ t
V
Đáp số:

- r./ , ^
4
4t
7t
ta có f (t) = 2 + ------------- -— - 7;-----------ị=~~==-.
a7

t í

3

(t;3 )^

V ie + 72

= -5 5 ;6a = 3b = 2c ,

Dưới đây tôi trinh bày một bài toán tưong tự nhưng đi theo một hưóng khác
Bài 10. Cho a, b, c là các số thực dưong thoả măn điều kiện (a + 5b + 3c)Ị^-!- + -*- + — j =

Tìm giá trị nhỏ nhất cỉia biếu thức p =

2(a + 3c)(a + 3 c - 4 b ) - 7 c ' + 4cVa“ + 7c“
2ac

Lời íỉỉải
Theo giả thiết ta có
4

= (a

+ 4b + 3

c ) í - + - ỉ - + -— ì + b í - + - * - + - ỉ - ì
va
4b 3 c J
lya
4b 3 c 7

Chú ý AM - GM ta có(a + 4b + 3c)
2(a

Khi đó p = -

+ 3c)' -

8b(a

a

4b

>9 + b

1 _L+ —' j
a

4b

;=> 3ac > 2b(a + 3c)

3c,

+ 3 c ) - 7 c ‘ + 4 c \/ã " + 7c"

2ac

2(a + 3 c ) '- 12ac - 7c’ + 4c\/ã^^'t^^7c^

2a” + 1Ic' + 4cVa“ + 7c"

2x“ + 11+ 4V Ĩ^ + 7

2ac

2ac

2x

,X

v - m- r/ , 2x" + 1 1+ 4V"x’’ + 7 ,
,
Xét liàm sô í (x) = —^------------- --------- với X dương ta có
Í2 x ' -1 l) 7 x - + 7 - 28
f'(x ):

;f'( x ) = 0c:>x = 3.

■ ...------------- ; f ' (

2 x' \Jx^ + 7
Ta có f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua X = 3 nên f(x ) > f(3) =

15

Dấu bằng xảy ra khi và chi khi a - 4b = 3c . Vậy giá trị nhò nhất cùa p bằng

J_5
2 ■

Bài tâp tương tư

Cho a, b, c là các số thực dưotig thoả mãn điều kiện (a + 3b + c)Ị^-!- + - '- + -

^

21

/

9

, ,
,
a’ + (a + c)(a + c - 2b) + x/2a" + 2c“
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p =
ac
Đáp số: p„„„ = 5;a ==2b = c .

313


C H U Y Ê N Đ Ể 4. P H Ư Ơ N G T R ÌN H L Ư Ợ N G G IÁ C
> Vấn đề 1. Phương trình lượng giác cơ bản
cos X = cosa o X = ±a + 2k7i
Phương trình lượng giác cơ bản:

sin X = sina o

X = a + 2k7i
X =

7T-a

+

2k7t,k e z

tan X = tan a <=> X = a + kn
cot X = cot a <=> X = a + krt

Lờ i sỉải:
Phương trình tương đương với 2cos" —cos'x = l + cos(7isin2x)
V 2
)

o I + cos(7rcos“x) = I + cos(7tsin 2x) <=> cos ( ticos’ x ) = cos(7tsin 2x) o

t: cos " x

= ±7rsin 2x + k27t

o cos"x = ±sin 2x + 2k <=> cos2x ± 2sin 2x = 4k - 1 (*)
Phương trình (*) có nghiệm khi và chi khi (4k - 1)" < ] ' + !'<=>

^


=> k = 0 e

Khi đó phương trình (*) trờ thành cos2x ± 2sin 2x = - I <=> 2cos' X ± 4sin xcosx = 0

cosx = 0
<=> cosx(cosx ± 2sin x) = 0 o

1^
tan X = ± —
2

71

X = —+ k7l , ^
1
2
, k e Z , tan a = —.
2
X = ±a + k7i

Vậy phương trình có nghiệm là | x = - + k7T,±a + kn,k e z ,ta n a = —I .

Ví dụ 2. Tim tất cả các nghiệm nguycn của phương trình: cosỊ^—Ịsx - V9x“ +160x + 800 j
Lời siải:
Phương trình tương đương vói:

~ %/9x" + 160x + 800 j = k27i,k e z

3 x -1 6 k > 0
I________ ^----------[3 x -1 6 k > 0
<=> v9x" + 160x + 800 =3x - 16k o ư ,
,
<=> i
25

9x = 2 4 k - 4 0 - [9x^ + 160x + 800 = ( 3 x - 2 k )
3k + 5
ík = -2
ík = -10
Vây với x,k e z 2 5 : 3 k + 5 =>i
vị
^
[ x = - 7 Ị x = -3 I
Vậy có hai nghiệm thoả mãn yêu cầu bài toán là Ịx = -7 ,x = -31}.

314


Lờ i ưiải:
/
f í
1^ \
Phương trinh tương đương với cos 7t X" + 2x - — ^sinÍTix")
c=>cos
V /
l l
2) /
V
7t(x" + 2x) = Ttx’ + k27l
<=> sin

,k e Z

+ 2 x )j = sin ( ttx ') Ci>
7i(x“ + 2 xj = n - T ĩ x ' + k27i

x=k
<=>

___
ík > 0
V3 .
1± y/Ãk + 3 ^ x > 0 =>'i
=i>k = 0=:> x„.„ = —^---- > 0
keZ
X= -

Vậy nghiệm của phương trình là X =

V3-

Ví dụ 4. Tìm nghiệm X thuộc đoạn [0;I4] thoả mãn phương trình cos3x - 4cos2x+ 3cosx- 4 = 0
Lừi siải:
Phương trinh tương đương với 4cos^ X -3 co sx -4(cos2x + 1) + 3cosx = 0
o

4cos’ X - 8cos' x = 0<=> cosx = 0 <=> X = — + kri, k e Z ;0 < x < 1 4 = :> 0 < — + k7i<I4= :i> ke{0,1,2,3}

^
. ..
Í ti 3ti 5rt 77tì
Vậy có 4 nghiệm thoa mãn yêu câu bài toán la X e <—;—
— ■>
Bài tâp rèn lu yên
r

-I
71
Tt \Ỉ3
Bài 1. Tìm tât cả các nghiệm thuộc đoạn [-l,10Jcủa phương trinh: sin xcos—+ cosxsin —= — .

Bài 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trinh: cos^Ttx*) = cosỊ7t(x + 1)^) ■
Bài 3. Tìm tất cả các nghiệm nguyên cùa phương trình: cosỊ^— |3x - y j 9 x ' + 8 0 x - 4 o j

=

1.

Bài 4. Giải phưoTig trình; V - x ” + 3 x ^ - 2 sin ^7t(l 6x‘ + 2x) j = 0.
cos3x+sin3x
= cos2x + 3.
Bài 5. Tìm các nghiêm thuôc đoan fO;27il của phương trình: 5 sin X +
V
l + 2sin2x
> Vấn đề 2. Đưa về phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx
Phương trình có dạng: Asin X + Bcosx = C ,(A ‘ +

> o Ị.
sm X + cosx

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
n/Ã"'

+ B-

c

B
Va - +

b-

~J

a

-+

b-

'

315


sina =

(2

___ B _ _
+ BA

o sin(x + a ) = ~ Ị= = = (1) , trong đó <
V a - + Bcosa =

VÃ~- + B-’

c

Phưong trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm o

V a - + BPhương trinh trờ thành: sin (x + a ) = sin p <=>

X

c

< I khi đó đặt

= sin p

V a “ + B-

= - a + p + k27i

x--a -

p

+ (2k + l)7t

Các công thức cần vận dụng
sin X ± cosx = V 2 sin X —7--- ;t
O S X•—
--p
2 sin x ± —j = V2cos x + ~ j

XC
CU5A
prr j = V
V2sin
^Ỉ2
sin x± V3cosx - 2

/

ì
í ’ ■
— s i n X ± —— c o s x
= 2 s in

X ± — I = 2cos x + -

3

V

\

sin X ± cosx = 2

= 2 s in

2

V

f

ì

- — sm X

V

J

x ± — | = 2cos
6
V

i J

Công thức hạ bậc
t cos2x

cos"x =
s iir X =

. ,
3 s in x -s iii3 x
sin x = --------------- —

1 cos2x

sin'* X f cos'*x = 1- —sin" 2x
ọ

cos3x + 3cosx
cos X = ■

sin*’ X + cos"x = I - —sin" 2x
4

Lwu ý. Khi chứa căn V 2 hoặc V 3 đi liền vói hàm số lượng giác các em giữ nguyên không biến đồi lựa
chọn hai hướng:
Hưó'ng 1: Nhóm các nhân tử cùng cung lượng giác vói nhau.
Hưó’ng 2: Chia hai vế phương trình cho 2 nhóm về các công thức lượng giác.
Hưó’ng 3: Chuyển vế bình phương hai vế, đưa về phương trình đa thức vói một hàm số lượng giác (vói
cách này tránh khẳc phục hạn chế các nghiệm đặt không tường minh).
Hưó’ng 4: Phương trinh dạng asin X + bcosy+c = 0 vói x,y là các cung lượng giác khác nhau các em
nên lưu ý tim ra mối liên hệ giữa x.y và đật ẩn phụ để giải.
Vi dụ 1. Giải phương trinh

V

2

COSX

= sinx-cosx 4 1.

Lời íỉicìỉ:
Phương trình đã cho tương đương với Ịl

(3 f 2 V 2 )( 1 - sin" X ) = sin’
'

[cosx>0

316

4

V 2 Ịcosx = sin X

X 4- 2sin X 4 1

/

rr\

+ 1

^

r-

<=> ^4 42 V 2 jsin-X + 2sin X - 2 - 2 V 2 = 0 <=>

smx smx =
Vỉ


Thử lại vói sin X = - I thoả mãn <=> X =

2

+ kln .

T^l_ •1 * '* *
I
•
I
1 hử lai vói sin X -- - 7= sin X “ cos X - - 7 = r o
/2
V2

^1 ^
4

X =: —+ k2Tc.

Vậy phưong trình đã cho có nghiêm là X G Ị - - + k27i; —+ k27i:;k e z | .
Ví dụ 2. (A, A l/2012) Giải phương trinh ^/3 sin 2x + cos2x = 2cosx - 1.
Lờ i siải:
Phương trinh đã cho tưong đương vói: 2^/3 sin xcosx + 2cos' X - 2cosx = 0
cosx = 0

cos X = 0

<=> 2cosx^V3 sin X + cosx - I j = 0

<=>

^/3 sin X + cosx - 1 = 0

sin X + -

6j 2

X = — + krt

ọ

o

X = — + kn

n _n

I

X + •— = ■-- + k 2 7 i

6

_

Cí>

2
X = k27i

6

27t

X = “

X + — =

6

, k e Z

^ + k27t

-+ k 2 7 i

3

6

í 7t
2k
Vậy phưong trình có ba nghiệm là X = <—+ kĩi;—- + k27r;k27t,k e

ì

.

Ví dụ 3. G iải phương trình (l + cosx)(l - 2cosx) = sin x ( l + 2 c o s x ).
Lời siải:
Phương trinh tương đưong với: -2cos" X -c o s x + 1= sin X + sin 2x
o

-cos2x - cosx = sin X + sin 2x <=> sin 2x + cos2x + sin X + cosx = 0

^

3n

<=> cos| 2x - — I = cos X -H■

^

3 ti

, ^

2x — - = x + -— + k27i
4
4
^

^

3 ti

cos 2x - — + cos X - —
l
4j
1
4/

X = 71 + k27l

o

, ^

2x - — = - X - — + k27t
4
4

71 , 271
X = - - - + k —-

6

3

,
, , (I + 2siir x)cosx + (I + 2cos'x)sin X
Vi du 4. Giai phưong trình ■'-------------- ^---------- ^---------------------cos2x
Lời íỉiâi:
Điều kiện: cos2x

0 <=> X ít — + k ^ , k e z .
4
2

sin X + cosx + 2sin xcosx(siir X + COS” x)
Phương trình tương đưong vói: -------------------------------------------------------cos2x
<=> s i n X + c o s x + s i n 2 x = c o s 2 x <=> s i n X + c o s x = c o s 2 x - s i n 2 x

317

_

<=> V

Ic o s

(X - — =V
l
4j

Ic o s

2x + — o
k
4j

K
4

X

1
k

_

ị

7Ĩ

2x + -

4

Vậy phương trình có nghiêm là

^
4

2x + — = x - — +

71
= - - - x

+

4

k

+ k27i

27I

x=k

27 ĩ

2

1-K

= - —+ k27:;x = k — ,k e z .

Ví dụ 5. G iải phương trình: cos2x -

VI sin 2x - VI sin X - cos X + 4 = 0 .

Lời 2Ìái:
Phương trình đã cho tương đương với:

Í1
.
VI . . ^ f i
VI . 1
—cos2x - — sin 2x — —cosx + - —sin X + 2 = 0
2
2
2
;
/

o cos 2x + — -cos í
l
3j
l

3j

+ 2 = 0 o -cos 2 Í x - -

1 l

+ 71 -cos

3j

X

n
~3,

+

2= 0

(đặt t = x - —=>x = t + — =>2x + — = 2t + 7xt<=> -cos(2 t + 7 i)-co st + 2 = 0 )
3
3
3
^
’
í
Tr\
^
71^
71
-cos2 X ----- -cos í X - — + 2 = 0 <=> -2cos' X - — + 1-cos V,
X ----- l
3y

l
3j
V
3y
V
3y
cos í
l

o

í
-1 ^ o
3j
J1 1

<=> X - — = k 2 T t o

3

+

2= 0

n
~ I -1 = 0

71^
- 3 = 0 <=> cos ^
3j

J

X = — + k 2 7 i,k 6 z .

3

Vậy phương trình có nghiệm là: | x = —+ k27r,k e z | .
Ví dụ 6. Giải phương trình: sin3x - VIcos3x = 2sin2x .
Lời siải:
Phương trình đã cho tương đương với
s in 3 x -V Ic o s 3 x = 2sin2x <=> 2 ^ s iii3 x - ^ c o s 3 x
2
2

<=> 2siní 3x - — = 2sin 2x <=>

3x - — = 2x + k27t
3
3x - —= 71- 2x + k27i
3

= 2sin 2x

X = — + k27i

o

3

,keZ

47t
, 27 t
X = —- + k — -

15

5

Ví dụ 7. G iải phương trình sin X + cosxsin 2x + VIcos3x = 2(cos4x + sin^ x ) .
Lời siải:
3
Phương trình tương đương với: sin X + —sin3x +-'-sin X + V3cos3x = 2cos4x + —sin X

318

sin3x .


o siii3x + n/ 3 c o s 3 x = 2cos4x C--> cos 3x - — = cos4x <=>
6

3x - —= 4x + kln
6

X =

<=>

3x - — = -4 x + k2n

6

-k 2 7 i

6
7t
, 2n
X = - — + k - -

42

7

Ví dụ 8. G iải phương trinh -s/3 (sin 2x + sin x) + cos2x -c o s x = 2 .
L('ri ỊỊÌải:
Phưong trình tương đương với: \/3 (sin 2x + sin x) + cos2x -c o s x = 2
. ,
1
, '
-— sin 2x + —cos2x
2
2

í s/ 3

.
1
ì
- — sin X — cosx - 1<=> cos 2 x - —
2

3j
k 2
^
^
J
ís/3

-t-

sin
o 2sin’

71
X -------

- s i n l X -------

y

7t^

X -------

V

=0 o
s in

Ví dụ 9. G iải phương trình 3sin (
l

^

6
<=>

X = 7t + k 2 7 t

X -

+ 4sin í X
l
3j

A
6j

-------

l

X = — + k7i

=0

6j

sin ( X

,keZ

X = —+ k2:i
3
(
-1- 5sin 5x
l
6j

+ —

— = 0.
67

Lới íỉiải:
/

Phương trình tương đương với: 3sinỊ^x - —j + 4cos

<=> 3sin

(

71

ì

1

3j

4 4cos

^Tt
— - X

l3

7t>^
X + —

V

6 yy

= -5sin 5x + —
6

r
77t^
= 5 sin 5x + —
j
l
6 j
1

4
3
Đặt sin a = —;cosa = —, khi đó phương trình tương đương với

5sin|

\
+ a - 5sin 5x + 3
l
6 j
/

X - —

9ti

Ci> X — — -1-

Ví du 10 (A/2009) Giái phương trình:

24

a kTt
— -t- —^ V
4
2

X

7t
a kTT
==-----— + —36 6
3

(I -2 s in x)cosx

r
---------- r = v3 .
(1 + 2sin x ) ( l- s in x)

z,r>/ eiải:

sin X ^ 1
Điều kiện: <
sin X

•

( * ) •

2

Khi đó phương trình tương đương với;
cosx - sin 2x = \Í3 ị \ + 2sin X

-

sin X

-

2sin’ x) <=> cosx - sin 2x = >/3 (cos2x + sin x)

<=> cosx - \Í3 sin X = \/3cos2x + sin 2x o -Ị-cosx
2

2

sin X =: — -C O S 2 X + —sin 2x
2
2

319


2x - —= X + —+ 2X71
<=> cos X +

6

= COSs Ị^2x ----- I <:>

3

X - — f 2k7i

2

<=>

2x - — = -X - ^ + 2kn
6
3

,keZ

_

7t

~

Ĩ8

2k7l

3
2

kez .

So sánh vói điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: X = ——+
Ví dụ 11. Giải phương trình: cos2x - V3 sin 2x - \/3 sin X -c o s x + 4 - 0 .
Lời íiìải:
Phương trinh đã cho tương đương vói;

í ’
.
—cos2x
2
V

/3 .
'
sin 2x _ —cosx + - —sin X
2

2

>
/
7Ĩ '
í
711
í
7t>
cos X - — + 2 = 0 o -cos 2 X - — + n -cos X ---l
3j
3;
l
3j
V l

o cos 2x + -

+

J

2= 0,

+ 2= 0.

(
^
7t ^

(
7T^
-cos2 X - — -cos X - — + 2 = 0 <=> -2 C0S“ X - — + 1- cos X +2= 0.
l
3)
^
3;
l
3j
l
3)
/
í
71^
í
71^
(
71^
o cos X --- - -1 -2cos X--- - - 3. ì = 0 <=> cos X - — - 1 = 0
l
3,
l
3,
l
3)
V
V
o

X - — = k 2 7 t <=> X = — + k 2 7 T , k G z

3

3

Vậy phuơng trình có nghiệm là: | x = —+ k27i, k e z |
Ví dụ 12. Giải phương trình: Ịsin X + V3 cosxjsin3x = 2 .
Lờ i sìảỉ:
Phương trinh tương đương với:

—sin X + ^ c o s x sin3x = 1<=> sin X + — |sin 3x = I .
2
2
l
3,
sin X + ■
3

Do

-1 < sin

X

V

+— < 1
3)
nên phưong trình tương đương vói

- I
sin3x = 1
Cí> X = - - -f kTT ,

sin

^

71^

6

X + —

V

3y

sin 3x = Ví dụ 13. Giải phưong trinh: 4(sin‘'

X

+ cos‘'x ) + V3 sin 4x = 3 + (l + tan 2x tan x)sin 4 x .

Lời íiiíii:
Điều kiện: cosxcos2x + 0 (*).
Phương trình đã cho tưong đưong vói:
- ls i , v 2x L Vĩsh, 4x - 3 + f
2

J
V

320

cosxcos2x

sin 4x


- 4 x = sin2x o sin 4x + — = sin2x
o cos4x + Vs sin4x = 2 sin 2 x o -í-cos4x + -ủ^ -s-in
2
2

o

4x + — = 2x + k2n
6

X = — ^ + k7t

12
,k e z thoả mãn (*).
571 , 71

o

4x + — = 71- 2x + k27i
6

X = - —+ k —

36

3

Ví dụ 14. Giải phương trình %/3 (sin 2x -c o s x ) + sin X -cos2x = 2.
Lờ i siảỉ:
Phương trình tương đương với \/3 sin 2x - cos 2x + sin X - V3 cos X = 2
_
o
^^ s i n: -72x

2

'

2

-7
'
:
cos2x
+ —sin
X

^

2

2

-cosx = 1^o -cos 72x + — -cos í X + — = 1
l
6j
l
3j
X = — + k7i

í

>
rT^
7T

o 2cos“ X + -- + COS í X + — = 0 <=>
l
6j
l
6j

cos í
l

""l = 0
6)

3

o

cos
l

6j

x = —+ k27ĩ
2

, k e Z

_
-7
x=
- — + 1k27t
6

Vậy phương trinh có nghiệm là X 6 Ị —+ krr;—+ k27r;-— + k27ĩ,k e z Ị

Lởi siải:
Điều kiện: cos X - — ^ 0
l
4
, .
Khi

đó

.

, ,
.
2 s in " x c o s x + 2 c o s ’ x s in X + s in X + c o s x
/p h ư ơ n g t r ì n h t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i ----------------------------ị--------^------------------------------------------------ = v o c o s / x
—U í s i n x + c o s x )

72^
o

\/3
1
1+ 2sin xcosx = v3cos2x <=> — cos2x

2

_

^

n
o cos 2x + — = cos— o
V
e)
3

71

2

71

1
sin2x = —

2

, _

2x + — ==—+ k2n
6 3

'

X = — + k7I

o

2x + —= - —+ k27i
6
3

12

X = - — + kTC

4

Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm X = ---- 1- k7i thoả mãn
Vậy phương trình có nghiệm X e | — + kri, k e z |
321

(2sin X - l)(sin X + 1)
r^
-------- - - v3 .
(2sin X + l)cosx

Ví du 16. Giải plurong trình
Lòi giái:
Điều kiện; -

sin X ^
cos X

0

Khi đó phương trinh tương đương vói: 2sin" X + sin X - 1= >/3 sin2x + \Ỉ3cosx

0 sin X - V3 cosx = \Í3s'm 2x + cos2x <=> sin í X ---- = sin 2x + —
l
3j
l
6j
7T

_

7T

, -

X = - — - k2n

X ~ —- 2 x + —+ k2n
3
6

<=>

71

^

I

2

<=>
/-»

X---- = 71-2 x ----- + k 27I
6
L 3

n

, 27t

X= — + k—

18

3

2ti
Đổi chiếu với điều kiện ta chi nhận nghiệm X = — + k
18
3
Bài tâp rèn luyên
Bài 1. Giải các phương trinh
1. ^/2 sin X = sin X - cosx - 1.
2. \/3 sin 2x = 6sin'X - 4sin X + 2 .
3. \/2cosx > s in x - c o s x -1 .
4. \/3sin 2x > 6sin" X -4 s in X + 2 .
5. \/3 sin X 4-2cosx - cos2x - 1= 0 .
Bài 2. Giải các phương trinh
a) V3cos3x+ sin3x

\/2 .

b) sin X+ sin 2x = >/3(cosx + cos2x).
c) 3sin5x - 2cos5x = -3 .
d) cos7xcos5x - %/3 sin 2x = 1- sin 7xsin 5x .
e) sin 3x - V3 cos3x = 2sin 2x .
f) sin X + cosxsin 2x + \/3 cos3x = 2(cos4x + sin^ x ) .
g) V3 cos5x - 2sin3xcos2x - sin X = 0 .
h) 2cos" X + 2 V 3 sin xcosx + 1= 3^sin X + V ỉ c o s x Ị.
> vấn đề 3. Phương trình đối xứng với sinx, cosx
Phương trình có dạng:

a(sin X + cosx) + bsin xcosx + c = 0
a(sin X -c o s x ) + bsin xcosx + c = 0

322


t = sin X + cosx G - 4 Ĩ \ 4 2

■sin xcosx = ■

Đặt
t = sin X - cosx G

=> sin xcosx =

2

l- r

Đưa về giải phương trinh với ẩn là t.
Ví dụ 1. Giải phương trinh 1+ siir’ X +cos’ x = —sin2x.
L

ờ

i

í ỉ u

i i :

Phương trình tương đương vói 1 f (sin X + cosx) - 3 sin xcosx(sin X + cosx) = 3sin Xcosx.
t^ -1
Đặt t = sinx + cosxe -^/2;^A2 J => sin xcosx = ■
í

A

V

2 ;

Khi đó phương trình trở thành 1+ t ’ - 3

o t ’ +3t- - 3 t - 5 = 0
V

<^ ( t + I ) ( t ' + 2t - 5) - 0

2 ,

t = - 1e [- 7 2 *;n/ 2

Vậy phương trinh có nghiệm là:

Iv7l

•sin xcosx = 0 <=> sin 2x = 0 o X = -2-,k e
2

“ k —,k G z |

Ví dụ 2. Giải phương trinh: 2>/2 (sin X +cosx) - sin 2x = I .
U

r i

s i ả i :

Đặt t = sin X + cosx - \ Í 2 cos X - “ j s Ị^-72,%/2 J => sin 2x - t" - 1 .
Khi đó phương trình trở' thành: I s / ĩt - ( t " -1 j = 1<=> t" - l y ị ĩ t = 0
<=> t í t - 2>/2Ì = 0 o t = 0<=>cos
^
>
l

X - —

4j

= 0 < = > x - —= —+ k 7 io x = — + k7 i,ksZ
4 2
4

Bài tâp rèn luyén
Bài 1. G iải phương trinh: sin X - cosX + 7sin 2x = I .
Bài 2. Giải phương trình: Ịl + V2Ị(sin X -c o s x ) + 2sin xcosx = 1+ ^/ỉ.
Bài 3. Giải phương trình: sin 2 \ + y /ĩ sin X - —j = 1.
Bài 4. Giải phương trình: sin3x -cos3x + 2(sin X + cosx) = I .
Bài 5. Giải phương trinh: 2 + (2 + sin 2x)í ——

Vsin >
X

1

•+ tan X + cot X h= 0.
cosx

Bài 6. Giải phương trình: sin^ X + cos’ x + sin X -t cosx = 2 Í^ + 72

323


3
Bài 7. Giải phương trinh: 1+ sin^ X + c o s \ = —sin 2x .
Bài 8. Giải phưoTig trinh:

sin xcos^x + cosxsin' X + V2(sin X + COSX - sin 2x) - y ỊĨ
sin X + cos X - sin X cos X

= 0.

Bài 9. Giải phương trình: (l + V2Ị(sin X -c o s x ) + 2sin xcosx = 1+ V 2 .
Bài lO.Giải phương trinh: sin 2x + \/2sin X

1.

Bài 11.Giải phương trình: Ịsin x -c o s x Ị + 4sin 2x = 1.
Bài 12. Giải phương trinh: 5(l - sin 2 x)-1 6 (sin X -c o s x ) + 3 = 0 .
Bài 13. Giải phương trình: (sin X + cosx - l)Ị2(sin^ X + c o s \)

2sin2x .

Bài 14. G iải phương trình: 2(sin^ X + c o s \) -(s in X 4- cosx) + sin 2x = 0.
Bài 15. G iải phương trinh: 2(sin’ X + C0S'\) + sin 2x(sin X + cosx) = 2 V 2 .
Bài 16. Giải phương trình: (sin X + cosx - l)(2sin 2x + 1) = (sin X + cosx)(2sin 2x - 1).

> Vấn đề 4. Phương trình kết hợp tanx, cotx, sinx, cosx
Thông thường quy đồng nhóm thành nhân tử chung
, , cosx - s in “ X + 1
Ví dụ 1. Giải phương trình
= 2tan — - X
sin X
V 2
y
Lời giái:
Điều kiện: sinx?i0;cos

3n

■- X

, ,
.
,. cos X + cos“ X _
cos X + cos" X _ cos X
Phưong trình tương đương với: ------- ---------- = 2cotx <=>-------- :---------- = 2sm X
smx
sin X

<=> cosx + COS' X = 2cosx Cí> cosx(cosx - 1) = 0 o

cos X = 0
cosx = 1

X=

<=>

k2Tt

71

X = -r + kn

2

'

'

'

71

Đôi chiêu với điêu kiện chỉ nhận nghiệm X = — + k ri.
2
Vậy phương trình có nghiệm là X = —+ krr, k e z
Ví dụ 2. Giải phương trình: 2(tan X - sin x) + 3(cot X -c o s x ) + 5 = 0.
Lời siải:

Phương trinh đã cho tương đương với 2

<=> (sin x + cosx - sin X cosx)

324

cosx

sin X

vcosx

sinx

+ I - sin X + 3

=0 o

cosx
^ sin X

+1 -c o s x

=0

tan X = - ^ = tan a
2
<=>
sin X + cosx - sin xcosx = 0

X = - a + k7i
X =

—± a + k 2 7 i
4


Đặt sinx + cosx = t => sinx.cosx
o t

7t"ị
X - —

C:> cos

---- !- = 0
2

l-^ /2

r- — cosa <=> X = —± a + k 2 7 t
4

n/2

4j

V

-----!- <=>

a

Ví dụ 3. G iải phương trình: 3(cotx - cosx) - 5(tan X -s in x) = 2 .
Lời siải: Phương trinh tương đương với: 3
<=>

<=>

cosx
sm X

sin X
+1 -c o s x ■-5
+1 - sin X = 0
Vcosx
y

3(cosx + sin X - sin xcosx)

5(cosx + sinx - sin xcosx)

sin X

cosx

5 ^
l^sinx

cosx j

(cos x + s in x - s in x cos x) = 0 o

Ví dụ 4. Giải phương trinh:

tanx = —= tana
o
3
cosx + sinx -cosx.sinx = 0

X

= a + kn

X

= —± a + k 2 7 t
4

>/2 (sin X + cosx) = tan X + cot X

Lờ i siải:
Điều kiện: sinxcosxTiO (*). Khi đó phương trình tương đương với:
p:

t ■

\

sinx cosx
rr .

, .
\
• 2
2
+ ------- <=> v 2 sin xcosx(sin X + co sxj = sin X + COS X :
cosx sinx

v 2 {s in X + cosx) = —

Đặt t = sinX + cosx = %/2cos X - —j e

~yÍ2,\Ỉ2~ị

sinxcosx = —^— .

\Í2
Khi đó phương trình trở thành: —- ( t " - l) t = 1o sịĩt^ - V2t - 2 = 0
Cí> (t - \Ỉ2^ị^-j2v + 2t + \Í2^ = 0 <=> t = \/2 C2> V 2COS X
V
Vậy phương trình có nghiệm là:

~

- —

4y

= V 2 <=> X

= — +

4

k27i, k e z (thoả mãn *).

^ k2n,k e z Ị

Ví dụ 5. Giải phương trình: cot X - tan X = sin X + cos X
Lời siải: Điều kiện: sin X cos X
— -------——
sinx cosx

□

0 . Khi đó phương trình tương đương vói:

sin X + cosx <=> (sin X + cosx)(sin X -c o s x + sin xcosxj = 0

+) Xét sin X + cos x = 0ci>tanx = -l<=>x = - —+ krt.
4
+) Xét s in x -c o s x + sinxcosx = 0 (*), đặt t = s in x -c o s x = -^/2cosx x + — \e ị-y /2 ,y Í2
=>sinxcosx=

1

^

2

1 t"

■ Khi đó phương trinh (*) trở thành: t + —^ — = 0 <=> t = 1± V 2

2

/—<=>-V2cos
rr
( x + — = l - v 2 o ^c o s í x + — = — ; ^ ^ = cosa o X = —^ ± a + tT
=> t = 1- v2
k27i.
[
4j
'
[
4j
y/2
4
Vậy phưoTig trình có nghiệm là:

“ ----- ^

— ± Oí + k27i,k e Z,cosa

I .
325